经济数学5第二个重要的极限公式5.2 微习题：第二个重要的极限公式
第一极限和第二极限公式
第一极限和第二极限公式极限是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的趋势和变化规律。
在计算极限时，我们常常使用第一极限和第二极限公式来简化计算过程。
一、第一极限公式第一极限公式是计算函数在某一点上的极限的常用方法之一。
它的表达式为：lim(x→a) f(x) = f(a)这个公式的意思是当自变量x无限接近于a时，函数f(x)的值趋近于f(a)。
也就是说，在函数图像上，当x的取值无限接近于a时，函数图像上的点也无限接近于点(a, f(a))。
举个例子来说明，我们考虑函数f(x) = x^2，在点x=2处计算极限。
根据第一极限公式，我们可以得到：lim(x→2) x^2 = 2^2 = 4这个结果意味着当x无限接近于2时，函数f(x)的值无限接近于4。
可以通过绘制函数图像来验证这一结论，我们会发现当x越来越接近2时，函数图像上的点也越来越接近于点(2, 4)。
第一极限公式的应用范围非常广泛，可以用于计算各种类型的函数在某一点上的极限。
二、第二极限公式第二极限公式是计算函数在无穷远点上的极限的常用方法之一。
它的表达式为：li m(x→∞) f(x) = L其中L为常数。
这个公式的意思是当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋近于常数L。
举个例子来说明，我们考虑函数f(x) = 1/x，在x趋向于无穷大时计算极限。
根据第二极限公式，我们可以得到：lim(x→∞) 1/x = 0这个结果意味着当x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋近于0。
通过绘制函数图像，我们会发现当x趋向于无穷大时，函数图像逐渐趋近于x轴，与x轴越来越接近。
第二极限公式也可以用于计算其他类型的函数在无穷远点上的极限，只需要根据函数的表达式进行相应的计算即可。
第一极限和第二极限公式是在计算函数极限时常用的工具。
通过这些公式，我们可以简化计算过程，得到函数在某一点或无穷远点上的极限值。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的极限公式进行计算，从而得到准确的结果。
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
第二类重要极限的简易算法
第二类重要极限的简易算法作者：孙明岩来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。
关键词：第二类重要极限；系数；指数中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02一、第二类重要极限及其常规算法第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。
第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。
对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。
例1 求■（1+■）x解令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。
例2 求■（1+2x）■解令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。
第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算：例3 求■（1-■）2x+1解■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■二、第二类极限简易算法定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。
证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
定理2：■（1+■）■=e■证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。
根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中的指数为x与■的系数乘积。
证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。
经济数学微积分-极限存在准则两个重要极限
边形面积 所构成数
2、
n
…
10
102 103 104 105
…
…
…
数列{xn}是数值不超过3的单调增加数列, 由极限存在准则Ⅱ 可知，该数列存在极限，
其极限就是无理数e=2.71828…
推广形式：
为某过程中的无穷大量 为某过程中的无穷小量
例6 解
例7 解
三、利用无穷小等价替换定理进行极限计算
例1 解
由夹逼定理得
2、单调有界收敛准则
单调增加 单调数列
单调减少
几何解释:
例2 求数列 解
的极限.
由数学归纳法，数列{xn}单调递增. 数列{xn}单调有界
二、两个重要的极限
1、
即
又
当
时，
推广形式：
□为自变量某个变化过程中的无穷小.
例3 求 解 原式= 例4 解
例5 求圆的内接正 列的极限值.
常用等价无穷小:
证明：
例8 解
因此，
例9 解
因此，
例10 解
若分式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可 对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小替换，而不会改变原式的极限．
例11 解
注意： 不能滥用等价无穷小替换.一般可 对分子或分母中乘积形式作等价无穷小替 换，对于和差形式中各无穷小一般不能分 别替换.
经济数学——微积分
1.7 极限存在准则两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、利用无穷小替换定理计算极限 四、连续复利 五、小结
一、极限存在准则
1、夹逼准则
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则.
