数学分析讲义第五版
华东师大第五版数学分析第一章第一节
令 = − , 则为正数且 = + , 但这与假设 < + 相矛盾. 从而
必有 ≤ .
1.2 绝对值与不等式
,
≥ 0,
定义: = ቊ
−, < 0.
实数绝对值的性质：
➢ 正定性: = − ≥ 0; 当且仅当 = 0时有 = 0.
其中0 , 0 为非负整数, , ( = 1,2, ⋯ )为整数, 0 ≤ ≤ 9, 0 ≤
≤ 9, 若有
= ,
= 0,1,2, ⋯
则称与相等，记为 = ；若0 > 0 或存在非负整数，使得
= ( = 0,1,2, ⋯ ) 而+1 > +1 ，
• 实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何, ∈ R, 若 > >
0, 则存在正整数, 使得 > .
• 实数集具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实
数, 且既有有理数，也有无理数.
• 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.
例2 设, ∈ R. 证明：若对任何正数, 有 < + , 则 ≤ .
似分别规定为
= −0 . 1 2 ⋯ − 10− 与ҧ = −0 . 1 2 ⋯ .
注：
0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ⋯
ҧ0 ≥ ҧ1 ≥ ҧ2 ≥ ⋯
实数的不足近似与过剩近似是用有限小数研究无限小数的重要
工具.
命题
设 = 0 . 1 2 ⋯ 与 = 0 . 1 2 ⋯为两个实数，则 >
的等价条件是：存在非负整数，使得
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册是数学系研究生必修课程之一，也是大学本科高等数学课程的进阶版，内容极为丰富，涉及微积分、级数、常微分方程等多个方面，是一门集分析和代数为一体的课程。
下面，我将对该课程进行精讲精练，以帮助学生更好地掌握和理解课程内容。
一、微积分微积分是数学分析的重要组成部分，是研究微小变化的一种数学方法。
在微积分中，常见的概念包括导数、积分、极限等。
1.导数导数是函数在某一点的变化率，表示为$f'(x)$。
导数的计算可以通过极限的方法得到，有如下公式：$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ 2.积分积分是函数与坐标轴所围成的面积，表示为$\int_a^bf(x)dx$。
积分的计算可以通过求解定积分的方法得到，有如下公式：$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$$其中，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，$x_i=a+i\Delta x$。
3.微积分的应用微积分在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以通过微积分计算对象的运动、速度、加速度等，从而研究物体的物理性质；在经济学中，可以通过微积分分析经济学模型中的生产函数、消费函数等，从而研究经济模型的特性。
二、级数级数也是数学分析中的重要组成部分，是相加无限项的数列。
在级数中，常见的概念包括收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等。
1.收敛和发散级数是收敛的，当且仅当它的部分和有界，表示为$\sum_{n=1}^\infty a_n$，其中$a_n$是级数的第$n$项。
级数是发散的，当且仅当它的部分和无界。
2.绝对收敛和条件收敛级数是绝对收敛的，当且仅当它的绝对值数列是收敛的，表示为$\sum_{n=1}^\infty|a_n|$。
数学分析讲义第五版上册课程设计
数学分析讲义第五版上册课程设计一、课程设计背景数学分析是理工类学科中的重要基础课之一，对于学生的数学素养和综合能力有着重要的影响。
本次课程设计旨在从数学分析的基础理论出发，通过实例演算和计算练习等多种形式，提高学生的数学分析能力。
二、教学目标1.了解数学分析的基本概念和方法，掌握数学分析的常用技巧。
2.能够分析和解决数学分析的实际问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
3.培养学生的自主学习和团队合作能力。
