随机过程试卷 (A卷)【合肥工业大学】
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。
【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。
（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。
由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题
合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( ) 2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x xLy ye f x dx e f x d ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。
应用随机过程
安徽大学2009—2010学年第一学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号题 号 一 二 三 四 总分得 分得分一、填空题（每小题3分，共24分）1、设X 是概率空间上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ-域，定义(,,)F P Ω(|)E X C 如下：(1) ；(2) 。
2、由全数学期望公式,取()[(|)]E X E E X C =X = ，C = ，即有连续型（广义）的全概率公式 。
3、设是强度为{(),0}N t t ≥λ的Poisson 过程，则N(t)具有 增量，且充分小，有0,0t h ∀>>{}(()(0P N t h N t +−=))= , ({})()()1P N t h N t +−== 。
4、设{(是强度为),0}N t t ≥λ的Poisson 过程, {, ,分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则1},{,1n n X n S n ≥}≥12,,,n X X X 独立且服从参数为λ的指数分布， n S ∼，1(|N t X )1=∼；12(,,S S (),)|n N t n S =d 。
5、试述连续鞅（过程）的定义 。
设{(为一维标准Brown 运动，则),0}W t t ≥0,t ∀>()W t ∼ ，且由{(可构造出如下的鞅（试举两例） ),0}W t t ≥。
6、在金融衍生品定价模型中，通常假设原生资产（如：股票）的价格过程{(遵循几何Brown 运动，即股价过程服从随机微分方程： ),0}S t t ≥（其中参数的含义为 ），这是由于 。
7、试述关于测度变换的Girsanov 定理： 。
8、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为 ，其处理问题的实质在于 。
得分 二、证明分析题（共10分）假设X 是概率空间（Ω,F,P ）上的非负随机变量，且服从指数分布，即：,0a ∀>{}()1,a P X a e λ−≤=−>0λ为常数；设λ是另一个正常数，定义()(),(),X A Z Z e P A P A F λλλωλ−−===∈∫Zd ,(1)证明： ()1PΩ=； (2)求在概率测度 P下，随机变量X 的分布函数： 0,({})a P X a >≤。
随机过程试题与答案
《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt −π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。
4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。
二、（本题10分）解：（1）P N 12 −N 8 =0 =e −12. (5分)（2）f T t =3e −3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。
（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。
则平稳分布为 （10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = −λλμ−(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 −(λ+μ)λμ−μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分） 后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0， π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1−λμ1− λμ4,π1=λμ 1−λμ1− λμ4,π2=λμ2 1−λμ1− λμ4,π3=λμ3 1−λμ1− λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,⋯,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ⋮Z t n = t 12t 22⋮t n2 2t 12t 2⋮2t n X Y + −2−2−2−2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,⋯,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。
合肥工业大学试卷参考答案(A卷)
