2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(理)试题
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设(1−i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}3.函数f(x)=|x|+1是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4.等差数列{a n}中，已知a7=9，S5=5，则S8的值是()A. 23B. 30C. 32D. 345.执行如图所示的程序框图，则当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为()A. 45B. 35C. 147D. 756.为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=()A. 26B. 24C. 20D. 137.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a8.(x2−3x+2)5的展开式中含x3的项的系数为()A. −1560B. −600C. 600D. 15609.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2410.若函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则f(x)的单调增区间为()A. B.C. D.11.如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)坐标为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A，B在双曲线C的左支上，o为坐标点，直线BO与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为____．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3…a n=n2+3n+2，则a4=(1)，a n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，D 是BC 的边上的点，cos∠BAD =35,cos∠ADC =−√55． (1)求sin B 的值；(2)若BD =2DC =2，求AC 的长．18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB =2AD =2，∠DAB =60°，PA =PC =2，且平面ACP ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：CB ⊥PD ；(Ⅱ)求二面角C −PB −A 的余弦值．20.已知函数f(x)=lnxx−1(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，▵F1PF2的面积为√3．(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了复数的概念，运算及几何意义，考查了学生的运算求解能力，属基础题． 由题意解得x ，y ，从而得出x +yi 在复平面内所对应的点所在象限．解：∵x ，y 是实数，∴(1−i)x =x −xi =1+yi ，∴{x =1−x =y ,解得x =1，y =−1，∴x +yi 在复平面内所对应的点为(1,−1)，位于第四象限，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≤−2或x ≥2}；∴A ∩B =(−∞,−2]∪{2}．故选：D ．3.答案：B解析：函数定义域为R ，f(−x)=|−x |+1=|x |+1=f(x)，∴f(x)是偶函数．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=9，S 5=5，∴a 1+6d =9，5a 1+ 5×4 2d =5，解得：a 1=−3，d =2，则S 8=8×(−3)+ 8×7 2×2=32．故选：C ．5.答案：D解析：本题主要考查了程序框图的应用，考查了函数解析式，属于基础题；根据题意得到f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44，f(6)=62−5=31，即可得解．解：因为y =f(x)={x 2−5,x ⩾6f(x +2),x <6, 则f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44；f(6)=62−5=31，所以f(3)+f(6)=75．故选D ．6.答案：D解析：解：由分层抽样得n 120+80+60=360，解得n =13，故选：D ．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.答案：C解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =log 2(log 38)<log 2(log 39)=log 22=1， ∴a >1>b ．故选：C ．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．解析：解：∵(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5=(C50x5−C51x4+C52x3−C53x2+C54x−1)(C50x5−2C51x4+4C52x3−8C53x2+16C54x−32).∴展开式中含x3的项的系数为：−36C53−24C53C54=−1560．故选：A．(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5，分别展开两个二项式，即可得到含x3的项的系数．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是基础题．9.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2−4my−4=0，由此能够求出直线AB的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2−4my−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，①因为|MF|=2|NF|，所以y1=−2y2，②，联立①和②，消去y1，y2，得m=±√24所以直线AB的斜率是±2√2.故选：B．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．先根据三角函数图象的平移规律及平移后的图象关于y轴对称，求出φ，得到f(x)的解析式，再求单解：函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数的图象，因为平移后的图象关于y轴对称，所以−2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=−1，φ=π6，所以，令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，k∈Z，因而函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．故选C．11.答案：B解析：本题考查三视图及多面体外接球的表面积，具有综合性，考查空间想象能力.正确找到直观图是解题关键．由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，然后根据三棱锥的体积公式求得．解：由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，可以看成长2宽1高1的长方体切除后剩下的，其外接球与长方体外接球相同．若该三棱锥的体积为，可得x=2．故外接球直径为√12+12+22=√6，半径为√62．故外接球表面积为．故选B．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握极值的充要条件，属于中档题． 首先对函数进行求导，然后根据极值条件进行求解，要注意进行检验． 