向量加减法数乘的坐标运算习题
向量运算法则练习题(附答案)
向量运算法则练习题(附答案)以下是向量运算法则的练题及其答案。
1. 向量相加已知向量A = (3, 4) 和向量B = (5, -2)，求向量C = A + B 的值。
解答:向量C的值为：(3+5, 4+(-2)) = (8, 2)2. 向量相减已知向量D = (6, 2) 和向量E = (3, -1)，求向量F = D - E 的值。
解答:向量F的值为：(6-3, 2-(-1)) = (3, 3)3. 向量数量乘法已知向量G = (2, -3)，求向量H = 3G 的值。
解答:向量H的值为：(3 * 2, 3 * (-3)) = (6, -9)4. 向量点乘已知向量I = (1, -2) 和向量J = (3, 4)，求向量K = I · J 的值。
解答:向量K的值为：(1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -55. 向量夹角已知向量L = (2, 2) 和向量M = (-1, 3)，求向量L和向量M的夹角的余弦值。
解答:设向量L和向量M的夹角为θ，则向量L·向量M = |L| * |M| * cos(θ)向量L·向量M = (2 * -1) + (2 * 3) = -2 + 6 = 4|L| = √(2^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8|M| = √((-1)^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √104 = √8 * √10 * cos(θ)cos(θ) = 4 / (√8 * √10) ≈ 0.89以上是向量运算法则的练习题及其答案。
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高中试卷-6.3.3 平面向量加、减运算坐标表示(含答案)
第六章平面向量及其应用6.3.3平面向量加、减运算坐标表示一、基础巩固等于 【详解】因为12AB AD AD DE AE +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，6．已知(5,4)a =r ，(3,2)b =r ，则与23a b -r r 平行的单位向量为( )A ．525,55æöç÷ç÷èøB ．525,55æöç÷ç÷èø或525,55æö--ç÷ç÷èøC ．(1,2)或(1,2)--D ．(1,2)【答案】B【详解】解：∵(5,4)a =r ，(3,2)b =r ，23(1,2)a b \-=r r ，22|23|125a b \-=+=r r ，则与23a b -r r 平行的单位向量为15(23)(1,2)5|23|a b a b ±×-=±-r r r r ，化简得，525,55æöç÷ç÷èø或525,55æö--ç÷ç÷èø．7．在矩形ABCD 中， 5AB =，3BC =，P 为矩形内一点，且52AP =，若(),AP AB AD R l m l m =+Îuuu r uuu r uuu r ，则53l m +的最大值为（ ）A ．52B ．102C ．334+D ．6324+【答案】B【详解】由题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()5,0B ，()0,3D ，设(),P x y ，则(),AP x y =uuu r ，()5,3AB AD l m l m +=uuu r uuu r ，8．已知点P 分12PP uuuu v 的比为23-，设A ．2-B ．3(7,8)，u u u r解得432x y ì=ïíï=î，所以4,23P æöç÷èø，当点P 靠近点2P 时，122PPPP =uuu r uuur ，则()()24124x x y y ì=-ïí-=-ïî，解得833x y ì=ïíï=î，所以8,33P æöç÷èø，11．（多选）已知向量1(1,2)e =-u r ，2(2,1)e =u u r ，若向量1122a e e l l =+r u r u u r ，则可使120l l <成立的a r 可能是 （ ）A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(−1,0)D ．(0,−1)【答案】AC【详解】11221212=(2,2)a e e l l l l l l =+-++r u r u u r 若(1,0)a =r ,则12122120l l l l -+=ìí+=î,解得1212,55l l =-=,120l l <,满足题意;若(0,1)a =r ,则12122021l l l l -+=ìí+=î,解得1221,55l l ==,120l l >,不满足题意;因为向量(1,0)-与向量(1,0)共线,所以向量(1,0)-也满足题意.12．（多选）已知向量(,3)a x =v ，(3,)b x =-v ，则下列叙述中，不正确是（ ）A ．存在实数x ，使a bv v P B ．存在实数x ，使()a b a +v v P v C ．存在实数x ，m ，使()ma b a+v P v v D ．存在实数x ，m ，使()ma b b +v P vv 【答案】ABC【详解】由a b r r P ，得29x =-，无实数解，故A 中叙述错误；(3,3)a b x x +=-+r r ，由()a b a +r r r ∥，得3(3)(3)0x x x --+=，即29x =-，无实数解，故B 中叙述错误；(3,3)ma b mx m x +=-+r r ，由()ma b a +r r r ∥，得(3)3(3)0m x x mx +--=，即29x =-，无实数解，故心中叙述错误；由()ma b b +r r r ∥，得3(3)(3)0m x x mx -+--=，即()290m x +=，所以0m =，x ÎR ，故D 中叙述正确．二、拓展提升13．如图，已知ABCD Y 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．【答案】(2,2)【详解】解：设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -Q ，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB \=----=uuu r ，(3,4)DC x y =--uuu r ，又AB DC =uuu r uuur，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-ìí=-î解得2,2.x y =ìí=î所以顶点D 的坐标为(2,2)．由平行线分线段成比例得：1234h MB h AB ==，1122132142MNC ABC h NC S h NC NC S h BC BC h BC D D ´´==×=×´´89NC BC \=，89NC BC \=uuu r uuu r ，8（1）求点B，点C的坐标；（2）求四边形OABC的面积.【答案】（1）533,,,222 B Cæöæç÷çç÷çèøè。
