于品数学分析讲义
于品数学分析讲义
《于品数学分析讲义》是一本经典的数学分析专著，由于作者于品考虑到读者能力不同，在讲义中拓展了最基本的数学分析内容，帮助读者快速掌握、运用数学分析，被誉为“数学分析初学者的经典教材”。
首先，《于品数学分析讲义》从最基础的概念入手，以及有关线性代数和微积分的练习，使读者可以深入了解数学分析，获取有关线性代数和微积分的基本概念和知识，为之后更深入的学习奠定良好的基础。
其次，《于品数学分析讲义》具有丰富的实例和例题，使读者可以熟练掌握和使用数学分析的原理和方法，这在学习过程中起到了巨大的作用。
此外，《于品数学分析讲义》的内容包括多种数学函数的探讨，深入的讨论和分析，以及丰富的数学解决问题的策略，提供了广泛的数学分析内容，为读者提供了全面硬核的数学分析学习素材和方法。
最后，《于品数学分析讲义》从概念到例题到实例到问题，从理论到实践，系统性的讲解数学分析的基本概念和知识，帮助读者更好地掌握和运用数学分析知识，这使得《于品数学分析讲义》在数学分析初学者中拥有极高的口碑，被誉为“数学分析初学者的经典教材”。
综上所述，《于品数学分析讲义》不仅是一本经典的数学分析教
材，而且拓展了最基本的数学分析内容，帮助读者快速掌握、运用数学分析，为读者提供了全面硬核的数学分析学习素材和方法，深受广大数学分析初学者的喜爱和推崇。
国家精品课程 《数学分析》陈纪修
第十二章 第一节 偏导数与全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第十二章 第二节 多元复合函数的求导法则（1）（2）
第十二章 第三节 中值定理与Taylor公式（1）（2）
第十二章 第四节 隐函数（1）（2）（3）（4）
第十二章 第五节 偏导数在几何中的应用（1）（2）（3）
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
第七章 第二节 定积分的基本性质（1）（2）
第七章 第三节 微积分基本定理（1）（2）（3）（4）
第七章 第四节 定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）
第七章 第五节 微积分实际应用举例（1）（2）
第七章 第六节 定积分的数值计算（1）
第八章 反常积分
数学分析录象目录
第一章 集合与映射
第一章 第一节 集合（1）（2）（3）
第一章 第二节 映射与函数（1）（2）（3）
第二章 数列极限
第二章 第一节 实数系的连续性（1）（2）
第二章 第二节 数列极限（1）（2）（3）（4）
第二章 第三节 无穷大量（1）（2）
第五章 第一节 微分中值定理（1）（2）（3）（4）
第五章 第二节 L’Hospital 法则（1）（2）
第五章 第三节 Taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）
数学分析报告(3篇)
数学分析报告（3篇）数学分析报告（精选3篇）数学分析报告篇1动手做题巩固了基础概念后，就应该把“理论”与“实际”结合起来了，也就是做题，做题是最好的检验基础是否扎实的方法。
做题可以掌握做题的方法，积累解题的思路，对所学内容逐步进行练习，最后达到看到题目就可以将步骤一字不差的解出来。
这个阶段做题主要做课本上的例题还有课后的练习题。
很多考生喜欢看题，对照着答案看了一遍觉得懂了，这样做是不对的。
不实际的做题是肯定不会知道自己到底是在哪一步卡住而使题做不下去了。
所以一定要动手做题，“眼高手低”是复习中的大忌。
通过做题也可以透彻理解各章节的知识点及其应用，达到相辅相成的理想复习效果。
第一遍复习时，需要认真研究各种题型的求解思路和方法，做到心中有数，同时对自己的强项和薄弱环节有清楚的认识，这样在第二遍复习的时候就可以有针对性地加强自己不擅长的题型的练习了，经过这样的系统梳理，相信解题能力一定会有飞跃性的提高。
做历年真题在做真题的.时候一定要全身心的投入，把每一年的真题当做考试题来做，把握好时间，将做每份真题的时间控制在两个半小时之内，做完之后按照考研阅卷人给出的评分标准对自己的试卷进行打分，记录并分析试卷中出错的地方，找出与阅卷人所给答案不符合的地方，逐渐完善自己的做题思路，逐渐向阅卷人的思路靠拢。
另外除了做真题之外大家还要学会总结归纳历年真题，将历年真题中的考点列成表格，这样可以有助于大家预测考点。
做全真模拟题与参考书基础题其次，要做典型题。
做题时要有这样一种态度：做题是对知识点掌握情况的检验，在做题过程中不能只是为了做题而做题，要积极、主动的思考，这样才能更深入的理解、掌握知识，所学的知识才能变成自己的知识，这样才能使自己具有独立的解题能力。