解：求导可得，f′(x)=3x 2−2ax −b ， 由已知得{f ′(1)=0f (1)=10，即{3−2a −b =01−a −b +a 2=10解得a =−4，b =11或a =3,b =−3当a =3,b =−3时，f ′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2⩾0， 此时f(x)递增，函数f(x)不存在极值 故a =−4，b =11，即点(a,b)坐标为(−4,11) 故选B ．13.答案：−1解析：解：a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则2a ⃗ +b ⃗ =(1,0) (2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+0=−1． 故答案为：−1．直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．14.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d =r ，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2， 可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)， 即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)， 即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切， 可得d =√10=R ，解得：R =√105．故答案为√105．15.答案：2解析：本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题． 解：设B(m,n)，则直线BO 与双曲线的右支交于点 M(−m,−n)， 设A(x 0,y 0)，可得直线 AB 的斜率为y 0−nx 0−m ， 直线 AM 的斜率为y 0+nx 0+m；∴y 02−n 2x 02−m 2=b 2a 2x 02−b 2a 2n 2x 02−n 2=b 2a 2=3×1=3，∴e =√1+b2a 2=2，故答案为：216.答案：32{6,n =1n +2n,n >1解析：解：数列{a n }满足a 1⋅a 2⋅a 3…a n =n 2+3n +2， 当n =1时，a 1=1+3+2=6；当n >1时，a 1⋅a 2⋅a 3…a n−1=(n −1)2+3(n −1)+2=n 2+n −2； 所以a n =n 2+3n+2n 2+n =n+2n；所以a 4=4+24=32，a n ={6,n =1n+2n,n >1．故答案为：32，{6,n =1n+2n,n >1．在原数列递推式中，取n 为n −1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a 4的值． 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =√55，∠ADB ∈(0,π)，∴sin∠ADB =2√55，……………………2′ ∵cos∠BAD =35,∠BAD ∈(0,π)，∴sin∠BAD =45.……………………4′ ∴sinB =sin[π−(∠BAD +∠ADB)]=sin(∠BAD +∠ADB) =sin∠BADcos∠ADB +cos∠BADsin∠ADB =45×√55+35×2√55=2√55.………………………6′ (2)在△ABD 中，由正弦定理得：ADsinB =BDsin∠BAD ，即2√55=245，∴AD =√5.……………9′在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos∠ADC =5+1+2×√5×1×√55=8，∴AC =2√2.………12′解析：(1)利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可． (2)利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC 的长．本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)用事件A i 表示第i 局比赛甲获胜，则A i 两两相互独立．P =P(A 1A 2+A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=23⋅23+13⋅23⋅23=1627． (Ⅱ)X 的取值分别为2，3，4，5， P(x =2)=23⋅23+13⋅13=59，P(x =3)=13⋅23⋅23+23⋅13⋅13=29， P(x =4)=23⋅13⋅23⋅23+13⋅23⋅13⋅13=1081， P(x =5)=23⋅13⋅23⋅13+13⋅23⋅13⋅23=881， 所以X 的分布列为X2345P 59291081881EX=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481．解析：(Ⅰ)用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率．(Ⅱ)X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19.答案：(I)证明：连接AC，BD，设交点为O，连接OP，则O是BD的中点，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO．∵AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴BD=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又BC//AD，∴BC⊥BD，又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PO∩BD=O，∴BC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD．(II)解：OA=√AD2+OD2=√72，∴PO=√PA2−OA2=32．以D为原点，以DA，DB，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是：(0,+∞)由已知f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)=0得，1−lnx =0，∴x =e ∵当0<x <e 时，f ′(x)=1−lnx x 2>0，当x >e 时，f ′(x)=1−lnx x <0∴函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减 故①当0<2m ≤e 即0<m ≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增 ∴f(x)max =f(2m)=ln(2m)2m−1，②当m ≥e 时，f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴f(x)max =f(m)=lnm m−1，③当m<e<2m，即e2<m<e时∴f(x)max=f(e)=1e−1．(3)由(1)知，当x∈(0,+∞)时，f(x)max=f(e)=1e−1，∴在(0,+∞)上恒有f(x)=lnxx −1≤1e−1，即lnxx ≤1e且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤1ex，∵1+nn >0,1+nn≠e，∴ln1+nn <1e⋅1+nn⇒ln(1+nn)e<1+nn即对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn恒成立．解析：(1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；(2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；(3)利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．21.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c．因为S▵F1PF2=12⋅2c⋅b=√3，所以bc=√3，又e=ca =12，a2=b2+c2，所以a=2，b=√3，c=1，所以C的方程为x24+y23=1．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点N(x0,y0)．当k=0时，t=0符合题意．