华南师范大学高等代数讲义

高等代数精读讲义南京师范大学数科院子曰：「学而不思则罔，思而不学则殆。

」------出自「论语.为政」（按钱穆先生注：学而不思，不深辨其真意所在，必致迷惘无所得。

思而不学，则事无验证，疑不能解，将危殆不安。

故『学与思』当齐修并进，不可偏废，仅学不思，容易迷失自己。

仅思不学，亦是把自己封闭孤立了。

)子曰: 「学而时习之, 不亦说乎，有朋自远方来, 不亦乐乎，人不知而不愠, 不亦君子乎」------出自「论语. 学而第一」（注：学习知识，时常温习和实践，不是令人高兴的事吗？有朋友从远方而来，不也是令人快乐的事儿吗？我有才学，别人不了解自己，我并不因此而烦恼，这不才是君子吗？）数形本是两相依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微，切莫忘！数形结合百般好，数形割裂万事休。

----------华罗庚第一章 多项式§1 数域一．数的起源与发展从数的形成历史来看，大体经历了这样一个过程。

自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要．中国古代文献《周易·系辞下》有记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”，就是说古人开始用结绳记数，后来改为刻痕记数。

其他国家也有类似的记载。

随着人类的发展又发明了一些记数符号，各个国家和地区的记数符号是不同的，中国出土的殷商甲骨文中已经有完整的十进制记数。

今天我们所用的符号：1，2，3，··· 称为阿拉伯数字，其实是印度人发明的，公元八世纪前后，由印度传入阿拉伯，公元十二世纪又从阿拉伯传入欧洲，人们误认为是阿拉伯人发明的，所以叫做“阿拉伯数字”。

正分数的产生源于分配及测量的需求，当不够分或者度量不尽时，就产生了正分数的概念。

比如：当两个人分三张饼时，需要将一张饼分二份，各取其中之一，这便产生了“二分之一”，今天我们记为12，每人分到112或者32张饼。

类似的问题在测量中也会遇到，记尺子的长度为1，测量到最后不够一尺时，就试图用正分数来表示。

据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题．自然数并上正分数便构成了正有理数。

我国古代筹算中，利用“空位”表示零. 公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事．以后,为了表示具有相反意义的量, 负数概念就出现了．在欧洲，直到16世纪大多数数学家还不承认负数，到17世纪才对负数有一个完整的认识．引入0和负引入无理数引入虚数数，就得到了全部有理数。

引进无理数，建立严格的实数理论是19世纪70年代以后的事情，但是无理数的发现却可以追溯到公元前5世纪的古希腊，而且非常具有戏剧性。

前面我们提到当测量到最后不够一尺时，就试图用正分数来表示，那么一个自然的问题是：是否一定能用正分数表示呢？古希腊的著名数学家毕达哥拉斯(Pythagqras ，约公元前580～前500)有一句名言“宇宙间的一切现象，都可以归结为自然数或者自然数之比.”，并把它作为毕达哥拉斯学派的宗教信条。

随后，毕达哥拉斯发现了一个非常著名的定理，即我们熟知的勾股定理，国际上都称之为毕达哥拉斯定理。

有一个学生希伯斯在思考这样一个问题：单位正方形的对角线的长度x 是多少？ 假设毕达哥拉斯的名言是正确的，则可设 m x n=, 其中m , n 都是自然数。

进一步可不妨设m , n 是互素的（互质的）。

利用毕达哥拉斯定理得到 22x =， 则222m n =，从而2是2m 的因子，也一定是m 的因子，所以可设 2m p =，其中p 也是自然数。

因此22(2)2p n =，即 222p n =，从而得到2也是n 的因子, 这与m , n 是互素的相矛盾。

所以希伯斯发现毕达哥拉斯的名言是错误的，单位正方形的对角线的长度就无法用两个自然数之比来表示，它的长度应该对应一个新。

希伯斯把他的发现告诉了老师，毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到， 自己最得意的毕达哥拉斯定理竟然招来了一位神秘的“天外来客”，以至于动摇了他的学派的宗教信条。

于是，并且不允许告诉外人，否则会受到惩罚。

希伯斯不服气，还是将自己的发现传扬出去，最终希伯斯受到了惩罚，为真理而献身。

的发现为毕达哥拉斯学派赢得了荣誉。

数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾．16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，大胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案．由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进。

16世纪中叶，意大利数学家卡尔丹提出了这样的问题：两个数之和为10，之积为40， 问这两个数是多少？设一个数为x ， 则 (10)40x x −=，即 210400x x −+=，绝大多数人得到的结论是无解。