人教A版高中数学必修第二册课后习题第六章 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量数乘运算的坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示A 级必备知识基础练1.向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=( ) A.10B.(5,5)C.(5,6)D.(5,7)2.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c 等于( ) A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6)D.(-2,0)3.(多选题)下列各对向量不共线的是( ) A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(√2,-1),b=(1,√2) D.a=(1,√2),b=(√2,2)4.已知四边形ABCD 的三个顶点为A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则顶点D 的坐标为( ) A.(2,72)B.(2,-12)C.(3,2)D.(1,3)5.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= .6.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,m),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1),若点A,B,C 在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .7.已知a=(x+3,x 2-3x-4),A(1,2),B(3,2). (1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,求x 的值; (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,求x 的值.8.如图,已知在△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.B 级关键能力提升练9.已知点A(√3,1),B(0,0),C(√3,0),∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于点E,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ等于( ) A.2B.12C.-3D.-1310.设向量a=(a 1,b 1),b=(a 2,b 2),定义一种运算“ ”,向量a b=(a 1,b 1) (a 2,b 2)=(a 2b 1,a 1b 2).已知m=2,12,n=(π3,0),点P(x,y)在y=sin x 的图象上运动,点Q 在y=f( OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +n(其中O 为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )A.-1B.-2C.2D.1211.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(3,1),B(-2,2),C(-1,4). (1)以线段AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB,求向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标; (2)设实数t 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC⃗⃗⃗⃗⃗ )∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.12.如图所示,设点P(x,y)是线段P 1P 2上不同于P 1,P 2的点,且满足|P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ,即P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ叫做点P 分有向线段P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比,点P 叫做有向线段P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的以λ为定比的定比分点.求点P 的坐标,并思考P 1,P 2中点的坐标公式.参考答案6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示1.B ∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.2.D ∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即{2x -5+9=0,2y +6-6=0,∴{x =-2,y =0,即c=(-2,0).故选D. 3.ABC A,B,C 中各对向量均不满足向量共线定理,D 中b=√2a,两个向量共线.4.A 设顶点D 的坐标为(x,y).因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-2),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{2x =4,2y -4=3,所以{x =2,y =72,所以选A. 5.122a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c ∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.6.9或92AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2). 因为A,B,C 共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②组成的方程组得{m =6,n =3或{m =3,n =32. 所以m+n=9或m+n=92.7.解(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a, 所以{x +3=2,x 2-3x -4=0,解得x=-1.(2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,所以x 2-3x-4=0,解得x=-1或4.8.解因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(0,5)=(0,54),所以C (0,54). 因为OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(4,3)=(2,32),所以D (2,32).设M(x,y),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-5),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y -54),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,74),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,32)-(0,5)=(2,-72).因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①因为CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以74x-4(y -54)=0,即7x-16y=-20. ②联立①②,解得的坐标为(127,2).9.C 如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|EC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1tan60°=√33.∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ<0,∴|λ|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗||CE ⃗⃗⃗⃗⃗|=√3√33=3.∴λ=-3.10.B 由题意知,点P 的坐标为(x,sin OP⃗⃗⃗⃗⃗ +n=(12x ,2sinx)+(π3,0)=(12x +π3,2sinx).又因为点Q 在y=f(x)的图象上运动,所以点Q 的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin (2x -2π3).所以函数y=f(x)的最小值为-2.11.