当k ≠0时，由{y =k (x −1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 0=k (x 0−1)=−3k4k 2+3，即N (4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)．因为|TP |=|TQ |， 所以TN ⊥PQ ， 则k TN ⋅k =−1， 所以3k 4k 2+3t−4k 24k 2+3⋅k =−1， 故t =k 24k 2+3=14+3k 2，因为4+3k 2>4， 所以t ∈(0,14)．综上，t 的取值范围为[0,14)．解析：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．(1)由离心率可得a ，c 的关系，由面积可得bc 的关系，由求得a ，b ，故可得答案，(2)设直线PQ 的方程为y =k (x −1)，当k =0时，t =0符合题意．当k ≠0时，联立方程组可得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，结合韦达定理和k TN⋅k=−1，故可得t的取值范围．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x <1}； (2)当x ∈[−a2,1)时，f(x)=|x −2a|+2x +a ， f(x)<g(x)即为|x −2a|<3−a 恒成立， ∵0<a <3，∴3−a >0， ∴a −3<x −2a <3−a ，即3a −3<x <3+a 在x ∈[−a2,1)上恒成立， ∴{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解得0<a <67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
2020年陕西省西安中学高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省西安中学高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）设集合2{|90}A x x =-<，{|}B x x N =∈，则(A B =I )A ．{0，1，2，3}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2} 2．（5分）已知命题:p x R ∀∈，sin 1x „，则p ⌝为( )A ．x R ∃∈，sin 1x …B ．x R ∀∈，sin 1x …C ．x R ∃∈，sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x > 3．（5分）已知(,)a bi a b R +∈是11i i -+的共轭复数，则(a b += ) A ．1- B ．12- C ．12 D ．14．（5分）已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )ABCD．5．（5分）下列函数中，即是奇函数，又是R 上的单调函数的是( )A ．()(||1)f x ln x =+B ．222,(0)()2,(0)x x x f x x x x ⎧+=⎨-+<⎩… C ．2,(0)()0,(0)1(),(0)2x x x f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩D ．1()f x x -=6．（5分）若(cos )cos2f x x =，则(sin)12f π等于( ) A ．12 B ．12- C． D7．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ) 注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8．（5分）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有()种．A．26B．36C．42D．819．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF==，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是()A．413B213C．926D31310．（5分）如图，已知椭圆C的中心为原点O，(25F-0)为C的左焦点，P为C上一点，满足||||OP OF=且||4PF=，则椭圆C的方程为()A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 11．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是( ) A ．15 B ．15C ．15D ．215 12．（5分）已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()(1)()40()f x m f x m m R ++++=∈有四个相异的实数根，则m 的取值范围是( )A ．4(4,)1e e ---+B ．(4,3)--C ．4(1e e --+，3)-D ．4(1e e --+，)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知||2a =r ，||3b =r ，,a b r r 的夹角为30︒，(2)//(2)a b a b λ++r r r r ，则()()a b a b λ+-=r r r r g ．14．（5分）我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的体积为 ．15．（5分）设O 为坐标原点，(2,1)A ，若点(,)B x y 满足22111201x yx y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩…剟剟，则OA OB u u u r u u u r g 的最大值是 ． 16．（5分）已知函数()|sin ||cos |f x x x =+，则下列结论中正确的是 ．①()f x 是周期函数； ②()f x 的对称轴方程为,4k x k Z π=∈； ③()f x 在区间3(,)44ππ上为增函数； ④方程6()5f x =在区间3[,0]2π-有6个根． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．18．（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．理科方向 文科方向 总计 男110 女50 总计（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科。
2020年6月陕西省西安中学2020届高三毕业班高考仿真考试(一)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前陕西省西安中学2020届高三毕业班下学期高考仿真考试(一)数学(理)试题(解析版)2020年6月一、选择题1.已知复数z 满足1z i i i +=-+，则复数z=（ ） A. 12i --B. 12i -+C. 12i -D. 1+2i【答案】B【解析】【分析】 利用复数运算求出z ，则复数z 可求【详解】已知复数z 满足1z i i i +=-+，则()112z i i i i =-+-=-- 故z=12i -+故选：B【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的概念,准确计算是关键,是基础题 2.已知集合113P x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则()=R C P N （ ） A. {}03x x << B. {}03x x <≤ C. {}0,1,2,3 D. {}1,2,3【答案】C【解析】【分析】 解分式不等式得到P ,再进行补集和交集运算【详解】由题{1130333x P x x x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或}0x < 则()=R C P N {0x }3x ≤≤=N {}0,1,2,3故选：C【点睛】本题考查集合的基本运算,涉及分式不等式解法,是基础题3.已知a 、b 都是实数,>ln ln a b >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】>ln ln a b >”的充要条件,再分析即可.【详解】当>时有0a b >≥,当ln ln a b >时有0a b >>.故“>”是“ln ln a b >”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中,31174a a a =,数列{}n b 是等差数列,且77b a =,则59b b +=（ ）A. 2B. 4C. 16D. 8 【答案】D【解析】【分析】利用等比数列性质求出a 7,然后利用等差数列的性质求解即可．【详解】等比数列{a n }中,a 3a 11＝4a 7,可得a 72＝4a 7,解得a 7＝4,且b 7＝a 7,∴b 7＝4,。
