实验5极点配置计算机辅助设计

《现代控制理论》
实验五
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实验5极点配置计算机辅助设计
一：原理分析
1能控性定义
线性定常系统状态方程为：
Bu Ax x +=•
若给定系统的一个初始状态)0(t x （t0可为0），如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在容许控制的u(t)使0)1(=t x ，则系统状态在t0时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称这个系统是状态完全能控的。

2能控性判据
在判断系统能控性中常用的判据有格拉姆判据（rankWc[0,t0]=n ）、秩判据（rankQc=n ）、PBH 判据（rank n B A I i =-][ λ）、PBH 特征向量判据等。

在此次设计中选用了计算比较简便的秩判据。

若系统能控，则n ×n 能控性矩阵
]
[1B A AB B
Q n c -=
满秩。

即
rankQc=n
证明：应用凯莱-哈密顿定理，将At e -展开为A 的最高幂次为n-1次的多项式
i
i n i n n At
A a A
a A a I a e
)()()()(1
1
110ττττ∑-=---=+++= （1-1）
将上式代入τττ
d Bu
e x t A )()0(1
⎰
--=，得到 τ
τττττd u a B A d Bu A a x t i n i i i
t n i i )()()()()0(1
10
1
10
⎰∑⎰
∑-=-=-=-= （1-2）
因为式（1-2）中的积分上限是已知的，所以每一个定积分都是一个确定的数值。

令
i ir i i t i
d u a ββββτττ=⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎰ 210)()(1
（i=0,1, …n -1） 由于u(t)是r 维向量，i β也必然为r 维向量。

于是，式（1-2）可写成
[]
⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-=---=∑1101
1
)0(n n i n i i B A AB A B A x ββββ （1-3）
若系统能控，必能从式（1-3）中解得110,,,-n βββ 。

这就要求系统能控性 矩阵[
]
B A AB A Q n c 1-= 的秩必须为n ，即rankQc=n 。

3极点配置
定常线性系统的动态特性、稳定性和瞬态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵的极点在s 左半平面上的位置。

对于一个给定的系统，能否和如何用比例反馈方法把极点移置到指定的位置，这既是一个理论问题，同时也是一个方法问题。

传统的输出反馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性。

对于单输入单输出情况，输出反馈只能使极点在根轨迹曲线上变动，而不能把它们移到其他位置上去。

引入状态反馈将系统的极点配置在s 的左半平面的希望位置上，则可以得到满意的系统特性。

一个系统引入状态反馈可以任意配置极点的条件是原系统能控。

4状态反馈系统
对于控制系统Cx y Bu Ax x =+=•
,，式中A 为n ×n 系数矩阵；B 为n ×1 输入矩阵；C 为1×n 输出矩阵。

状态反馈律为：μ=V ﹣Kx
状态反馈系统方程为
Cx y Bv x BK A x =+-=•
,)(
图1 状态反馈闭环控制原理图
若系统能控，则引入状态反馈可以任意配置系统的极点。

且A 、B 一定，配置系统的极点，就是确定矩阵K 。

通过计算合适的矩阵K ，将系统极点配置在s 的左半平面。

因此，于一个完全能控的线性系统的极点配置问题，实际上转化为求解状态反馈增益矩阵K 5极点配置问题的实现
单输入系统极点配置的计算步骤如下:
(1)检查系统的能控性。

如果系统能控，则按以下步骤计算状态反馈矩阵。

(2)计算矩阵A 的特征多项式，即0111]det[a s a s a s A sI n n n ++++=--- 。

(3)计算由希望的极点n s s s 21
所决定的状态反馈系统特征多项式
0*1*11*1
*
)()(a s a s a s s s s k n n n i n
i ++++=-∏=∆--=
(4)计算-
k
][11*11*00*---
---=n n a a a a a a k
(5)确定变换矩阵P
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----00
1
001011][132
121
11
n n n a a a a a a B A AB B
p
(6)计算状态反馈矩阵K
P k k -
=
注意：这里的变换矩阵1-P 就是将不是能控标准形的状态方程变成能控标准形的变换矩阵。

当系统方程为能控标准形的情况，1-P =I ，这时状态反馈矩阵K=
-
k 。

二：程序设计
A=[-1 -3;-1 3];
B=[2;1];
P=[-1+2j -1-2j];
[n,n]=size(A) ; %判断矩阵A的维度
Qc=[B A*B ]; % Qc为能控性矩阵
R=rank(Qc) %计算能控性矩阵的秩
if R==n %判断系统是否可控
disp ('系统可控，可任意配置极点')
elseif R<n
disp ( '系统不可控！不能任意配置极点！')
end
syms s; %定义符号变量
Det=det(s*eye(n)-A); %计算A的特征多项式
a1=1; %计算状态反馈系统多项式
for e=1:n;
a1=(conv([1 -P(e)],a1));
end
a2=fliplr(a1); %取状态反馈系统多项式的系数，并反转
a3=fliplr(sym2poly(Det)) ; %取A的特征多项式系数，并反转k=a2-a3;
k1=k(1:n); %计算
a=a3(2:n); %构建矩阵:
A1=zeros(n);
for i=1:n,
for j=1:n,
if(j<=n-i),
if i>j,
A1(i,j)=a(i);
else
A1(i,j)=a(j);
end
else
if(j==n-i+1),
A1(i,j)=1;
else
A1(i,j)=0;
end
end
end
end
Pc=Qc*A1;
K=(k1*inv(Pc))。