反弯点法计算方法实例
框架结构在水平荷载下的计算(反弯点法和D值法)
37
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
6i l
M a 4i a 2i b
V
6i a 6i b 12i 2 l l l
M 0
A : 4(i3 i4 ic ic ) 2(i3 i4 ic ic ) 6(ic ic )
37kN 74kN
C B A
H
G
M
K
VDC DC 37 11 .77 k N VCB CB (37 74 ) 31 .08 k N
（3）求各柱柱端弯矩：
M DC M BC M AB
VBA BA (37 74 80 .7) 52 .14 k N 80.7kN
首
层 其余计算从略。
25
（3）梁端弯矩
16
其余计算从略。
26
(4) 弯
矩
图
27
用反弯点法求下图框架的弯矩图。图中括号内的数 值为该杆的线刚度比值。
37kN
D (1.5) (0.7) (0.6) (1.7) (0.7) G (0.9) (2.4) (0.6) A E F (0.8) (1.2) (1.0) H (0.8) (0.9) M
hj
0
38
V
将
6i a 6ib 12i a b 12i 12i 2 V 2 l l l l l
A B
2 K 12i 代入上式, 可得 V 2 2 K l 2 K l
则 D jk
B ib V 12iA K K 2c , , K hj 2 K 2 K 2ic
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
MDH19 .42kN
MDC19.42kN
MGH16.67kN
DH (1.5)
G
MGC ? MGC52.04kN
MGK ?
C
G (1.7)
MGK30.56kN B
F
MGF65.93KN
(2.4)
A
E
M G K(M G H M G)F 1 .7 1 .0 1 .03.5 0k6N
任务二 水平荷载作用下的近似计算
框架结构在水平荷载作用下的 近似计算方法：
一、反弯点法 二、改进反弯点法——D值法
1
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
框架所承受 的水平荷载主要 是风荷载和水平 地震作用，它们 都可以转化成作 用在框架节点上 的集中力。
2
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
7
２.反弯点高度的确定
反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。
h
y
2
2
3
h
上部各层柱 底层柱
h——层高
8
３.柱子的抗侧移（抗推）刚度d
柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相 对单位位移时，在柱子内产生的剪力。
柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度：
d 12 ic h2
i c ——柱子的线刚度；
(0.7) B
(0.9) F
(0.9) J
HG
0.6 0.7 0.6 0.9
0.273
(0.6) A
(0.8) E
(0.8) I
MK
0.9 0.7 0.6 0.9
《反弯点法》例题详解
《反弯点法》例题详解在数学中，反弯点法是一种求函数曲线的凹凸性质的方法。
通过求函数的导数和二阶导数，可以确定函数的凹凸区间和反弯点。
下面我们以一个例题来详细介绍反弯点法的具体步骤和求解过程。
例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求函数的凹凸区间和反弯点。
步骤一：求函数的一阶导数f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2步骤二：求函数的二阶导数f''(x)。
f''(x) = 6x - 6步骤三：求f''(x) = 0的解，即求二阶导数的零点。
6x - 6 = 0x = 1步骤四：求f''(x)在x < 1和x > 1两个区间的符号。
当x < 1时，取一个小于1的数代入f''(x)，比如x = 0，计算得f''(0) = -6，符号为负。
