热传导+对流微分方程推导

热传导微分方程
导热又称热传导,是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象.此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。

热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说,单纯的导热只发生在密实的固体物质中。

1 傅立叶定律
傅立叶定律是导热理论的基础。

其向量表达式为：
q gradT
λ=-⋅
（2-1)
式中：q ——热流密度,是一个向量,2/()Kcal m h
gradT ——温度梯度，也是一个向量,℃／m .
λ--导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C ；
式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。

2 导热系数（ｔh ｅrm ａl c ｏｎdu ｃt ｉv ｉty ）及其影响因素
导热系数λ（/()Kcal mh C ）是热传导过程中一个重要的比例常数,在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量.
导热系数是指在稳定传热条件下,1m 厚的材料,两侧表面的温差为１度（Ｋ,°C),在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示,单位为瓦/米·度,w/m·k(W/m·K,此处的K 可用℃代替).
导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量.单位是:Ｗ/（m·K）。

在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程. ３．热传导微分方程推导 在ｔ时刻ｗ界面的温度梯度为
x
T
∂∂ 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x
T x T dx x x T x T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂
+∂∂
单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x
T
∂∂-λ
; 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为:dydz dx x T x T ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∂∂+∂∂-22λ； 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T
22∂∂λ
图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图
同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为:dxdydz y
T
22∂∂λ
单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T
22∂∂λ
单位时间内流入六面体的总热量为：
dxdydz z T y T x
T ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ （3－1)
六面体内介质的质量为:
dxdydz ρ
单位时间六面体内热量的变化量（增加）为：
Cdxdydz t
T
ρ∂∂ 根据热量守恒定律:
Cdxdydz t T dxdydz z T y T x
T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222
C t T
z T y T x T ρλ∂∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222
t
T
z T y T x T C ∂∂=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222ρλ
t T z T y T x T a ∂∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222
C
a ρλ=
α称为热扩散率或热扩散系数（ther ｍal diffusi ｖi ｔｙ)，单位ｍ^2/s 。

λ:导热系数，单位W/（m·K)； ρ:密度，单位kg/m^3
c:热容，单位Ｊ／（kg·Ｋ)．
思考：如果单元体内有热源：单位体积单位时间的散热量是ｑ 方程怎么变？
4．岩石的热扩散率(导温系数） ｔｈermal ｄif ｆusi ｏn c ｏｅ
ff ｉcie ｎt ;ｔｈerma ｌ dif ｆｕsi ｖity; t ｈermal de ｇr ａdatio ｎ 岩石的热扩散率也叫或热扩散系数,表示岩石在加热或冷却时各部分温度趋于一致的能
力.它反映岩石的热惯性特征，是一个综合性参数。

热扩散率越大的岩石，热能传播温度趋于
一致的速度越大，透入的深度也越大.
图3－1 微分单元体各面上进出流量示意图
ﻬ在t 时刻
w 界面流体速度为Ｕ，流体温度为T
单位时间流入微元体的流体质量为:udydz dm ρ=1
带入微元体的热量为:uTCdydz ρ
e 界面流体速度为dx x u u ∂∂+
,流体温度为dx x
T T ∂∂+ 单位时间流出微元体的流体质量为：dydz dx x u u dm ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂+=ρ2 带出微元体的热量为: Cdydz dx x T T dx x u u ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
∂∂+
ρ dxdydz x
T
dx x u C Cdxdydz x T u TCdxdydz x u uTCdydz ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+ρρρ
ρ 如果不考虑x 方向速度变化,略去高阶微量,则ｅ界面带出微元体的热量为：Cdxdydz x
T
u
uTCdydz ∂∂+ρρ 单位时间内在x 方向流入六面体的净热流量为：dxdydz x
T
uC
∂∂-ρ； 同理， y 方向：dxdydz y T vC
∂∂-ρ ｚ方向：dxdydz z
T wC ∂∂-ρ
2。

２巷壁与风流间的对流换热
运动着的流体与所接触的固体壁面之间的热量传递过程称为对流换热，它是流体(液体或气体）由于宏观相对运动，从某一区域迁移到温度不同的另一区域时引起热量传递的现象。

固体壁面与流体之间存在温度差将产生对流换热,由于实际流体的粘性和壁面摩擦的共同影响，近壁流体分层流动,尤其与壁面直接接触的几何面上,总有一层很薄的流体粘附于表面，该层流体处于静止状态,所以热流通过表面层的传递只能依靠导热。

显然，在流体发生热对流的同时，由于流体中温度分布的不均匀,也将伴随产生导热现象。

因此,对流换热过程实际上是热对流和热传导的综合作用过程。

牛顿冷却公式
对流换热过程是一个受很多因素影响的复杂过程,如流体的流动状况、流体的物理性质、壁的形状和大小、表面粗糙度等。

一般情况下对流换热的计算可采用牛顿冷却公式.根据对流换热定律,可以计算出从壁面某处进入通风风流的显热热流密度:
)
(T T q w s -=α （3）
式中:
w
T ＝ 巷道壁面的温度；
T = 巷道内风流的平均温度;
α= 巷道壁面的换热系数.在围岩与风流的热交换过程中,多半是井巷低温风流流经高温岩壁，井巷壁面向风流放热,所以矿内常把上式中的对流换热系数
α(2
/()Kcal m h C ）称为巷壁与风流的换热系数，简称为放热系数。

地热通过围岩向风流的传热现象与围岩本身的热传导、巷道壁面向风流的对流换热以及壁面上的水分蒸发等因素有关。

由于实际情况下围岩的散热是一个很复杂的过程，为了方便本论文的研究，对要研究的物理模型做了简化和假设：
1) 巷道为圆形、无限扩展，围岩岩石均质、各向同性; 2) 不考虑围岩壁面的热辐射作用。

根据上述假设,可得到描述考虑壁面水分蒸发时围岩与风流热质传递的数学方程,如式（３－1）：
020200001() (;0)(,) ()(,) (0)()() (0)t r R w a v w a r r T T T
a r r R t t r r r T r t T r r R T r t T t T
T T f L m m t r λασ===⎧∂∂∂=+⋅<<>⎪∂∂∂⎪⎪
⎪=<≤⎪
⎨⎪=≥⎪⎪⎪∂=-+-≥⎪∂⎩
（3-1）
式中：R —-调热圈半径，m ;其他符号的意义同前章所述。

根据简化的数学模型，可将巷道围岩划分为一系列等间距 （R ∆）的同心圆,取垂直于长轴的巷道断面角度为θ∆，如图3—1所示。

图3-1 巷道围岩内节点划分 Fig.3-1 Node division in surrounding rock。