又因 N 必须为 2 的整数幂 所以一个记录中的最少点数为 N=210=1024。 二. 简答题（共 40 分，10 分/题） 1. 采用 FFT 算法，可用快速卷积实现线性卷积。现欲计算两个长度分别为 N1 和 N2 的有限 长序列 x(n)、 h(n)的线性卷积 x(n)*h(n)， 试写出该快速卷积算法的计算步骤 （注意说明点数） 。 M 1 将序列 x(n)、h(n) 补零至长度 N，其中：N≥N1+N2−1 且 N=2 （M 为整数） 答：○ ； 2 利用 FFT 算法分别计算序列 x(n)、h(n)的 N 点离散傅里叶变换 X(k)、H(k)； ○ 3 计算频谱 X(k)、H(k)的乘积，即 ○
Y (k ) = X (k ) H (k )
4 计算 Y(k)的 IFFT 变换，则求得序列 x(n)、h(n)的 N 点线性卷积 x(n)*h(n)，即 ○
x(n) ∗ h(n) = y (n) = IFFT [ X (k ) H (k )]
此快速卷积过程如图所示，图中，N≥N1+N2-1，且 N=2M（M 为整数） 。
−π
π
3. 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
第 1 页 共 4 页
解：由循环卷积的定义，可知
6 x ( n) = [ x (( n)) ○ * x ((n )) ]R ( n) y (n) = x1 (n) ○ 2 1 6 2 6 6 * 3δ ((n − 3)) ]R ( n) = [ x1 ((n)) 6 ○ 6 6
第 3 页 共 4 页
∑
n =0
N −1
x (n) =
2
1 N
∑ X (k )
k =0
N −1
2
证：由 DFT 的定义，可知
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
2091随机过程(试题A)
空军工程大学2012年博士研究生入学试题考试科目： 随机过程 （A 卷） 科目代码 2091 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。
1、（12分）设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，求下列过程的协方差函数：（1）(),()W t At A +为常数；（2）()(),()~(0,1)()W t X t X t N W t +且与相互独立.2、（10分）证明：X {X(t),t T}t=0C ()=0.ττ∈在处均方连续与其协方差函数在处连续等价3、（10分）设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们分别以2/3和1/3的概率取值1-和2，求()Z t 的均值函数与自相关函数，并讨论()Z t 的平稳性。
4、（10分）设E=R, {(),1}Y n n ≥是独立随机序列，令1(1)(1),()()nk X Y X n Y k ===∑，证明：{(),1}X n n ≥是一马尔可夫过程。
5、（10分）设二阶矩过程()X t 在[,]a b 上可积，证明：(1)(())()(());b ba a D X s dsb a D X s ds ≤-⎰⎰6、（10分） 证明：当且仅当U 与V 是不相关的随机变量，并且均值都为零、方差相等时，随机过程()cos()sin()X t U t V t ωω=+是宽平稳过程。
7、（10分）设线性时不变系统的频率响应()j H j j ωαωωβ-=+，输入平稳过程()X t 的相关函数||()a X R e ττ-=，求互相关函数()YX R τ。
8、（12分）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个，每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W 的(),var()E W W 和(2)P W ≥。
随机过程试题及答案说课材料
随机过程试题及答案收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ijp ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
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一、填空题（每小题5分，共30分）
1．设}0),({³t t X 是以)0(2>s s 为方差参数的维纳过程，则)()(t g t X ×+x （其中x 为与
}0),({³t t X 相互独立的标准正态随机变量，)(t g 为普通函数）的协方差函数为 ，)()(2
a t
aX t Z =（其中a 为正常数）的自相关函数为 ；
2．设随机过程at X t X cos )(=，其中X 是随机变量，)0)((~>l l P X ，a 为常数，则
=))((t X E ，=G ),(t s X ，=),(t s R X ；
3．设m i t t N i ,,1,0},0),({L =³是m 个相互独立的泊松过程，参数分别为m i i ,,1,0,L =l ，记T 为全部m 个过程中第一个事件发生的时刻，则T 的分布为 ；
4．设某种电器发生故障的次数服从非齐次的泊松过程，若强度函数î
íì<£<£=105,4.050,2.0)(t t t l ，
则电器在10年内发生2次（含2次）以上的故障概率 ；
5．已知平稳过程)(t X 的谱密度为2
22
)(w
w +=a a g （a 为正常数），则)(t X 的自协方差函数为 ；
6．设齐次马氏链状态空间}3,2,1{=I ，一步转移概率矩阵为÷÷÷
ø
öçççèæ=2.07.01.04.03.03.01.05.04.0P ，若初始
