一道《美国数学月刊》征解题的初等解法(《数学通报》2011年第1期)
从一道课本习题到美国数学月刊11240号问题
福建中学数学
11
运用．只有认真分析研究高考全国卷命题的特点和 规律，提高课堂复习的有效性，学生才能在高考中
取得好成绩．
从一道课本习题到美国数学月刊 11240 号问题
王潇轩 安徽省滁州市滁州中学 (239000)
习题（人教 A 版选修 2-2 习题 1.3B 组第 1 题（3）） 利用函数的单调性，证明不等式 ex 1 x(x 0) ．
有
ln
(
x y)2 4xy
(x y)2 4xy
成立，
此不等式等价于
ln[1
(x y)2 4xy
]
(x y)2 4xy
，
由不等式 ln(1 x) x 其显然成立，故式②成立．
参考文献 [1]丁兴春．一道国外数学问题的分析[J]，数学通报，2010（2）：56-62 [2]李剑峰．一道美国数学月刊题的别证[J]，中学数学研究(江西)，2016 （6）：47-48
得
(b c)2 2a2 2(b c)2
(
x y)2 8xy
（
表示轮换对称求和），
R 2r
abc(a b 16S 2
c)
(b
c
a)(c
abc a
b)(a
b
c)
=
(
y
z)(z x)( 8xyz
x
y)
，
式②右端不等式
(y
z)(z x)(x 8xyz
刊 11240 号问题将不等式 R ≥ 2r 作了加强，其表述如
一道经典题的初等解法探究
道 经 典 题 的 初 等 解 法 探 究
曹 毅 汪 义 瑞
（ 康学院 数学系 ， 安 陕西 安 康 ７５０ ） ２ ００
摘 要 ： 文是 文 献 ［ ］ 内 容 的 细 化 和 发 展 ， 者 借 助 本 １中 作
于 一般 化 方 法将 一 道 关 于 式 的 题 推 广 为 更 一 般 的 定理 ．并 利 用 数 学 归纳 法给 出 了该 定理 的证 明 。 关键词 ： 式 推 广 教 学 归纳 法
定 理 ： 设 ｉ ３ ＋ ＋ ＋ ＋ ０， 必 有ａ （ ＋ 假 ＞ ， 。 ＋ ， … ａ 。 ： 则 ｔ
一
ｙ
Ｘ
ｚ
Ｙ
！兰 ＋ ！兰 兰 ± ｆ ） ± ± ＋ ！ １
ｘ ｙ Ｘ Ｚ ｙ ｚ
Ｄ２
ａ３
由ｘ ｙ ｚ ０ 易 把 ｘ ｙ ｚ 其 中 两 个 表 示 出 来 ， ＋ ＋： ， ， ，用 由兰 我 们
（ ＋ ） ｙ ＋ ） （ ＋ ） ＋（ ＋
Ｘ
：
Ｙ
Ｘ
ｚ
Ｙ
（ ＋ ） （ ｙ ＋ （＋ ） （ ＋ ＋ ） ｙ ｚ ２）
ｙ ｚ ｘ
‘ ．
‘＋ｙ ＝Ｏ， ｘ ＋ｚ
．
式 的计 算 与 证 明 是 中 学 数 学 的 热 点 问 题 ， 文献 ［ ］ 基 在 １的 础 上 ，我 们 借 助 于 一 般化 方 法 将 一 道 关 于 式 的 题 推 广 为 更 一
一
：
。
（ ＋ ＋． ＿＿ ＋ （ ＋ ＋－ ） ＋ ．＋ｌ） ． ＿＋ ．＋ ＋ ．
ａ ａ ２ ３ ａ ｋ ａ ＋ ｋ１ ａＩ ａ ３
．
ａ ｋ
ａｋ１ ＋
2011学年第一学期八年级数学SMJ(二)答案
1.602.是3.1104.85.906.37.138.369.310.1011C12A13D14A15C16B17C18B19.略20.∵AB=AC∴∠B=∠C=40°∴△ABC是等腰三角形∵D是BC的中点∴AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∴∠BAD=50°21（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°；（2）证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．22答：（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：①当∠A是顶角时，设底角是α．∴30°+α+α=180°，α=75°．∴其余两角是75°和75°．②当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°．∴其余两角分别是30°和120°．（2）感受为：解题时，思考问题要全面，有的题目要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．23解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．24（1）证明：∵等边△ABC和等边△ADE，∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°，∴∠CAE=60°，∠BAE=∠CAD=120°，∴△BAE≌△CAD，（2）解：∵△BAE≌△CAD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠BFC=∠ABE+∠ADC，∴∠BFC=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE，∠BAE=120°，∴∠BFC=60°，（3）解：成立．