解(1)由向量加法的平行四边形法则知, AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5,1)+(-4,3)=(-9,4). (2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5,1)-(-t,4t)=(t-5,1-4t),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,4)-(-2,2)=(1,2). 因为(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(t-5)×2=1-4t, 解得t=116.12.解设P(x,y),P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则根据题意,得(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即{x -x 1=λ(x 2-x ),y -y 1=λ(y 2-y ),当λ≠-1时,解得{x=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λ.则点P的坐标为x1+λx21+λ,y1+λy21+λ.当λ=1时,点P的坐标为x1+x22,y1+y22,这就是线段P1P2的中点坐标公式.。
(整理版)平面向量的坐标运算(典型例题)
平面向量的坐标运算〔典型例题〕[教学重点]理解平面向量的坐标表示及它们之间的一一对应关系；掌握平面向量的加法、减法、实数与向量积的坐标运算法那么；能够判断向量的平行或由向量的平行求解向量的坐标.[教学难点]理解平面向量的坐标表示是几何问题代数化的根底，将求解的几何图形问题，放置在直角坐标系下，通过向量的坐标运算到达求解的目的，是本章内容的重要思想方法和具体应用.[典型例题]例1、A、B、C、D是平面直角坐标系中任意位置上四个不同点，求证:.解:设A、B、C、D四点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3, y3), (x4, y4)，那么由向量的坐标表示可得:再由向量和的坐标运算得例2．ΔABC内一点G，使得，D是BC中点，求证:点G是ΔABC的重心，且.解:如下图建立直角坐标系:设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), G(x, y)那么由∴即∴即(x-x1, y-y1)=(x2+x3-2x, y2+y3-2y)∴x-x1=x2+x3-2x, y-y1=y2+y3-2y∴x2+x3=3x-x1, y2+y3=3y-y1由∴∴即将x2+x3=3x-x1,y2+y3=3y-y1代入∴∴即，且必有∴A、G、D三点共线，即中线AD过G点.同理可证AC、AB边上中线也必过G点.故G是ΔABC的重心.例3．设向量，假设，求使成立的实数λ和x的值.解:由向量的坐标运算法那么∵∴∴由∴，即.例4．如图，直角ΔABE的直角边为AB、AE，以AB、AE为边在ΔABE外部作正方形ABCD 和正方形AEFG，连结CE交AB于N点，连结BF交AE于M点，证明AM=AN.解:此题除了用平面几何的方法求证，可用平面向量知识及运算求证.如图建立坐标系设AE边长为a，AB边长为b, 那么E(a, 0), B(0, -b), F(a, a),C(-b, -b).设M(x, 0), N(0, y)那么，∵，∴ab-(a+b)x=0∴,即，由，且，∴(a+b)(y+b)-b2=0, ∴,即，∴，∴AM=AN.课外练习：1．假设点P(2,3),Q(3,a),R(4,b)共线，那么有〔〕.A、a=4,b=5B、b-a=1C、2a-b=3D、a-2b=32．点A(-1,-2), ，那么C点坐标为〔〕.A、(0, 1)B、(1, 3) C 、(0, -1) D、(3, 1)3．ΔABC中，顶点B(1,1), C(2, -6), D是BC边上一点，假设ΔABD的面积是ΔABC面积的，那么点D的坐标为〔〕.A、B、C、D、4．a、b、c是两两不相等的实数，那么点A(a+b，c), B(b+c，a), C(c+a，b)的位置关系满足〔〕.A、在同一条直线上B、是RtΔ的三个顶点C、是等边Δ的三个顶点D、是钝角Δ的三个顶点5．ΔABC中，A(3, 6), B(0, 0), C(6,2)，过AB边上一点D作BC的平行线，交AC于E点，假设ΔADE的面积是梯形DECB面积的，求D、E两点坐标.参考答案：1.C2.A3.D4.A5. 解:由DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC，∵ΔADE面积是梯形DECB面积∴ΔADE面积是ΔABC面积，∴，∴，设D(x1, y1), E(x2, y2)∴,,,由x1-3=-1, y1-6=-2∴x1=2, y1=4.由x2-3=1, , ∴x2=4, ,∴.。
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
向量的数乘运算题型练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1 向量的数乘的定义与运算法则 1．已知λ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．若a ，b 为已知向量，且 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.题型2 向量的数乘的应用3．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AG →＝2GD →，则用向量AB →，AC →表示BG →为( )A .BG →＝－23AB →＋13AC →B .BG →＝－13AB →＋23AC →C .BG →＝23AB →－13AC →D .BG →＝23AB →＋13AC →4．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，AD →＝m ，BC →＝n ，则EF →＝( ) A .12m ＋12n B .23m ＋13n C.34m ＋14nD .13m ＋23n题型3 向量共线的判定5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形7．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？题型4 向量共线定理的应用8．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A .911B .211C .311D .1119．在△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且BC →＝3CD →.若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，－13<x<0，则点O 在( ) A ．线段BC 上 B ．线段CD 上 C ．线段AC 上D ．线段AD 上10．在△ABC 中，点D 满足AD →＝16AB →＋12AC →，直线AD 与BC 交于点E ，则|CE →||CB →|的值为( ) A .12 B .13 C .14D .1511．设e 1，e 2是空间内两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则( ) A .AO →＝AB →＋AD → B .AO →＝12(AB →＋AD →)C .AO →＝AB →－AD → D .AO →＝12(AB →－AD →)2．已知向量a ，b 不共线．若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ的值为( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，已知PTAP ＝5－12，则( )A .CT →＝3－52CA →＋3－52CE →B .CT →＝5－12CA →＋5－12CE →C .CT →＝3－54CA →＋3－54CE →D .CT →＝3－54CA →＋5－12CE →4．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点)且AP →＝xAB →＋yAC →，则下列说法正确的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．