从历年的考研真题来看，线性代数的计算量比较大，但出纯计算的可能性比较少，一般都是证明中带有计算，抽象中夹带计算。
所以考生在做题时要注意证明题的逻辑严紧性，掌握一些知识点在证明一些结论时的基本使用方法，虽然线性代数的考试可以考的很灵活，但这些基本知识点的使用方法却比较固定，只要熟练掌握各种拼接方式即可。
数学分析课件第12章
根据α(y)β(y)的连续性可知，当y→y0时， 右端→0，从而 lim I 2 ( y ) = 0, lim I 3 ( y ) = 0 ,即证。 y→ y y→ y
0 0
定理5 定理5
设 f ( x, y ) 与 f y′( x, y ) 都在闭矩形：a≤x≤b， c≤y≤d上连续,又设α(y),β(y)在c≤y≤d 上有连续的导函数，且满足 a≤α(y)≤b,a≤β(y)≤b (c≤y≤d),则 函数I(y)在[c,d]上有连续的导函数，且
∀ε > 0 ,由f(x,y)在闭矩形上连续可得一致 连续，因此，必有δ>0存在，使当 ∆y < δ 时，对一切 x(a ≤ x ≤ b) 都有 ε f ( x, y0 + ∆y ) − f ( x, y0 ) < ∆y < δ b − a ,从而当
b
I ( y0 + ∆y ) − I ( y0 ) = ∫ [ f ( x, y0 + ∆y ) − f ( x, y0 )]dx
证明： 证明：
∀y0 ∈ [ c, d ] ,需证 lim I ( y ) = I ( y0 )
α ( y0 )
y → y0
I ( y) = ∫ =∫
β ( y0 ) α ( y0 )
α ( y)
f ( x, y )dx + ∫
β ( y) β ( y0 )
β ( y0 )
α ( y0 )
f ( x, y )dx + ∫
I ( y ) = I1 ( y ) + I 2 ( y ) − I 3 ( y ) ,则
′ ′ I ′( y ) = I1′( y ) + I 2 ( y ) − I 3 ( y )
《数学分析》14无穷小量与无穷大量word精品文档6页
§５ 无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。
会利用它们求某些函数的极限。
教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。
引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列。
通过前面几节对函数极限的学习。
我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。
例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=L我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。
既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。
一、无穷小量1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义。
若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。
记作：0()0(1)()f x x x =→.（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。
例：(1,2,),sin ,1cos k x k x x =-L 都是当0x →时的无穷小量；是当1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量。
2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1sinx是当0x →时的有界量，即1sin(1)(0)O x x=→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。
一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。
于品数学分析讲义
于品数学分析讲义
《于品数学分析讲义》是一本涵盖数学分析基础知识的课本，由日本数学家于品勤培写作，是日本高校数学分析课程的重要参考资料。
书中涉及到一系列经典话题，包括线性代数，微积分，实变函数，虚变函数，复变函数等。
本书为初学者提供了较为系统的学习指导思路，从简单的算术操作引出数学概念，并深入讨论知识细节，以期帮助读者完全掌握理论知识。
