高中数学第一章常用逻辑用语章末复习课学案新人教A版选修2_12
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1.元素与集合的概念及表示(1)元素:一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.(2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.(3)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的.2.元素的特性(1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.简记为“确定性”.(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说,集合中的元素是不重复出现的.简记为“互异性”.(3)无序性:给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的.简记为“无序性”.温馨提示:集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么.集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物.3.元素与集合的关系(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.温馨提示:(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果.(2)∈和∉具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R∈0是错误的.4.常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合?(1)接近于2019的数;(2)大于2019的数;(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学;(4)方程x2-2=0在实数范围内的解;(5)函数y=x2图象上的点.[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象,即元素不能模糊不清、模棱两可.[解] (1)(3)由于标准不明确,故不能构成集合;(2)(4)(5)能构成集合.对集合含义的理解给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,所谓“确定”,是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素,没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素.题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中,正确的有( )①12∈R;②2∉Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Q.A.1个 B.2个 C.3个D.4个(2)集合A中的元素x满足63-x∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素,关键是抓住集合中元素的特征.[解析] (1)12是实数;2是无理数;|-3|=3,是自然数;|-3|=3,是无理数.故①②③正确,选C.(2)当x=0时,63-0=2;当x=1时,63-1=3;当x=2时,63-2=6;当x≥3时不符合题意,故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________.[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入.[解析] 若a=1,则a2=1,此时集合A中两元素相同,与互异性矛盾,故a≠1;若a2=1,则a=-1或a=1(舍去),此时集合A中两元素为-1,1,故a=-1.综上所述a=-1.[答案] -1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.(2)本例若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么?[解] (1)若a=2,则a2=4,符合元素的互异性;若a2=2,则a=2或a=-2,符合元素的互异性.所以a的取值为2,2,- 2.(2)根据集合中元素的互异性可知,a≠a2,所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素,在解决这类问题时,要明确集合中的元素是什么.(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性),而且是互不相同的(互异性),在书写时可以不考虑先后顺序(无序性).(3)利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出字母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用.1.1.2集合的表示1.列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.温馨提示:(1)元素与元素之间必须用“,”隔开.(2)集合中的元素必须是明确的.(3)集合中的元素不能重复.(4)集合中的元素可以是任何事物.2.描述法(1)定义:一般地,设A表示一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.温馨提示:(1)写清楚集合中元素的符号.如数或点等.(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等.(3)不能出现未被说明的字母.题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合:(1)方程x (x -1)2=0的所有实数根组成的集合;(2)不大于10的非负偶数集;(3)一次函数y =x 与y =2x -1图象的交点组成的集合.[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么,还要弄清集合中的元素个数.[解] (1)方程x (x -1)2=0的实数根为0,1,故其实数根组成的集合为{0,1}.(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数,故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}.(3)由⎩⎨⎧ y =x y =2x -1,解得⎩⎨⎧ x =1,y =1.故一次函数y =x 与y =2x -1图象的交点组成的集合为{(1,1)}.题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数的集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合;(4)不等式3x -2<4的解集.[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征.[解] (1)偶数可用式子x =2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N *,所以正偶数集可表示为{x |x =2n ,n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ,则x =3n +2,n ∈Z ,但元素为正整数,故x =3n +2,n ∈N ,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x =3n +2,n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.(4)不等式3x-2<4可化简为x<2,所以不等式3x-2<4的解集为{x|x<2}.用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示.(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,要对新字母说明其含义或取值范围.(3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内.