三、教学内容第一章函数与极限1.函数的概念与性质–函数的定义与表示方法–函数的分类与常见函数–函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）2.极限的概念与性质–极限的定义与表示方法–极限的常见性质（唯一性、保号性、夹逼准则等）–极限的计算方法（有理分式极限、无理式极限等）第二章导数与微分1.导数与微分的概念–导数的定义与表示方法–导数的几何意义与物理意义–微分的概念与计算方法2.导数的基本公式与性质–反函数的导数–复合函数的导数–隐函数的导数3.高阶导数–高阶导数的定义与计算方法–函数的泰勒公式与母函数第三章积分与应用1.积分的概念与基本定理–积分的定义与表示方法–积分的性质与计算方法2.定积分和不定积分–定积分的概念和性质–不定积分的概念和计算方法3.应用题–物理问题中的面积和体积问题–经济问题中的贡献问题–生物问题中的增长问题四、教学方法1.课堂讲授2.教师示范3.计算练习4.课后习题五、教学评价1.平时评分：考察学生对课堂知识的掌握情况和课外作业的完成情况。
2.期中考试：考察学生对前半学期内容的理解、运用和实践能力。
3.期末考试：考察学生对整个学期内容的掌握情况和数学分析能力的总体水平。
六、教材及参考书目教材：《数学分析讲义第五版上册》参考书目：1.《数学分析第一卷》张策著2.《数学分析》康纳利著3.《数学分析习题集》芮勇著七、教学计划教学时数内容6第一章函数与极限（1）6第一章函数与极限（2）6第二章导数与微分（1）6第二章导数与微分（2）6第二章导数与微分（3）6第三章积分与应用（1）6第三章积分与应用（2）6第三章积分与应用（3）6综合计算练习8复习及期中考试6第三章积分与应用（4）6第三章积分与应用（5）6第三章积分与应用（6）6第三章积分与应用（7）6第三章积分与应用（8）6第三章积分与应用（9）8综合计算练习及总复习10期末考试与总评八、总结数学分析是一门重要的基础学科，对于学生的综合能力和未来的学习和发展具有重要的影响。
数学分析讲义第五版
)x
f
' y
(x0
,
y0
)y
涉及函数
f
(x,
y)
在点
p0 (x0 ,
y0 ) 邻域内所有的函数值，而偏导数
f
' x
(
x0
,
y0
)
与
f
' y
(
x0
,
y0 )
仅涉及二元函数 f (x, y) 在过点 p0 (x0 , y0 ) 的直线 x x0 与 y y0 上的函数值.因此，仅仅
两个偏导数
f
' x
由全微分的定义不难看到全微分的两个性质： dz 是 x 与 y 的线性函数； dz 与 z 之 差比 是高阶无穷小.
显然，若函数 f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）可微，则函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 连续.
如果二元函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 可微，全微分（2）中的常数 A,B 与二元函数 f (x, y) 有
x lim k Q
xk 0
xk
由此可见，多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数。因此，
求多元函数的偏导数可按照一元函数的求导法则和求导公式进行。
u u
例 1 设 u x y (x 0) ，求
,
.
x y
解 u yx y1 （y 看作常数）。 x u x y ln x （x 看作常数）。 y
o(x)
= A lim
A.
x0 x
dz
f
' x
(x0
,
y0
)dx
f
' y
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
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方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
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一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
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径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
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例5 级数
数学分析第五版上册华师大
数学分析第五版上册华师大1. 引言数学分析是理工科学生必修的一门数学课程，它主要讲述了数列与函数的极限、连续性、导数和积分等概念及其性质。
数学分析第五版上册是华师大出版社出版的一本教材，本文将对该教材的内容进行简要介绍。
2. 数学分析第五版上册的组织结构数学分析第五版上册按照章节的顺序给出了数学分析的基本概念和定理。
总共包括以下章节：•第一章：实数与实数集•第二章：数列的极限•第三章：数列的上极限和下极限•第四章：函数的极限与连续性•第五章：函数的导数•第六章：函数的微分学应用•第七章：复数•第八章：实函数的积分•第九章：多重积分•第十章：曲线积分与曲面积分每个章节中都包含了大量的例题和习题，帮助学生理解和应用所学知识。