首先，本书从定积分开始，列出求积分的常用方法，包括无穷级数法，函数级数法，变量变换法等，详细讨论了每种方法在计算时需要注意的细节。
其次，书中深入讨论实变函数的属性，介绍了复变函数的基本概念，以及虚变函数的概念和用法。
最后，书中给出了许多关于微积分的有趣的实例问题，以及解答，帮助读者完善对数学分析的理解。
于品数学分析讲义全面论述了数学分析的基本概念和运用，着重讨论各种方程解法并给出了有趣的实例问题，使得该书成为日本高校数学分析课程的重要参考资料。
于品数学分析讲义也被众多国际大学深受欢迎，例如美国的哈佛大学、波士顿学院、加州大学伯克利分校等。
除了数学爱好者和研究者，普通的大学数学生们也可以从这本书中受益，从而为其今后的学术学习打下基础。
总之，《于品数学分析讲义》是一本包含涵盖数学分析基础知识
的课本，从简单的算术操作引出数学概念，到深入探讨细节，从复变函数和虚变函数，到有趣的实例问题，都有较为详细的论述。
它是日
本高校数学分析课程的重要参考资料，也被众多国际大学深受赞誉，普通的大学数学生们也可以从这本书中受益。
因此，《于品数学分析讲义》是比较值得推荐的宝贵资料。
于品数学分析讲义pdf
于品数学分析讲义数学分析是现代数学的重要分支之一，它以数学符号和符号语言为基本工具，对数学中一些基本概念、定理、方法进行深入研究，旨在建立更完善的数学理论体系。
本讲义将为大家介绍数学分析中的一些基本概念和定理。
一、极限与连续极限是数学分析中最重要的概念之一。
在极限的定义中，或者通过函数极限或序列极限的概念，给出了一个不断逼近的过程。
极限的概念在微积分学和实分析学的研究中起到了关键性的作用。
连续是另一个重要的概念。
在分析中，一个函数被称为连续的，如果它在其定义域的每个点都有一个极限，并且这个极限等于函数在这个点的函数值。
基于连续性概念，可建立导数、积分等概念。
二、导数与微分导数是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在给定点的局部变化率。
导数在几何学中有着广泛应用，能标识曲线在给定点处的斜率。
基于导数概念，我们可以研究函数的单调性、函数的极值、泰勒公式等一系列问题。
微分是导数的积分。
在微积分中，微分是一个重要的工具，能够计算和协调连续函数和一些非常小的函数值变化。
微分的重要性在于它让我们得以计算复合函数的导数、微分方程等。
三、积分与测量积分是一种离散函数值的求和方法通过逐渐取函数值的一个序列的极限，从而定义连续函数的积分。
基于这一概念，我们可以计算曲线下方或上方的面积，计算函数区间内某一特定范围内的总变化量等。
测度是用于描述空间中的点集大小的数学概念。
在实分析中，测度是广泛使用的，用于测量几何对象的大小。
测度理论已经在概率论、数值分析和信号处理等领域得到了广泛的应用。
总之，数学分析是数学中的一个基础分支，它涉及许多不同领域，如微积分学，实分析学，复分析学等。
它提供了一种独特的数学形式化工具，帮助我们在更加理性和科学的基础上了解世界，发现新的数学定理和推广不同的数学方法，从而为未来的数学建设提供了强有力的基础。
数学分析教学课件—15-3
2 k1
2sint
(9)
2
这就得到
Sn(x)=π1
π π
f(xt)sin2snint12tdt.
2
(8)式也称为 f 的傅里叶级数部分和的积分表达式.
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现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下: 定理15.3 若以2 π 为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段 光滑, 则在每一点 x [π,π],f的傅里叶级数收敛 于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
它对任何正整数m成立.
而
1 π
π [ f(x)]2dx为有限值,
π
所以正项级数
a02
2
(an2
n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn2)
的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立.
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推论1 若 f 为可积函数, 则
lni m ππf(x)cosnxdx0,
π
(5)
lim f(x)sinnxdx0,
式.