∵等边△ABC和等边△ADE，∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，∴△BAE≌△CAD，∵∠CDA=∠AEB，∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-60°=120°，∴∠ABE+∠BDF=120°，∠BFC=180°-（∠ABE+∠BDF）=60°．25解：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，因为BA=BD，所以，∠BAD=∠BDA=75°，所以∠DAC=45°，又有CA=CE，所以∠E=∠CAE=15°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°；（2）不改变；令∠B=x°，BA=BD，所以∠BAD=∠BDA=（180°+∠B）÷2=90°－二分之一x°，∠ACB=180°-∠ACE=∠B+∠BAC，得∠ACB=60°-x°，所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=30°﹢二分之一x°，又因为CA=CE，所以∠E=∠CAE=30°－二分之一x°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°（3）二分之一α°．设∠B=x°，∵BA=BD，所以∠BAD=∠BDA=90°-二分之一x°，∠ACB=180°-x°-α°，所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+二分之一x°+α°，又因为CA=CE，所以∠E=∠CAE=90°-二分之一x°－二分之一α°，。
美国数学月刊数学问题精选
美国数学月刊数学问题精选数学，这门古老而又充满魅力的学科，如同宇宙中的繁星，璀璨而又神秘。
美国数学月刊作为数学领域的重要刊物，其中所精选的数学问题更是引人入胜，激发着无数数学爱好者的探索欲望。
在这些精选问题中，有一类是关于数论的。
数论，研究整数的性质，看似简单，实则深藏玄机。
比如，有这样一个问题：证明对于任意正整数 n，存在连续的 n 个正整数，它们中没有一个是完全平方数。
要解决这个问题，我们需要深入理解完全平方数的性质以及整数的连续性。
通过巧妙的构造和推理，我们可以发现，如果取 n 个连续正整数为（k ＋ 1)＾2 1，（k ＋ 1)＾2 2，，（k ＋ 1)＾2 n，其中 k 是一个足够大的正整数。
那么，这些数都不是完全平方数，因为它们分别位于两个相邻的完全平方数之间。
几何问题也是常见的精选之一。
有这样一个有趣的问题：在一个平面直角坐标系中，给定三个点 A、B、C，证明三角形 ABC 的内心 I 到三角形三边的距离之和为定值。
解决这个问题，需要我们运用到几何图形的性质、点到直线的距离公式以及三角形的内角平分线定理。
我们先求出内心 I 的坐标，然后分别计算内心 I 到三边的距离，经过一番复杂但有趣的推导，可以得出距离之和是一个只与三角形边长有关的定值。
组合数学的问题同样令人着迷。
比如，有一个问题是：从 1 到 100这 100 个自然数中，选取若干个数，使得其中任意两个数之和都不能被它们的差整除。
那么，最多能选取多少个数？解决这类问题，需要我们巧妙地运用余数的性质和分类讨论的方法。
我们可以先将 1 到 100 按照除以3 的余数分为三类，然后通过分析每一类中的数的选取情况，逐步得出最多能选取的数的个数。
代数问题也是精选中的常客。
例如，已知函数 f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2＋ bx ＋ c，且 f(1) ＝ 0，f(2) ＝ 0，f(3) ＝ 4，求 a、b、c 的值。
这需要我们运用方程组的知识，将已知条件代入函数中，得到三个方程，然后通过解方程组来求解 a、b、c 的值。
一类可由特殊点求出值域的函数——一道美国《数学月刊》征解题引发的猜想
譬 处 。， 一 丢 以 证 ） ，（ ｚ ＞ ．下 明
证 明 （ 界 为 １ ｆ （ ｙ，） １ 下 ） ｚｚ， 一 一ｚ＋ ＋
一 Ｙ。一 ｚ
所以， 一２ ／ （ Ｙ 的值域为［ ，２ ． 当 时， ， ，） １√ ］
结合 ｎ一２的情 况 ， 想需 要修 正 ． 新发 现 猜 将
， （ ｙ ）的值域 为［ ，２ ． ， ， １√ ］
ｚ一 ２ ｘｙｚ 一 １一 ＋ ｙ ＋ 一 ２ ｘｙｚ —
一
的以 （ ， ， ）为 代 表 这 类 纳 入 猜想 中 的特 殊 ０
点加 以考虑 ， 以下 证 明修正后 的猜 想． 当 ｎ＞ ３时 ， 虑 － （ ｙ ｚ 的最 大值 ， 满 ｔ － 考 厂 ｚ， ， ） 对 足条 件 的点 （ 。 ，。 ， ｚ ， ｚ ） 由问题 ２结论 知 ， 。
＝ ＝：
１ 求 ＿ （ ， ） ， 厂 １ Ｙ， 一ｚ＋ ＋ 一 ２ ｙ ｚ ｘ ｚ的值域 ．
分 析 在 点 （ ， ， ）处 ， 。ｚ， ｚ 一 １ 在 １００ － （ ， ） 厂 ；
２ 丽
≤ １ （＋ａ） ＋ １ ｂ
≤ ２ ａ ｃ 即√ （ ， ，） ２ ＋ ｂ ， ２ ａｂｆ ≤ ． ｇ
