高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课学案新人教A版选修2_12

第一章常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.知识点一命题及其关系1.判断一个语句是否为命题，关键是：(1)为陈述句；(2)能判断真假.2.互为逆否关系的两个命题的真假性相同.3.四种命题之间的关系如图所示.知识点二充分条件、必要条件和充要条件1.定义一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.2.特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件.即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.知识点三简单的逻辑联结词与量词1.常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”.3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x ”表示“存在x ”.4.含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做特称命题.类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究 命题角度1 充分条件与必要条件的再探究例1 设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A解析 由①得甲⇔乙，②可以理解为丙是乙的充分条件，但不是乙的必然结果，即丙⇒乙，乙⇏丙.则丙是甲的充分条件，但不是甲的必然结果.反思与感悟 若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果. 则p ⇏q 易表述为以下几种说法：p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ； q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练1 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( )A.a 2>b 2>0B.log 21a >log 21b >0 C.ln a >ln b >0 D.x a >x b且x >0.5答案 C解析 设条件p 符合条件，则p 是a >b >0的充分条件，但不是a >b >0的必然结果，即有 “p ⇒a >b >0，a >b >0⇏p ”.A 选项中，a 2>b 2>0⇏a >b >0，有可能是a <b <0，故A 不符合条件； B 选项中，log 21a >log 21b >0⇔0<a <b <1⇏a >b >0，故B 不符合条件；C 选项中，ln a >ln b >0⇔a >b >1⇒a >b >0，而a >b >0⇏a >b >1，符合条件；D 选项中，x a>x b且x >0.5⇔0.5<x <1时a <b ；x >1时a >b ，无法得到a ，b 与0的大小关系，故D 不符合条件.命题角度2 充要条件的再探究例2 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足：b n ＝a n －a n ＋2，c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2(n ＝1，2，3，…)，证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…). 证明 (必要性)设{a n }是公差为d 1的等差数列，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－a n ＋3)－(a n －a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )－(a n ＋3－a n ＋2)＝d 1－d 1＝0， 所以b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)成立.又c n ＋1－c n ＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋2－a n ＋1)＋3(a n ＋3－a n ＋2)＝d 1＋2d 1＋3d 1 ＝6d 1(常数)(n ＝1，2，3，…)， ∴数列{c n }为等差数列.(充分性)设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…). ∵c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2， ① ∴c n ＋2＝a n ＋2＋2a n ＋3＋3a n ＋4.②①－②得c n －c n ＋2＝(a n －a n ＋2)＋2(a n ＋1－a n ＋3)＋3(a n ＋2－a n ＋4)＝b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2. ∵c n －c n ＋2＝(c n －c n ＋1)＋(c n ＋1－c n ＋2)＝－2d 2， ∴b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2＝－2d 2，③ 同理有b n ＋1＋2b n ＋2＋3b n ＋3＝－2d 2.④④－③得(b n ＋1－b n )＋2(b n ＋2－b n ＋1)＋3(b n ＋3－b n ＋2)＝0. ⑤∵b n ＋1－b n ≥0，b n ＋2－b n ＋1≥0，b n ＋3－b n ＋2≥0， ∴由⑤得b n ＋1－b n ＝0(n ＝1，2，3，…).由此不妨设b n ＝d 3(n ＝1，2，3，…)，则a n －a n ＋2＝d 3(常数). 由此c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2＝4a n ＋2a n ＋1－3d 3， 从而c n ＋1＝4a n ＋1＋2a n ＋2－3d 3＝4a n ＋1＋2a n －5d 3. 两式相减得c n ＋1－c n ＝2(a n ＋1－a n )－2d 3，因此a n ＋1－a n ＝12(c n ＋1－c n )＋d 3＝12d 2＋d 3(常数)(n ＝1，2，3，…)，∴数列{a n }是等差数列.反思与感悟 利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面.跟踪训练2 设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A.{a n }是等比数列B.a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C.a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D.a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 答案 D解析 A i ＝a i a i ＋1，若{A i }是公比为q 的等比数列，则有对∀i ≥1有q ＝A i ＋1A i ＝a i ＋1a i ＋2a i a i ＋1＝a i ＋2a i.这说明{a 2i －1}及{a 2i }均是等比数列且公比都是q ，即D 选项{A i }为等比数列的必要条件，故研究反向问题即可.由上述，D 选项是{A i }为等比数列的必要条件.设D 选项为真，即设{a 2i －1}，{a 2i }均为等比数列，且公比都是q ，则对∀i ∈N *，有A i ＋1A i ＝a i ＋1a i ＋2a i a i ＋1＝a i ＋2a i＝q ，为等比数列.这表明D 选项也是{A i }为等比数列的充分条件.故选D. 类型二 等价转化思想的应用例3 已知c >0，设p ：函数y ＝c x在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围. 解 函数y ＝c x在R 上单调递减⇔0<c <1.不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ， x ≥2c ，2c ， x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ，∴2c >1，得c >12.如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12；如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c >12，解得c ≥1.∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0). (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围. 解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5.命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0). ∵p 是q 的充分条件， ∴[－1，5]⊆[1－m ，1＋m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5<1＋m ，解得m >4，则实数m 的取值范围为(4，＋∞). (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x <6.∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p ，q 为一真一假. 当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ≥6，解得x ∈∅.当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x <6，解得－4≤x <－1或5<x <6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5，6). 类型三 分类讨论思想的应用 例4 已知关于x 的方程(m ∈Z )：mx 2－4x ＋4＝0，① x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，②求方程①和②的根都是整数的充要条件. 解 当m ＝0时，方程①的根为x ＝1， 方程②化为x 2－5＝0，无整数根，∴m ≠0. 当m ≠0时，方程①有实数根的充要条件是 Δ＝16－4×4m ≥0⇒m ≤1； 方程②有实数根的充要条件是Δ＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0⇒m ≥－54.∴－54≤m ≤1.又∵m ∈Z ，∴m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，方程①为x 2＋4x －4＝0，无整数根； 当m ＝1时，方程①为x 2－4x ＋4＝0， 方程②为x 2－4x －5＝0. 此时①和②均有整数根.综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m ＝1.反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想. 跟踪训练4 已知p ：x －5x －3≥2；q ：x 2－ax ≤x －a .若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 解 ∵p ：x －5x －3≥2，∴x －1x －3≤0，即1≤x <3. 又∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0. ①当a <1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a >1时，1≤x ≤a .