平面向量的数量积与平面向量应用举例 (9)
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
4-3第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例2015年高考总复习)
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4．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a· b＝________.
3 解析 a· b＝2× 3× 2 ＝3.
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高考这样考 1.直接利用数量积进行平面向量的运算． 2.利用平面向量的数量积计算两个向量的夹角问题． 3.利用平面向量的数量积解决垂直问题.
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备考这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法． 2.理解数量积的运算性质． 3.利用数量积解决向量的几何问题.
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D 读教材· 抓基础
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【答案】
(1)－25
5 (2) 2
【规律方法】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义； 利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度 创造性地解题，充分利用了已知条件．
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→ → 方法 2：由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB方向上的投 影都是 CB＝1，
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计 方法备考题型一 平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二 利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四 平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：45 高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。
向量的向量积及应用例举专题讲解
平面向量的数量积及应用举例考纲解读 1.利用向量数量积的定义或坐标求数量积；2.利用向量数量积的运算求向量夹角及模；3.利用数量积的运算研究垂直关系及图形特征．[基础梳理]1．向量的夹角3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 ①e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. ②cos θ＝a ·b|a ||b |.③a ·b ≤|a ||b |. 4．数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 5．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则1．设a ＝(3，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，－33，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案：B2．已知a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( ) A. 5 B ．5 C ．± 5 D ．±55答案：D3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )·a 等于( ) A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－78 答案：A4．(必修4·习题2.4A 组改编)已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 答案：π35．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝__________.答案：7[考点例题]考点一 平面向量数量积的运算|方法突破[例1] (1)(2017·邢台模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94B.94C.274D ．－274(2)在菱形ABCD 中，对角线AC ＝4，E 为CD 的中点，则AE →·AC →＝( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14(3)如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________.[解析] (1)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则有CD ＝AC ·sin 30°＝32.∴CD →·CB →＝|CD →|·|CB →|·cos ∠BCD ＝|CD →|2＝94.故选B.(2) (坐标法)特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A (0,0)，C (22，22)，E (2，22)，所以AC →＝(22，22)，AE →＝(2，22)，所以AC →·AE →＝22×2＋22×22＝12，故选C.(3)法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则M (－2,0)，N (2,0)，C (－3,33)，D (3，33)，所以MC →＝(－1,33)，ND →＝(1,33)，MC →·ND →＝－1＋27＝26.[答案] (1)B (2)C (3)26 [方法提升]解决平面向量数量积问题的常用方法技巧 技巧解读适合题型定义法利用定义式a ·b ＝|a |·|b |cos θ求解．定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解一般通过具体的图形可确定.适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法利用坐标式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题．坐标式的特点是具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解，即向量问题“坐标化”. 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题转化法求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算.适用于直接求解不易，而转化为其他向量的数量积的有关计算问题[母题变式]1．将本例(2)改为： 在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF →＝________.解析：法一：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝12AB 2→＋12AD 2→＝1. 法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立坐标系(图略)， 则E ⎝⎛⎭⎫1，12，F ⎝⎛⎭⎫12，1. ∴AE →·AF →＝1×12＋12×1＝1.答案：12．在本例(1)中条件不变，求CA →·AD →. 解析：在Rt △ADC 中，AD ＝3 cos 30°＝332， 而〈CA →，AD →〉＝150°，∴CA →·AD →＝|CA →|·|AD →|·cos 150°＝3×332×⎝⎛⎭⎫－32＝－274.考点二 向量的模、夹角、垂直问题|方法突破命题点1 向量的模的计算[例2] (1)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A.3 B ．23 C ．4D ．12 (2)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] (1)由已知|a |＝2，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB →＝(a －2，b )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(a －6，b )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12a ＋37， 所以当a ＝－1时，此式有最大值49＝7. [答案] (1)B (2)B [方法提升]求向量模的常用方法[跟踪训练]1．(2017·洛阳统考)若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ<0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.