2x ＋y ＝1C ．2x ＋4y ≥2 2D ．log 2x ＋log 2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →＋2PB →＋3PC →＝0.若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．向量PA →与PC →可能平行 B ．点P 在线段EF 的延长线上 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝2∶17．已知M 是△ABC 所在平面内的一点．若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC 中，点P 满足BP ＝2PC ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)，求1λ＋1μ的最小值．9．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，且AB →＝k e 1－4e 2，CD →＝－e 1＋k e 2，BD →＝e 1＋2e 2.(1)若AB →，CD →方向相反，求k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C. 2.【答案】1213b －839a【详解】∵23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，∴83a －2c ＋15c －12b ＝0，化简得13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a . 3.【答案】A【详解】由题意可得BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋23AD →＝BA →＋23×12(AB →＋AC →)＝BA →＋13AB →＋13AC →＝13AC→－23AB →.故选A. 4.【答案】A【详解】由已知可得CF →＋DF →＝0，EA →＋EB →＝0，由平面向量的加法可得⎩⎪⎨⎪⎧EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，上述两个等式相加可得2EF →＝AD →＋BC →＝m ＋n ，则EF →＝12(m ＋n )．故选A. 5.【答案】B【详解】∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，∴BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b .∵AB →＝a ＋5b ，∴BD →＝AB →，即BD →与AB →共线，则A ，B ，D 三点共线，故选B. 6.【答案】B【详解】∵2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，∴2(OA →－OD →)＝3(OB →－OC →)，∴2DA →＝3CB →，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2， 若d 与c 共线，则存在实数k ≠0，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d 与c 共线． 8.【答案】D【详解】由题意可得AC →＝5AN →，则AP →＝mAB →＋211×5AN →＝mAB →＋1011AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋1011＝1，即m ＝111.9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O ，B ，C 三点共线． ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3AD →－3AC →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.又∵－13<x <0，∴点O 在线段CD 上，且不与C ，D 两点重合．10.【答案】C【解析】设AE →＝λAD →＝λ6AB →＋λ2AC →，则CE →＝AE →－AC →＝λAD →－AC →＝λ6AB →＋λ2AC →－AC →＝λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →， CB →＝AB →－AC →，且CE →，CB →共线，设CE →＝kCB →， 则λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →＝k (AB →－AC →)， 所以⎩⎨⎧λ6＝k ，λ2－1＝－k ，所以λ6＝1－λ2，解得λ＝32，此时CE →＝14AB →－14AC →，所以CE →＝14CB →，故|CE →||CB →|＝14.故选C. 11.【答案】1【详解】依题意，CD →＝e 1＋2e 2， 故AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 已知A ，B ，D 三点共线，可设AD →＝λAB →， 则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝λ，k ＋6＝kλ，解得k ＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，由平行四边形法则得AB →＋AD→＝AC →＝2AO →，所以AO →＝12(AB →＋AD →)．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b .∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP ＝1，则PT ＝5－12＝TS ，CP ＝1＋5－12＝5＋12＝CS ， CT →＝CA →＋AT →＝CA →＋25－1TS →＝CA →＋25－1(CS →－CT →)＝CA →＋25－1(1＋5－122＋5－12CE →－CT →)＝CA→＋CE →－5＋12CT →，所以5＋32CT →＝CA →＋CE →，所以CT →＝3－52CA →＋3－52CE →. 故选A. 4.【答案】B【详解】AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，设∠BAC 的平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为AD → 的方向． 又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在射线AD 上移动． ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 5.【答案】AC【详解】因为AP →＝xAB →＋yAC →，所以AP →＝xAB →＋2yAD →.又B ，P ，D 三点共线，所以x ＋2y ＝1，所以选项A 正确，选项B 错误．x ＋2y ＝1，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ·22y ＝2 2x＋2y＝2 2(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)，所以选项C 正确．因为x ＋2y ＝1≥2 2xy ，所以xy ≤18⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 218＝－3，所以选项D 错误．故选AC. 6.