期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

,为独立同分布的随机变量序列，若2,则有pξ是由同一总体中得到的抽样，那么由,,n,为独立同分布的随机变量序列，若,[2,D μξ<∞则有k =∑1)exp(x=⎰η，并计算样本均值,,nKolmogorov强大数定律有,,)]T S ，,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期n t T <<=2,)n，1,2,n），则如果用日数据计算波动率，+，并令其解为2,) 2,,}k，跳跃尺度()2()(,)()!N t W S r N t λτλτσ-exp(λλμ=，()(exp(N t r r λ=-1σσστ=+例2. 标的资产价格遵从跳扩散过程如下()(1)dSdt dW Y dN Sμλνσ=-++- 1.5(0)20, 2.5%,20%,0.5,1,500,0.004,0.8S t v Y n t Y μσλ=====-=∆==用蒙特卡洛模拟的资产价格路径如下图所示：◆无形资产——专利池的期权定价模问题专利池的市场价值V 依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S 和成本C 及时间t ，这三个变量均可用跳扩散模型：()(1)dXdt dW Y dN Xμλνσ=-++-通过构造由V 和它所依赖的两个变量S 、C 组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V 与S 、C 所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V 的求解公式。

构造无风险资产组合S S C V V S V C ∏=--一方面V∏的微分的期望为：()()V S C E d r V V S V C dt ∏=--时也不排除在一段时间后出现其他更好技术的可能性，一方面时间越长，这种可能性越大。

另一方面该技术使用寿命越长，这种可能性越小(l=l(t))。

并且,其他同类技术的出现使该专利池技术的收益下降, 下降幅度为LnY 。

因为设备的经济使用寿命是20年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。

若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率 10%递增。

假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。

1.3()0.02,25%,10%,0.6S S C S t t r Y λμμ=====(0)4000,(0)1000,4000,0.005S C n t ===∆=新产品发明专利池的市场价值 V=8050●在一次付清许可费用情况下的价格模型：新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S C S SS C CCS C SC S SP r v P S rP C S P C PSCP E P Y S C t P S C t rPλσσσσλ+-+++++--=(,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C(,,) asP S C T S T C TP S C t SP S C tP S C t S Sαα=-→→→→∞→→∞在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：(,,)(,,)P S C t V S C tα=1.3()0.02,25%,10%,0.5,0.6(0)4000,(0)1000,4000,0.005S S C St t r YS C n tλμμα=========∆=在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格 P=5450。

●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型新产品发明专利池技术产生的收益S遵循模型()(1)S S S S S S SdSq dt dW Y dNSμλνσ=--++-引进新产品发明专利池技术后的成本 C 遵循模(, NμσSY在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。

§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。

其基本思路是：在期权的有效期，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。

选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。

最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首*,,,,)]T t S S *,,,,T t S S 为标的资产价格的路径，*,,,,)T t S S 的期权价值。

上式定义的用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。

{0,1,,}N ，随机变量,,N S ，重复执行3,,0 N执行，或是永不执行。

具体设计程序时，令初{0,1,,}执行期权，则t*1,2,,}M也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初,,,)]j T t S S *=∑已知股票价格为50，美式看跌期权执行价为R=[ones(size(X1)) (1-X1) 1/2*(2-4*X1+X1.^2)];a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)%%%%% 绘制标的股票价格模拟图 %%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期权存续期间')ylabel('股价的模拟路径')%%%%% 绘制期权价值模拟图 %%%%%figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';for i=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期权的最优停止时间')ylabel('期权价值的模拟路径')模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,1000 00)Price=4.2654§7. 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方2,,mj T S 也是股票价格终值的{}exp()max 0,,1,2,,j j T C rT S K j m =--=的平均值也能得到期权价格的无偏估计量。

因此，由对偶变量技术得到的jC 。

]j C ，所以1](])2jj C Var C =；并且，令()Z φ=，对于标是单调递]0j C ≤，从而1](jC Var ≤122,,,,,m m C C C C C 并122,,,222m mC C C C C ++才是独立同分布的抽样，故122,,,22m mC C C C C ++而非2n 122,,,,,m m C C C C C 来,,n Y 是期权到期回报贴现的1,,n 独立同分布，则对于确定的数(),,)d TX并且i1,,n独立同分布，(),,d X 之()[]2i X -∑2,,d 将bY 。

,,X，从而将n,,X作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为n)b=∑m,,m Z 。

由于对这些样本进行调整，使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩与总,2,,j j Z Z Z m =-，~(0,1)j Z N j Z 生成的股票价格终jT S ，从期回报现的一次{}exp()max 0,j j T C rT S K=--，利用矩匹配技术得到的蒙特卡洛估计量为1m jC ∑。

和对偶变量技术一样，12,,,m Z Z Z 并不独立，导致12,,,m C C C 也不独立，所以不能直接应用中心极限定理估计误差。

一个解决方案是将抽样分隔为不同批次，对每个批次分1,2,,j j ZZ Z Z m S -=。

j Z 不再服从标准正态分布，故相应j C 将是期权价格的有偏估计。

这个偏差在极端情况下可能2,,j j Z Z Z m =-(2,,j j ZZ Z Z m S -=其中Z 与S 的定义同上。

仍以标准欧式看涨股票期权为例，若股价服从风险中性的几何布朗运动，则股价终值的均j T S 运用矩匹配技术。

,,m Z ，其经验分布不会完全与总体分布相吻合，尤的经验分布加以改进。

,,m U 是在1],,[,1]m m-2,,m 。

显然，1()j j Z V φ-=m 分位数之间，故由,,m V 可得标准正态分布的一个分层抽样。

需要注意的是,,m V 的高度相关性使得标准误差的估(),,),1,2,,d j U j m =是[0,1]d 上均匀分布随机,,d π是1,2,,}m 上的随机排1,1,2,,1,2,,k dj m m-==上服匀分布的随机向量，并且的第,,mV ,,m V 不独立，故,,m X 均为服从1(m j h m θ=∑()g x ⇒>,,m X 是服从1m g h m θ=∑g θ是θ的无偏估计量。

重要性抽样技术的方差减少效果：由于1,2,,d 监测，1,,},1,,},d d 使得均有，i X 是独,,d S ，故减少了模拟工作量，提高了效率。

如果对此期权综合应用条件蒙特卡洛与重要性抽样两11((),,)(,,)[()(,,)(,,),,)[()()],,),,),,)g d d d d r T g X X f X X E I S S X g X X X E I S S K S X X e X τττττττττ+++--那么结合了重要性抽样的标的资产服从风险中性几何布朗运动的下敲入看涨期权的到期回报贴现的条件蒙特卡,,),,)r X e X τττ-。