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证令
S m (x)a 2 0n m 1(anco sn xb nsin n x)
考察积分
ππ[f(x)Sm(x)]2dx
π π f 2 ( x ) d x 2 π π f ( x ) S m ( x ) d x π π S m 2 ( x ) d x .( 2 )
由于
π πf(x )S m (x )d xa 2 0 π πf(x )d x
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m π
π
(a n π f(x )c o s n x d x b n π f(x )s in n x d x ),
n 1
根据傅里叶系数公式(§1(10))可得
自然科学 学术著作
法兰西数学精 品选译
线性与非线性泛函分析及其应用 （ 上册）
Ｐｈｉｌｉｐｐｅ Ｇ． Ｃｉａｒｌｅｔ 著， 秦铁虎、童裕孙 译
８９．００
２０１７．０６
法兰西数学精 品选译
代数学教程
Ｒ． 戈德门特 著
８９．００
２０１３．０６
法兰西数学精 品选译
谱理论讲义 （第二版）
Ｊ． 迪斯米埃 著
３９．００ ２０１３．０１ 法兰西数 学 精 品选译
６８．００ ２０１０．０４ 俄罗斯数 学 教 材选译
复变函数论方法 （第 ６ 版）
М． А． 拉夫连季耶 夫等
６８．００
２００６．０１
俄罗斯数学教 材选译
常微分方程 （第 ６ 版）
Л． С． 庞特里亚金
３５．００
２００６．０６
俄罗斯数学教 材选译
偏微分方程讲义 （第 ３ 版）
О． А． 奥列尼克
３２．００ ２００７．１１ 俄罗斯数 学 教 材选译
偏微分方程习题集 （第 ２ 版）
А． С． 沙巴耶夫
２９．００
２００９．０３
俄罗斯数学教 材选译
奇异摄动方程解的渐近展开
А． Б． 瓦西里耶娃 等 ３４．００
２００８．０１
俄罗斯数学教 材选译
线性空间引论 （第 ２ 版）
Г． Е． 希洛夫
４９．００ ２０１３．０７ 俄罗斯数 学 教 材选译
代数学引论 （第一卷） 基础代数 （第 ２ 版）
２０１１．０１
俄罗斯数学教 材选译
复分析导论 （第二卷） 多复变函数 （第 ４ 版）
Б． В． 沙巴特
４９．００
２００８．０１
俄罗斯数学教 材选译
函数论与泛函分析初步 （第 ７ 版）
数学分析讲义
例.
4 x 3 dx = x 4 + c ； ∫
∫ cos xdx = sin x + c
sin xdx = − cos x + c ； ∫ sec 2 xdx = tgx + c ∫
数学分析讲义
7.1 不定积分
注：不定积分与原函数的关系：不定积分是由所以原函数 组成的集合，而原函数是不定积分中的一个元素。 积分运算: 积分运算:
= f ( x )d x ) 则称函数 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 上的
原函数，或简称 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数。 原函数。 原函数
数学分析讲义
7.1 不定积分
′ 例如： ∀x ∈ R, (sin x ) = cos x.即sin x是 cos x的原函数
若 F ( x ) 是 f (x ) 的原函数，问： 1） F (x ) +1 是 f (x ) 的原函数 2） F (x ) +100 是 f (x ) 的原函数 3） F (x ) +c 是 f (x ) 的原函数
2
1 1- x
2
dx
1 2 = x (arc sinx ) + 2 1 − x 2 arc sinx - ∫ 1 - x 2 ⋅ dx 1− x2
= x (arc sinx ) + 2 ∫ arc sinxd 1 - x 2
2
= x(arc sinx) + 2 1 − x 2 arc sinx - 2x + C
x 1 = x arctan x − ∫ dx − (arctan x ) 2 1+ x2 2
= ∫ arctan xdx − ∫ arctan xd arctan x
7.4.2 超几何分布 -高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第三册)(解析版)
7.4.2超几何分布课程标准课标解读1．理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系；2．根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差；3．在实际问题中能用超几何概型解决实际问题.通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题.知识点1超几何分布1．定义：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝k n k M N MnNC C C --，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，即如果随机变量X 的分布列具有下表形式X01…mP00nM N MnNC CC--11nM N MnNC CC--…m n mM N MnNC CC--则称随机变量X服从超几何分布．2.均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN．3.对超几何分布的理解（1）在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.如果是有放回地抽取，就变成了n重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.（2）若随机变量X满足：试验是不放回地抽取n次；随机变量X表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.（3）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型.【即学即练1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．【解析】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．【即学即练2】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为1 7 .(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．【解析】(1)设甲班的学生人数为M ，则C 2MC 27＝M (M －1)42＝17，即M 2－M －6＝0，解得M ＝3或M ＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ服从超几何分布．∴P (ξ≥1)＝P (ξ＝1)＋p (ξ＝2)＝C 13C 14C 27＋C 23C 04C 27＝47＋17＝57.【即学即练3】有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是()A ．n B.(n －1)M N C.nMND.(n ＋1)M N【解析】设抽到的次品数为X ，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E (X )＝nMN.故选C 【即学即练4】某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.(1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；(2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设ξ表示参赛的男生人数，求ξ的分布列和数学期望【答案】(1)435；(2)ξ的分布列见解析，()1E ξ=.（1）从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队的抽取方法数为3377C C 1225⋅=，代表队中恰好有1名高一学生的抽取方式中，恰有1名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为123435C C C 120⋅⋅=，若学生为女生，则抽取方法数为312325C C C 20⋅⋅=，∴高一恰好有1名学生入选代表队的概率120204122535P +==；（2）依题意得，ξ的所有可能取值为0,1,2，则()2326C 310C 155P ξ====，()113326C C 3331C 155P ξ⨯====，()2326C 312C 155P ξ====，ξ∴的分布了如下：ξ12P153515()1310121555E ξ∴=⨯+⨯⨯.