极限的两个重要极限公式
极限的两个重要极限公式极限是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
在研究函数的性质、求导、积分等方面，极限都起着重要的作用。
本文将介绍两个重要的极限公式，它们分别是复合函数的极限公式和级数的比较判别法。
一、复合函数的极限公式复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如f(g(x))。
当我们需要计算复合函数的极限时，可以使用复合函数的极限公式，它的表述如下：设函数f(x)在x0处连续，g(x)在x0处极限存在且等于a，则有：lim f(g(x)) = f(a)x→x0这个公式的意义是，当自变量x趋近于x0时，函数g(x)的值趋近于a，因此f(g(x))的值也趋近于f(a)。
这个公式的证明可以使用ε-δ定义，但在这里我们不再赘述。
这个公式的应用非常广泛，特别是在微积分中，它可以用于求导和积分。
例如，当我们需要求f(g(x))的导数时，可以先求出g(x)的导数，然后将它代入f(x)中，再乘以g'(x)，即可得到f(g(x))的导数。
同样地，当我们需要对f(g(x))求积分时，可以将它转化为f(u)du的形式，其中u=g(x)，du=g'(x)dx，然后再对f(u)进行积分。
二、级数的比较判别法级数是由无穷多个数相加得到的数列，例如1+1/2+1/3+1/4+...。
在研究级数的性质时，我们经常需要判断它是否收敛。
如果一个级数收敛，那么它的和就是一个有限的数；如果一个级数发散，那么它的和就是无穷大或无穷小。
级数的比较判别法是判断级数收敛性的一种方法，它的表述如下：设有两个级数an和bn，如果存在一个正整数N，使得当n>N 时，有an≤bn，则有：若级数bn收敛，则级数an也收敛。
若级数an发散，则级数bn也发散。
这个公式的意义是，如果级数an的每一项都小于等于级数bn 的对应项，那么an的收敛性和bn的收敛性是相同的。
如果bn收敛，那么an也收敛；如果an发散，那么bn也发散。
这个公式的证明也比较简单，可以使用比较原理和收敛级数的性质进行推导。
微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧
微积分两个重要极限第二个公式的变形,应用,技巧微积分中的两个重要极限是极限的无穷大的概念，即当一个连续函数的值不断接近无穷时，每个值与其前一个值的差也越来越小，甚至接近零。
极限可以用符号来表示，符号为“lim”，其后加上函数表达式，表示极限。
极限可以用来分析函数的行为，比如求得函数的极限值、求函数在某一点处的导数等。
两个重要极限，即表示函数极限的第二个公式，由拉格朗日来推导，并由它对函数的分析和应用构成了极限的基本理论。
以第二个公式的形式来表示，它可以用Symbol表示，即：lim[f(x)/(x-a)] = f′(a)即当x趋近于a时，f(x)/(x-a)的极限值等于f′(a)，其中f′(a)表示函数f在点a处的导数值。
又如：一元函数y=f(x)，当x趋近于某个常数a时，函数y=f(x)的值也趋近于某个常数L，则可以称L为函数y=f(x)在x=a时的极限，记为：lim[f(x)]=L由此可见，求函数在某一点处的极限值，可以用上述公式推导出极限值L。
若要求出函数在某一点处的导数值，则可以用上述第二个公式推导出函数在该点处的导数值。
极限的理论可以用来分析函数的行为，此外，由极限的理论可以推出许多应用，比如，解决积分和微分方面的问题，比如积分和微分是两个重要的应用，而积分和微分的最基本原理却是极限。
此外，在数学分析中，极限还可以用来求函数的单调性、最值、极点等，以及判断函数的连续性等。
极限的技巧有很多，比如用比值法求极限，即：当函数不能直接求出极限值时，可以把函数分成多个分母分子的比值，比如：lim[f(x)].lim[g(x)]/lim[h(x)]，然后再用极限技巧分别求出比值中每一项的极限值，最后把求出的每一项极限值相乘，即可求出函数的总体极限值。
另外，还可以用变量技巧求极限，即：当极限值不能用比值法求出时，可以用变量技巧把函数变形成一个容易求出极限的形式，以达到求出极限的目的，比如将函数xx改写成(x-a)f(x)/(x-a)的形式，然后再用第二个公式推导出x=a时的极限。
高等数学：第八讲 第二个重要极限
1
1 x
x
x
1
1
1 x
x
2
2
3
4
5
10
100
1000 10000
…
2.25 2.37 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718
…
x
-10 -50 -100 -1000
-10000
-100000
-1000000
…
1
1 x
x
2.87
2.75
2.73
2.720
2.7184
2.71830
2.718283
…
第二个重要极限
从上表可以看出，当
x无限增大时，函数
1
1 x
x
变化的大致趋势，可以证明当
时， x
1
1 x
x
的极限确实存在，并且是一个无理数，其值为
e 2.718282828
第二个重要极限 第二个重要极限的特点：
(1)它是底的极限为1、指数趋近于无穷大的变量的极限，
例2
求
lim
x
3 2
பைடு நூலகம்
x x
x
解:
lim
x
3 2
x x
x
lim
x
x x
3 2
x
lim
x
1
1
x
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
1
1 2
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
lim
x
1
1
2
成考高等数学二必背公式