题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A={x|ax2-8x+16=0,a∈R}中只有一个元素,则a的值为( )A.1 B.4 C.0 D.0或1(2)已知A={x|kx+2>0,k∈R},若-2∈A,则k的取值范围是________.[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征.[解析] (1)①当a=0时,原方程为16-8x=0.∴x=2,此时A={2};②当a≠0时,由集合A中只有一个元素,∴方程ax2-8x+16=0有两个相等实根,则Δ=64-64a=0,即a=1.从而x1=x2=4,∴集合A={4}.综上所述,实数a的值为0或1.故选D.(2)∵-2∈A,∴-2k+2>0,得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”,其他条件不变,求a的取值范围.(2)本例(2)中条件“-2∈A ”改为“-2∉A ”,其他条件不变,求k 的取值范围.[解] (1)由题意可知方程ax 2-8x +16=0有两个不等实根.∴⎩⎨⎧ a ≠0,Δ=64-64a >0,解得a <1,且a ≠0.(2)∵-2∉A ,∴-2k +2≤0,得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.(2)与方程ax 2-8x +16=0的根有关问题易忽视a =0的情况.集合的表示方法1.有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当集合中元素的个数有限时,称之为有限集;而当集合中元素的个数无限时,则称之为无限集.当集合为有限集,且元素个数较少时宜采用列举法表示集合;对元素个数较多的集合和无限集,一般采用描述法表示集合.对于元素个数较多的集合或无限集,其元素呈现一定的规律,在不产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.【典例1】 用列举法表示下列集合:(1)正整数集;(2)被3整除的数组成的集合.[解] (1)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{1,2,3,4,…}.(2)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{…,-6,-3,0,3,6,…}.[点评] (1){1,2,3,4,…}一般不写成{2,1,4,3,…};(2)此题中的省略号不能漏掉.2.集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的.对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性(如表示数集、点集等).【典例2】已知下面三个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.问:它们是否为同一个集合?它们各自的含义是什么?[解] ∵三个集合的代表元素互不相同,∴它们是互不相同的集合.集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,即满足条件y=x2+1中的所有x,∴{x|y=x2+1}=R.集合②{y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,∴{y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可认为是满足条件y=x2+1的实数对(x,y)的集合,也可认为是坐标平面内的点(x,y),且这些点的坐标满足y=x2+1.∴{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}.[点评] 使用特征性质描述来表示集合时,首先要明确集合中的元素是什么,如本题中元素的属性都与y=x2+1有关,但由于代表元素不同,因而表示的集合也不一样.1.2集合间的基本关系1.子集的概念温馨提示:“A是B的子集”的含义是:对任意x∈A都能推出x∈B.2.集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么,集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B 且B⊆A,则A=B.3.真子集的概念温馨提示:在真子集的定义中,A B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x ∈B,但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系:(1)A={-1,1},B={x|x2=1};(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0};(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的.[解] (1)用列举法表示集合B={-1,1},故A=B.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B.(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.(4)解法一(特殊值法):两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N M.解法二(列举法):由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法:用列举法将两个集合表示出来,再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系.(2)元素特征法:根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断.(3)图示法:利用数轴或Venn图判断两集合间的关系.题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表,并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a,b}________________{a,b,c}________________由此猜想,含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集个数呢?(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅,{a} 2{a,b}∅,{a},{b},{a,b} 4{a,b,c}∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8猜想:含n个元素的集合的子集共有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:含有三个元素:{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5};含有四个元素:{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5};含有五个元素:{1,2,3,4,5}.故满足题意的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合,是子集还是真子集.②合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出.③注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素,则有: ①A 的子集的个数为2n 个; ②A 的真子集的个数为2n -1个; ③A 的非空真子集的个数为2n -2个.【典例3】 已知集合A ={x |-3<x <4},B ={x |1-m <x ≤2m -1},且A ⊆B ,求实数m 的取值范围.[思路导引] A ⊆B ,即集合A 中的数在集合B 中,特别注意A =∅的情况. [解] 由A ⊆B ,将集合A ,B 分别表示在数轴上,如图所示,则⎩⎨⎧1-m ≤-3,1-m <2m -1,4≤2m -1,解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}.[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”,其他条件不变,求m 的取值范围.