【答案】CD【详解】点P 为△ABC 所在平面内一点，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则P A →＋PC →＝2PE →，PB →＋PC →＝2PF →，而P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(PA →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，于是得2PE →＋4PF →＝0，即EP →＝2PF →，所以点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，即点P ，A ，C 不共线，则向量PA →与PC →不可能平行，A 不正确，B 不正确，C 正确，D 正确．故选CD .7.【答案】3【详解】如图，记2AM →＝AN →.∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN .又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP ，如图．∵△ABC 中，BP →＝BA →＋AP →，PC →＝PA →＋AC →， 点P 满足BP →＝2PC →， ∴－AB →＋AP →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝23AC →＋13AB →.又∵AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)， ∴AP →＝2μ3AN →＋λ3AM →.又∵M ，P ，N 三点共线， ∴2μ3＋λ3＝1，λ>0，μ>0， ∴1λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫1λ＋1μ·⎝⎛⎭⎫2μ3＋λ3＝2μ3λ＋λ3μ＋1≥2 2μ3λ·λ3μ＋1＝2 23＋1, 当且仅当2μ3λ＝λ3μ，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3（2－2）2，λ＝3（2－1） 时取“＝”，则1λ＋1μ的最小值为2 23＋1. 9.【答案】(1)由题意知，AB →∥CD →，则存在λ∈R ，使得AB →＝λCD →，即k e 1－4e 2＝λ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋λ)e 1＝(kλ＋4)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋λ＝0，kλ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝2. 又AB →，CD →方向相反，则λ＝－2，k ＝2，故k 的值为2.(2)由题意知，AD →＝AB →＋BD →＝(k ＋1)e 1－2e 2.由A ，C ，D 三点共线得，存在μ∈R ，使得AD →＝μCD →，即(k ＋1)e 1－2e 2＝μ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋μ＋1)e 1＝(kμ＋2)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋μ＋1＝0，kμ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，μ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，μ＝1.综上，k ＝1或k ＝－2.。
(完整版)高中数学向量的加减与数乘知识总结+题库
向量要求层次重难点平面向量的相关概念B①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．②理解向量的几何表示．向量的线 性运算向量加法与减法C ① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含．③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义．向量的数乘 C 两个向量共线B（一） 知识内容⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB ，注意起点在前，终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．POE DCBA例题精讲高考要求板块一：向量的基本概念向量的概念、加减、数乘B已知E、F、G、H分别是平行四边形ABCD边AB、DC、BC、AD的中点，O为对角线AC与BD的交点，分别写图中与DF，BH，AO相等的向量．解：DF FC GO OH AE EB========BH HC AG GD=AO OC⑷向量共线或平行：通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于向量b，记作a∥b．说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．⑸零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0．零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．⑹用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA a=，则点A相对于点O 位置被向量a所唯一确定，这时向量OA又常叫做点A相对于点O的位置向量．⋅=．AB AC3（二）典例分析：【例1】给出命题⑴零向量的长度为零，方向是任意的.⑵若a，b都是单位向量，则a＝b.⑶向量AB与向量BA相等.⑷若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线.以上命题中，正确命题序号是（）A．⑴ B．⑵ C．⑴⑶ D．⑴⑷【例2】下列命题中正确的有：( )⑴四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB DC=；⑵向量AB与BA是两平行向量；⑶向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上；⑷单位向量不一定都相等；⑸a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； ⑹平行向量的方向一定相同；【变式】 平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∃∈R ，b a λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=【例3】 ⑴设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；②若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；③若a 与0a 平行且1a =，则0a a =．上述命题中，假命题个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3⑵若非零向量a ，b 满足a b b -=，则（ ）A ．22b a b >-B ．22b a b <-C ．22a a b >-D ．22a a b <-【变式】 给出下列命题：①若a b =，则a b =；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；其中正确的序号是 ．【例4】 如图所示，1A ，2A ，3A ，…，8A 是O 的8个等分点，以1A ，2A ，…，8A 及O 这9个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半倍的向量有多少个？【变式】 （海淀区2008-2009学年度第一学期期末试卷）如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是（ ）A ．AB BC =B ．AB CD =C ．2AC AB = D．AB BC AB BC +=-A 35A D CBA（一） 知识内容1. 