一类常系数线性微分方程的特解公式
常系数线性微分方程特解复数求法的一点注记
常系数线性微分方程特解复数求法的一点注记高鹏霞;赵临龙【摘要】对于常系数非齐次线性微分方程L[x]]=dnx-dtn+a1(t)dn-1x-dtn-1+…+an-1dx-dt+an(t)x=f(t) (1)若λ=α±βi为(1)的特征方程的k重根时,则方程(1)的特解-x的满足以下结论:结论 1对于方程(1),若L[x]=f(t) =Pm(t)exsinβt(Pm(t)为m次多项式),则特解-x=tkAm(t)e(α+βi)t(Am(t)为m次待定多项式)为复数方程L[x]=f2(t)=-iPm(t)e(α+βt)t所对应特解的实部；若L[x]=f(t)=Pm(t)eαcosβt,则特解-x为方程（2）所对应的特解的虚部.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2012(032)001【总页数】1页(P27)【作者】高鹏霞;赵临龙【作者单位】安康学院数学与应用数学研究所,陕西安康725000;安康学院数学与应用数学研究所,陕西安康725000【正文语种】中文对于常系数非齐次线性微分方程若λ=α±βi为（1）的特征方程的k重根时，则方程（1）的特解的满足以下结论：结论1 对于方程（1），若为m次多项式），则特解为m次待定多项式）为复数方程所对应的实部；若L[x]=Pm (t )eαtcosβt ，则特解x为方程（2）所对应的特解的虚部.结论2 对于方程（1），若为m次多项式），则特解为m次待定多项式）为复数方程所对应特解的实部；若L[x]=f(t)=Pm (t )eαtsinβt ，则特解x为方程（3）所对应的特解的虚部.例 [1] 解方程x′′+9x =tsin3t.解特征方程λ2+9=0有根λ1,2=±3i ，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为x=c1cos3t +c2sin3t ，其中：c1，c2为任意常数.对于特解，构造复数方程L[x]=te3it ，由于λ=±3i为单根.根据结论1～2，特解有2种解法.方法1 若将作为的实部，则可构造复数方程x′′+9x =-i te3it ，则经化简得由结论1得特解方法2 若将作为的虚部.由结合结论2得特解综上所述，x′′+9x =tsin3t 的通解为【相关文献】[1] 王高雄，周之铭.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2004。
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
一类n阶常系数线性微分方程特解的求法
y
( n)
= A
k= 0
Cn ( x =
k
s+ r
)
( k)
(e ) Cn ( x
k
x
( n- k )
, n = 1, 2, (e )
x ( n- k )
n
Ln [ y ]
n- 1
A{
k= 0 s+ k
s+ k
)
( k)
a1
k=0
C n- 1 ( x
x 0
k
)
( k)
(e )
0
x
( r)
C s+ rF ( ) x
( s+ r)
s+ r- 1
+
( s 是非负整数, 且 s < n ) ( 0) ( 1) 的特征 方程是 F ( ) = 0. 若 F ( ) , F ( ) , F
(2)
+
+ + C s+ r F
s+ r
( )x +
( )}
( ),
,F
( s+ r)
( ) 中F
= Ae {[ C n
n
+ a 1 C n- 1
n- 1
+ an- 1 C 1 a +
收稿日期 : 2005- 10- 16 基金项目 : 江西省高等学校教学改革研究 省级立项课题 常微分方程 开放题的设计及其教学 作者简介 : 曾菊华 , 赣南教育学院数学系讲师 , 主要 从事数学专业课程的教学研究 .
-x
4 xe ( cos x + i sin x ) = 4x e 的 一 个特 解: 4 3 2 F( ) = - 4 + 12 - 16 + 12, F ( 1+ i) = 0, F ( 1+ i) = 8i
第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.
