《分层法》例题详解
《分层法》例题详解
例:如图1所示一个二层框架,忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移,用分层法计算框架的弯矩图,括号内的数字,表示各梁、柱杆件的线刚度值(EIil)。
图1解:1、图1所示的二层框架,可简化为两个如图2、图3所示的,只带一层横梁的框架进行分析。
图2 二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时,假定上、下柱的远端为固定,则与实际情况有出入。
因此,除底层外,其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。
底层柱的弯矩传递系数为12,其余各层柱的弯矩传递系数为13。
各层梁的弯矩传递系数,均为12。
图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时,梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算,如:G节点处:7.630.6687.63 3.79GH GHGHGH GDGjGi ii iiμ====++∑GD3.790.3327.63 3.79GD GDGH GDGjGi ii iiμ====++∑H节点处:7.630.3537.63 3.7910.21HG HGHGHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HI HIHIHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HE HEHEHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑同理,可计算其余各节点的力矩分配系数,计算结果见图6、图7。
图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩(1)第二层:①计算各梁杆端弯矩。
先在G、H、I节点上加上约束,详见图8图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩(顺时针转向为正号),写在各梁杆端下方,见图9:213.13kN m 12F GHql M =-=-⋅213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HI ql M=-=-⋅27.32kN m 12F IHql M==⋅ 在节点G 处,各梁杆端弯矩总与为:13.13kN m FG GH M M ==-⋅在节点H 处,各梁杆端弯矩总与为:13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅在节点I 处,各梁杆端弯矩总与为:7.32kN m F I IH M M ==⋅②各梁端节点进行弯矩分配,各两次,详见图9 第一次弯矩分配过程:放松节点G,即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅,乘以相应分配系数0、668与0、332,得到梁端+8.76kN m ⋅与柱端+4.37kN m ⋅,+8.76kN m ⋅按12传到GH 梁H 端;放松节点I,即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅,乘以相应分配系数0、935与0、065,得到梁端 6.32kN m -⋅与柱端+1.00kN m ⋅, 6.32kN m -⋅按12传到IH 梁H 端;放松节点H,相应的在节点H 处新加一个外力偶矩,其中包括GH 梁右端弯矩、IH 梁左端弯矩、GH 梁与IH 梁传来的弯矩。
《分层法》例题详解
例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号内的数字，表示各梁、柱杆件的线刚度值（EIil ）。
图1解：1、图1所示的二层框架，可简化为两个如图2、图3所示的，只带一层横梁的框架进行分析。
图2 二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时，假定上、下柱的远端为固定，则与实际情况有出入。
因此，除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。
底层柱的弯矩传递系数为12，其余各层柱的弯矩传递系数为13。
各层梁的弯矩传递系数，均为12。
图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时，梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算，如：G节点处：7.630.6687.63 3.79GH GHGHGH GDGjGi ii iiμ====++∑GD3.790.3327.63 3.79GD GDGH GDGjGi ii iiμ====++∑H节点处：7.630.3537.63 3.7910.21HG HGHGHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HI HIHIHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HE HEHEHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑同理，可计算其余各节点的力矩分配系数，计算结果见图6、图7。
图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩（1）第二层：①计算各梁杆端弯矩。
