初等数学与解题研究解析

• “数学学习中真正发生数学的地方都一无 例外地充满着数学解题活动。
• “数学教育应该以解题为中心” • “解题教学正是达到教学目的的最好手段”
• 解题对原有知识和技能的应用 • 可保持并巩固相应知识的记忆 • 提高相应技能的熟练程度
• 通过解题教学还可使学生提高和发展推理能力、 化归能力、形式化处理问题的能力、分析和解决 问题的能力
数学解题的基础
一、知识结构
二、思维能力
三、经验题感
四、情感态度
初等数学研究
有理数——有理数的概念 定理1 有理数集是一个有序集，即 (1)对于任意两个有理数a，b，有且仅有下列情况之一成立： a＞b，b＞a，a=b． (2)对于任意三个有理数 a，b和c，若a＞b，b＞c，则a＞c． 有理数集的性质
(4)分数值相等的分数，只保留最前边的一个．
学习的范围
bm b
bm b
证明 2：（分析法） 等价变形 1 交叉相乘，原不等式等价于
b(a+m)>a(b+m)<=>ab+bm>ab+am<=>bm>am<=>b>a 由条件知显然成立，得证。 等价变形 2 ∵a＜b，m＞0，∴am＜bm ∴am＋ab＜bm＋ab ∴a(b＋m)＜b(a＋m)，即 b(a＋m)＞a(b＋m)， ∴(a＋m)/(b＋m)＞a/b
1．有理数集是一个数域(记为Q)，且是最小数域． 2．有理数域是有序域． 3．有理数域具有阿基米德性质．
“阿基米德性质”——即设a，b为任意两个自然数，则存 在自然数n，使得nb＞a 有理数域具有阿基米德性质，即对于任意的正有理数a，b， 必存在n∈N，使na＞b．
4．有理数域具有稠密性．
有理数域具有稠密性，即任意两个有理数a，b(设a＜b)之 间总存在无限多个有理数．
2
2
由于三线 OA、OB,OC 的斜率满足 KOA＜KOC＜KOB，
故得 1 a m a
bm b
• 学生的解题是为什么？ • 教师的解题又是为什么？
数学解题的目的
• 美国数学家哈尔莫斯（P.P.Halmos） 说： “数学的真正组成部分应该是问题和解， 解题才是数学的心脏。”
• 美籍匈牙利数学家、数学教育家G·波利亚 （George Polya）称：“掌握数学就意味 着善于解题。”
• 解题教学不仅要向学生暴露“怎样解题”的思维 过程，还要向他们展示“为什么这样解”以及 “怎样学会解”的解题认知结构建构的思维方法， 教师应尽量让学生的解题思维活动显性化，也就 是多让学生进行交流思考，使学生清晰地认识到 自己解决问题的依据、步骤、原因和所产生的思 维障碍。换言之，解题教学的金科玉律是达到对 学生思维训练的目的，因而，解题教学本质上应 该是一种思维教学。
初等数学与解题研究
第一讲 解题研究和初等数学概论
为什么要解题
证明 1（比较法）
作差法
原式 = (am)b a(bm) m（b-a） (bm)b (bm)b （bm）b
因为 m＞0,且 b＞a，所以 m(b-a)＞
0 ，所以（mb（mb）-a）b m(b-a)＞0
所以 a m a ＞0，即 a m a
证明 4：定比分点法
由am bm
a bBiblioteka m b1，可知
a
m
1 m
bm
分a b
与
1
为定比
b
λ= m ＞0， b
所以，a b
m m
在
a b
与
1
之间（内分点），所以1
a b
m m
a b
证明 5：数形结合法
在直角坐标系中，设 A（b，a）、B（m,m），
则 AB 的中点 C（ b m ， a m ），
5．有理数集是可数集．
一切能与正整数集建立一一对应关系的集合叫做可数集．把一切正 有理数写成既约分数m/n的形式，按以下的方法来排列所有的有理数：
(1)0排在最前边；
(2)对于正分数，按照它的分子与分母的和的大小排列，较小的和排在 前边，较大的和排在后边．如果和相等，分子大的排在前边；
(3)对于负分数，把它紧排在与它的绝对值相等的正分数的后边；
• 第一，解题教学是解题活动的教学，而活动的本质属性是 解题思维的活动。因此，解题教学就其本质来说，是对解 题思路的分析活动，是对解题方法的感悟与思考，是对学 生解题思维活动的调动与展开，从而达到对学生理解及概 括水平的培养。
• 第二，解题教学是学生解题思维认知结构建构的过程教学。 奥加涅相在《中小学数学教学法》中曾指出：“思维和解 题过程的密切联系是公认的。著名心理学家O.K.吉霍米诺 夫也具体地阐述过这种联系：‘在心理中，思维被看作是 解题活动。’虽然思维并非总等同于解题过程，但是有理 由断言，思维形成最有效的办法是通过解题来实现。
• 因此，数学教育中解题教学几乎成了实现数学教 学目的的必不可少的手段。
解题教学是模仿教学，还是思维教学
• 解题教学是模仿教学？？？？
• 模仿教学，简单地说，就是解题教学以教 师课堂解例题为示范，学生课后模仿练习 为主，把教学建立在学生的模仿性、被动 性和依赖性上，实质是一种接受学习。
• 17 世纪捷克教育家夸美纽斯
解题教学是思维教学
• 思维教学，是指解题教学不仅在于解题基本活动 形式本身，更重要的是解题认知活动思维的产生， 实质上是一种发现式学习。思维教学最早可以追 溯到苏格拉底的“产婆术”，18世纪法国启蒙运 动思想家、教育家卢梭曾倡导发现教学，现代美 国教育心理学家布鲁纳则对发现学习有过精辟的 论述。思维教学是建立在以建构主义为基础的认 知心理学的基础之上的，认为解题教学就是解题 思维认知结构的变化。
• 美国心理学家奥苏贝尔对接受学习有系统 论述。
• “模仿教学”以行为主义学习理论为基础， 认为解题教学就是解题教学行为上“刺 激—反应”的变化。
• 模仿教学对数学等学科教学实践有很大影响，许 多教师认为解题教学就是教师例题示范，学生练 习模仿，课堂教学就是给学生讲清解题思路与步 骤，学生解题时模仿效法。持这种观点的人们认 为，中小学生具有较大的可塑性，模仿能力强， 在解题教学中，不需要向学生解释过多的道理， 只要认真做好解题步骤、思路和解法等方面的示 范，让学生进行模仿，就可以巩固数学知识，掌 握解题方法，实现解题教学的目的。