(2)本例若将集合A ,B 分别改为A ={3,m 2},B ={1,3,2m -1},其他条件不变,求实数m 的值.[解] (1)由B ⊆A ,将集合A ,B 分别表示在数轴上,如图所示.∵B ⊆A ,∴当B =∅时,1-m ≥2m -1,解得m ≤23;当B ≠∅时,有⎩⎨⎧2m -1>1-m ,2m -1<4,1-m ≥-3,解得23<m <52.综上可知,m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ,按m 2=1和m 2=2m -1两种情况分类讨论. ①若m 2=1,则m =-1或m =1.当m =-1时,B 中元素为1,3,-3,适合题意; 当m =1时,B 中元素为1,3,1,与元素的互异性矛盾. ②若m 2=2m -1,则m =1,由①知不合题意. 综上所述,m =-1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点.(2)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用.1.3.1并集与交集1.并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示:(1)两个集合的并集、交集还是一个集合.(2)对于A∪B,不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合.因为A与B可能有公共元素,每一个公共元素只能算一个元素.(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成.3.并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}(2)已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q等于( )A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4} C.{x|x≤4}D.{x|x≥-1}[思路导引] 由并集的定义,结合数轴求解.[解析] (1)A∪B={0,1,2,3,4},选A.(2)在数轴上表示两个集合,如图.∴P∪Q={x|x≤4}.选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法:若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果.(2)数形结合法:若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示.题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}(2)设A={x∈N|1≤x≤5},B={x∈R|x2+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合为( )A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3}[思路导引] 既属于集合A,又属于集合B的所有元素组成的集合,借助图示方法求解.[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B,如下图.则由交集的定义可得A∩B={x|0≤x≤2}.选A.(2)A={x∈N|1≤x≤5}={1,2,3,4,5},B={x∈R|x2+x-6=0}={-3,2},图中阴影部分表示的是A∩B,∴A∩B={2}.选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合的元素特征尽量明朗化,然后根据交集的含义写出结果.(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中,应重点考虑数轴分析法,直观清晰.题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ={x |-1<x <a },B ={x |1<x <3}且A ∪B ={x |-1<x <3},求a 的取值范围.(2)已知集合A ={x |-3<x ≤4},B ={x |2-k ≤x ≤2k -1},且A ∪B =A ,试求k 的取值范围.[思路导引] (1)画出数轴求解.(2)若A ∪B =A ,则B ⊆A ;若A ∩B =A ,则A ⊆B .[解] (1)如下图所示,由A ∪B ={x |-1<x <3}知,1<a ≤3. (2)∵A ∪B =A ,∴B ⊆A .若B =∅,则2-k >2k -1,得k <1;若B ≠∅,则⎩⎨⎧2-k ≤2k -1,2-k >-3,2k -1≤4,解得1≤k ≤52.综上所述,k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B =A ”改为“A ∩B =A ”,其他条件不变,求k 的取值范围.[解] ∵A ∩B =A ,∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2-k ≤-3,2k -1≥4,解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略:当题目中含有条件A ∩B =A 或A ∪B =B ,解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析,将A ∩B =A 转化为A ⊆B ,A ∪B =B 转化为A ⊆B .(2)方法:借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组),求解即可,特别要注意端点值的取舍.(3)注意点:当题目条件中出现B⊆A时,若集合B不确定,解答时要注意讨论B=∅的情况.1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1.全集(1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.(2)符号表示:全集通常记作U.2.补集温馨提示:∁U A的三层含义:(1)∁U A表示一个集合;(2)A是U的子集,即A⊆U;(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合.题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁U A=________________;(2)已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁U A={2,4,6},∁U B={1,4,6},则集合B=________________.[思路导引] 借助补集定义,结合数轴及Venn图求解.[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集定义可得∁U A={x|x<-3或x=5}.(2)解法一:A={1,3,5,7},∁U A={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁U B={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.解法二:借助Venn图,如图所示.由图可知B={2,3,5,7}.[答案] (1){x|x<-3或x=5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法:定义法.(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时,可借助Venn图求解;②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解.题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3}.求∁U A,A∩B,∁U(A∩B),(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A,B在数轴上表示如下:由图可知∁U A={x|x≤-2或3≤x≤4},A∩B={x|-2<x<3},∁(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4},(∁U A)∩B={x|-U3<x≤-2或x=3}.