几类非线性振动系统的广义剩余谐波平衡方法研究及应用
振动问题的发展简史
实验观测到弦线振动发出 的声音与弦线长度、直径 和张力的关系 记载了共振现象 发现了单摆的等时性并利 用其自由落体公式计算单 摆的周期 注意到单摆大幅摆动对等 时性的偏离 两只频率接近时钟的同步 化两类非线性现象
《庄子》 公元16世纪 公元16世纪 16
伽利略 （Galilei,G）
公元17世纪 公元17世纪 17
1746年 1746年
达朗贝尔 (d’Alembert,J.le R)
采用偏微分方程描述弦线振动而 得到波动方程并求出行波解
1759年 1759年
伯努利 （Bernoulli,D.I)
采用无穷阶模态叠加方法得到弦 线振动的驻波解 ☆ 从驻波解推得行波解(严格的数 学证明在1811年Fourier提出函 数的级数展开理论后完成) ☆ 建立了离散系统振动一般理论 研究梁的横向振动，导出不同边 界条件量的频率方程和模态函数
0-1 振动力学发展简史
振动现象的“ 振动现象的“利”与“害” 人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史 远古时期的先民们就有了利用振动发声的各种乐器。 音乐是成为人类展示情感的最佳表达方式之一。
Tacoma 吊桥
探险者一号卫星
振动落砂机
振动理论的发展简况
毕达哥拉斯 （Pythagoras）
公元前6 公元前6世纪
系统
响应 输出
系统的物理参数（质量、刚度、阻尼等） 系统的物理参数（质量、刚度、阻尼等） 系统的动态特性参数（固有频率、模态等） 系统的动态特性参数（固有频率、模态等）
环境预测 系统和响应 激励 振动问题的反问题 振动问题的反问题
系统
确定性系统 随机性系统
常参量系统 变参量系统
振动系统
模型
有限自由度系统） 离散系统 （有限自由度系统） 连续系统 （无限自由度系统） 无限自由度系统）
非线性振动学习报告
《非线性振动》学习报告2010年3月至6月在北京学习期间，中科院并没有开设相同或者类似的课程，所以我只能以自学的方式完成课程。
我每周的学习时间保持在3小时左右，使用的课本是《非线性振动》（刘延柱陈立群编），根据绪论的内容，以及今后可能遇到的实际问题，我重点阅读的章节为前四章。
本文内容，尤其是前几章的内容，主要以我在看书时的勾画和笔记。
本文全部由我自己输入，在完成过程中，没有十分注意排版的问题，所以板式可能比较混乱希望老师谅解。
第一章非线性振动的定性分析方法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。
李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。
（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。
（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。
定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态稳定。
对于复杂的非线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据一次近似方程的稳定性，判断原方程的稳定性：（1）若一次方程的所有本征实部均为负，则原方程的零解渐进稳定（2）若一次近似方程至少有一本征实部为正，则原方程的零解不稳定（3）若一次近似方程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原方程的零解的稳定性1.2相平面、相轨迹和奇点与系统的运动状态一一对应的像平面上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。
像平面内能使方程右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。
保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平行线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满足几点的定义；（4）在势能取极小值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个小领域内都有E大于等于V（x）。