答案：A2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32，得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b ＝25＋9－10×⎝⎛⎭⎫－32＝7. 答案：7命题点2 向量的夹角计算[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π[解析] 设a 与b 的夹角为θ， |a |＝223|b |，因为(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. [答案] A(2)(2017·沈阳教学质量监测)已知两个非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，且2|a |＝|b |，则〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 法一：由题知a 2＝a ·b ，而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝|a |22|a |2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°，故选B.(定义法)法二：作OA →＝a ，∵a ⊥(a －b )， 作AC →⊥OA →，则CA →＝a －b ，∴OC →＝b ，又∵|b |＝2|a |，即|OC →|＝2|OA →|，在Rt △OAC 中，∴∠AOC ＝60°，即〈a ，b 〉＝60°.(数形结合法) [答案] B [方法提升] 求向量夹角的方法方法 解读适合题型 定义法 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |适用于向量的代数运算 数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算[跟踪训练]3．在典例(1)中，将条件“|a |＝223|b |”换成“(2b －3a )⊥b ”，其他不变，则两个向量的夹角θ为__________．解析：由(2b －3a )⊥b 得(2b －3a )·b ＝0， 所以2b 2－3a ·b ＝0，① 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.② 由①②联立得|a |＝223|b |，代入①得 cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 答案：π44．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案：90°命题点3 向量的垂直问题[例4] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 (2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λ AB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为__________．[解析] (1)设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73.(2)由AP →⊥BC →，知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λ AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λ AB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)D (2)712[方法提升][跟踪训练]5．(2018·西安质检)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b, 则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a·b ＝2×2cos 60°＝2，所以a·b ＝－1，故B ，C 错误．故应选D.答案：D6．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．3 5 B ．32 C ．2 5D.10解析：由题意得a －2b ＝(－2－2k,7)， ∵(a －2b )⊥c . ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0，解得k ＝6， 所以|b |＝62＋(－3)2＝35，选A. 答案：A考点三 向量与三角函数、三角形的综合|模型突破角度1 向量与三角函数的综合[例5] 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )． (1)求函数f (x )的最小正周期和函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝a ·b ，a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.因为0≤x ≤π， 所以π6≤2x ＋π6≤13π6，由π6≤2x ＋π6≤π2或3π2≤2x ＋π6≤13π6， 可得0≤x ≤π6或2π3≤x ≤π.所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)因为0≤x ≤π6，所以π6≤2x ＋π6≤π2，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以m ＋2≤f (x )≤m ＋3. 因为－4<f (x )<4恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4，m ＋2>－4，解得－6<m <1.所以实数m 的取值范围为(－6,1)． [模型解法]角度2 向量与三角形的综合[例6] (1)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)(2)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3[解析] (1)由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0知，N 为△ABC 的重心，因为P A →·PB →＝PB →·PC →，所以(P A →－PC →)·PB →＝0，所以CA →·PB →＝0，所以CA →⊥PB →，即CA ⊥PB ，同理AP ⊥BC ，CP ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．(2)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0， 即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， 因为π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.[答案] (1)C (2)C [模型解法]向量的运算本身就涉及到三角形，解决其交汇问题的关键点： (1)转化，向量的模与三角形边长的转化， 向量的夹角与三角形内角的转化(2)结合，结合向量的运算法则，化为边角关系，结合三角形的正、余弦定理，求解边，角．(3)检验，结论是否符合向量的概念，是否符合三角形的知识．[高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析： 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B. 答案：B[真题感悟]1.[考点一](2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A.答案：A2.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：73.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.答案：24.[考点三](2017·高考北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为__________．解析：法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2，cos θ＝AQ AP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.法二：因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤a <2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．答案：65.[考点一、三](2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2 DC →，AE →＝λ AC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为__________．解析：由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC → ＝AB →＋23(AC →－AB →) ＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λ AC →－AB →) ＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311. 答案：311。
