弹簧振子的简谐振动

弹簧振子的简谐振动

弘毅学堂汪洲 26

实验目的：

（1）测量弹簧振子的振动周期T。

（2）求弹簧的倔强系数k和有效质量0m

实验器材

气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。

实验原理：

在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。

设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为

1010()()k x x k x x mx -+--=&&

令

12k k =

则有

kx mx

-=&&

①

方程①的解为

00sin()x A t ωϕ=+

说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0ϕ为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有

0k

m

ω=

且

10m m m =+

式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。

0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系

222T πω=

==

②

在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容：

（1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。

（2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。

（3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。

取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是

10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。

（4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。

（5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量”

注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。

（6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理：

1、用逐差法处理数据 由下列公式

2

21

104()T m m k

π=+

2

22

204()T m m k

π=+

2

23

304()T m m k

π=+

2

24

404()T m m k

π=+

③

22

23

1

314()T T m m k π-=-， 23122

314()

m m k T T π-'=-

22

24

2

424()T T m m k π-=-， 24222

42

4()

m m k T T π-''=- ④ 故 1()2

k k k '''=+

如果由④式得到k '和k ''的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说明②式中T 与m 的关系是成立的。将平均值k 代入④式，得

2

024i i i kT m m π

=- （i=1,2,3,4）

4

001

14i i m m ==∑

平均值0m 就是弹簧的有效质量。

2、用作图法处理数据

以2

i T 为纵坐标，i m 为横坐标，作2

i i T m -图，得直线。其斜率为2

4k

π，截距为

2

04m k

π，由此可以求出k 和0m 。 预习思考：

（1）如果实验中分别采用两次和三次遮光来测量振动周期，对二者的振幅分别有什么要求？

采用两次遮光时，振幅应为△L/2。采用三次遮光时，振幅应大于△L/2。 （2）仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何保证滑块做简谐振动？

滑块的前几次振动减小的振幅可以忽略不计。 减少滑块和导轨间的阻力。 习题：

（1）整理实验数据，用逐差法求弹簧的倔强系数k 和有效质量0m 。 m 1= 0.326948kg

m2= 0.361461kg

m3= 0.39638kg

m4= 0.431895kg

由公式可得：

k '=4.1522/kg s k ''=4.1202/kg s

∴ 1()2

k k k '''=+=4.1362/kg s

01m =7.870g 02m =7.973g 03m =7.608g 04m =8.241g

∴ 0m =7.923g

（2）弹簧的实际质量与有效质量相比，哪一个大？求出两者之比。

弹簧的实际质量为17.791g 。所以弹簧的实际质量比有效质量大，两者之比为2.246。

（3） 用作图法处理实验数据，并计算出弹簧的倔强系数k 和有效质量0m 。