应用统计学 第5章 方差分析
（5.2.1）
1 r s ij ; rs i 1 j 1 1 s i ij , i 1, , r ; s j 1 1 r j r ij , j 1, , s. i 1
（5.2.2）
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s
(5.2.16)
S A B t ( X ij . X i.. X . j . X ) 2
i 1 j 1
r
(5.2.17)
S E 称为误差平方和，S A , S B 分别称为因素 A 和因素 B 的效应平方和，S A B 称为因素
A 和因素 B 的交互效应平方和。
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仅考虑原料产地一个因素。这个因素有 4 个水平，我们要讨论的问题即检验假设：
H 0 : 1 2 3 4 ； H1 : 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
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第五章 方差分析
设因素A有t个水平，在第i个水平下进行了ni 次相互独立的试验，结果如下：
并称 ij 为 Ai 与 B j 的交互效应。
（5.2.5）
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第五章 方差分析
此假设检验问题为
H 01 : 1 2 r 0 H11 : 不全为零 H 02 : 1 2 s 0 H 22 : 不全为零 H 03 : 11 12 rs 0 H 33 : 不全为零
2 i 1 j 1 i 1
t
ni
t
（5.1.14）
易见 S E 反映了随机误差所造成的数据变异，称 S E 为误差平方和（或组内平方和） 。 如果因素 A 的效应是显著的，这些效应引起的数据变异必然反映到 ( X i X ) 中，所以
S A 包含了因素 A 在各个水平下的不同作用在数据中引起的波动，称 S A 为因素 A 的效
第五章 方差分析
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第五章 方差分析
设因素A有r个水平，因素 B有s个水平。 试验结果
因素B 因素A
B1
B2
A1 A2
X 111, X 112 ,, X 11t X 121, X 122 ,, X 12t X 211, X 212 ,, X 21t X 221, X 222 ,, X 22t
Bs
X 1s1 , X 1s 2 ,, X 1st
X 2 s1 , X 2 s 2 ,, X 2 st
Ar
X rs1 , X rs 2 ,, X rst
X r11, X r12 ,, X r1t X r 21, X r 22 ,, X r 2t
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X . j.
1 r t X ijk , j 1,2, , s rt i 1 k 1
以 S T 表示总偏差平方和，即有
ST ( X ijk X ) 2
i 1 j 1 k 1
r
s
t
(5.2.12)
通过一系列的运算，我们得到
ST S E S A S B S AB
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第五章 方差分析
第一节 单因素试验的方差分析
例5.1.4 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成—萘酚，测定 所得产品的熔点如表5.1.1所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？
表 5.1.1 不同产地原料萘合成 —萘酚的熔点℃
产地 1 124.0 121.5 123.0 123.5 123.0 123.0 121.0 123.0 123.0 121.0 123.5 产地 2 产地 3 产地 4
由上表可知，接受原假设，即原料萘的产地 对萘酚熔点无显著影响 。
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第五章 方差分析
第二节 双因素试验的方差分析
一、双因素等重复试验的方差分析
在实际中，影响一事物的因素有两个或更多。 下面我们讨论双因素的方差分析问题。
双因素方差分析的基本思路：若某一因素的几个水平会引起事 物很不同的结果，则这个因素就是重要的；若某一因素的几个 水平仅是导致事物相近的结果，则这个因素就是不重要的。
该检验法的直观意义是：当组间差异相对于组 内差异较大时就拒绝原假设H 0 。
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第五章 方差分析
例1 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工 艺条件合成—萘酚，测定所得产品的熔点如下 表所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的 熔点
产地1
124.0 123.0 123.5 123.0
1 X i ni
X ji , i 1,, t
j 1
ni
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第五章 方差分析
因为
S T [( X ji X i ) ( X i X )] 2
i 1 j 1 t ni
t
ni
( X ji X i ) 2 ( X ji X i )( X i X ) ( X i X ) 2
j . j , j 1,, s
（5.2.4）
为因素 B 的第 j 水平 B j 的主效应，它也依赖于因素 A 的水平的选取。又记
ij ij i j ij i. . j
( ij . j ) ( i. ), i 1,, r; j 1,, s.
