第11章 拉普拉斯变换1
第11章 拉普拉斯变换1
2s 3 2s 3 k1 k2 F ( s) 2 p1=–2， p2=–3， s 5 s 6 ( s 3)( s 2) s 2 s 3 2s 3 2s 3 k1 ( s 2) 1 k 2 ( s 3 ) 3 ( s 3)( s 2) s 2 ( s 3)( s 2) s 3
第11章主要内容
11.1 拉普拉斯变换的定义 11.2 拉普拉斯变换的基本性质
本章主要内容
11.3 拉普拉斯变换的部分分式展开 11.4 运算电路
11.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
1
11.1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
一个定义在[0，∞]，即单闭区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换
F(s)定义为：
9
0
四、延迟性质
(t ) F ( s) f (t T ) ? 11.2 f拉普拉斯变换的基本性质６
L[ f (t T )] f (t T )e st dt
0
f (t T )e s ( t T )e sT dt
0
1 sT e f (t T )e dt e 0 s 例8：求 t = T时刻出现的单位阶跃函数(t-T)的象函数。
F1 ( s) L f1 (t ) f (t )e st dt sF ( s) f (0 ) 0
F1 ( s ) F ( s) s
例7：求 f(t)=t的象函数。
F ( s) L f (t ) ( )d
t
1 1 s s
1 2 s
1 k1 k1 e jθ 1 k2 k1 e - jθ
k1 ( s jw )F ( s )s jw
拉普拉斯变换
= =
⑵ L[cos(ωt+θ)]=L[cos(ωt)cosθ–sin(ωt)sinθ]=
⑶ L[e–2tcos(3t)]=
⑷ L[e–2 tsin(4t)]=
⑸L[tcos(ωt)]=L = =
⑹先求出
L[tsin(2t)]= L = =
L[te–tsin(2t)]=
⑺ L[10ε(t-2)+2δ(t-1)]=
⑻ L[(t+4)ε(t)+2e–tε(t-4)]= =
11-2用两种不同的方法求 的拉普拉斯变换。
解法1：利用题11-1中第（5）小题的结论
L[tcos(ωt)] =
可求出
L[te–tcost] =
再利用拉氏变换的导数性质可求出
=
=
11-4计算图示函数的拉普拉斯变换。
解先写出f(t)的时域表达式
100≤t≤1
f(t) =
–101≤t≤2
或写成
f(t) = 10[ε(t)–ε(t –1)] –10[ε(t– 1)–ε(t –2)]
则
L[f(t)]= L[10ε(t) –20ε(t –1) +10ε(t –2)]
=
或
L[f(t)]= =
= 5tε(t) –10tε(t–1) + 10ε(t–1) + 5tε(t-2)–10ε(t–2)
= 5tε(t) –10(t –1)ε(t–1) + 5(t–2)ε(t–2)
则
L[f(t)]= L[5tε(t)–10(t –1)ε(t–1) + 5(t–2)ε(t–2)]
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
第11章 自动控制原理
一般规定为响应曲线进入静差的±2%（或±5%） 范围而不再越出时所需要的时间。
振荡周期 过渡过程从第一个波峰到第二个波峰之间的时间， 反映系统的快速性。
第11章自动控制原理
热工测量与自动控制
第1节复习 难点： 自控系统的品质指标 重点： 1.自控系统组成与框图含义。 2.自控系统的分类、。 3.过渡响应的基本形式与过渡过程的品质指标。 4.各基本概念。
第11章自动控制原理
热工测量与自动控制
第1节概述
第2节构成环节的特性 第3节环节的综合和特性分析
第11章自动控制原理
热工测量与自动控制
第1节概述
一、自动控制系统及其组成 二、控制系统的分类 三、自动控制系统的过渡响应
第11章自动控制原理
热工测量与自动控制
一、自动控制系统及其组成 （一）自动控制与人工控制过程的对比
第11章自动控制原理
热工测量与自动控制
思考题： 6.在阶跃干扰下，调节系统的过渡过程有哪几种形式， 用什么性能指标来衡量。 7.什么是系统的静态特性与动态特性。
第11章自动控制原理
热工测量与自动控制
第2节构成环节的特性
一、环节信号的传递和特性 二、拉普拉斯变换与传递函数
三、对象的过渡响应和数学描述
X c (s) b0 S m b1S m1 bm1S bm W ( s) n n 1 X r (s) a0 S a1S an1S an
第11章自动控制原理
热工测量与自动控制
意义： ①系统或环节的一种形式，表达系统将输入量转换成 输出量的传递关系 ②仅与系统或环节特性有关，与输入量怎样变化无关 ③简化系统动态性能的分析过程
第11章自动控制原理
第11章 拉普拉斯变换
d2/ds2 有：