一 复值函数与复值解
二 常系数齐次方程与欧拉方程 三 非齐线性方程与比较系数法 四 质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍 求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明： 一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0
常微分方程的常系数线性方程
常微分方程的常系数线性方程常微分方程是求解自然现象中变量随时间变化的数学工具。
它是描述自然现象中许多重要现象如振荡、决策、生长和衰变等的基础。
常微分方程又可分为一阶方程和高阶方程。
一般的高阶方程可以通过将其转化为同阶但有更多变量的方程来解决。
而本文所涉及的是常微分方程中的常系数线性方程，它是一类重要的高阶方程，大量实际问题都可以用常系数线性方程来描述和解决。
一、基本概念和定义常系数线性方程是指高阶形式为$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = f(x)$的方程，其中$n \in N, a_i \in R (i=0,1,...,n-1)$是常数，$f(x)$是已知函数，$y=y(x)$是要解的未知函数。
该方程中的常数称为常系数，线性指$f(x)$为一次函数，即不含有未知函数$y$的高次项。
二、解法为了求解常系数线性方程，我们首先要解其特征方程，即解形如$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = 0$的齐次方程。
特征方程的根称为特征根，常系数线性方程的解法要分三种情况：实根不同、重根和虚根。
(1)实根不同的情况当特征方程有$n$个不同实根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为$y_1,y_2,...,y_n$，那么方程的通解为$y=c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n$，其中$c_1,c_2,...,c_n$是任意常数。
(2)重根的情况当特征方程有一个重根$\lambda$时，设对应的齐次方程的两个线性无关解分别为$y_1=e^{\lambda x}$和$y_2=xe^{\lambda x}$，那么方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$，其中$c_1，c_2$是任意常数。
(3)虚根的情况当特征方程有$n$个对应的虚根$\alpha_1 \pm \beta_i i(1\leq i\leq m)$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为：$y_1=e^{\alpha_1x}cos\beta_1x,...,y_{2m-1}=e^{\alpha_1x}cos\beta_mx$$y_2=e^{\alpha_1x}sin\beta_1x,...,y_{2m}=e^{\alpha_1x}sin\beta _mx$那么方程的通解为$y=(c_1cos\beta_1x+c_2sin\beta_1x)e^{\alpha_1x}+...+(c_{2m-1}cos\beta_mx+c_{2m}sin\beta_mx)e^{\alpha_1x}$，其中$c_1,c_2,...,c_{2m}$是任意常数。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
45一阶常系数线性微分方程组解法举例
4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程
dy dx sinx 2 y z 例 1．求微分方程组 的通解。 dz cosx 4 y 2z dx
dy dz cosx 2 ， 解：对第一个方程求导，得 2 dx dx dx
dy 由第一个方程得 z sinx 2 y ， dx dz dy 代入第二个方程，得 cosx 4 y 2(sinx 2 y ) dx dx dy cosx 2sinx 2 , dx
2x
2(c1e
x
c2e
2x
) c3e
2x
(4c2 c3 )e 2 x c1e x .
dx dt y z dy 例 3．求微分方程组 z x 的通解。 dt dz x y dt