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法在物理学、工程学以及许多其他领域中，非线性振动系统是一种常见且重要的研究对象。
理解非线性振动系统的周期解和分岔现象对于深入研究系统的动态行为、稳定性以及预测系统可能的变化趋势具有至关重要的意义。
首先，让我们来理解一下什么是非线性振动系统。
与线性振动系统不同，非线性振动系统中力与位移之间的关系不是简单的线性比例关系。
这种非线性特性可能源于多种因素，比如材料的非线性特性、几何非线性或者外部激励的非线性。
周期解是指系统在一定条件下呈现出的周期性运动状态。
对于非线性振动系统，寻找周期解并不是一件容易的事情。
常见的方法之一是利用数值计算。
通过数值方法，我们可以对系统的运动方程进行逐步求解，从而得到系统的时间响应。
这种方法直观且易于实现，但它也存在一些局限性，比如数值误差的积累以及对初值的敏感性。
另一种重要的方法是解析方法。
其中，平均法是一种常用的手段。
平均法的基本思想是将系统的运动方程在一个周期内进行平均，从而得到一个简化的方程，进而求解周期解。
此外，还有谐波平衡法，它假设系统的解可以表示为一系列谐波的叠加，然后将其代入运动方程，通过求解得到周期解的参数。
分岔则是指系统在参数变化时，其定性性质发生突然的改变。
分岔现象可以分为多种类型，比如鞍结分岔、叉形分岔、霍普夫分岔等。
分岔分析能够帮助我们了解系统在不同条件下的稳定性和动态行为的转变。
在研究分岔时，我们通常需要关注系统的特征值。
特征值的变化可以反映系统的稳定性。
当特征值从负实部变为正实部时，系统可能会发生不稳定的分岔。
相平面分析也是研究非线性振动系统分岔的有力工具。
通过绘制系统的相轨迹，我们可以直观地观察到系统的运动状态以及分岔的发生。
例如，在鞍结分岔中，相轨迹会出现两个平衡点合并为一个的现象；而在霍普夫分岔中，会从一个稳定的焦点变为一个不稳定的焦点，并在其周围出现一个稳定的极限环。
对于一些复杂的非线性振动系统，可能需要结合多种方法来进行分析。
机械系统的非线性振动动力学分析方法
机械系统的非线性振动动力学分析方法在现代工程领域中，机械系统的性能和可靠性至关重要。
而机械系统中的非线性振动现象常常会对系统的正常运行产生显著影响，甚至可能导致系统失效。
因此，深入研究机械系统的非线性振动动力学分析方法具有重要的理论和实际意义。
机械系统的非线性振动是指系统的振动响应与激励之间的关系不是线性的。
这种非线性关系可能源于多种因素，例如材料的非线性特性、几何非线性、接触非线性以及各种非线性阻尼和恢复力等。
与线性振动相比，非线性振动具有更加复杂和多样化的行为，如多值响应、跳跃现象、混沌运动等。
为了有效地分析机械系统的非线性振动，研究人员提出了多种方法。
其中，数值方法是应用最为广泛的一类。
有限元法是一种常见的数值方法，它将连续的机械系统离散化为有限个单元，通过建立单元的刚度矩阵和质量矩阵，进而求解整个系统的运动方程。
在处理非线性问题时，可以通过迭代的方式逐步逼近真实的解。
另一种重要的数值方法是龙格库塔法。
它是一种求解常微分方程的数值方法，适用于求解机械系统非线性振动的动力学方程。
通过在时间域上逐步推进求解，可以得到系统在不同时刻的状态。
解析方法在非线性振动分析中也具有一定的地位。
谐波平衡法是一种常用的解析方法，它假设振动响应为一系列谐波的叠加，通过将非线性项展开并与谐波项进行比较，从而得到方程的近似解。
这种方法对于具有弱非线性的系统较为有效。
摄动法也是一种经典的解析方法，它通过引入小参数将非线性方程进行近似处理，从而得到可解的方程。
例如，林滋泰德庞加莱摄动法在处理非线性振动问题时发挥了重要作用。
除了上述方法，实验研究也是理解机械系统非线性振动的重要手段。
通过在实际系统上安装传感器，测量振动信号，然后对信号进行分析和处理，可以获得系统的振动特性。
例如，使用加速度传感器测量振动加速度，通过频谱分析可以了解振动的频率成分。
在进行非线性振动分析时，还需要考虑系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性理论为判断系统的稳定性提供了有力的工具。
几何非线性非保守系统弹性力学广义拟余能原理的应用
原 理和广 义拟变 分原 理在 近似计 算 中的应用 做 了系统 的研 究．文 中将研 究几 何非线 性 非保 守 弹性 力 学系
统 广义拟 变分 原理 在近似 计算 中 的应 用 ； 用几 何非 线性 非保 守系统 第一 类两类 变 量广义 拟余 能原 理 ， 应 寻