先在G、H、I节点上加上约束，详见图8图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方，见图9：213.13kN m 12FGHql M =-=-⋅213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HIql M=-=-⋅27.32kN m 12F IHql M==⋅ 在节点G 处，各梁杆端弯矩总和为：13.13kN m FG GH M M ==-⋅在节点H 处，各梁杆端弯矩总和为：13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅在节点I 处，各梁杆端弯矩总和为：7.32kN m F I IH M M ==⋅②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，详见图9 第一次弯矩分配过程：放松节点G ，即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅，乘以相应分配系数0.668和0.332，得到梁端+8.76kN m ⋅和柱端+4.37kN m ⋅，+8.76kN m ⋅按12传到GH 梁H 端； 放松节点I ，即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅，乘以相应分配系数0.935和0.065，得到梁端 6.32kN m -⋅和柱端+1.00kN m ⋅， 6.32kN m -⋅按12传到IH 梁H 端； 放松节点H ，相应的在节点H 处新加一个外力偶矩，其中包括GH 梁右端弯矩、IH梁左端弯矩、GH梁和IH梁传来的弯矩。
分层法
以上两图实际比较，为降低漏油率， 以上两图实际比较，为降低漏油率，应采用李师傅的操作方 但如果按两种因素进行交叉分层又会得出新的结论。 法，但如果按两种因素进行交叉分层又会得出新的结论。 但如果按两种因素进行交叉分层又会得出新的结论
分层法（续）
方法三、 方法三、按两种因素交叉分层 操作者 王师傅 李师傅 张师傅 合计 总计 漏油否 漏油 不漏油 漏油 不漏油 漏油 不漏油 漏油 不漏油 汽缸垫生产 A厂 厂 6 2 0 5 3 7 9 14 23 B厂 厂 0 11 3 4 7 2 10 17 27 合计 6 13 3 9 10 9 19 31 50
分层法
分层法
分层法的应用 收集数据； 收集数据； 将收集到的数据按不同目的选择分层标志； 将收集到的数据按不同目的选择分层标志； 分层； 分层； 按所分层次归类。 按所分层次归类。 分层法应用实例： 分层法应用实例： 某装配厂的气缸与气缸盖之间经常漏油。经过对 套产品进行调查后发 某装配厂的气缸与气缸盖之间经常漏油。经过对50套产品进行调查后发 现两种情况： 、操作者操作方法不同。 生产气缸垫的厂家不同 生产气缸垫的厂家不同。 现两种情况：1、操作者操作方法不同。2生 操作者 王师傅 李师傅 张师傅 共计 漏油 6 3 10 19 不漏油 13 9 9 31 漏油率(%) 漏油率(%) 32 25 53 38
分层法（续）
方法二、 方法二、按生产厂家分层 操作者 A厂 厂 B厂 厂 共计 漏油 9 10 19 不漏油 14 17 31 漏油率 39 37 38
分层法例题(力矩分配法)资料讲解
五、创业机会和对策分析
10、如果学校开设一家DIY手工艺制品店，你希望＿＿＿＿＿
情感性手工艺品。不少人把自制的手机挂坠作为礼物送给亲人朋友，不仅特别，还很有心思。每逢情人节、母亲节等节假日，顾客Байду номын сангаас别多。
在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格，点面氛围及服务。
加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果
据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示
1、你一个月的零用钱大约是多少？可见“体验化消费”广受大学生的欢迎、喜欢，这是我们创业项目是否成功的关键，必须引起足够的注意。
300-400元1632%
分层法题目解答
分层法例：某教学楼为四层现浇钢筋混凝土框架结构。
梁的截面尺寸：250mm×600mm，混凝土采用C20；柱的截面尺寸：450mm×450mm，混凝土采用C30。
试按分层法计算钢筋混凝土框架的弯矩，并绘出弯矩图。
屋面和楼面荷载标准值见下表。
解：（1）计算梁、柱线刚度1）梁的线刚度边跨梁：k b=E b I b/l=[25.5×106×（1/12）×0.25×0.63×1.5]/5.7=24.16×103kN·m（框架梁截面惯性矩增大系数均采用1.5）中跨梁：k b=E b I b/l=[25.5×106×（1/12）×0.25×0.63×2.0]/3.00=45.90×103kN·m2）柱的线刚度底层柱：k c=E c I c/h=[30×106×（1/12）×0.45×0.453]/4.55=22.53×103kN·m 其他层柱：k c=E c I c/h=[30×106×（1/12）×0.45×0.453]/3.60=28.48×103kN·m（2）计算分配系数除底层外，各层柱的线刚度应乘以0.9。
（3）荷载分析1）屋面梁上线荷载设计值恒载：1.2[（2.93+1.00+2.60）×4.5+0.25×0.60×25×1.2]=40.67kN/m 活载： 1.4×0.7×4.5=4.41kN/m （系数1.2为考虑梁挑檐及抹灰重的系数）q1=45.08kN/m 2）楼面梁上线荷载设计值教室恒载：1.2[（1.10+1.00+2.60）×4.5+0.25×0.60×25×1.2]=30.78kN/m活载： 1.4×2.00×4.5×0.9=11.34kN/m （系数0.9为屋面及楼面活荷载折减系数）q2=42.12kN/m 走道恒载：30.78kN/m 活载： 1.4×2.50×4.5×0.9=14.18kN/mq3=44.96kN/m（4）梁端固端弯矩M F顶层边跨梁（教室）：M F=q1l12/12=45.08×5.72/12=122.05kN·m中跨梁（走道）：M F=q1l22/3=45.08×（3/2）2/3=33.81kN·m其他层边跨梁（教室）：M F=q2l12/12=41.12×5.72/12=114.04kN·m中跨梁（走道）：M F=q3l22/3=44.96×（3/2）2/3=33.72kN·m（5）弯矩分配与传递（用弯矩分配法计算）1）屋面层列表计算，如表1。
1《分层法》例题详细讲解
例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号的数字，表示各梁、柱杆件的线。