km-2 = lim 1/(2!) d2[(s–s1)m F(s)]/ds2 s→s1
重根(续) 依次类推，有：
km-k = lim 1/(k!) dk[(s–s1)m F(s)]/dsk s→s1
例题： F(s) = F1(s)/F2(s) = (s+4)/[(s+2)3 (s+1)]
所以： f(t) = ￡-1[F(s)]
26.60
=2*1.12e-2t Cos(2t – 26.60) =2.24e-2t Cos(2t – 26.60)
三、重根
例
F(s) = F1(s) /(s–s1)m
分解为： F(s) = k1/(s–s1)+k2/(s–s2)+…+km-1/(s–s1)m-1+km/(s–s1)m 两边同乘以(s–s1)m
0-
1(t)
∫
∞
0-
1
e-stdt=
–1/s
e-st
∞ 0-
= 1/s
(2) ￡[δ(t) ] =
δ(t) e-stdt = ∞
0-
∫
δ(t)dt = 1 0+
0-
(3) ￡[e-αt 1(t)] =
∫
e-αt 1(t) e-stdt = ∞
0-
∫
e ∞
-(s+α)t
dt=1/(s+α)
0-
§ 11 – 2 拉普拉斯变换的性质
方法二
例题
求 F(s) = (2s+3)/(s2+7s+10) 的原函数 f(t)
解： F1(s)= 2s+3， F2(s)= s2+7s+10=(s+2)(s+5) F2’(s)=2s+7
拉普拉斯变换
精心整理§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用§13－1.2.由1它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数拉氏变换的若干性质和定理时域延迟为一非负实数频域延迟或存在所有奇点均在或为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
表13-2拉氏变换简表已知的像函数。
解：已知，求)=的象函数。
例13-3求函数的像函数。
解：求函数的像函数。
根据微分性质，因为，所以求函数的像函数。
求函数的像函数。
求函数的像函数。
1）利用公式2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数3)把F(S)分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则§13－3拉普拉斯反变换的部分分式展开2.部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将展开成部分分式，成为可在拉氏变换表中查到的的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。
设，的阶次不高于的阶次，否则，用除，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。
部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出=0的根。
即1方法一：按2）若=0有共轭复根和则，因为F(s)为实系数多项式之比，故和为共轭复数。
设，3）=0的具有重根时，因含有的因式。
则，；；……；总结上述得由F(s)求f(t)的步骤：1）n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和；234例13-8已知其中所以解法二：例13-9已知求原函数。
奥本海姆《信号与系统》(第2版)知识点归纳考研复习(下册)
第7章采样第8章通信系统第9章拉普拉斯变换第10章Z变换第11章线性反馈系统第7章采样7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。
试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。
7.6在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x1（t）和x2（t）相乘，其乘积W （t）由一冲激串采样，x1（t）带限于ω17.7信号x（t）用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x0（t），设x1（t）是在x（t）的样本上经过一阶保持处理的结果，即7.8有一实值且为奇函数的周期信号x（t），它的傅里叶级数表示为7.9考虑信号x（t）为7.10判断下面每一种说法是否正确。
7.11设是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：7.12有一离散时间信号其傅里叶变换具有如下性质：7.13参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T，输入xc（t）为带限，而有7.14假定在上题中有重做习题7.13。