当x > 1时，取一个大于1的数代入f''(x)，比如x = 2，计算得f''(2) = 6，符号为正。
步骤五：根据f''(x)的符号确定函数的凹凸性质。
当f''(x) > 0时，函数在该区间上凹。
当f''(x) < 0时，函数在该区间上凸。
根据步骤四的计算结果，可以得出以下结论：当x < 1时，函数在该区间上凸。
当x > 1时，函数在该区间上凹。
步骤六：求函数的反弯点。
根据步骤三的计算结果，x = 1是函数的一个反弯点。
综上所述，函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1在x < 1时凸，在x > 1时凹，且有一个反弯点x = 1。
通过以上例题的详细解答，我们可以了解到反弯点法的求解过程和应用方法。
通过求函数的导数和二阶导数，我们可以确定函数的凹凸区间和反弯点，从而更好地理解和分析函数的性质。
水平荷载作用下采用反弯点法计算
水平荷载作用下采用反弯点法计算反弯点法是一种常用于计算水平荷载作用下的结构弯矩和剪力的方法。
在使用这种方法时，首先需要通过结构的截面特性和材料特性来确定结构的内力分布。
然后，通过计算不同截面的弯矩与剪力平衡点，找到结构的反弯点位置。
最后，通过分析反弯点处的内力分布，计算结构在水平荷载作用下的弯矩和剪力。
下面以梁为例，来介绍水平荷载作用下采用反弯点法计算的过程。
首先，给定一根梁的长度L和受力情况。
为了简化问题，我们假设梁的截面形状为矩形，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E。
梁所受外力为均布荷载q。
接下来，我们根据梁的受力分析，计算出梁在距离x处的弯矩M和剪力V的分布式函数。
在这种情况下，由于梁是均布荷载作用的，所以梁上的弯矩和剪力都是连续变化的线性函数。
根据弯矩和剪力的定义，我们可以得到：M(x) = -qx^2/2 + C1x + C2V(x) = -qx + C1其中，C1和C2是根据边界条件得出的常数，用于确定梁的受力状态。
接下来，我们需要确定梁的反弯点位置。
反弯点是梁上由抗力导致的弯矩的变号点。
在这个点上，弯矩由正变为负，或由负变为正。
在反弯点附近，梁的内力状态发生了较大变化。
为了确定反弯点位置，我们可令M(x)=0，解得反弯点的位置为x=r。
将x=r代入V(x)的方程中，我们可以计算出反弯点处的剪力为V(r)=-qr+C1根据反弯点的定义，剪力也应该为零，因此可以得到C1=qr。
将C1=qr代入M(x)的方程中，我们可以计算出反弯点处的弯矩为M(r)=-qr^2/2+C2根据反弯点的定义，弯矩也应该为零，因此可以得到C2=qr^2/2最后，我们可以得到反弯点处的弯矩和剪力分布：M(r) = -qr^2/2 + qr^2/2 = 0V(r) = -qr + qr = 0这意味着在反弯点处，梁的弯矩和剪力都为零，这是一个特殊的位置。
通过计算反弯点的位置和反弯点处的内力分布，我们可以了解结构在水平荷载作用下的受力状态。
混凝土反弯点法计算题例题
混凝土反弯点法计算题例题混凝土反弯点法是一种用于计算混凝土梁的强度和刚度的方法。
它基于混凝土在受拉应力作用下的裂缝性质，将混凝土截面分为受压区和受拉区。
在混凝土的受拉区出现第一根裂缝时，混凝土截面的强度随之降低，这个裂缝的位置就是梁的反弯点。
以下是一个混凝土反弯点法计算题的例题：【例题】一根混凝土矩形梁的截面宽度为b=200mm，高度为h=400mm，长度为L=4m。
梁的配筋已经确定，钢筋面积为As=2515mm2，混凝土强度等级为C30，梁的工作状态为常规状态。
使用混凝土反弯点法计算梁的极限承载力。
解题思路：1. 计算混凝土截面面积Ac和受拉区高度a。
$$Ac=bh=200mm\times400mm=80000mm^2$$根据混凝土抗拉强度σc和配筋率ρ，可以计算出混凝土受拉区高度a。
$$a=\frac{\sigma_c}{0.85f_y}\frac{1-\sqrt{1-2\rho}}{1.6}h$$其中，fy为钢筋的屈服强度，ρ为配筋率。