向量的加法：a+babbabb aba a+b CCOBa+b b+ccbaa+b+c⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量,a b ，在平面上任取一点A ，作AB a =，BC b =，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 和b 的和（或和向量），记作a b +，即a b AB BC AC +=+=． ⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量a ，b ，作AB a =，AD b =，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC a b =+，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则． ② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a +=+ 向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++关于0：00a a a +=+= ⑶ 向量求和的多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．2. 向量的减法：dcbaa+b+c+dbacda-b baO⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -． 零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记“终点向量减始点向量”．⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量板块二：向量的加减运算（三）典例分析：【例5】 设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=【变式】 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=【例6】 D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -- C ．12BC BA -+D ．12BC BA +.【例7】 设D ，E ，F ，分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( ) A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【例8】 根据图示填空：⑴ a b += ；⑵ e b d ++= ．【例9】 化简下列各式：⑴ 7()8()a b a b +--； ⑵ 12(2)(432)6a b c a b c +---+【例10】 如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=DCBAFE DCBA【例11】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =( )A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例12】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．【例13】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例14】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．【例15】 ⑴ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．⑵ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．CAAC【例16】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、ODOE ．【例17】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +⑵在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONM CBA【变式】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF a FC a =-，1DE bEC b=-， 若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．FB【变式】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．（一） 知识内容3. 数乘向量：定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，且a λ的长a a λλ=<教师备案> 判断正误：已知λμ∈R ，．①()a b a b λλλ+=+；（√） ②()a a a λμλμ+=+；（√） ③()()a a λμλμ=；（√） ④()()a b a b λμλμ+=++．（×）4. 向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果a b λ=，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且0b ≠，则一定存在唯一的一个实数λ，使a b λ=．⑵ 单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量．如果a 的单位向量记作0a ，由数乘向量的定义可知0a a a =或0a a a=．（三）典例分析：【例18】 设12,e e 是不共线的向量，已知向量1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A B D 、、三点共线，求k 的值．OCBA板块三：向量的数乘与共线【变式】 设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a b +与c 共线，且b c +与a 共线，则b a c ++= ．【变式】 已知,a b 是不共线的向量，25AB a b =+，8BC a b =-+，3()CD a b =-，则A B D 、、C 、四点中共线的三点是___________【变式】 设,a b 是不共线的两个向量，已知22(2)AB ka k b =+-，BC a b =+，2CD a b =-，若A B D、、三点共线，求k 的值．【变式】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．ODCBA【例19】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBA【变式】 如图，在∆ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF =C ．12DG AG =D ．121332DA FC BC +=【变式】 已知五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、H 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KH 平行且等于14AE .ED CBA MNP Q K HGFEDC BA【变式】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、CD 的中点，BE 、BF 与对角线AC 分别交于点R 和点T ．求证AR RT TC ==．(向量法)TRF E D CB A【变式】 四边形ABCD 中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，AD ，BD ，AC 的中点，O 为MN 的中点，试用向量的方法证明：O 也是EF 的中点．FEO MNDCB A【变式】 ⑴在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =( )A ．1142a b +B ．2133a b +C ．1124a b +D ．1233a b +⑵如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD xAB y AC =+， 则x = ，y = ．