全国理数第23课 平面向量的数量积和平面向量的应用
数学 低段
第23课 第（1）题
P122
6
四组题讲透
数学 低段
第23课 第（1）题
P122
7
四组题讲透
数学 低段
第23课 第（1）题
P122
8
四组题讲透
数学 低段
第23课 第（1）题
P122
9
四组题讲透
数学 低段
第23课 第（1）题
P122
10
数学 低段
第23课 易错提醒
P122
11
数学 低段
P44
115
课后提分练
A
数学 低段
第23课 第13题
P44
116
课后提分练
A
数学 低段
第23课 第13题
P44
117
课后提分练
数学 低段
第23课 第14题
P44
118
课后提分练
1
1
16
2
数学 低段
第23课 第14题
P44
119
课后提分练
数学 低段
第23课 第15题
P44
120
课后提分练
P123
29
四组题讲透
数学 低段
第23课 第（6）题
P123
30
四组题讲透
数学 低段
3
第23课 第（6）题
P123
31
四组题讲透
1
B
数学 低段
第23课 第（7）题
P123
32
数学 低段
第23课 小积累 P122
33
四组题讲透
5
数学 低段
23 第23课
第（8）题 P123
平面向量的数量积及平面向量的应用举例
3．求向量模的常用方法：利用公式 |a|2＝a2，将模的运算转化为向量数量 积的运算．
失误防范
1．零向量：(1)0 与实数 0 的区别，不可 写错：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·＝ 0 0≠0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方 向，0 与任何向量平行，我们只定义了非 零向量的垂直关系．
课前热身
1．若向量a，b，c满足a∥b 且a⊥c，则c· (a＋2b)＝( )
A．4
C．2
B．3
D．0
答案：D
2．已知向量 a，b 满足 a· b＝0，|a|＝1， |b|＝2，则|2a－b|＝( A．0 C．4 ) B．2 2 D．8
答案：B
3． (2011· 高考大纲全国卷)已知抛物线 C： y2＝4x 的焦点为 F，直线 y＝2x－4 与 C 交于 A，B 两点，则 cos∠AFB＝( 4 3 A. B. 5 5 3 4 C．－ D．－ 5 5 )
a· b 2 则 cosθ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1× 2 π 又 θ∈[0，π]，∴θ＝ . 4 π 即 a 与 b 的夹角为 . 4
1 2
(2)∵(a－b)2＝a2－2a· 2 b＋b 1 1 1 ＝1－2× ＋ ＝ ， 2 2 2 2 ∴|a－b|＝ ， 2 ∵(a＋b)2＝a2＋2a· 2 b＋b 1 1 5 ＝1＋2× ＋ ＝ ， 2 2 2
量积等于0说明两向量的夹角为直角,
数量积小于0且两向量不共线时两向量
的夹角是钝角．
考点3 两向量的平行与垂直关系
向量的平行、垂直都是两向量关系中 的特殊情况，判断两向量垂直可以借 助数量积公式．如果已知两向量平行 或垂直可以根据公式列方程(组)求解
例3
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
添加 标题
定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
添加 标题
计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
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课时跟踪检测(二十二) 简单的三角恒等变换1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 D.3π4C.π3D.π62.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α 3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．14．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.345．(2012·广东命题研究专家原创卷)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C ．－12或32D.52或326．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3 7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________.8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 9．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.10．(2012·深圳调研)已知向量a ＝(cos ωx ，3sin(π－ωx ))，b ＝⎝⎛⎭⎫cos ωx ，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋ωx ，ω>0，函数f (x )＝2a·b ＋1的最小正周期为2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上的取值范围．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．12．(2012·东莞质检)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．1．(2012·梅州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2.3－sin 70°2－cos 210°等于( )A.12B.22 C ．2D.323．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(二十二)A 级1．选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2．选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．选C f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12，由题意得，m 为函数f (x )的最大值或最小值，所以m ＝－12或m ＝32.6．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．解：(1)f (x )＝2a·b ＋1＝2⎣⎡⎦⎤cos 2ωx ＋3sin (π－ωx )·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋ωx ＋1 ＝2cos 2ωx ＋23sin(π－ωx )sin ⎝⎛⎭⎫π2＋ωx ＋1 ＝cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋2 ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋2 ＝2⎝⎛⎭⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋2. 因为函数f (x )的最小正周期为2，且ω>0，所以2π2ω＝2，解得ω＝π2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＋2， 因为0≤x ≤12，所以π6≤πx ＋π6≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6≤1， 因此3≤2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＋2≤4，即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上的取值范围为[3,4]． 11．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α) ＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. 12．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2. B 级1．选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P|＝2π.2．选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2.3．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin2x ＋π3－m .又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1， 所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。