设q 对应的集合为A ，p 对应的集合为B ， ∵綈p 是綈q 的充分条件.∴∁R B ⊆∁R A ，即A ⊆B . 当a <1时，A ⊈B ，不合题意； 当a ＝1时，A B ，符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3. 综上，符合条件的a ∈[1，3).1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.2.已知α，β是两个不同的平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若α与β相交，设交线为c ，若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥b ，此时a 与b 无公共点，所以p ⇏q ；若α∥β，则a 与b 的位置关系是平行或异面，a 与b 无公共点，所以q ⇒p .由此可知p 是q 的必要不充分条件，故选B.3.已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________. 答案 ②③解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题. 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题.由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题.4.对任意x ∈[－1，2]，x 2－a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，0]解析 由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，故a ≤(x 2)min ，得a ≤0.5.(1)若p ：两条直线的斜率互为负倒数，q ：两条直线互相垂直，则p 是q 的什么条件？ (2)若p ：|3x －4|>2，q ：1x 2－x －2>0，则綈p 是綈q 的什么条件？解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线互相垂直，∴p ⇒q . 又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴q ⇏p . ∴p 是q 的充分不必要条件.(2)解不等式|3x －4|>2，得p ：{x |x >2或x <23}，∴綈p ：{x |23≤x ≤2}.解不等式1x 2－x －2>0，得q ：{x |x <－1或x >2}.∴綈q ：{x |－1≤x ≤2}. ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件.1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.2.判断命题真假的步骤确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒根据真值表判断复合命题的真假3.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定注意：(1)(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.40分钟课时作业一、选择题1.命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A.∀x∉R，x2≠xB.∀x∈R，x2＝xC.∃x0∉R，x20≠x0D.∃x0∈R，x20＝x0答案 D解析全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2≠x”的否定为“∃x0∈R，x20＝x0”.2.命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0B.若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0C.若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0D.若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0答案 D解析“且”的否定词为“或”，所以“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”.3.有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行或相交或异面，错误；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误.4.已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选C.5.下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.其中错误的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误. x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确.根据特称命题的否定是全称命题知③正确.“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”所以④错误，所以错误命题的个数为2个.6.下列命题中的真命题是( )A.对于实数a、b、c，若a>b，则ac2>bc2B.x2>1是x>1的充分不必要条件C.∃α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立D.∀α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β成立答案 C解析A项中，当c＝0时不符合题意，故A项错误；B项中，x2>1是x>1的必要不充分条件，故B 项错误；当α＝β＝0时，符合题意，故C 项正确；当α＝β＝π2时，不符合题意，故D 项错误. 二、填空题7.若命题p ：常数列是等差数列，则綈p ：__________________________________. 答案 存在一个常数列，不是等差数列 解析 全称命题的否定是特称命题.8.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p ，则q ”的形式为____________. 答案 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称解析 改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称.9.命题p ：若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列，则命题p 的否命题是________命题.(填“真”或“假”) 答案 假解析 其原命题的否命题是：若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列. 若b ＝－ac ，则b 2＝ac ，此时a ，b ，c 也可以成等比数列，故为假命题.10.定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________.(请写出所有真命题的序号)①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )；④f (x )＋f (x ＋12)＝f (2x )；⑤函数f (x )为奇函数.答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立， 如x 取1.5；f (x )＋f (x ＋12)＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系， 如f (1.6)＝f (2)，f (－1.6)＝f (－1). 故答案为②③. 三、解答题11.求证：函数f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数的充要条件是a ＝0. 证明 先证充分性，若a ＝0，则函数f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数. 因为a ＝0，所以f (x )＝x 2＋|x |＋1(x ∈R ). 因为f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1，所以f (x )是偶函数.再证必要性，若f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数，则a ＝0.因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )2＋|－x ＋a |＋1＝x 2＋|x ＋a |＋1，从而|x －a |＝|x ＋a |，即(x －a )2＝(x ＋a )2，展开并整理，得ax ＝0.因为x ∈R ，所以a ＝0.12.已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”.若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围.解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1. 若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根，∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p 、q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为(12，1]. 13.求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0. (1)有两个都大于1的实数根； (2)至少有一个正实数根. 解 (1)方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0的两实根x 1，x 2均大于1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1>1，x 2>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2>2，(x 1＋x 2)－x 1x 2<1 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4(a －1)2－4(2a ＋6)≥0，－2(a －1)>2，－2(a －1)－(2a ＋6)<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥5，a <0，a >－54.∴－54<a ≤－1. (2)由题意 ①当一根为正，一根为负时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋6<0，Δ>0，∴a <－3；②当一根为正，一根为零时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋6＝0，－2(a －1)>0，Δ>0，∴a ＝－3；③当两根均为正时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－2(a －1)>0，x 1x 2＝2a ＋6>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥5，a <1，a >－3.即－3<a ≤－1.综上所述，方程至少有一个正实数根时，a 的取值范围是(－∞，－1].。