3. 数学分析第五版上册的特点数学分析第五版上册的特点如下：3.1 知识结构清晰教材将数学分析的各个主题按照逻辑顺序进行组织，每个概念都有明确的定义和性质。
这有助于学生理解和掌握知识的整体结构，并能够更好地进行知识的迁移和应用。
3.2 注意实际应用教材中的习题和例题注重实际应用，通过解决实际问题来帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相联系。
这样的设计有助于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
3.3 突出基本概念和定理教材中重点强调了数学分析的基本概念和定理。
这些基本概念和定理是学习数学分析的基础，对于后续的学习有着重要的影响。
通过深入理解和掌握这些基本概念和定理，学生可以更好地应用数学分析解决实际问题。
4. 学习数学分析第五版上册的建议学习数学分析第五版上册时，建议学生采用以下方法：4.1 预习教材在课前预习教材，了解本章节的主要内容和重点。
可以先浏览一遍教材，并留意教材中的例题和定理。
4.2 勤做习题习题是检验和巩固所学知识的重要途径。
建议学生在学完每个章节后，多做一些习题，并及时与答案进行对照，找出自己的不足和问题。
4.3 多与他人讨论可以与同学或老师进行讨论，相互交流和学习。
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V T P 二元函数 f (x, y) 在点 P0 （ x0 ， y0 ）的两个偏导数明显的几何意义：在空间直角坐标
系中，设二元函数 z f (x, y) 的图像是一个
曲面
S.函数
f
(x,
y)
在点
P0
（
x0
，
y0 ）关于
同样，偏导数
f
' y
(x0 ,
y0 )
是平面
x
x0
上曲线
C2
z x
f (x, x0
y)
，
在点 Q(x0 , y0 , z0 )( z0 f (x0 , y0 )) 的切线斜率 tan ，如图 10.6.
如图 10.6.
我们知道，若一元函数 y f (x) 在 x0 可导，则 y f (x) 在 x0 连续可导.
类似地，n 元值函数 u f (x1, x2 ,, xn ) 在点 Q(x1, x2 ,, xn ) 的全微分
du
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
.
我们已知，一元函数的可微与可导是等价的.由定理 1，二元函数可微一定存在两个偏导 数；反之，二元函数存在两个偏导数去不一定可微.例如，函数
f (x, y) | xy |
df
f
' x
(0,0)x
f
' y
(0,0)y
0
f f (0 x,0 y) f (0,0) | x y.
(x)2 (y)2
特地，取， x y ，有
f | x y. | x |2 | x | ，
(x)2 (y)2 2(x)2 2 | x |.
于是，
lim f df lim | x | 1 0.
存在，则称此极限是函数 z = f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）关于 x 的偏导数，记为
z f
,
,
或
z
' x
(x0
,(x0
,
y0
).
x x
( x0, y0 )
( x0, y0 )
类似地，若 x = x0 （常数），一元函数 f (x0 , y) 在 y0 可导，即极限
1,
xy 0, xy 0.
f
' x
( 0,0)
lim
x0
f
(0
x, o) x
f
(0,0)
(x)2 lim x0 x
limx 0. x 0
同样
f
' y
(0,0)
0. 于是，函数
f
(x,
y)
在点（0，0）存在两个偏导数.但是，沿着直线
y=0
有
lim f (x,0) lim x2 0 ，
x0
)x
f
' y
(x0
,
y0
)y
涉及函数
f
(x,
y)
在点
p0 (x0 ,
y0 ) 邻域内所有的函数值，而偏导数
f
' x
(
x0
,
y0
)
与
f
' y
(
x0
,
y0 )
仅涉及二元函数 f (x, y) 在过点 p0 (x0 , y0 ) 的直线 x x0 与 y y0 上的函数值.因此，仅仅
两个偏导数
f
' x
lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
（（ x0 ， y0 y) D ）
存在，则称次极限是函数 z f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）关于 y 的偏导数，记为
z f
y
,
y
,
或
z
' y
(x0
,
y0
),
f
' y
(x0
,
y0
).