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第五章 方差分析
1 r s t X X ijk ， rst i 1 j 1 k 1
1 t X ij . X ijk , i 1,2, , r , j 1,2, , s ， t k 1
1 s t X i.. X ijk , i 1,2, , r ， st j 1 k 1
试验结果 因素 A
A1
X 11
A2
X 12 X 22
…
Ai
…
At
X 1i X 2i
┇
X 1t X 2t
┇
试验指标
X 21
X n11
X n2 2
X ni i
X nt t
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第五章 方差分析
第一节 单因素试验的方差分析
假设在水平 Ai 下，试验指标 X ji 来自正态总体 N ( i , ) ，
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第五章 方差分析
方差分析的关键是对全部数据的波动程度进行分解。 n 个 指标数据的总平均
1 t n X X ji n i 1 j 1
i
（5.1.9）
总平方和
S T ( X ji X ) 2
i 1 j 1 t ni
（5.1.10）
记水平 Ai 下的样本均值为 X i , 即
2 2 i 1 j 1 i 1 j 1
t
ni
t
ni
将 ST 分解成
ST S E S A
（5.1.12）
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第五章 方差分析
ST S E S A
其中
S E ( X ji X i ) 2
i 1 j 1
t
ni
（5.1.13）
S A ( X i X ) ni ( X i X ) 2
应平方和（或组间平方和） 。
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第五章 方差分析
单因素试验方差分析表 方差来源 平方和
因素A 误差 总和
自由度
均方
F比
SA SE ST
t 1 nt n 1
SA SE
SA F SE
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第五章 方差分析
由此得到检验问题的拒绝域的形式：
SA F F (t 1, n t ) SE
第五章 方差分析
并设
X ijk ~ N ( ij , 2 ) ， i 1,, r; j 1,, s ， k 1,2, t ， X ijk 之间相互独立。这里，
ij , 2 均为未知参数。或写成
X ijk ij ijk ， 2 ijk ~ N (0, ), ijk 之间相互独立， i 1,2, , r , j 1,2, , s, k 1,2, , t
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第五章 方差分析
其中，
S E ( X ijk X ij . ) 2
i 1 j 1 k 1
r
s
t
(5.2.14)
S A st ( X i.. X ) 2
i 1
r
(5.2.15)
S B rt ( X . j . X ) 2
j 1 s
2
i 1,, t; j 1,, ni , ，其中 i (, ) 及 2 0 均未知。通
过引进随机误差 ji X ji i , 可以把 X ji 表示成
X ji i ji , i 1, , t ; j 1,, ni , ji ~ N (0, 2 ), 各 ji 独立
（5.1.2）
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第五章 方差分析
方差分析的基本任务就是要检验假设 （1） H 0 : 1 2 t
H1 : 不全相等
（2） 参数
1 , 2 ,, t , 2
的检验
方差分析
第七章方差分析●了解方差分析的概念和作用；●掌握方差分析的基本原理和步骤；●掌握单向分组资料的方差分析；●掌握两向分组和系统分组资料的方差分析。
能力目标：●学会完全随机试验资料进行方差分析；●学会单向分组资料进行方差分析；●学会两向分组和系统分组资料进行方差分析。
对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。
而当试验的样本数k≥3时，上述方法已不宜应用。
其原因是当k≥3时，就要进行k(k-1)/2次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。
因此，对多个样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法，即方差分析法。
方差分析法是科学研究工作的一个十分重要的工具。
第一节方差分析基本原理方差分析（analysis of variance，ANOV A）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。
即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。
一、自由度与平方和分解方差是平方和除以自由度的商。
要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。
因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。
下面以单因素完全随机试验设计的资料为例说起。
假设有k 个处理，每个处理有n 个观察值，则该试验资料共有nk 个观察值，其观察值的组成如表7-1。
表7-1中，i 代表资料中任一样本；j 代表样本中任一观测值；x ij 代表任一样本的任一观测值；T t 代表处理总和；t x 代表处理平均数；T 代表全部观测值总和；x 代表总平均数。
表7-1 每处理具n 个观测值的k 组数据的符号表处理观察值处理总和T t 处理平均t x 12 … j … n 1 x 11 x i 2 … x 1j … x 1n T t1 1t x 2 x 21 x i 2 … x 2j … x 2n T t2 2t x… … … … … … … … …i x i1 x i 2 … x ij … x in T ti ti x… … … … … … … … …kx k 1x k 2… x kj…x k nT tk tk xT =∑xx在表7-1中，总变异是nk 个观测值的变异，故其自由度v =nk -1，而其平方和SS T 则为： =T SS 221()nk ij x x x C -=-∑∑ (7-1)（7-1）式中的C 称为矫正数：22()x T C nknk==∑ (7-2) 产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。
统计学：5方差分析
统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第 5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
(整理)统计学教案习题05方差分析
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
统计学实验—SPSS与R软件应用与实例-第5章方差分析-SPSS
2020/7/23
《统计学实验》第5章方差分析
5-16
【统计理论】
注意到 i j 0与 j i 0是等价的。因此
该假设中共有r(r 1)/ 2个不同的成对比较。