陕西省西安中学2020届高三数学仿真考试试题(一)理
陕西省西安中学2020届高三数学仿真考试试题（一）理1、已知复数z 满足1z ii i+=-+，则复数z=（ ） .12A i -- .12B i -+ .12C i - .1+2D i2、已知集合113P x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()=R C P N I ( ) {}.03A x x << {}.03B x x <≤ {}.0,1,2,3C {}.1,2,3D3、已知,a b 都是实数，那么“a b >”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165、已知 1.32a = , 0.74b = ，3log 8c = ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b <<6、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ） A ．6?i > B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >7、如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21-πB ．2π C ．22πD ．221-π 8、在ABC ∆中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =u u u r u u u r，且34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ）A. 13B. 13-C.14 D. 14- 9、已知函数()y f x =与xy e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为（ ） A ．1eB ．1e-C ．eD ． e -10、已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．150B ．162C ．180D ．21011、关于函数()2sinsin()222x xf x x π=+- 有下述四个结论： 函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分；()f x 是周期为π的函数函数()f x 在区间(),-∞+∞上有3个零点；函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减；则正确结论的序号为( )A.B.C.D.12.已知双曲线C 过点且渐近线为y x =，则下列结论错误的是( ) .A 曲线C 的方程为2213x y -=；.B 左焦点到一条渐近线距离为1；.C 直线10x --=与曲线C 有两个公共点；.D 过右焦点截双曲线所得弦长为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省2020年数学高三理数一模检测试卷A卷
陕西省2020年数学高三理数一模检测试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·绍兴期末) 复数为虚数单位）的虚部为（）A . 1B . -1C . iD . -i3. （2分）若点O和点F(-2,0)分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A . [3- ，）B . [3+ ，）C . [，）D . [，）4. （2分）在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（）A . 5B . 10C .D . 55. （2分） (2016高二上·仙桃期中) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·天水模拟) 下列有关命题的说法正确的是（）A . “x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B . “x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为真命题C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题7. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 阅读如图的程序框图，输出结果S的值为（）A . ﹣1008B . 1C . ﹣1D . 08. （2分）已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2 ，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（）A . 11B . 10C . 9D . 89. （2分） (2019高二下·温州期中) 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A . 56个B . 48个C . 45个D . 42个10. （2分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为（）A . x2﹣3y2=﹣2B . x2﹣3y2=﹣2（x≠±1）C . x2﹣3y2=2D . x2﹣3y2=2（x≠±1）11. （2分）(2017·房山模拟) 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标O﹣xyz分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），画出该三棱锥三视图中的俯视图时，以xoy平面为投影面，得到的俯视图为（）A .B .C .D .12. （2分）已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A . lna＞b﹣1B . lna＜b﹣1C . lna=b﹣1D . 以上都不对二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·德州模拟) （x2+x+1）（1﹣x）4展开式中x2的系数为________．14. （1分）函数y=sin2x+cos2x在[0，π]上的单调递减区间为________15. （1分） (2018高三上·荆门月考) 已知满足则的最小值为________.16. （1分） (2017高一下·菏泽期中) 下列叙述：①函数是奇函数；②函数的一条对称轴方程为；③函数，，则f（x）的值域为；④函数有最小值，无最大值．所有正确结论的序号是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2018高三上·沧州期末) 在等差数列中，， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和 .18. （5分）(2018·攀枝花模拟) 如下图,四梭锥中, ⊥底面 ,, 为线段上一点， , 为的中点.(I)证明: 平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分） (2017高二下·南昌期末) 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）①0.16[70，80）22②[80，90）140.28[90，100）③④合计501（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨期中) 已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率．（1）若是真命题，求m的取值范围；（2）若是真命题，是假命题，求m的取值范围．21. （5分）(2017·芜湖模拟) 已知函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2恒成立，求a的取值范围．22. （10分）(2020·辽宁模拟) 已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若将曲线上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线．（1）写出直线l和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线的两个交点分别为A，B，求的值．23. （10分）(2019·肇庆模拟) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