根据题目中的数据，可以计算出a的值为：$$a=\frac{2.6\times10^6Pa}{0.85\times300\times10^6Pa}\frac{1-\sqrt{1 -2\times\frac{2515mm^2}{200mm\times400mm}}}{1.6}\times400mm=7 7.57mm$$2. 计算混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
根据梁的几何尺寸和工作状态，可以计算出梁上的荷载为：$$q=\frac{1.5kN}{m^2}$$其中，kN为单位长度的荷载。
因此，梁上的集中荷载为：$$P=qL=1.5kN/m^2\times4m=6kN$$根据静力平衡条件，可以计算出混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
$$N=P=\frac{6kN}{2}=3kN$$$$M=\frac{PL}{4}=6kN\times4m/4=6kNm$$3. 计算混凝土受拉区的应力σ1和混凝土截面的极限承载力M1。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
51
（三）确定柱反弯点高度系数y
4.反弯点高度
Y yh
当 反 弯 点 高 度 为 0≤ Ｙ ≤ ｈ 时 ， 反 弯点在本层；当Ｙ>ｈ时，本层无反点， 反弯点在上层；当Ｙ<0时，反弯点在下 层。
15
８.柱内轴向力
自上而下逐层 叠加节点左右的 梁端剪力。
16
反弯点法的主要计算步骤：
1、计算柱子的抗侧刚度； 2、将层间剪力在柱子中进行分配，求得 各柱剪力值； 3、按反弯点高度计算柱子端部弯矩； 4、利用节点平衡计算梁端弯矩，进而求 得梁端剪力； 5、计算柱子的轴力。
17
例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。
hj 2
h j ——第j层柱高
cjk表示第j层第k号柱，t(top)、b(bottom)分别表示柱
的顶端和底端。
12
６.梁端弯矩
梁端弯矩按节点平衡及线刚度比得到。 （１）边节点
顶部边节点： Mb Mc
一般边节点： MbMc1Mc2
13
６.梁端弯矩
（２）中节点：按线刚度比 进行分配。
14
７.梁内剪力
7
２.反弯点高度的确定
反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。
h
y
2 2 3
h
上部各层柱 底层柱
h——层高
8
３.柱子的抗侧移（抗推）刚度d
柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相 对单位位移时，在柱子内产生的剪力。
柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度：
d 12 ic h2
i c ——柱子的线刚度；
h ——柱子的层高。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
a
A B 则 D jk V 1 h ji2 c2 2 K K ,
K,K ib 2 K 2 ic
B
b l
a
b
D jk
12 ic hj2
l
框架梁的线刚度无穷大时
，
1,
D
12ic hj 2
同理可推导底层柱 D 值
0.5K,Kib
2K
ic
42
（二）柱的抗侧刚度D值
2.带有夹层的柱，其抗推刚度按下式计算：
D'
1 1
1
D1D2 D1 D2
D1 D2
D D
1 2
12 i c 1
c1
h
2 1
12 i c 2
c2
h
2 2
43
计算各柱所分配的剪力：
44
（三）确定柱反弯点高度比y
上、下端约束对梁反弯点的影响
由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置 确定和柱子抗推刚度的确定。
4
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
77
48
0.7)5
2.1
4k N80.7kN
A
E
（3）求各柱柱端弯矩：
MDC
MCD
VDC
3.3 2
19.42k
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
MDH19 .42kN
MDC19.42kN
MGH16.67kN
DH (1.5)
G
MGC ? MGC52.04kN
MGK ?