OF E DCBA【变式】 若等边ABC ∆的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA = ，MB = ．（用CB ，CA 向量表示） FECBA M三角形有五心：内心、外心、垂心、重心和旁心，这里我们用向量这个工具来研究三角形的前四心，有些地方涉及到数量积，老师可以根据情况先补充数量积的知识，或将这些地方跳过去以后再讲．板块四：三角形有五心相关证明60︒45︒EDBCA⑴内心：过点A ，方向平行于向量()(0)||||AB ACAB AC λλ+≠的直线过ABC ∆的内心(BAC ∠的角分线所在直线)；||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的内心；⑵外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC ∆的外心；⑶垂心：PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心（先补充数量积的相关知识） ⑷重心：0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心．另外：在ABC ∆中，G 为平面上任意一点，有1()3GO GA GB GC =++⇔O 为ABC ∆的重心1()()()()03GO GA GB GC GA GO GB GO GC GO =++⇒-+-+-=，即0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心；若O 为ABC ∆的重心，则11()(3)33GA GB GC GO OA OB OC ++=+++20OA OB OC OA OE ++=+=，故1()3GA GB GC GO ++=.【例20】 在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为,ON AM 交点，利用向量证明23AP AM =，即重心为中线的一个三等分点．【变式】 ⑴已知3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=，则m =⑵已知a ，b 方向相同，且3a =，7b =，则2a b -=【变式】 若O 是ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的（ ）Ａ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心【变式】 （2003年天津）O 是平面内一定点，A ,B ,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【变式】 若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则内角C 的大小为____OEDC BA【变式】 已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且设AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=．NMGCBA【变式】 非正ABC △的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，求实数m 的值．【变式】 如图，设G 为OAB ∆的重心，过G 的直线与,OA OB 分别交于P 和Q ，已OP hOA =，OQ kOB =，OAB ∆与OPQ ∆的面积分别为S 和T ．求证：⑴113h k+=；⑵4192S T S ≤≤．【例21】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．E BBAMG QP O【例22】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中 点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．A【变式】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ． 1142a b +B ． 2133a b +C ． 1124a b +D ． 1233a b +【变式】 已知点M 是ABC ∆的重心，,MA a MB b ==，用,a b 表示,,AB AC BC ．FEDCBAM【变式】 M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的靠近A 的三等分点．求证：13MN BC =，且MN ∥BC ．【变式】 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求其长度．OFE DCBA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 ．ONMCBA。
(整理)向量的加减法实数与向量的乘积.
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．+B ．+C ．DH +D ．GH +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于（ ）A ．B ．4C ．4D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+5．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．==,B ．o ==μ,C ．o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。
其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③11．若2121,,PP P OP λ===，则等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．)1(λλ-+D ．λλλ+++111 12．已知ABCD 为菱形，则下列各式中正确的个数为 （ ）①=②||||=③||||+=-④||4||||22=+2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知,,的模分别为1、2、3，则||++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.18．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.=++19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量与μλ+=共线？20．试证：以三角形三边上的中线为边可以作一个三角形.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的距离.高一数学同步测试（9）参考答案一、1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．1± 14．120° 15．菱形 16．6三、17．k=－818．设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，则.3,,3231,3231,3231000000重合与故可知则为重心设反之故O O OC OB OA OO O O O O =++==++=++=+++=+=+=19．μλμλμλμλμλ2.,,2933222-=∈-=⎩⎨⎧-=+-=+只要故存在解之R k k即可.20．如图，=++===则,,λ)()(21=+++++=++故证21．如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则21==λλ=+=+=+∴21λλ 22．（1）3000千米 （2）正东方向。
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∴kλ＝ ＝－λ 1， 故选 D.
