19-20 第3章 3.1 3.1.2 第1课时 函数的表示法
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.2函数的表示法课件
S 350t
函数的三种表示方法：
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
2、图像法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 3、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
解：用图象法可将函 数 y=f(x)表示为 图3.1-2.
分段函数的解析式和图像
例2 画出函数 f(x)=|x| 的图像，并根据图像求函数 f(x)值域
x
0
0，
图像为
这样的函数叫分段函数， 在生活中，有很多可以用分段 函数描述的实际问题，比如出 租车计费，个人所得税等
分段函数的解析式和图像
例3 给定函数f ( x) = x + 1，g( x) = ( x + 1)2 ,
(1)在同一直角坐标系中画 出f ( x)和g( x)的图像 (2)∀x∈ R,用M ( x)表示f ( x), g( x)中的较大者, 记为：
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
第三章 3.1.2 第1课时 函数的表示法
3．1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点 函数的表示法思考 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答案 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁RQ .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 特别提醒 函数三种表示法的优缺点比较1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)＝________.x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )123答案 3解析 ∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是________．答案 [－2,3]解析 由图象可知f (x )的定义域为[－2,3]．3．已知f (x )的图象如图，则f (x )的值域为________．答案 [－4,3]解析 由f (x )的图象知，f (x )的值域为[－4,3]．4．若一次函数f (x )的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函数的解析式为________． 答案 f (x )＝x ＋1解析 由题意设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.一、函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式t ＝ax ＋bx .当x＝2时，t ＝100；当x ＝14时，t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t 的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t 的图象．解 (1)由题设条件知，当x ＝2时，t ＝100， 当x ＝14时，t ＝28，列出方程组⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x .又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N }．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t 的图象是由20个点组成的一个点列， 如图所示．(学生)反思感悟 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 已知函数f (x )＝－x －1，x ∈{1,2,3,4}， 试分别用图象法和列表法表示函数y ＝f (x )． 解 用图象法表示函数y ＝f (x )，如图所示．用列表法表示函数y ＝f (x )，如表所示．x 1 2 3 4 y－2－3－4－5二、函数的图象的画法 例2 作出下列函数的图象： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分． 如图所示，(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．如图所示，(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．如图所示，(教师) 延伸探究根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]． (学生)反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练2 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]．解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，当x ＝1,3时，y ＝0； 当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．三、求函数的解析式例3 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． 解 (1)方法一 (换元法)：令t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x， 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．(学生)反思感悟 求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(2)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(3)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 跟踪训练3 (1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )． 解 (1)方法一 (配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2 ＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.方法二 (换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， 即f (x )＝x 2－5x ＋6. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8. ∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.函数图象的应用典例已知函数f(x)＝x2－2x(x>1或x<－1)，(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．解f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．(1)由图可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．(2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m>3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)答案 C解析由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2答案 A解析因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A．3 B．2 C．1 D．0答案 B解析由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案 1解析由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________．答案f(x)＝－x2－4x－1解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.1．知识清单： (1)函数的表示法． (2)函数的图象． (3)求函数解析式．2．方法归纳：待定系数法、换元法、数形结合法． 3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 答案 D解析 题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}． 2．已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．4 B.14 C ．16 D.116答案 C解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x2＝16.3．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10答案 A解析 方法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1. ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5，∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .方法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .4．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( )A ．－1B ．5C ．1D ．8答案 C解析 由3x ＋2＝2得x ＝0，所以a ＝2×0＋1＝1.5．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )答案 D解析 由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 7．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.答案 2x －23解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23. 8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧ 330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570， 若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)求函数f (x )的值域．解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )．解 (1)方法一 (换元法)：令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1，∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， 令t ＝x －1x，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.11．函数y ＝x 1＋x 的大致图象是( )答案 A解析 方法一 y ＝x 1＋x的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．12．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)答案 D解析 由题意得y ＋2x ＝20，所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5，由y >0即20－2x >0得x <10，所以5<x <10.13．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为________． 答案 －1解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)， 所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3] ＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1， 求得a ＝－1.14．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________________．答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0) 解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x. 由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x (x ≠0)．15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．16．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．解由f(3)＝3，得b＝－3a－9.由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，所以a＝－6，b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9.。
3.1.2函数的表示法-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
= 0.8 × 189600 − 117360 = 34320.
将t的值代入(1)中，得y = 0.03 × 34320 = 1029.6.
所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元.
练习巩固
2x + 1，x < 1，
练习1：已知函数f(x) =
则f(9) =( )
f(x − 3)，x ≥ 1，
(1)在同一直角坐标系中画出f(x)，g(x)的图象；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
练习巩固
例6：给定函数f(x) = x + 1，g(x) = (x + 1)2 ，x ∈ R，
(2)∀x ∈ R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x) = max{f(x)，g(x)}.
解：由2 (−) + () = ，①
可得2 + − = −.②
联立①②，得：f x = −x.
小结
解析法
常用表示法
列表法
图像法
函数的表示法
定义
分段函数
图像
函数的实际应用
练习巩固
例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国
个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税
额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所
得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收
复习导入
新知探究
问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种
方法吗？
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
1【课件(人教版)】第1课时 函数的表示法
法二：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2 （t－1）2＝t2－1(t≥1)． 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x.
于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数， 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的 关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变 量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2020·辽源检测)设函数 f11－ ＋xx＝x，则 f(x)的表达式为
解析：选 A.法一：令 2x＋1＝t，则 x＝t－2 1.