多重比较的特点是它同时对多个成对假设进 行比较。多种比较的思想有两种，一是寻找每一 个成对假设的检验统计量，给出检验临界值，通 过比较界定显著程度；二是使用同时置信区间 (simultaneous confidence interval)的概念。
5-6
5.1 单因素方差分析
【例5.1】(数据文件为li5.1.sav)为研究咖啡因对人 体的影响，进行如下的试验：咖啡因剂量取三个 水平：0 mg, 100mg, 200mg。挑选同一年龄，体 质大致相同的30名健康的男大学生进行手指叩击 训练。训练结束后，对每个水平随机的选定其中 10个人，在服用咖啡因2小时后，请每个人做手指 叩击，记录下每分钟叩击的次数。该试验进行双 盲试验，即试验者和生物学家均不知道他们接受 的是哪一种剂量的咖啡因，只有统计人员知道。 试验数据如下表：
（数据来源：费宇等,《统计学》第5章,高等教育 出版社,2019）
(1)给定显著性水平 0.05 ,比较试验中咖啡因用量是
否对人体神经功能有显著影响？
(2)如果有显著差异，在0.05的显著性水平下，说明试 验中咖啡因用量在哪些水平上有显著差异?
2020/7/23
《统计学实验》第5章方差分析
5-8
【统计理论】
2020/7/23
《统计学实验》第5章方差分析
5-13
【统计理论】
为了检验 H 0 ，定义F统计量
F M S A S S A /(r 1 )~F (r 1 ,n r r) M S ES S E /(n r r)
第5章方差分析
5.1.4 方差分析中的基本假定
（基本前提：独立、同分布、同方差）
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据（试验结果）相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 （同分布） 二、r个正态总体的方差是相同。 即：σ12=σ22…….=σr2=σ2 （同方差） 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。（独立）
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
（续前）
方差分析的优点之二：增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起， 故而增加了分析结论的稳定性。 例如：30个样本，每一个样本中包括10个观 察单位（n=10)。如果采用t检验法，则在两 两检验中，一次只能研究2个样本和20个观察 单位，而在方差分析中，则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2
j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1
r
nj
x j x
2
j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和（SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响，反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异，故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下：
5章 方差分析
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
第五节方差分析
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
1
2 F
3
4
F分布是一种偏态分布。它的分布曲线由分子与分母两个自 由度决定。
2019/2/20
15
F值与F分布
2019/2/20
16
F 界值表
附表15-2(P228) F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
k-1
SS组间 组间
MS组间 MS组内
组内(误差) SS总-SS组间
N-k
SS组内 组内
2019/2/20
18
假设检验的步骤
1.建立假设、确定检验水准：
H0：1 = 2 = 3， H1：1、2、3不等或不全相等，
=0.05
2.选定检验方法和计算检验统计量：
F= MS组间/MS组内
变异来源
处理组
SS
df
i
n (X
i i
j
X)
2
k－ 1
区组 误差
nj ( X j X )
2
b－ 1 (k－1)×(b-1)
总
SS总 SS 处理 SS区组 2 ( X ) 2 X N
N－ 1
随机区组设计资料方差分析的基本步骤 1、建立检验假设，确定检验水准
对于处理间: H0：多个处理组的总体均数相等，即三种方案的 效果相同
随机区组设计的三种情况 1、区组设计资料 2、同一个对象的K个部位测定同一指标（如教 室的不同位置侧粉尘数） 3、同一样品用多种方法测定某一指标。
优点：每个区组内的k个受试对象有较好 的同质性，组间均衡性也较好。 比完全随机设计减少了误差，因而更 容易察觉处理组间的差别，提高了实验效 率。 缺点：要求区组内受试对象数与处理数相 等，实验结果中若有数据缺失，统计分析 较麻烦。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
统计学之方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。
它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。
通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。
方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。
在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。
每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。
而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。
方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。
方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。
方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。
均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。
通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。
F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。
在统计学中，F值与显著性水平相关。
当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。
否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。
方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。
多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。