C
G (1.7)
MGK30.56kN B
F
MGF65.93KN
(2.4)
A
E
M G K(M G H M G)F 1 .7 1 .0 1 .03.5 0k6N
18
解：作三个截面通过各柱的反弯点（一般层反反弯 点高度为1/2柱高，首层为2/3柱高），如图所示：
19
由于框架同层各柱高h相等，可直接用杆件线刚度 的相对值计算各柱的分配系数。
（1）柱的剪力 三层：
20
二层
21
首层
22
（2）柱端弯矩 三 层
23
（2）柱端弯矩 二 层
24
（2）柱端弯矩 首 层 其余计算从略。
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范 围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
水平荷载作用下框 架的变形情况：
当梁刚度无限 大时，水平荷载作 用下框架的变形情 况：节点转角为0， 各节点水平位移相 同。
6
②假定底层柱子的反弯点位于柱子高度的2/3 处，其余各层柱的反弯点位于柱中。
当柱子端部转角为零时，反弯点的位置应该 位于柱子高度的中间。而实际结构中，尽管梁、 柱的线刚度之比大于3，在水平力的作用下，节点 仍然存在转角，那么反弯点的位置就不在柱子中 间。尤其是底层柱子，由于柱子下端为嵌固，无 转角，当上端有转角时，反弯点必然向上移，故 底层柱子的反弯点取在2/3处。上部各层，当节点 转角接近时，柱子反弯点基本在柱子中间。
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0.6
0.8 0.8
0.8
(37
74 80.7)
69.71kN
VIJ
0.8 (37 74 80.7) 0.6 0.8 0.8
69.71kN
(2）求出各柱柱端的弯矩
第三层
M CD
M DC
11.77
3.3 2
19.42kN.m
M GH
M HG
10.09
3.3 2
16.65kN.m
3.9
135.92kN.m
M EF
69.71
2 3
3.9
181.24k N.m
M IJ
69.71
2 3
3.9
181.24k N.m
M
BA
52.28
1 3
3.9
67.96kN.m
M FE
69.71
1 3
3.9
90.62kN.m
M JI
69.71
1 3.9 3
90.62kN.m
4.3.3 反弯点法计算方法实例
M GC
1.7 1.7 1.0
(16.65
65.93)
51.99kN.m
M GL
1.0 1.7 1.0
(16.65
65.93)
30.59kN.m
M LG M LM M LJ 24.98 65.93 90.91kN.m
4.3.3 反弯点法计算方法实例
第一层
M BF M BC M BA 51.28 67.96 119 .24kN.m
M FB
2.4 2.4 1.2
(65.93
90.62)
104.37kN.m
M FJ
1.2 (65.93 90.62) 2.4 1.2
52.18kN.m
M JF M JL M JI 65.93 90.62 156 .55kN.m
(4）绘制各标杆件的弯矩图
(3）求出各横梁梁端的弯矩 第三层
M DH M DC 19.42kN.m
M HD
1.5 1.5 0.8
16.65
10.86kN.m
M HM
0.8 16.65 1.5 0.8
5.79kN.m
MMH MML 24.98kN.m
4.3.3 反弯点法计算方法实例
第二层
MCG MCD MCB 19.42 51.28 70.70kN.m
第二层
VBC
0.7
0.7 0.9
0.9
(37
74)
31.08kN
VFG
0.7
0.9 0..96kN
VJL
0.7
0.9 0.9
0.9
(37
74)
39.96kN
4.3.3 反弯点法计算方法实例
第一层
VAB
0.6
0.6 0.8
0.8
(37
74
80.7)
52.28kN
VEF
M LM
MML
15.14 3.3 2
24.98kN.m
4.3.3 反弯点法计算方法实例
第二层
M BC
M CB
31.08
3.3 2
51.28kN.m
M FG
M GF
39.96
3.3 2
65.93kN.m
M JL
M LJ
39.96 3.3 2
65.93kN.m
第一层
M
AB
52.28
2 3
4.3.3 反弯点法计算方法实例
实例:已知框架计算简图如图所示，图中括号内数值
为该杆件的线刚度。用反弯点法求出各杆件内力， 并绘制出弯矩图。
D 1.5 H 0.8 M
37kN 74kN
0.7 1.7
C 0.7
0.6 1.0
G 0.9
0.9 3300
L 0.9 3300
80.7kN B 2.4 F 1.2 J
0.6 0.8
0.8 3900
A
E
I
2700 8100
4.3.3 反弯点法计算方法实例
解：(1）求出各柱在反弯点处的剪力
第三层
VCD
0.7
0.7 0.6
0.9
37
11.77kN
VGH
0.6
37
0.7 0.6 0.9
10.09kN
VLM
0.9
37 15.14kN
0.7 0.6 0.9