答案：D
8．在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB∥ DC，AD∥BC，已知点 A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的 坐标为________．
解析：在平行四边形 ABCD 中，O→B＋O→D＝O→A＋O→C， ∴O→D＝O→A＋O→C－O→B＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即 D 点坐标为(0，－2)．
思路分析：利用向量坐标运算的各公式．
1 已知 a＝(3，－2)，b＝(－10,9)．试问当 k 为何值时， ka＋b 与 2a－3b 平行？平行时它们同向还是反向？
解：ka＋b＝k(3，－2)＋(－10,9) ＝(3k－10，－2k＋9)， 2a－3b＝2(3，－2)－3(－10,9) ＝(6＋30，－4－27)＝(36，－31)， ∵ka＋b 与 2a－3b 平行， ∴(3k－10)×(－31)－(－2k＋9)×36＝0. 解得 k＝－1241＝－32， 此时 ka＋b 与 2a－3b 平行，且反向．
A2
A
A1
1．向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0. 那么当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a、b(b≠0)共线， 即 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
2．证明三点共线的方法 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)， 只要证明向量A→B与B→C共线，便可证得 A、B、C 三点共 线．
三点共线问题 【例 2】 向量P→A＝(k,12)，P→B＝(4,5)，P→C＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有B→A∥C→A.
2 已知向量O→A＝(k,12)、O→B＝(4,5)、O→C＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
三、解答题 10．已知O→A＝(1,1)，O→B＝(3，－1)，O→C＝(a，b)． (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系；
自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( )
A．共线且方向相同 B．共线且方向相反
C．是相反向量
D．不共线
解析：a＝－23b 且－23<0，∴a 和 b 共线且方向相反． 答案：B
2．若三点 P(1,1)、A(2，－4)、B(x，－9)共线，则( )
A．x＝－1 C．x＝92
10 10 )
解D析．：(－与3A→1B01共0，线的1100单)或位(向3 1量010是，±－A→→B11.00)
|AB|
答案：D
4．已知|a|＝2 3，b＝(－1， 3)，且 a∥b，则 a＝________.
解析：∵a∥b，b＝(－1， 3)， 可设 a＝(－λ， 3λ)， 又∵|a|＝2 3，∴(－λ)2＋3λ2＝12，λ＝± 3. 当 λ＝ 3时，a＝(－ 3，3)．当 λ＝－ 3时，a＝( 3，－3)
B．x＝3 D．x＝51
解析：P→A＝(1，－5)，P→B＝(x－1，－10)． ∵P→A∥P→B，∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，x＝3.
答案：BBiblioteka 3．已知两点 A(2,3)，B(－4,5)，则与A→B共线的单位向量
是( )
A．(－6,12)
B．(－6,2)或(6，－2)
C．(－3
1010，
当
P1P PP2
=λ时，点P的坐标是什么？
3 已知向量A→B＝(4,3)、A→D＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)． (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求 y 与 λ 的值．
基础达标
一、选择题 1．已知平面向量 a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量 a＋ b( ) A．平行于 x 轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于 y 轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：由 a＋b＝(0,1＋x2)，且 1＋x2≠0 及向量的性质可 知选 C.
答案：C
4．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b， 如果 c∥d，那么( )
A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
解析：A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，B→C＝O→C－O→B＝(－ 4－k,5)，由A→B∥B→C，所以 7(k＋4)－5(4－k)＝0，得 k＝－32.
答案：－23
向量平行的应用 【例 3】 如下图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．
答案：(0，－2)
9．已知 A(－1,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(0,2)，则四边形 ABCD 的形状为________．
解析：由于A→B＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，D→C＝(4,3)－(0,2) ＝(4,1)，所以A→B＝D→C，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
答案：平行四边形
rr
r r r ur
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、 c 、d ，
并求出它们的坐标.
解：如图可知
r uuuur uuuur r r a = Ar A1 + AA2 = 2i +3j
a = (2, 3) 同理 r r r
b = -2i + 3j = (-2, 3); r rr c = -2i - 3j = (-2, -3); r rr d = 2i - 3j = (2, -3).
答案：(－ 3，3)或( 3，－3)
5．已知 A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)， 试问：(1)A→B与C→D是否共线？
解：(1)A→B＝(4,4)，C→D＝(－8，－8)， ∴C→D＝－2A→B.∴A→B与C→D共线．
平面向量共线的坐标运算 【例 1】 向量 a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a －b. (1)若 u＝3v，求 x； (2)若 u∥v，求 x，并判断 u 与 v 同向还是反向．