成考高等数学二必背公式一、极限与连续1. 重要极限：- $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$- $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$- $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$- $\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$- $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0$2. 无穷小量计算：- 当$x$是无穷小量时，$a^x-1\approx x\ln a$，其中$a>0$且$a\neq1$- 当$x$是无穷小量时，$(1+x)^n-1\approx nx$，其中$n$为常数- 当$x$是无穷小量时，$\sqrt[m]{1+x}-1\approx\frac{x}{m}$，其中$m$为常数3. 极限的四则运算：- $\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x)$- $\lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)-\lim_{x\to x_0}g(x)$- $\lim_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim_{x\to x_0}g(x)$- $\lim_{x\to x_0}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)}$（其中$\lim_{x\to x_0}g(x)\neq0$）二、导数与微分1. 基本求导公式：- $(C)'=0$，其中$C$为常数- $(x^n)'=nx^{n-1}$，其中$n$为常数- $(e^x)'=e^x$- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$，其中$x>0$- $(\sin x)'=\cos x$- $(\cos x)'=-\sin x$- $(\tan x)'=\sec^2 x$- $(\cot x)'=-\csc^2 x$- $(\sec x)'=\sec x\tan x$- $(\csc x)'=-\csc x\cot x$2. 常用求导法则：- $(u\pm v)'=u'+v'$- $(cu)'=cu'$，其中$c$为常数- $(uv)'=u'v+uv'$- $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，其中$v\neq0$- $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$3. 高阶导数：- 若$f'(x)$存在，则称$f(x)$可导，$f''(x)$为$f(x)$的二阶导数，以此类推- $f^{(n)}(x)$表示$f(x)$的$n$阶导数- $f^{(n)}(x)$可表示为$f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)$三、定积分与不定积分1. 基本积分公式：- $\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n\neq-1$，$C$为常数- $\int e^x dx=e^x+C$- $\int \frac{1}{x} dx=\ln|x|+C$，其中$x\neq0$，$C$为常数- $\int \sin x dx=-\cos x+C$- $\int \cos x dx=\sin x+C$- $\int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C$- $\int \cot x dx=\ln|\sin x|+C$- $\int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$- $\int \csc x dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$2. 基本定积分公式：- $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数3. 常用积分法则：- 第一换元法：设$u=g(x)$可导，则$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$- 第二换元法（逆函数法）：设$u=f(x)$可导且$f'(x)\neq0$，则$\int f(x)dx=\int f(f^{-1}(u))du$四、级数1. 常见级数：- 等比数列：$S_n=a+ar+ar^2+\ldots+ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$，其中$r\neq1$- 幂级数：$S_n=\sum_{k=0}^n a_k=\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$，其中$q\neq1$2. 收敛级数：- 若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$的部分和数列$S_n$有极限$S$，则称级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛于$S$，记作$\sum_{n=1}^\infty a_n=S$- 若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，则$\lim_{n\to\infty}a_n=0$3. 常见收敛级数：- 调和级数：$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$收敛- 几何级数：$\sum_{n=1}^\infty q^n$收敛当且仅当$|q|<1$总结：本文介绍了成考高等数学二中的必背公式。