分布列为)8.01.01.0()0(=P v ，则2=n 时绝对分布=)2(P v
，=)2(2P 。
二、计算题
1． 顾客以Poisson 过程达到商店，速率小时人/4=l ，已知商店上午9：00开门，试求
到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计到达5位顾客的概率。
（8分）
2． 设齐次马氏链},1,0,{L =n X n 的状态空间}1,0{=I ，转移概率矩阵为
÷
÷ø
ö
ççèæ=4/34/14/14/3P ，若初始分布为)1.09.0()0(=P v ， （1） 求}0)4(,0)3(,0)2(,0)1(,0)0({=====X X X X X P ，
（3） 求}0)3(,1)2(,1)0({===X X X P ，
（4） 说明此链是遍历的，并求出平稳分布。
（12分）
3．设马氏链的状态空间}4,3,2,1{=I ，其一步转移概率矩阵为÷÷÷
÷÷øöçç
ç
ç
ç
è
æ=10004/14/14/14/1002/12/100
2/12/1P 试研究各状态之间关系及各状态的常返性。
（10分）
4．设信息流}0),({³t t X 为一随即过程，且对每个t 有2
1}1)({}1)({=
-===t X P t X P ，且在],0(t 时间区间内)(t X 的变号次数)(t N 服从速率为l 的Poisson 过程，约定0)0(=N ，证明}0),({³t t X 为宽平稳过程，并求其谱密度。
(10分)
5．设)1,2(ARMA 序列为1214.04.03.1----+-=t t t t t X X X m m ， （1）求格林函数及其传递形式（写前3项即到3-t m ）， （2）求逆函数及其逆转形式（写前3项即到3-t X ）。
（10分）
三、证明题
1．设}0),({³t t N 为一泊松过程，对t s <<0，试验证：
k n k
k n t
s t s C n t N k s N P --===)1()(})()({，n k ,,1,0L =。
（12分）
2．设Y X ,为两个随机变量，试证：)())((X E Y X E E =。
（8分）
一、填空题（每小题5分，共30分）
1．设}0),({³t t X 是以)0(2>s s 为方差参数的维纳过程，则)()(t g t X ×+x （其中x 为与
}0),({³t t X 相互独立的标准正态随机变量，)(t g 为普通函数）的协方差函数为 ，)()(2
a t
aX t Z =（其中a 为正常数）的自相关函数为 ；
2．设随机过程at X t X cos )(=，其中X 是随机变量，)0)((~>l l P X ，a 为常数，则
=))((t X E ，=G ),(t s X ，=),(t s R X ；
3．设m i t t N i ,,1,0},0),({L =³是m 个相互独立的泊松过程，参数分别为m i i ,,1,0,L =l ，记T 为全部m 个过程中第一个事件发生的时刻，则T 的分布为 ；
4．设某种电器发生故障的次数服从非齐次的泊松过程，若强度函数î
íì<£<£=105,4.050,2.0)(t t t l ，
则电器在10年内发生2次（含2次）以上的故障概率 ；
5．已知平稳过程)(t X 的谱密度为2
22
)(w
w +=a a g （a 为正常数），则)(t X 的自协方差函数为 ；
6．设齐次马氏链状态空间}3,2,1{=I ，一步转移概率矩阵为÷÷÷
ø
öçççèæ=2.07.01.04.03.03.01.05.04.0P ，若初始
分布列为)8.01.01.0()0(=P v ，则2=n 时绝对分布=)2(P v
，=)2(2P 。
二、计算题
1． 顾客以Poisson 过程达到商店，速率小时人/4=l ，已知商店上午9：00开门，试求
到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计到达5位顾客的概率。
（8分）
2． 设齐次马氏链},1,0,{L =n X n 的状态空间}1,0{=I ，转移概率矩阵为
÷
÷ø
ö
ççèæ=4/34/14/14/3P ，若初始分布为)1.09.0()0(=P v ， （1） 求}0)4(,0)3(,0)2(,0)1(,0)0({=====X X X X X P ，
（3） 求}0)3(,1)2(,1)0({===X X X P ，
（4） 说明此链是遍历的，并求出平稳分布。
（12分）
3．设马氏链的状态空间}4,3,2,1{=I ，其一步转移概率矩阵为÷÷÷
÷÷øöçç
ç
ç
ç
è
æ=10004/14/14/14/1002/12/100
2/12/1P 试研究各状态之间关系及各状态的常返性。
（10分）
4．设信息流}0),({³t t X 为一随即过程，且对每个t 有2
1}1)({}1)({=
-===t X P t X P ，且在],0(t 时间区间内)(t X 的变号次数)(t N 服从速率为l 的Poisson 过程，约定0)0(=N ，证明}0),({³t t X 为宽平稳过程，并求其谱密度。
(10分)
5．设)1,2(ARMA 序列为1214.04.03.1----+-=t t t t t X X X m m ， （1）求格林函数及其传递形式（写前3项即到3-t m ）， （2）求逆函数及其逆转形式（写前3项即到3-t X ）。
（10分）
三、证明题
1．设}0),({³t t N 为一泊松过程，对t s <<0，试验证：
k n k
k n t
s t s C n t N k s N P --===)1()(})()({，n k ,,1,0L =。
（12分）
2．设Y X ,为两个随机变量，试证：)())((X E Y X E E =。
（8分）。