求 几何非 线性 非保 守 系统 问题 的解析 解．
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第３ １卷
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第 ２期
Ｎｏ ．２
２０ ０ ７年 ４月
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理 解决该 问题 ．
悬索 桥结 构见 图 １ 可 以将其 简化 为一 悬臂梁 ．设 它有 ２ 闭室 剖 面结 构 （ 图 ２ ．假设 将 ２ 闭室 ， 个 见 ） 个 切 开 ， 开剖 面弯 曲剪 流为 ， 闭剖 面 的弯 曲剪 流分 别 为 ｑ ，。 气 动 中心 的坐标 为 ｚ ， 其 ２个 ｑ． 刚心 坐标 为 ｚ ． 假设 梁 的剖 面是 对称 剖 面 ， 其质 心 与刚心重 合 ， 因此 ， 曲和扭 转振 动不耦 合 ， 弯 这里 只考 虑受扭 情况 ．
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非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
几何非线性非保守系统弹性动力学两类变量的广义拟变分原理的应用
素法和其 它近似计算方法 中得到广泛应 用，而且可以方便地求得 非线性非保 守 系统弹性动力学问题 的精确解 。文章
应用几何 非线性 非保 守系统弹性动力学 中的第一类两类变量广义拟余能原理 ， 究 了一个典型 的非保 守动力 学系统 研 边值问题 的动态特性 ，并给 出同时求解一个典型的几何非线性非保 守系统的内力和变形两类变量的计算 方法。 关键词 ：几何非线性 ；非保 守系统 ；弹性动 力学；拟余能原理
内力 和变形 两类 变量 的计 算方 法 。
性理论变分原理的统一理— 论 ；梁立孚等利用“ 凑合
法” ，推导出有限位移理论的各级变分原理［ ５ １ 。郑泉
水提 出 了非 线性 弹性理 论 的泛变分 原理 ［ ６ １ 。 非保 守 系统 方 面 ，国外 以 Ｌｉｈｌ为代 表 ，提 ｅｐ ｏ ｚ 出广 义 自共 轭 的概 念 ，建 立 了广 义 的 Ｈａ ｌｎ原 ｍｉｏ ｔ 理 ，给 出 了著名 的 Ｌｉｈｌ杆模 型 。我 国学 者 也作 ｅ ｏ ｐ ｚ
计算 方法ｔ ９ ］ 。 在弹 性动力 学 的变 分原理 方 面罗 恩和邢 京 堂分 别 做 了大量 的工 作［－。 】１ ｏ３ １ 刘 殿 魁 等 对 非 保 守 系统 拟 变 分原 理 和 广 义 拟 变 分 原理 在 近 似计 算 中 的应 用 做 了 系统 的研 究 用； 罗 恩对 几 何 非 线 性 保 守 系统 弹性 动 力 学 变 分 原 理 和 广 义变 分 原 理 在 近似 计 算 中的 应 用 做 了系 统 的
第４ 期
樊
涛等 ：几何非线性非保 守系统 弹性动力学两类变量的广义拟变分原理 的应用
考虑如图 １ 所示的悬索桥 ， 设其有如图 ２的单
。＝
（
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几类非线性振动系统的广义剩余谐波平衡方法研究及应用
由于非线性振动现象存在于各个领域,因此研究非线性振动系统是至关重要的.而非线性振动系统是比较复杂的系统,求解其准确解也变得困难的,因此,许多学者提出了大量方法分析其近似解.而本文主要是采取了广义剩余谐波平衡方法,研究了三类非线性振动系统.第一类是约束悬臂梁的强非线性振动系统,第二类是静电驱动微梁的非线性振动系统,第三类是受到范德华吸引力的静电驱动微梁的非线性振动系统.再利用上述方法研究这三类系统的近似周期解.本文的内容主要分为四章,第一章主要介绍本文的研究背景及研究现状.第二章主要是运用广义剩余谐波平衡方法研究约束悬臂梁,求出该系统的近似解.然后将求得的2阶谐波近似解分别与能量守恒方法求得近似解,同伦分析方法求得近似
解,Runge-Kutta法数值解进行比较,并给出相图和时间历程曲线.第三章继续运用广义剩余谐波平衡方法研究静电驱动微梁,并进行数值模拟,将结果与其他三种方法得到的结果进行比较.第四章运用广义剩余谐波平衡方法研究受到范德华吸引力的静电驱动微梁,再进一步研究,当选取较大振幅时,近似解与
Run.ge-Ktta法数值解的吻合程度.通过上述的三章内容,验证了广义剩余谐波平衡方法对这三类系统的可行性和有效性,进一步可以说明这种方法同样也适用于其他非线性振动系统中.。