可谓 “ 显 神 通 ” 原 问 题 的 条 件 ： Ｙ， ∈ （ ， 各 ． ｚ， ０
ｙ ） ， 最小 值为 １ ， 一１ 故 ．
＋。） 。 且 ＋ ｙ ＋ ｚ 一１ 即点 （ ｙ， 在第 一卦 ， ， ）
限 的三 维单 位 球 面 上 ， 问题 为 求 目标 函数 ： （ ｆ ｚ， ．，） ｙ 一 ＋ ｙ＋ ｚ ｘ ｚ的值 域． — ｙ
．
・ ７ ５ ・
ｎ
＋ ３ ＋ ｏ ２ ， ｏ＝ ２ ｏ ，ｏ ≤ √ ， ， ｏ 一 ｘ ｏ ＝ 厂 （ ， ｚ ） ｏ ｚ ＝ ３ ｏ ２ 且在
也谈一道美国数学月刊征解题的解法
一
２ｍ 一 “ Ｅ 一 （ ＋ ｎ ／ — ２ ． （ ）１ ），１ ｍ ］
先 证 明
因为 ｍ＞ ａ 所 以 ，
１ ＋ １ ￣ 。 ２ ｘ ２ ￣ ＋ ３ ８ ２ ／ 一 ７ 一 ２ ， ７＞ ０ ．
（ ＋ｎ ， － ｍ ＜ ２ ￣ —２ ） Ａ 一２ ｍ ／ １ ｍ
一 ．
一
１ ＋ １ ８ ２
３
。 ２ｗ 一 ２ 瓜 一 ７。 ２
＋ ３ ７
＞ １一 ＋ １ ８ ２
（９ ２
一
。 （ ５ １ ＋ ９／ 一 ２＋ ６ ， ｇ一２ ） ９ｘ
５ ６ １ Ｏ ２ Ｏ ２０ ０ ３０ ０
产品
Ａ类产品
Ｂ类产品 租 赁费
甲设 备 （ 天 ） 每 乙设 备 （ 天 ） 每
得最 小值 为 ２３ ０元． ０ 点评 本 题是 线性 规划 中的实 际应用 问题 ， 需要 通过 审题 理清题 意 ， 出各个 量 之间 的关 系 ， 找 最好 是列 成表格 ， 出线 性 约 束 条件 和所 研究 的 列 目标 函数 ， 通过 数形 结合解 答 问题 ．
则 满 足 的 关 系 为
ｆ ＋ｙ ０ ｆ ０ ５ ６≥５ Ｌ ６ ， ， ｚ ≥１ ＋ ｛ ２ ≥ ４即 ＋ ４ ＋０ ０ ｛ ２ ， ０ ’ ≥１ 【 ， ， ｌ ， ． ≥０ ≥ｏ ｚ ≥ｏ ≥０
作 出不 等 式组 表 示 的平 面 区域 ， 目标 函数 将
Ｊ 号 一 交 ． １的 点 ＋ｙ Ｏ ．
ｌ＋２ 一１ ４
（ ，） ， 线 ｚ ４５ 时 直 在 轴 上 的 截 距 最 小 ， 时 的 目标 此 函 数 ｚ一 ２ ０ ０ ｘ＋ ３ ０ ０ ｙ取
图 ７
黎卡提方程的初等解法
黎卡提方程的初等解法摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。
关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程0. 引言常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。
微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。
在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。
微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。
到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。
例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。
求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。
意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。
达朗贝尔在 1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程'2y =p(x)y (x)y+r(x)q + 不同于线性微分方程'y =(x)y+r(x)q 之处是还多含一项2p(x)y ，但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。
文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。
美国数学试卷九年级【含答案】
美国数学试卷九年级【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是素数？A. 21B. 23C. 27D. 302. 如果一个三角形的两边长分别是8cm和15cm，那么第三边的长度可能是多少？A. 3cmB. 10cmC. 23cmD. 17cm3. 下列哪个函数是增函数？A. y = -2x + 3B. y = x^2C. y = -x^2D. y = 1/x4. 一个圆的半径增加了50%，其面积增加了多少？A. 50%B. 100%C. 150%D. 200%5. 如果一个事件A的概率是0.2，那么事件A不发生的概率是多少？A. 0.2B. 0.8C. 1D. 0二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）2. 平行四边形的对角线互相平分。
（）3. 两个负数相乘的结果是正数。
（）4. 任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