知识点2超几何分布和二项分布的区别和联系（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）；（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.注：（1）区别由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量X 服从二项分布，即(,)X B n p (其中Mp N=)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量X 服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.（2）联系二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当n 远远小于N 时，每抽取一次后，对N 的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.【即学即练5】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0,1,2，X 服从超几何分布．P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴X 的分布列为X 012P63130286511130∴X 的均值为方法一E (X )＝0×63130＋1×2865＋2×11130＝35.方法二E (X )＝2×1240＝35.(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0,1,2，且Y ～2，310，P (Y ＝k )＝C k 2310k×1－310－k，k ＝0,1,2，∴P (Y ＝0)＝C 02×7102＝49100，P (Y ＝1)＝C 12×310×710＝2150，P (Y ＝2)＝C 22＝9100.∴Y 的分布列为Y 012P4910021509100考点一对超几何分布的理解解题方略：判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．【例1-1】【多选】下列随机变量中，服从超几何分布的有()A ．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB ．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C ．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD ．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X【解析】依据超几何分布模型定义可知，ABD 中随机变量X 服从超几何分布．而C 中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．故选ABD变式1：下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的概率分布；（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的概率分布；（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的概率分布；（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．【答案】答案见解析【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．变式2：一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【答案】BX=表示从黑球编号为1,2,3,4,5中取3个黑球，【详解】对于①，当X表示最大号码，比如6而8X=表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③，X的可能取值为4,5,6,7,8，X=表示取出4个白球；45X=表示取出3个白球1个黑球；X=表示取出2个白球2个黑球；6X=表示取出1个白球3个黑球；7X=表示取出4个黑球；8因此X服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合，故选：B.考点二超几何分布的概率解题方略：求超几何分布的分布列的步骤【例2-1】某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.【解析】由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好学生中选取了3名”．【例2-2】一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是()A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．故选B【例2-3】在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.150B.125C.1825D.14950【解析】记X 为2张中的中奖数，则P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.故选C变式1：从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为()A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552【解析】设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.故选D变式2：在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为()A.542B.435C.1942D.821【解析】正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P ＝C 44C 410＝1210，当1个正品3个次品时，P ＝C 16C 34C 410＝24210＝435，所以正品数比次品数少的概率为1210＋435＝542.故选A.变式3：从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．【解析】(1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)，故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的分布列为X 012P28451645145变式4：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．【解析】(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，知X 的所有的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为X 123P153515变式5：吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．(3)设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.【答案】(1)2140(2)3985(3)分布列见解析，35【详解】（1）令A 表示事件“三个粽子中有1个肉粽”，从中任意选取3个有310C 120=种可能,其中恰有1个肉粽的可能选法有1237C C 63=种,∴由古典概型的概率计算公式有1237310C C 21()C 40P A ==.（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有33107C C 1203585-=-=种，所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有111221235323C (C C C )C C 39++=种，故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为3985.（3）由题意知，ξ可能取的值为0,1,2，则()328310C C ,0,1,2C k k P k k ξ-===∴0328310C C 7(0)C 15P ξ===，1228310C C 7(1)C 15P ξ===，2310218C C 1(2)C 15P ξ===，故ξ的分布列为：ξ012。