解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁A)∩B=∅,求实数m的取值范围.U[思路导引] 理清集合间的关系,分类求解.[解] 由已知A={x|x≥-m},得∁U A={x|x<-m},因为B={x|-2<x<4},(∁U A)∩B=∅,所以-m≤-2,即m≥2,所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B=∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么?(2)将本例中条件“(∁U A)∩B=∅”改为“(∁U B)∪A=R”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么?[解] (1)由已知得A={x|x≥-m},所以∁U A={x|x<-m},又(∁U A)∩B≠∅,所以-m>-2,解得m<2.(2)由已知得A={x|x≥-m},∁U B={x|x≤-2或x≥4}.又(∁U B)∪A=R,所以-m≤-2,解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况.(2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集.[针对训练]5.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3}.(1)若A∪(∁R B)=R,求实数a的取值范围;(2)若A(∁R B),求实数a的取值范围.[解](1)∵B={x|1<x<3},B={x|x≤1或x≥3},∴∁R因而要使A∪(∁R B)=R,结合数轴分析(如图),可得a≥3.(2)∵A={x|x<a},∁R B={x|x≤1或x≥3}.要使A(∁R B),结合数轴分析(如图),可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1.命题及相关概念2.充分条件与必要条件一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.温馨提示:(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p,则q”形式的命题.若不是,则首先将命题改写成“若p,则q”的形式.(2)不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p,则q”的形式,并用充分条件、必要条件的语言表述:(1)两个全等三角形的对应高相等;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.[解] (1)若两个三角形是全等三角形,则它们的对应高相等,所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件;“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件.(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件;“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件.(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解:i)所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.ii)充分条件不是唯一的,如x>2,x>3都是x>0的充分条件.②对必要条件的理解:i)所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.ii)必要条件不是唯一的,如x>0,x>5等都是x>9的必要条件.(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步:分析定理的条件和结论;第二步:将定理写成“若p,则q”的形式;第三步:利用充分、必要条件的概念来表述定理.题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?(1)p:x>1,q:x2>1;(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;(3)已知:y=ax2+bx+c(a≠0),p:Δ=b2-4ac>0,q:函数图象与x轴有交点.[思路导引] 判断“若p,则q”命题的真假及“若q,则p”命题的真假.[解] (1)由x>1可以推出x2>1,因此p是q的充分条件;由x2>1,得x<-1,或x>1,不一定有x>1.因此,p不是q的必要条件.(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3,因此p不是q的充分条件;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要条件.(3)二次函数y=ax2+bx+c,当Δ>0时,其图象与x轴有交点,因此p是q的充分条件;反之若函数的图象与x轴有交点,则Δ≥0,不一定是Δ>0,因此p不是q的必要条件.充分、必要条件的判断方法(1)定义法:首先分清条件和结论,然后判断p⇒q和q⇒p是否成立,最后得出结论.(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p 的必要条件;②如果命题:“若p ,则q ”为假命题,那么p 不是q 的充分条件,同时q 也不是p 的必要条件.显然,p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系,即p ⇒q ,只是说法不同而已.题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p :关于x 的不等式3-m 2<x <3+m 2,q :0<x <3,若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围.(2)已知集合A ={y |y =x 2-3x +1,x ∈R },B ={x |x +2m ≥0};命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,并且q 是p 的必要条件,求实数m 的取值范围.[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ,q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3-m 2<x <3+m 2,B ={x |0<x <3}, 若p 是q 的充分条件,则A ⊆B .注意到B ={x |0<x <3}≠∅,分两种情况讨论:①若A =∅,即3-m 2≥3+m 2,解得m ≤0,此时A ⊆B ,符合题意; ②若A ≠∅,即3-m 2<3+m 2,解得m >0, 要使A ⊆B ,应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3-m 2≥0,3+m 2≤3,m >0,解得0<m ≤3. 综上可得,实数m 的取值范围是{m |m ≤3}.(2)由已知可得 A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y =⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322-54,x ∈R =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥-54, B ={x |x ≥-2m }.因为q 是p 的必要条件,所以p ⇒q ,所以A ⊆B ,所以-2m ≤-54,所以m ≥58,即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”,其他条件不变,求实数m 的取值范围.[解] 记A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3-m 2<x <3+m 2,B ={x |0<x <3},若p 是q 的必要条件,则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3-m 2≤0,3+m 2≥3,解得m ≥3.综上可得,实数m 的取值范围是{m |m ≥3}.