d ( x y) 解：由第一个方程和第二个方程得： ( x y ) 1 dx a11( x ) y1 a12( x ) y2 a1n ( x ) yn g1 ( x ) dy 2 a21( x ) y1 a22( x ) y2 a2n ( x ) yn g2 ( x ) (1) dx dyn an1 ( x ) y1 an2 ( x ) y2 ann ( x ) yn gn ( x ) dx
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
一阶微分方程组的一般形式
dy1 dx f1 ( x , y1 , y2 ,, yn ) dy 2 f 2 ( x , y1 , y2 ,, yn ) dx dyn f n ( x , y1 , y2 ,, yn ) dx
一阶常系数线性微分方程
一阶常系数线性微分方程
一阶常系数线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的变化。
它的形式为：
$$\frac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t)$$
其中，$P(t)$和$Q(t)$是关于时间$t$的函数，$y$是关于时间$t$的未知函数。
一阶常系数线性微分方程的解可以用积分的方法求得，即：
$$y(t)=e^{-\int P(t)dt}\left[\int Q(t)e^{\int P(t)dt}dt+C\right]$$
其中，$C$是一个常数，可以通过初值条件确定。
一阶常系数线性微分方程在物理学、化学、生物学等领域都有广泛的应用，它可以用来描述物理系统中的变化，如振动、传播、温度变化等。
例如，在振动系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述振动的变化；在传播系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述信号的传播；在温度变化系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述温度的变化。
一阶常系数线性微分方程的解可以用积分的方法求得，这种方法可以有效地解决一阶常系数线性微分方程的求解问题。
总之，一阶常系数线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的变化，并且可以用积分的方法求得它的解。
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在 求 二 阶常 系 数微 分方 程 Ｙ ＋
＋ｑ Ｔ Ｙ＝Ｏ
＋Ｐ ＋ｑ ＝ ｙ Ｙ
ｅａ ｉ （ 卢 ）
（） ２
（ ｃｓ ｒ＋ｂ ｉ／ ） 的特解 时 ， 按 常用方 法 先设 出 口 ｏ／ Ｒ ｓ ￣ ｅ ｎｒ 若
含有 待定 系数 的特解 ， 然后带 入原 方程 ， 通过 比较 系数 法求 出待定 系数 ， 则解 题过 程 比较繁琐 ． 里提供 了一 这 个可 直接 定 出此类 方 程 特解 的公 式 ， 而 达 到化 繁 为 从
ｉ 口 ＋ａ ｏ）ｅａ ｉ ）（ ｌ ０ ］（＋ ） ｔ 卢
ａ＋ｉ不是特征根 Ｊ ９
将 式 （ ）（） （） 入方 程 （） 整理得 ： ４ 、５ 、６ 带 ２并
｛ ［
【
或者
一
］＋ ｅ （ 口
２ｌ （ 口 ＋２ 口＋ｉ） ａ ｂ （ ｏ＋２ ｌ ＇ ａ ）＋（ 口＋ｉ）（ ０ ＋ ｐ ａ ｏ ｔ ａ ）＋Ｐ（ ０＋２ ｌ ＋ Ｐ 口＋ｉ） ａ ｏ ＋ ｌ ａ ａ ） （ ｐ （ｏ ｔ
口 ）＋ ｑ （ ０＋口 ｏ）＝ ｌ ｔ ｏａ ｌ ｔ
ａ＋ｉ 是单特征根 Ｊ ９
『（ Ｒ ｅ ｛
Ｊ
一
一 ｝
比较 系数得 ：
＋Ｐ（ ０＋２ ｌ ａ ａ ）＋Ｐ 口＋ｉ ） ａ ｏ ＋ａ ｏ ） （ ｐ （ｏ ｔ ｌ ｔ
ａ 不是特征根 —ｉ
｛ （
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其中
口＝ 而 。
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（ ） ＝ ［ａ （ ０＋２ ｌ ） （ ａ Ｏ ＋ 口＋ｉ）ａ Ｔ ｐ（ｌ ｏ ｔ＋ａ ） ０
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的特 解 为