但是卡尔丹鼓足勇气，“不管良心受到多大的责备”用求根公式得到了两个奇怪的东西 5，利用熟知的运算法则可以验证这两个奇怪的东西正好满足题目的要求。

针对这一现象，有两种截然不同的态度，一是认为没有意义，拒绝接受，这其中包括大数学家牛顿和莱布尼兹。

另一观点是接受这种怪东西，作为不同于实数的新的数，并称之为虚数。

从18世纪末至19世纪初，虚数在数学中的地位得到确立．引进虚数，形成了复数系．上面,我们简要地回顾了数的发展过程．必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的．例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了．直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过．后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构．从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G ．Peano ，1855～1939)、康托尔(G ．Cantor ，1845～1918)、戴德金(R ．Dedekind ，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass ，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作．练习题：设 p 是素数（质数）是无理数。

二 复数理论简介i ，称为虚数单位，它具有性质 12−=i 。

前面所提到的5±5i 。

一般的复数就定义为a bi +，其中,a b 都是实数。

其中a 称为实部，b 称为虚部，记为Re(),Im().a a bi b a bi =+=+ 设复数 z a bi =+，如果0b ≠，称z 为虚数；如果0,0a b =≠，称z 为纯虚数，如果0,b =则z 退化为实数。

全部的实数和虚数合起来构成全体复数，用字母C 表示。

称 a bi −为z a bi =+的共扼复数， 记为 z 。

我们知道，每一个实数都可以用数轴上的点来表示，从而给了实数形象的几何表示。

类似的，复数也有形象的几何表示，每一个复数都对应平面上的一个点（或者从原点出发的向量）。

复数有三种表达形式： 代数形式： z a bi =+; 三角形式：(cos sin )z r i θθ=+，其中 0r ≥； 指数形式：i z re θ=，其中i e θ可理解为 cos sin i θθ+的简单记号。

相互之间的关系为：cos sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩，tan r b a θ⎧=⎪⎨=⎪⎩。

称 r 为复数z 的模，记为||z 。

称θ为复数z 的辐角，记为Arg()z ，显然z 的辐角有无穷多，它们相差2k π，在(,]ππ−之间的辐角是唯一的，称之为辐角主值（主辐角），记为 arg()z .复数的四则运算：设111222(cos sin ),(cos sin ),i i z a bi r i re z c di r i r e αβααββ=+=+==+=+=则 12()()z z a c b d i ±=±+± -------------------（1）12()()z z ac bd ad bc i =−++ -----------------（2）思考题：1. 试证明()121212[cos()sin()]i z z r r i r r e αβαβαβ+=+++=------------（3）特别的， 111()()[cos()sin()]()n n n in z r n i n r e ααα=+=-----------（4）2. 思考为什么把i e θ 作为 cos sin i θθ+ 的简单记号。

3. 证明---------------------（5）除法公式思考题：1. 大家熟知 21x =有两个根：1,1−；请探寻2(cos sin )x z r i αα==+ 的根。

2．设 (cos sin )n x z r i αα==+，请写出求根公式：练习题：1. 解方程 31x =；2．解方程 2,(0)x a a =−>；3．求 20ax bx c ++= 的根，其中,,a b c 都是实数，并检查以前所学的求根公式是否依然适用，韦达定理是否仍旧成立。

4．已知复数（2x -1）+i 与复数y+(3-y ) i 互为共轭复数，其中x,y ∈R ，求x 与y.5．实数m 取什么值时，复数z =m +1+(m -1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？共轭运算公式： 请自己证明。

三 数学归纳法数学归纳法是用来证明一个与自然数 n 有关的命题 P n .第一数学归纳法: 要证明对于所有的自然数n, 命题 P n 都成立, 只需要证明如下两步1) n=1 时,命题成立 (即命题 1P 成立);2) 假设 n k =时命题成立, 则1n k =+时命题也成立(即 P k 成立 ⇒ 1P k + 成立).第二数学归纳法: 要证明对于所有的自然数n, 命题 P n 都成立, 只需要证明如下两步1) n=1 时,命题成立 (即命题 1P 成立);2) 假设 n k <时命题成立, 则n k =时命题也成立(即 121P , P ,,P k −" 成立 ⇒ P k 成立).要说明一个与任意自然数 n 有关的命题 P n 是成立的, 仅靠有限的归纳验证是靠不住的,必须用数学归纳法进行严格的证明.五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908——1996）在给大学一年级学生讲高等数学课， 他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半。

她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。

天天早晨她拿米喂鸡。

到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。

”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。

这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。