（）5. 对数函数是单调递增的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 如果一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第10项是______。
2. 如果一个圆的直径是10cm，那么这个圆的面积是______cm²。
3. 如果一个事件A的概率是0.3，那么事件A发生3次的概率是______。
4. 如果一个函数的导数是2x + 3，那么这个函数是______。
5. 如果一个三角形的两个内角分别是30°和60°，那么第三个内角是______°。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是素数。
2. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。
3. 解释什么是概率。
4. 什么是导数？给出一个函数的导数的例子。
5. 解释什么是相似三角形。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
2. 一个圆的半径是7cm，求这个圆的面积。
3. 如果一个事件A的概率是0.5，那么事件A发生5次的概率是多少？4. 如果一个函数的导数是3x^2 2x + 1，那么这个函数是什么？5. 如果一个三角形的两个内角分别是45°和45°，那么这个三角形是什么类型的三角形？六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析并解释为什么平行四边形的对角线互相平分。
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一道《美国数学月刊》征解题的初等解法
苏立志
（黑龙江省大庆实验中学 163316）
问题 ,,(0,)x y z ∈+∞且222
1x y z ++=，求函数f x y z xyz =++-的值域．
此问题最早出现在《美国数学月刊》问题征解中，后又出现在中国不等式研究小组网站上寻求初等的解法.文[1] 、
[2]分别给出了求f 上界的抽屉原则解法.但文[1]作者把“抽屉原则用于证明不等式，实属罕见”说成是“至今无人给出它的初等解法的原因所在”，笔者觉得此话值得商榷.事实上，文[2]、[3]都曾各自给出过另外初等解法.笔者对此题也做了几番独立探索，并最终获得了一种更简洁的初等解法．．．．
，现行成文，仅供参考. 解 首先求f 的最优上界.
注意到如下两个恒等式
()()()()()abc a b c ab bc ca a b b c c a =++++-+++ ① 3333
3()()()()()a b b c c a a b c a b c +++=++-++ ② 于是，
f x y z xyz =++-
()()()()()()x y z x y z xy yz zx x y y z z x =++-++++++++（运用①）
2221()()
(1222)()()()2x y z x y z x y z xy yz zx x y y z z x =++-++++-+++++++（2221x y z ++= ） 21
()()[()1]()()()2x y z x y z x y z x y y z z x =++-++++-++++ 333331311()()()()2233x y z x y z x y z x y z =-
++++++++-++（运用②） 33331
3
1
()()()623x y z x y z x y z =-+++++-++
由幂平均不等式得
111
333322222()()(1)333x y z
x y z
+++=+≥， 化简得
3331
(9)3x y z ++≥.
从而
31
3
()()629f x y z x y z ≤-+++++-
21
((69x y z x y z =-++-++++
9≤，
即 9f ≤.
再者，注意到上文所有的“≤”与“≥”中等号成立的充要条件均为3x y z ===
f 9
下面求f 的下界(见文[1]、[2]).
显然0,,1x y z <<，所以22,y y z z >>.于是，
f x y z xyz =++- 222
y z
x y z x +≥++-⋅ 2222
1(1)2x
x y z x x y z -≥++-⋅++= 212x
x y z +=⋅++
x x y z ≥⋅++
222
1x y z >++=. 所以，1f >，且易知当1x →或1y →或1z →（满足2221x y z ++=）时，1f →，由对称性可知，1是f 的最优下界.
综上所述，f 的值域为(1,
9. 参考文献
1 李建潮．一道美国数学月刊问题的初等解法 [J]．数学通报，2010，8
2 张艳．一道美国数学月刊问题的初等解法探究[J]．中学数学月刊，2010，2
3 梁开华．也谈一道美国数学月刊征解题的解法[J]．中学数学月刊，2010，3
4 苏立志．教师也应作自己的解题记录[J]．数学通报，2009，10。