［
ｌ
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］＋ ｅ （ 口
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・ ， ＝ 口
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．
， ＝ 即 一
同理可 得 方 程 （） ３ ‘ 一 。 。 、
ｅａ ｉ ｒ又 （ ｆ ． －） １
ａ—ｉ 口是单特征根
ｆ（ ＝ ＋ ＋ｑ ｇ（ ＝２ ） ， ） ２＋Ｐ．
一 （ ４ ＿ ｇ（ 口＋ｉ ） ２ 口＋ｉ 卢 ｇ （ ）
（ ｃｓ 十ｂｉ／ ）“的特 解 的一 般 公 式 口 ｏ触 ｓ ／ ｅ ｎｒ
关 键 词 ：微 分 方程 ； 解 ； 征 根 ； 特 特 欧拉 公 式 中 图分 类 号 ：Ｏ１５ １ ７． 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １７ —１ ０ （０ ７ ０ ～０ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ） ２ １６—０ ２
ｘ ｅ
｛ ［
＝
一
］＋｝者 ｅｉ ， （）或 ａｘ １ ｆ
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ｚｅ ａ ｉ （ －卢
，
则方程 （ ） １ 的
｛ ［
一 羔 ］ｉ． ｅ￣ （） ａｘ －｝
＋ｑ ＝ ｂｓ ／ Ｙ ｔ ｎ ｒ的特 解 为 ： ｏ ｉＲ
特别地， 若方 程 （ ）中 ａ ＝ ａ＝ ０有 ： １ 推论 １ 方 程 Ｙ ＋
维普资讯
第 ３卷第 ２ 期
２００７年 ４月
沈阳工程学院学报 （ 自然科学版）
Ｊｕ ａ ｏ ｈ ｎ ａ ｇＩｓｉ ｔ ｆ ｎ ｉ ｅｉｇ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｅ ｙ ｎ ｎｔ ｕｅ ｇｎ ｒ （ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｎ Ｓ ｔ ｏＥ ｅ ｎ ｅ
Ｒ［ ＋ ｅ黹 ｛
ｉ ｐ不是 特征 根
ｂｉ ｘ ＋
例 １ 求 方 程 一２ ＋２ ｙ ｙ＝ ｘ ＯＸ的一个 特解 ． ｅＣＳ
解 这 里 ａ＝ ＝ ａ ＝ １ ｂ＝ ０ Ｐ ＝一２ ｑ ＝ ２ ａ ， ， ， ，
±ｉ １ 是特 征方 程 一２ 口＝ ±ｉ Ａ＋２＝０的单根 ， ａ） ｇ（
＝
２ Ａ一２ 由定 理 １可知 它 的一 个 特解 为 ： ，
ｉ ｐ不是单 特 征根 或 者
ｙ一Ｒ 南 ｅ
＝
一
Ｊ＋ ｅ （ １
Ｒｅ
｛ 一 ［
一
｝ ］｝ ｅ ＿ － 摩
：甜ｃ 盼 的特 解为 ：
寺 （ｓ＋ Ｓ ） ｃ Ｘｎ ｏ ｉ
例 ２ 求 方程 ＋９ ＝ ｘｓ ３ 的一 个 特解 ． ｙ ｉｘ ｎ
Ｖｏ． １３ Ｎｏ． ２
Ａｐ ． ２ ０７ ｒ ０
一
类 常 系数 线 性 微 分 方 程 的 特 解 公 式
周 坚 ， 士银 赵
（ 苏宿迁 学 院， 苏 宿迁 ２ ３ ０ ） 江 江 ２ ８ ０
摘
要 ：利 用比较 系数 法， 导 出二阶常 系数微分方程 Ｙ ＋Ｐ Ｙ 推 ｙ ＋ｑ
解 这里 ｂ＝ １ ＝３ Ｐ ＝０ ｑ＝ ９ ±ｉ ， ， ， ， ｐ＝±３ 是 ｉ 特 征方 程 ＋９＝ ０的单 根 ， ）＝ ２ 由推 论 １可 ｇ（ ，
的特解 注意 到
＝
＝ ＝
一
证 明 只证 ａ＋ｉ 单特 征根情 形 ． 是 由欧拉 公式
ｆ触：ｉ ｅｘ ｃ Ｔ ＋－ ｏ ｅ ｉ ｓ ｆ ｆ ｌ ｌ ｘ
， 故有 方程 （ ） １ 的特解 Ｙ ＝ ． ＋ ｙ
｛ 【
ｓｎ ｉ
—
ｉ。ｉ 将 程１ 写 ＋ ＋ ｅｒ 方 （改 为 ＿／ －可 ／ ）
简 的 目的 ．
定理 １ 方 程 Ｙ ＋Ｐ ｙ＝Ｏ（ ｃｓ ＋ｂ ｉ／ ） ｙ ＋ｑ Ｔ ａ ｏ／ ￣ ｓ ￣ ｅ ｎｏ ｒ
（） １
的特解 与
＋Ｐ ＋ｑ ＝ ｙ Ｙ ｅ ） （ （） ３
的特解 之和 ． 面先求 方程 （ ） 下 ２ 的特 解 ， 设
＝ ｘ（ ０＋ａ ｏ）（＋ ） ａ ｌ ｅａ ｉ Ｔ 卢
特解 应等 于 ：
收稿 日期 ：２０ —０ ０ ６ ９—０ １ 作 者 简 介 ：周 坚 （９ ６一）女 ， 苏 宿 迁 人 ， 士坚， 一类常系数线性微分方程的特解公式 等：
・ ７ １ ・ ９