陕西省2020年高考数学一模试卷(理科)A卷(模拟)
陕西省2020年高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·哈尔滨月考) , 则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·和平模拟) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的取值范围是（）A . [6，22]B . [7，22]C . [8，22]D . [7，23]3. （2分）若程序框图如右图所示,则该程序运行后输出k的值是（）A . 5B . 6C . 7D . 84. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 如图是一个简单几何体的三视图，其正视图和左视图是边长为2cm的正三角形，其俯视图是边长为2cm的正方形，则该几何体的体积为（）cm3A .B .C .D .5. （2分）对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）若方程C：（a是常数）则下列结论正确的是（）A . ，方程C表示椭圆B . ，方程C表示双曲线C . ，方程C表示椭圆D . ，方程C表示抛物线7. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 在边长为1的正三角形ABC中， =2 ，则• =（）A .B .C .D . 18. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，则函数g（x）=f[f（x）]﹣x在区间[﹣2，2]内不同的零点个数是（）A . 5B . 6C . 7D . 9二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二下·马山期末) 设复数z满足，则z=________．10. （1分）(2019·赣州模拟) 的展开式中，的系数是________．11. （1分） (2016高一下·黑龙江期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是________（横线上填“等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形”中的一个）．12. （1分）(2017·海淀模拟) 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则C的直角坐标方程为________．13. （1分） (2018高二上·齐齐哈尔月考) 已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是________．14. （1分）(2018·山东模拟) 若关于的方程在上有两个不同的解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）+a，a为常数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0， ]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．16. （15分） (2015高二下·泉州期中) 某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：分组频数频率[0，10）0.05[10，20）0.10[20，30）30[30，40）0.25[40，50）0.15[50，60]15合计n1（1）求月均用电量的中位数与平均数估计值；（2）如果用分层抽样的方法从这n位居民中抽取8位居民，再从这8位居民中选2位居民，那么至少有1位居民月均用电量在30至40度的概率是多少？（3）用样本估计总体，把频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用电量在30至40度的居民数X的分布列．17. （5分）(2017·青岛模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F 是棱 PA上的一个动点，E为PD的中点．（Ⅰ）若 AF=1，求证：CE∥平面 BDF；（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．18. （15分）(2020·杨浦期末) 己知无穷数列的前项和为 ,若对于任意的正整数 ,均有,则称数列具有性质 .（1）判断首项为 ,公比为的无穷等比数列是否具有性质 ,并说明理由;（2）己知无穷数列具有性质 ,且任意相邻四项之和都相等,求证: ;（3）己知 ,数列是等差数列, ,若无穷数列具有性质 ,求的取值范围.19. （10分） (2018高三上·成都月考) 己知函数，函数．（1）求时曲线在点处的切线方程；（2）设函数在上是单调函数，求实数k的取值范围．20. （10分）(2017·晋中模拟) 已知椭圆C：的右焦点在直线l： x﹣y﹣3=0上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线t经过点P（1，0），且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2）使得A，B到l0的距离dA ， dB满足恒成立？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2020届陕西省西安市高三年级第一次质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省西安市高三年级第一次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|||1}A x x =<，{|lg 0}B x x =<则A B =I （ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,1)-【答案】B【解析】根据绝对值不等式的解法以及对数不等式的解法，结合交集的概念，可得结果. 【详解】由题得{|11}A x x =-<<，{|01}B x x =<<， 所以(0.1)A B ⋂=， 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式，对数不等式的解法，还考查交集的概念，属基础题. 2．若i 为虚数单位，则1ii-=（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【答案】C【解析】根据复数的除法、乘法运算法则，可得结果. 【详解】1111i ii i -+==--- 故应选：C 【点睛】本题主要考查复数的运算，属基础题.3．已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b k =-r ，若a r 与b r共线，则|3|a b +=r r （ ）A ．3B ．4C D ．5【答案】C【解析】根据向量共线的坐标表示，可求得k ，进一步可得3a b +r r，最后利用向量模的坐标表示，可得结果.∵a r 与b r共线∴12(2)04k k ⨯-⨯-=⇒=-，∴3(1,2)a b +=r r ，|3|a b +=r r故应选：C 【点睛】本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题.4．6x⎛ ⎝展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．60-B ．60C ．120-D ．120【答案】B【解析】利用二项式的通项公式1rr n r r n T C x -+⎛= ⎝，可得结果【详解】616rr r r T C x -+⎛= ⎝，即()362162r rrr TC x-+=-令36322rr -=⇒= 3x 项的系数为226(2)60-=C .