(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时,先将p ,q 等价转化,再根据充分、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.(2)从集合角度看充分、必要条件:设命题p 、q 分别对应集合A 、B ,若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件;若B ⊆A ,则p 是q 的必要条件.1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ,则q ”和它的逆命题“若q ,则p ”均是真命题,即既有p ⇒q ,又有q ⇒p ,记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件,也是q 的必要条件.我们说p 是q 的充分必要条件,简称为充要条件.如果p 是q 的充要条件,那么q 也是p 的充要条件,即如果p ⇔q ,那么p 与q 互为充要条件.温馨提示:(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.②若p⇔q,则p是q的充要条件.③若p⇒q,且q⇒/p,则称p是q的充分不必要条件.④若p⇒/q,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件.⑤若p⇒/q,且q⇒/p,则称p是q的既不充分也不必要条件.(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p⇔q,q⇔s,则有p⇔s,即p 是s的充要条件.题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1)p:a+5是无理数,q:a是无理数;(2)若a,b∈R,p=a2+b2=0,q:a=b=0;(3)p:A∩B=A,q:∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q,q⇒p.[解] (1)因为a+5是无理数⇒a是无理数,并且a是无理数⇒a+5是无理数,所以p是q的充要条件.(2)因为a2+b2=0⇒a=b=0,并且a=b=0⇒a2+b2=0,所以p是q的充要条件.(3)因为A∩B=A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B,并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B=A,所以p 是q的充要条件.[变式] 已知p是q的充分条件,q是r的必要条件,也是s的充分条件,r是s的必要条件,问:(1)p是r的什么条件?(2)s是q的什么条件?(3)p,q,r,s中哪几对互为充要条件?[解] 作出“⇒”图,如右图所示,。
高中数学第一章常用逻辑用语章末复习学案新人教A版选修21

第一章常用逻辑用语章末复习学习目标 1.掌握充分条件、必要条件的判定方法.2.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.1.充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地,若p则q为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征:①对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件;②传递性:若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件.即若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件,q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定.2.量词(1)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x0”表示“存在x0”.3.含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做特称命题.(1)“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.(√)(2)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(√)(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(√)类型一 充要条件例1 (1)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)当b <0,且x =-b2>0时,f (x )取得最小值-b 24,则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 24,+∞,则当f (x )=-b2时,f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等,故是充分条件;当b =0时,f (x )=x 2,f (f (x ))=x 4的最小值都是0,故不是必要条件.故选A. (2)当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点. 反思与感悟 分清条件与结论,准确判断p ⇒q ,还是q ⇒p . 跟踪训练1 已知p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若q 是p 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. 解 由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0), 得1-m ≤x ≤1+m . 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10.由q 是p 的必要不充分条件知,p 是q 的充分不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m ≥10,且不等式组中的等号不能同时成立,得m ≥9.类型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 例2 下列命题中的假命题是( ) A .∀x ∈R,2x -1>0 B .∀x ∈N *,(x -1)2>0 C .∃x 0∈R ,lg x 0<1 D .∃x 0∈R ,tan x 0=2答案 B解析 当x ∈N *时,x -1∈N ,可得(x -1)2≥0,当且仅当x =1时取等号,故B 不正确;易知A ,C ,D 正确,故选B.反思与感悟 判定全称命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x =x 0,使p (x 0)成立. 跟踪训练2 下列命题中的真命题是( ) A .∃x 0∈R ,使得sin x 0+cos x 0=32B .∀x ∈R ,-1≤sin x ≤1C .∃x 0∈(-∞,0),2x 0<3x 0D .∀x ∈(0,π),sin x >cos x 答案 B解析 因为sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4≤2<32,故A 错误;由正弦函数的值域可知B 正确;当x <0时,y =2x 的图象在y =3x 的图象上方,故C 错误;因为当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π4时,sinx <cosx ,故D 错误.故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“∀x ∈R ,⎝ ⎛⎭⎪⎫13x>0”的否定是( )A .∃x 0∈R ,013x⎛⎫ ⎪⎝⎭<0 B .∀x ∈R ,⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤0C .∀x ∈R ,⎝ ⎛⎭⎪⎫13x<0D .∃x 0∈R ,013x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤0 答案 D解析 全称命题的否定是特称命题,“>”的否定是“≤”. (2)命题“∃x 0∈R,1<f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A .∀x ∈R,1<f (x )≤2 B .