7.15对进行脉冲串采样，得到若7.16关于及其傅里叶变换7.17考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为频率响应在条件下为7．18假设截止频率为π/2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2倍的增采样序列，求对应于这个增采样单位脉冲响应的频率响应。
7.19考虑如图7-11所示的系统，输入为x[n]，输出为y[n]。
零值插入系统在每一序列x[n]值之间插入两个零值点，抽取系统定义为其中W[n]是抽取系统的输入序列。
若输入x[n]为试确定下列ω1值时的输出y[n]：7.20有两个离散时间系统S1和S2用于实现一个截止频率为π/4的理想低通滤波器。
拉普拉斯变换1拉普拉斯变换.pdf
22
3
（二）查表法
许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，从表上直接查找很
(n
−
2) (0)
−
f
(0)
（6.1.13）
(3)积分定理
∫t 0
ψ
(t)dτ
≈
1 p
[ψ (t)]
（6.1.14)
证
考虑函数 ∫ f (t) = t ψ (t)dτ 0
，对 f (t) 应用导数定理（6.1.12）,
f ′(t) ≈ pl[ f (t)]− f (0) = pl[ f (t)]
其中 。所以 ∫ f (0) = 0 ψ (τ )dτ = 0 0
1l[ψ(t)]
p
=l[
f
(t)]
∫=l⎢⎣⎡ 0tψ(τ)d(τ)⎥⎦⎤
即
t
∫0
ψ
(τ )dτ
=
1 p
l[ψ (t)]
（4）相似性定理
f (at) ≈ 1 f ( p ) aa
（6.1.15）
（5）位移定理
− λt e
f (t)
≈
f
(p +λ)
（6.1.16）
（6）延迟定理
− f (t − t0 ) ≈ e
pτ
dτ
∞ 0
f2 (ξ )e − pξ dξ
= f1( p) f2 ( p)
习题
求下列函数的拉普拉斯变换函数。
（1） shωt,chωt
（2） e − λt sin ωt,e − λt cosωt
（3）
1 πt
（4） δ（t −τ）
§6.2 拉普拉斯变换的反演
（一）有理分式反演法 如果像函数是有理分式，只要将有理分式分解成分项分式然
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f 1 ( t ) F1 ( s )
f 1( t ) sF ( s ) f 1 ( 0 )
例6：求 f(t)=coswt的象函数。
L sin w t
w
s w
2 2
cos w t (sin w t )
1
w
w sin w t s L 2 s w
st
dt
0
( t T )e
dt
11
1 s
e
sT
11.3 拉普拉斯变换反变换
在任何线性电路（定常）中，任一电量其象函数F(s)的形式都为：
F (s) N (s) D(s) a0s
m n
11.３ 拉普拉斯变换反变换1
a1 s
m 1 n1
am bm
令s=p1，则等式左边除第一项外都等于零，于是可得
k 1 ( s p 1 ) F ( s ) s p
1
同理可得：k i ( s p i ) F ( s ) s p
i
(i=1、2、…、n)
13
方法二：因为pi是D(s)=0的一个根，故ki=[(s-pi) F(s)] s=p 表达式
3
k2 s p2
将方程两边同时乘以(s-p1)3
( s p 1 ) F ( s ) ( s p 1 ) k 13 ( s p 1 ) k 12 k 11 ( s p 1 ) (
3 2 3
k2 s p2
16
)
( s p 1 ) F ( s ) ( s p 1 ) k 13 ( s p 1 ) k 12 k 11 ( s p 1 ) (
F (s)
11.1 拉普拉斯变换的定义2
f ( t )e
st
dt
0
0
Me e
e
ct
wt
e
jw t
dt
M c s jw
e
( c s jw ) t
0
s c
( c s ) t
收敛
F(s)式中积分下限值为0―，这是为了使积分能够计及时间
函数f(t)在t=0时刻可能包含的冲激。
k1 k1 e
jθ 1
k 2 k1 e
- jθ 1
f ( t ) k1e
( jw ) t
k 2e
( jw ) t
k1 e )
j 1
e
( jw ) t
k1 e
- j 1
e
( jw ) t
k1 e (et来自j( w t 1 )
e
- j( w t 1 )
s 1 j2
0 . 56 e
j 26 . 57
f(t)=2×0.56e-tcos(2t+26.57°) 三、设D(s)=0具有重根的情况。（假设D(s)中含有(s-p1)3的因式）
F (s) k 13 s p1 k 12 ( s p1 )
2
k 11 ( s p1 )
率分析，有时称为运算法。
二、拉氏变换存在的条件
<一>、在t≥ 0的任一有限区间上分段连续；
3