图1解：1、简化为两个图：图2、图3所示图2 第二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。
底层柱的弯矩传递系数为1/2，其余各层柱的弯矩传递系数为1/3。
各层梁的弯矩传递系数，均为1/2.图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数 如：G 节点处：7.630.6687.63 3.79GHGH GH GH GD GjGi i i i iμ====++∑ GD 3.790.3327.63 3.79GDGD GH GD GjGi i i i iμ====++∑H 节点处：7.630.3537.63 3.7910.21HGHG HG HG HE HI HjHi i i i i iμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HIHI HI HG HE HI HjHi i i i i iμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HEHE HE HG HE HI HjHi i i i i iμ====++++∑其余各节点的力矩分配系数见图6、图7。
图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩（1）第二层： ①计算各梁杆端弯矩。
将各杆变成单跨梁，刚节点看成是固定端。
图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号左负右正），213.13kN m 12F GHql M=-=-⋅ 213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HIql M=-=-⋅ 27.32kN m12F IH ql M ==⋅ ②各梁端节点进行负弯矩分配和传递，各两次，第一次负弯矩分配与传递后再进行第二次负弯矩分配与传递：③计算各柱的杆端弯矩。
分层法与反弯点法例题
2021/2/4
7
第2层：
∑P=10+19=29kN
VDG=9.67kN VEH=12.89kN VFI=6.44kN 第1层：
∑P=10+19+22=51kN
VGJ=17kN
VHK=20.4kN
VIL=13.6kN
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8
(2) 计算柱端弯矩 第3层
MAD=MDA=6.66kN·m MBE=MEB=8.9kN·m MCF=MFC=4.44kN·m 第2层 MDG=MGD=24.18kN·m MEH=MHE=32.23kN·m MFI=MIF=16.1kN·m
分层法与反弯点法例题图Fra bibliotek2.11 例12.1计算简图
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2
图12.12 例12.1二层计算单元
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3
图12.13 例12.1底层计算单元
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4
图12.14
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5
注意事项：
➢ 分层法计算的各梁弯矩为最终弯矩，各柱的最终弯矩为 与各柱相连两层计算弯矩的叠加；
图12.15 M图（单位： kN·m)
2021/2/4
6
【例12.2】用反弯点法求图12.18所示框架的弯矩图。图 中括号内数字为各杆的相对线刚度。 【解】（1） 计算柱的剪力
当同层各柱h相等时，各柱剪力可直接按其线刚度分 配。 第3层：
∑P=10kN
VAD=3.33kN VBE=4.45kN VCF=2.22kN
根据以
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12
图12.17 节点杆端弯矩
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13
图12.18
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1《分层法》例题详解
例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号内的数字，表示各
1/3。
各层梁的弯矩传递系数，均为1/2.
图4 修正后的梁柱线刚度
图5 各梁柱弯矩传递系数
3、计算各节点处的力矩分配系数 如：G 节点处：
7.630.6687.63 3.79GH
GH GH GH GD Gj
G
i i i i i
μ=
===++∑
将各杆变成单跨梁，刚节点看成是固定端。
图8 二层计算简图
计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号左负右正），
②各梁端节点进行负弯矩分配和传递，各两次，
图9 二层弯矩分配传递过程（2）第一层：
①计算各梁杆端弯矩。
图10 底层计算简图
计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下
递，
13
89
图11 底层弯矩分配传递过程
5、将二层与底层各梁、柱杆端弯矩的计算结果叠加，就得到各梁、柱的最后
弯矩图，详见图12。
图12 弯矩图（单位：kN m ）
6、力矩再分配
由以上各梁、柱的杆端弯矩图可知，。
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例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号内的数字，表示各梁、柱杆件的
线刚度值（
EI
i
l ）。
图1
解：1、图1所示的二层框架，可简化为两个如图2、图3所示的，只带一层横梁的框架进行分析。
图2 二层计算简图
图3 底层计算简图
2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数