所以 f(t)＝6×t－2 1＋5＝3t＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
法二：因为 f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
()
3．已知函数 f(x)＝x－mx ，且此函数的图象过点(5，4)，则实数 m 的值为 ________． 解析：因为函数 f(x)＝x－mx 的图象过点(5，4)， 所以 4＝5－m5 ，解得 m＝5. 答案：5
5．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)． 解：因为 f(x)是二次函数，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝1，得 c＝1. 由 f(x＋1)－f(x)＝2x， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
4．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法第一册数学教案
3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一 函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)． [基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2. ∴f (x )＝3x ＋2. 答案：A4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为 当g (f (x ))＝2时，x ＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3， ∴f (g (1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1. 答案：1 1题型一 函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x (x 为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．状元随笔 本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二 求函数的解析式 [经典例题] 例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x1－x 2，得f (t )＝1t1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝tt 2－1，故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c. 跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________；(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2 ＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2)(2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法 设x 2＋2＝t. (2)待定系数法 设f(x)＝ax ＋b.题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2|x |≤1，11＋x 2|x |>1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f f n ＋5，n <10，则f (8)＝________.【解析】(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B. 判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中， 即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10， 故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0，π x ＝0，0 x <0，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π， ∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式． 题型四 函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象； (2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}．例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)．由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，x ＋12，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者． 跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值例 求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值．【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错．答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝11＋xB ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t ，∴f (x )＝1x ＋2.答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________. 解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 2－12f－2＝4，f－2－12f2＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f 2－f －2＝8，f －2－12f 2＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5 y /元20406080100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2. [尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)； (2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
新人教版高中数学必修第一册3.1.2 函数的表示法
y
25
笔记本数m
1
2
3
4
5
20
钱数y
5
10
15
20
25
15
【图像法】函数图像可以表示如图：
10
5
0
1
2
3
4
5
m
函数的表示法
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
=
−
=
（2）含绝对值符号的函数：
− , <
（3）自定义函数：
− , ≤
= − = −, < <
+ , ≥
（3）取整函数：
= ( 表示不大于 的最大整数)
如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果
并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期
的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，
如函数f(x)=x.
Hale Waihona Puke 分段函数【题】画出函数y=|x|的图像
【解】由绝对值的概念，有y=
画出图像如图：
-x，x＜0，
x，x≥0.
像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)
如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，
新教材人教版高中数学必修1 第三章 3.1.2 函数的表示法(一)
集合B { x, y | x R, y R}
对应关系f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆} 对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A {x | x是新华中学的班级}, 集合B {x | x是新华中学的学生}, 对应关系f : 每一个班级都对应班里的学生.
f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应
f’ : E F
➢映射概念
非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y
1、下列对应中，能构成映射的有（
）
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(1)
A
B
a1
b1 b2
a2
b3 b4
(4)
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(2)
A
B
a1
b1
a2
b2
(5)
(3) f ( x) 2x2 3x 5
[0, )
(, 2) U(2, ) [ 31 , )
8
一、复习回顾
实例1：炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)
变化的规律是 ： h=130t-5t2
解析法
实例2：南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变
化情况：
图象法
实例3：
列表法
二、基础知识讲解
A
B
a1
b1
a2
3.1.2 函数的表示(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
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③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
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列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的 对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时 要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有 代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．
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(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线 y＝x2＋2x 在－2≤x<2 之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1,8)．
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描点法作函数图象的三个关注点
1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图
因为 x＋1≥1， 所以 f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
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(2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又 f(f(x))＝4x＋8， 所以 a2x＋ab＋b＝4x＋8，
象.
3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.
要分清这些关键点是实心点还是空心圈.
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的
点等.
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2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1，或 x<－1)． [解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或 x<－1)是抛物线 y＝x2－2x 去掉－ 1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图②.
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1．已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2<x≤4
f(x)
1
2
3
A.1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当 2< x≤4 时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
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2．二次函数的图象的顶点为(0， B [把点(0，－1)代入四个选项 －1)，对称轴为 y 轴，则二次函数的 可知，只有 B 正确．] 解析式可以为( )
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[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
－1,2，－3}．
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(2)列表…
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图象可知
其值域为(0,1]．
A．y＝－14x2＋1 B．y＝14x2－1 C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
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3．已知函数 y＝f(x)的图象如图
[－2,3] [由图象可知 f(x)的定义
所示，则其定义域是______．
域为[－2,3]．]
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合作探究 提素养
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函数的三种表示方法
【例 1】 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
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学习目标
核心素养
1.掌握函数的三种表示方法：解析 1.通过函数表示的图象法培养直观
法、图象法、列表法．(重点)
想象素养．
2．会根据不同的需要选择恰当的方 2．通过函数解析式的求法培养运算
法表示函数．(难点)
数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出
来． [解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
y(元)
3 000
6 000
x(台)
6
7
y(元)
18 000 21 000
3 9 000
8 24 000
4 12 000
9 27 000
5 15 000
10 30 000
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②图象法：如图所示．
慢减少，最后到 0，故选 D.
(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选 B.]
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图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
素养.
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自主预习 探新知
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函数的表示法
数学表达式 图象
表格
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思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示 吗？
提示：不一定． 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用
0，x∈Q， 于所有函数，如 D(x)＝1，x∈∁RQ. 列表法虽在理论上适用于所有函数， 但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片 段．
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(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)2x＋83或－2x－8 (3)23x－1 [(1)法一(换元 法)：令 t＝ x＋1，则 t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有 f(t)＝(t－1)2－2(t－1) ＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f( x＋1)＝x＋2 x＋1－4 x－4＋3＝( x＋1)2－4( x＋ 1)＋3，
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1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下 列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走 法的是( )
A
B
C
D
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(2)由下表给出函数 y＝f(x)，则 f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
A.1
5
3
B．2
2
1
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较
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函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
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【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．