<二>、t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存
在常数M>0及c≥0，使得│f(t)│≤ Mec t，0≤t<∞成立，则
f(t)的拉氏变换F(s)在Re(s)>0上一定存在，此时右端积分绝 对收敛而且一致收敛。
F ( s ) L [ ( t )]
0
( t )e
st
dt
0 0
( t )e
s0
dt 1
5
11.2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质（包括齐性原理和叠加定理）
f 1 ( t ) F1 ( s )
11.2 拉普拉斯变换的基本性质1
f 2 ( t ) F2 ( s )
st
dt
1 s
e
st
0
1
例2：求 f(t)=e t(t)的象函数(为实数）。
F ( s ) L [ e ( t )]
Re[ s ] 0
t
e
0
tt
e
st
dt
1 s
e
( s ) t
0
1 s
例3：求 f(t)=(t)的象函数。
2
sin w 0 s
w
s w
2 2
1 w 1 L cos w t L sin w t s 2 s w w w
2
s s w
2 2
9
三、积分性质
f ( t ) f ( ) d F ( s ) f (t ) F ( s) 11.2 拉普拉斯变换的基本性质５
11.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
2
11.1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
一个定义在[0，∞]，即单闭区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换
F(s)定义为：
F (s)
11.1 拉普拉斯变换的定义1
f ( t )e
0 st
dt
式中s=s +jw为复数（叫复频率）
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。拉普拉斯变 换简称为拉氏变换。 拉氏变换分析电路的方法称为电路的复频
第11章 拉普拉斯变换
第11章 拉普拉斯变换
重点内容 应用拉普拉斯方法（简称运算法）计算动态电路的响应。 注意：R、L和C的运算电路图中各个组成部分的表达式及符 号。
1
第11章主要内容
11.1 拉普拉斯变换的定义 11.2 拉普拉斯变换的基本性质
本章主要内容
11.3 拉普拉斯变换的部分分式展开 11.4 运算电路
A 2 f 2 ( t ) e
st
dt
A1
0
f 1 ( t )e
st
dt
A2
0
f 2 ( t )e
st
dt
A1 F 1 ( s ) A 2 F 2 ( s )
6
例4：求 f(t)=sinwt的象函数。
1 11.2( s拉普拉斯变换的基本性质２ F ) L [sin w t ] L [ (e e )
0
f 1( t ) e
st
dt e
st
f1 (t )
0
s
0
f 1 ( t )e
st
dt
f ( t 拉普拉斯变换的基本性质４ 11.2) F ( s ) e f ( ) 0
1 1
s
1
0
st f 1( t ) e dt sF ( s ) f 1 ( 0 )
i
11.３ 拉普拉斯变换反变换3
ki
为零分之零形，可以利用罗毕达法则来确定的值 ，即
( s pi ) N ( s ) D(s)
lim
s pi
lim
s pi
( s p i ) N ( s ) N ( s ) D ( s )
N ( pi ) D ( p i )
ki
2 k1 e
t
cos( w t 1 )
15
例10：求 F(s)=s/(s2+2s+5)的原函数f(t) 解：D(s)= s2+2s+5 =0得，p1= -1+j2， p2= -1 - j2
k1 N (s) D ( s )
s 1 j2
11.３ 拉普拉斯变换反变换5
s 2s 2
e
st
u
st
f 1( t ) dt dv
dt
du se
st
dt
0
f 1( t ) e
e
0
st
df 1 ( t )
0
0
f 1( t ) e
st
dt e
st
f1 (t )
0
s
f 1 ( t )e
st
dt
8
N ( pi ) D ( p i )
(i=1、2、…、n)
例9：求 F(s)=(2s+3)/(s2+5s+6)的原函数f(t)
F (s) 2s 3 s 5s 6
2
2s 3 ( s 3 )( s 2 )
1
s 2
k1 s 2
k2 s 3
p1=–2， p2=–3，
1 1
0 1
F1 ( s ) ? F ( s )
F1 ( s ) L f 1 ( t )
0
st f ( t ) e dt sF ( s ) f ( 0 )
F (s)
F1 ( s ) s
例7：求 f(t)=t的象函数。
F ( s ) L f ( t )
jw t jw t
2j
1
2 j s jw
(
1
1 s jw
)
w
s w
2 2
例5：求 下图所示矩形脉冲f(t)的象函数。