故选：B 【点睛】本题主要考查二项式的通项公式的应用，属基础题.5．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆ2yx a =-+，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ） A ．68B ．67C ．65D ．64【解析】根据回归直线方程过样本中心点(),x y ，计算出,x y 并代入回归直线方程，求得a 的值，然后将4x =-代入回归直线方程，求得预测的用电量度数. 【详解】 解：()1813101104x +++-==，24343864404y +++==，2402060a y x =+=+=，线性回归方程为：260y x =-+$， 当4x =-时，86068y =+=$， 当气温为4C -o 时，用电量度数为68， 故选A ． 【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点(),x y ，考查方程的思想，属于基础题. 6．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】通过反例可依次排除选项；根据不等式的性质可判断出正确.【详解】 选项：若，，则，可知错误； 选项：若，，则，可知错误； 选项：又，可知正确；选项：当时，，可知错误.本题正确选项： 【点睛】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.7．设,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给定下列命题：①//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭②l m l n l m n αα⊥⋅⊥⎫⇒⊥⎬⋅⊂⎭③//m a m αββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭⑤l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭其中为假命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】采用排除法，结合线面垂直，面面垂直，面面平行，线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理，可得结果. 【详解】对于①，是错误的，//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭，n 可以在平面α内： 对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内 两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直； 对于③根据面面平行的判定定理的推论知其结果正确； 对于④直线m 和n 可以是异面直线.故错误； 对于⑤根据而面垂直的判定定理得到其正确. 故应选：C . 【点睛】本题考查线线，面面，线面位置关系，属基础题.8．经过点2(4)P -，的抛物线的标准方程是（ ） A ．2y x =或2x y = B ．2y x =或28x y = C ．2x y =或28y x =- D ．2y x =或28x y =-【答案】D【解析】由于点()4,2P -在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为22y px =或22x my =-，把点()4,2P -代入方程可得p 或者m 的值，即得抛物线方程．【详解】由于点()4,2P -在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上． 故可设抛物线的标准方程为22y px =，或22x my =-， 把点()4,2P -代入方程可得12p =或 4m =， 故抛物线的标准方程2y x =或28x y =-，故选D ．【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查抛物线的标准方程以及简单性质的应用，可设抛物线的标准方程为22y px =或22x my =-，考查计算能力，是简单题． 9．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】由三角函数的图象变换，得到()g x 的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案。
陕西省西安中学2020届高三仿真考试(一)数学(理)试题+Word版含答案
西安中学高2020届仿真考试理科数学1、已知复数z 满足1z ii i+=-+，则复数z=（ ） .12A i -- .12B i -+ .12C i - .1+2D i2、已知集合113P x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()=R C P N I ( ) {}.03A x x << {}.03B x x <≤ {}.0,1,2,3C {}.1,2,3D3、已知,a b 都是实数，那么“a b >”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165、已知 1.32a = , 0.74b = ，3log 8c = ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b <<6、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ） A ．6?i > B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >7、如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21-πB ．2π C ．22πD ．221-π8、在ABC ∆中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =u u u r u u u r，且34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ）A. 13B. 13-C.14 D.14- 9、已知函数()y f x =与xy e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为（ ） A ．1eB ．1e-C ．eD ． e -10、已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．150B ．162C ．180D ．21011、关于函数()2sinsin()222x xf x x π=+- 有下述四个结论： 函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分；()f x 是周期为π的函数函数()f x 在区间(),-∞+∞上有3个零点；函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减；则正确结论的序号为( )A. B. C. D.12.已知双曲线C 过点且渐近线为3y x =±，则下列结论错误的是( ) .A 曲线C 的方程为2213x y -=；.B 左焦点到一条渐近线距离为1；.C 直线10x --=与曲线C 有两个公共点；.D 过右焦点截双曲线所得弦长为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合{}290A x x =-<，{}B x x N =∈，则AB =( ) A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x ，则A ．:p x ⌝∃∈R, sin 1xB ．:p x ⌝∀∈R, sin 1xC ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x > 3．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．14．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A B C D ．5．