采用分层法计算时，假定上、下柱的远端为固定，则与实际情况有出入。
因此，除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。
底
层柱的弯矩传递系数为1
2
，其余各层柱的弯矩传递系数为
1
3。
各层梁的弯
矩传递系数，均为1
2。
图4 修正后的梁柱线刚度
图5 各梁柱弯矩传递系数
3、计算各节点处的力矩分配系数
计算各节点处的力矩分配系数时，梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算，如：
G节点处：
7.63
0.668
7.63 3.79
GH GH
GH
GH GD
Gj
G
i i
i i
i
μ====
++
∑
GD
3.79
0.332
7.63 3.79
GD GD
GH GD
Gj
G
i i
i i
i
μ====
++
∑
H节点处：
7.63
0.353
7.63 3.7910.21
HG HG
HG
HG HE HI
Hj
H
i i
i i i
i
μ====
++++
∑
3.79
0.175
7.63 3.7910.21
HI HI
HI
HG HE HI
Hj
H
i i
i i i
i
μ====
++++
∑
10.21
0.472
7.63 3.7910.21
HE HE
HE
HG HE HI
Hj
H
i i
i i i
i
μ====
++++
∑
同理，可计算其余各节点的力矩分配系数，计算结果见图6、图7。
图6 二层节点处力矩分配系数
图7 底层节点处力矩分配系数
4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩
（1）第二层：
①计算各梁杆端弯矩。
先在G、H、I节点上加上约束，详见图8
图8 二层计算简图
计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方，见图9：
213.13kN m 12F
GH
ql M =-=-⋅
213.13kN m 12
F HG
ql M ==⋅ 27.32kN m 12
F HI
ql M
=-=-⋅
27.32kN m 12
F IH
ql M
==⋅ 在节点G 处，各梁杆端弯矩总和为：
13.13kN m F
G GH M M ==-⋅
在节点H 处，各梁杆端弯矩总和为：
13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅
在节点I 处，各梁杆端弯矩总和为：
7.32kN m F I IH M M ==⋅
②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，详见图9 第一次弯矩分配过程：
放松节点G ，即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅，乘以相应分配系数0.668和0.332，得到梁端+8.76kN m ⋅和柱端+4.37kN m ⋅，+8.76kN m ⋅按1
2
传到GH 梁H 端；
放松节点I ，即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅，乘以相应分配系数0.935和0.065，得到梁端 6.32kN m -⋅和柱端+1.00kN m ⋅， 6.32kN m -⋅按12
传到IH 梁H 端；
放松节点H ，相应的在节点H 处新加一个外力偶矩，其中包括GH 梁右端弯矩、IH 梁左端弯矩、GH 梁和IH 梁传来的弯矩。
其值为
(13.13+4.387.32 3.16)kN m=7.03kN m ---⋅-⋅，乘以分配系数，HI 梁分配
3.56kN m -⋅、HG 梁分配 2.73kN m -⋅、HE 柱分配 1.32kN m -⋅， 3.56kN m -⋅按12
传到I 端， 2.73kN m -⋅按
1
2
传到G 端。
第一次分配过程完成。
第二次弯矩分配过程：
重复第一次弯矩分配过程，叠加两次结果，得到杆端最终弯矩值。
③计算各柱的杆端弯矩。
二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的13
（即传递系数为
13
），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写在图中的长方框内
图9 二层弯矩分配传递过程
（2）第一层：
①计算各梁杆端弯矩。
先在D 、E 、F 节点上加上约束，详见图10
图10 底层计算简图
计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方：
217.81kN m 12F
DE
ql M =-=-⋅
217.81kN m 12
F ED
ql M ==⋅ 28.89kN m 12
F EF ql M
=-=-⋅
28.89kN m 12
F FE
ql M
==⋅ 在节点D 处，各梁杆端弯矩总和为：
17.81kN m F
D D
E M M ==-⋅
在节点E 处，各梁杆端弯矩总和为：
17.818.898.92kN m F F E ED EF M M M =+=-=⋅
在节点I 处，各梁杆端弯矩总和为：
8.89kN m F F FE M M ==⋅
②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，分配以及传递过程同第二层，但弯矩传递时要注意传递系数的差别。
③计算各柱的杆端弯矩。
二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的1 3
（即传递系数为1
3
），底层柱的远端弯矩为近端弯矩的
1
2
（即传递系数为
1
2
），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写在图中的长方框内。
图11 底层弯矩分配传递过程
5、将二层与底层各梁、柱杆端弯矩的计算结果叠加，就得到各梁、柱的最后弯矩图，详见图12。
图12 弯矩图（单位：kN m
）
6、力矩再分配
由以上各梁、柱的杆端弯矩图可知，节点处有不平衡力矩，可以将不平衡力矩再在节点处进行一次分配，此次分配只在节点处进行，并且在各杆件上不再传递。
在本题中，由于不平衡力矩相对较小，力矩可不再分配。