( x0, y0 )
( x0, y0 )
并 且 连 接 两 点 (x0 x, y0 y) G 与 (x0 , y0 y) 或 (x0 x, y0 y) 与
(x0 x, y0 ) 的线段也属于 G，如图 10.7.为此，将全变量 z 改写如下形式:
图 10.7
若二元函数 z f (x, y) 在区域 D 的任意点（x，y）都存在关于 x（关于 y）的偏
导数，则称函数 z f (x, y) 在区域 D 关于 x（关于 y）的偏导函数，也简称偏导数，
记为
z f
x x 或
,
,
z
' x
(x0
,
y0
),
f
' x
(x0
,
y0
)
z f
y y (
,
,
z
' y
(
x0
r3
例 3 理想气态方程是 PV RT （R 是不为 0 的常数），证明：
P V T 1. V T P
证明 P RT ,有 V
P RT V V 2
(T 看作常数）.
V RT ，有 P V R T P
(P 看作常数）.
T PV ，有 R T V P R
于是，
(V 看作常数）.
P V T RT R V 1. V T P V 2 P R 注 偏导数的符号 P , V , T 不能像一元函数那样看成是两个微分的商，否则会出现错
例 2 设 u 1 , r (xa)2 ( yb)2 (zc)2, 求 u , u , u .
r
x y z
解 由复合函数的求到法则，有
u x
du dr
r x
1 r2
2
2(x a)
(xa)2 ( yb)2 (zc)2
xa
r3
同法可得， u y b , u z c .
y
r 3 z
(x0 x, y0 y) G ，全改变量
z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
f
' x
(
x0
1x,
y0
y)x
f
' y
(x0
,
y0
2y)y ，
其中 0 1 1 ， 0 2 1. 证明 显然，若点 (x0 x, y0 y) G ，则点 (x0 , y0 y) 与 (x0 x, y0 ) G ，
x
的偏导函数
f
' x
(
x0
,
y0 ) ，就是一元函数
z
f (x, y0 ) 在 x0 的导数.由已知的一元函数导数的几何意义，偏导数
f
' x
(x0
,
y0
)
就是平面
y y0 上曲线
C1
z
y
f (x, y0
y)
，
在点 Q(x0 , y0 , z0 )( z0 f (x0 , y0 )) 的切线斜率 tan ，如图 10.6.
o(x)
= A lim
A.
x0 x
dz
f
' x
(x0
,
y0
)dx
f
' y
(
x0
,
y0
)dy
与一元函数相同，规定自变量的改变量等于自变量的微分，即 x dz, y dy .于是，二
元函数 f (x, y) 在点 P(x0 , y0 ) 的全微分
或
dz
f x
p
dx
f y
p
dy.
注
这里的 dx , dy 是自变量 x，y 无关的独立变量，可取任意值.
即微分 dy 是 x 的线性函数，并且 dy 与 y 之差比 x 是高阶无穷小.一元函数微分 dy 推广
到多元函数就是全微分.
定义 若二院函数 z f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）的全改变量
可表为
z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) z Ax By o() ，
§10.3 多元函数微分法
一、偏导数
我们已经看到，一元函数的导数（或导函数）是研究函数性质的极为重要的工具。同样，
研究多元函数的性质也需要类似于一元函数倒数这样的概念。由于多元函数的自变量不止一 个，情况比较复杂。不难想到，可讨论多元函数分别关于每一个自变量（其余的自变量暂时 看作常数）的导数。这就是本段的偏导数。
在原点（0，0）存在两个偏导数，有偏导数定义，有
f
' x
(0,0)
lim
x0
f
(x,0) x
f
(0,0)
0 lim x0 x
0
f
' y
(0,0)
lim
y0
f
(0, y) y
f (0,0)
0 lim y0 y
0.
两个偏导数都存在，但是，他在原点（0，0）不可微. 事实上，假设他在原点（0，0）可微，有
定义 设二元函数 z f (x, y) 在区域 D R 2 有定义，P0（ x0 ， y0 ）是 D 的内点。 若
y = y0 （常数），一元函数 f (x, y0 ) 在 x0 可导，即极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )
x0
x
（（ x0 + x, y0 ) D ）
(
x0
,
y0 ) 与
f
' y
(x0 ,
y0 )
存在并不能保证函数
f
(x,