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( )A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x x x f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩6．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ）A ．12B ．12- C． D．27．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．13C ．926D ．2610．已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y += B ．2213616x y += C ．2213010x y += D ．2214525x y += 11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )A B ．15 C D 12．已知函数()e xf x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明13．已知2=a ，3b =，a ，b 的夹角为30°，()()2//2a b a b λ++，则()()a b a b λ+⋅-=_________.14．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为则该几何体外接球的表面积为__________．15．设O 为坐标原点,(2,1)A ,若点B(x,y)满足22x y 111201x y ⎧⎫+≤⎪⎪⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎭，则OA OB ⋅的最大值是__________．16．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_________.①()f x 是周期函数；②()f x 的对称轴方程为4k x π=，k ∈Z ；③()f x 在区间3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数；④方程()65f x =在区间3,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有6个根.三、解答题17．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角--A PB E 的大小．18．某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望()E ξ和方差()D ξ.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考临界值：19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.20．从抛物线C ：22x py =（0p >）外一点作该抛物线的两条切线P A 、PB （切点分别为A 、B ），分别与x 轴相交于C 、D ，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.21．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-a g x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.（1）讨论()f x 的单调性（2）求实数0x 和a 的值（3）证明()*11ln(21)2=>+∈n k n n N 22．选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16πρθ-=.（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标. 23．已知,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，()|21||2|f x x x =++-.（1）求22a b +的最小值；（2）若对任意,(0,)a b ∈+∞，都有()22()4f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】求出集合A ，与集合B 取交集即得.【详解】解不等式290x -<，得33x -<<，{}33A x x ∴=-<<.{}B x x N =∈，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ．考点：全称命题与特称命题的否定．3．A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4．B【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B. 5．C【解析】【分析】对选项逐个验证即得答案.【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x -==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-； 又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C .本题考查函数的基本性质，属于基础题. 6．C 【解析】由于sin15cos75=，所以()()3sin15cos 75cos1502f f ===-，故选C. 7．D 【解析】 【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%3%⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%⨯=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有234336C A =种.故选：B . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得AB =所以DF AB =.所以所求概率为24=13DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 10．B 【解析】由题意可得c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得8==，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 11．A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC 面积的最大值.【详解】ABC 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 44C C C π=∈=. D 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CDCA CB ∴=+∴=+，即22242CD CA CB CA CB =++，即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.ABC ∴的面积118sin 225S ab C =≤⨯， 所以ABC面积的最大值为5. 故选：A . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 12．A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x -'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 13．1 【解析】 【分析】由()()2//2a b a b λ++求出λ，代入()()a b a b λ+⋅-，进行数量积的运算即得. 【详解】()()2//2a b a b λ++，∴存在实数k ，使得()22a b k a b λ+=+.,a b 不共线，2,42k kλλ=⎧∴∴=⎨=⎩. 2=a ，3b =，a ，b 的夹角为30°，()()()()22434a b a b a b a b a a b b λ∴+⋅-=+⋅-=+-432cos30431︒=+⨯-⨯=.故答案为：1. 【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题. 14．12π 【解析】三视图还原如下图：2AB BD CD BC ====，由于每个面是直角，显然外接球球心O 在AC 的中点.所以R =，2412S R ππ==，填12π。