∃x 0∈R,1<f (x 0)≤2C.∃x0∈R,f(x0)≤1或f(x0)>2D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2答案 D解析特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”.反思与感悟对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;(2)对原命题的结论进行否定.跟踪训练3 已知命题p:“∃x0∈R,0x e-x0-1≤0”,则命题p的否定为( )A.∃x0∈R,0x e-x0-1≥0B.∃x0∈R,0x e-x0-1>0C.∀x∈R,e x-x-1>0D.∀x∈R,e x-x-1≥0答案 C解析根据全称命题与特称命题的否定关系,可得命题p的否定为“∀x∈R,e x-x-1>0”,故选C.1.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析x>y⇏x>|y|(如x=1,y=-2),但当x>|y|时,能有x>y.∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.2.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析方法一若0≤m≤1,则0≤1-m≤1,∴cos x=1-m有解.要使函数f(x)=cos x+m-1有零点,只需|m-1|≤1,解得0≤m≤2,故选A.方法二函数f(x)=cos x+m-1有零点,则|m -1|≤1,解得0≤m ≤2, ∵{m |0≤m ≤1}{m |0≤m ≤2}.∴“0≤m ≤1”是“函数f (x )=cos x +m -1”有零点的充分不必要条件.3.已知命题“∃x 0∈R ,使2x 20+(a -1)x 0+12≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-1)B .(-1,3)C .(-3,+∞)D .(-3,1)答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2+(a -1)x +12>0,由题意知,其为真命题,即Δ=(a -1)2-4×2×12<0,则-2<a -1<2,即-1<a <3.4.对任意x ∈[-1,2],x 2-a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,0]解析 由x 2-a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0. 5.已知命题“∀x ∈R ,x 2-5x +152a >0”的否定为假命题,则实数a 的取值范围是____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56,+∞ 解析 由“∀x ∈R ,x 2-5x +152a >0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x 2-5x +152a >0对任意实数x 恒成立.设f (x )=x 2-5x +152a ,则其图象恒在x 轴的上方,故Δ=25-4×152a <0,解得a >56,即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56,+∞.(1)判定全称命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x =x 0,使p (x 0)成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词; ②对原命题的结论进行否定.一、选择题1.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )A.有一个α,使tan(90°-α)=1tan αB.存在实数x0,使sin x0=π2C.对一切α,sin(180°-α)=sin αD.sin 15°=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°答案 A3.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A.∀x∈R,|x|>0 B.∃x0∈R,|x0|>0C.∀x∈R,|x|≤0 D.∃x0∈R,|x0|≤0答案 C4.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若x=4,则a=(4,3),∴|a|=42+32=5,若|a|=5,则x2+32=5,∴x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.5.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选B. 6.命题“∀x ∈R ,x 2≠x ”的否定是( ) A .∀x ∉R ,x 2≠x B .∀x ∈R ,x 2=x C .∃x 0∉R ,x 20≠x 0 D .∃x 0∈R ,x 20=x 0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题,所以“∀x ∈R ,x 2≠x ”的否定为“∃x 0∈R ,x 20=x 0”. 二、填空题7.若命题p :常数列是等差数列,则其否定为:______________________________________. 答案 存在一个常数列,不是等差数列 解析 全称命题的否定是特称命题.8.设p :实数x ,y 满足x >1且y >1,q :实数x ,y 满足x +y >2,则p 是q 的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 当x >1,y >1时,x +y >2一定成立,即p ⇒q ,当x +y >2时,可令x =-1,y =4,则x >1且y >1不成立,即qD ⇒/p , 故p 是q 的充分不必要条件.9.已知命题p :a ≤x ≤a +1,命题q :x 2-4x <0,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________. 答案 (0,3)解析 令M ={x |a ≤x ≤a +1},N ={x |x 2-4x <0}={x |0<x <4}.∵p 是q 的充分不必要条件,∴MN ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a +1<4,解得0<a <3.10.定义f (x )={x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”,例如{1.2}=2,{4}=4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________. ①f (2x )=2f (x );②若f (x )=f (y ),则x -y <1;③任意x ,y ∈R ,f (x +y )≤f (x )+f (y );④f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12=f (2x );⑤函数f (x )为奇函数.答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )=2f (x )不一定成立,如x 取1.5;f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12=f (2x )不一定成立,如x 取0;函数f (x )不满足奇函数的关系,如f (1.6)=f (2),f (-1.6)=f (-1).故答案为②③. 三、解答题11.设p :2x 2-3x +1≤0,q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若q 是p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.解 由题意得,p :12≤x ≤1,q :a ≤x ≤a +1.∵q 是p 的必要不充分条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>1,a ≤12,或⎩⎪⎨⎪⎧a +1≥1,a <12,∴0≤a ≤12.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12. 12.求证:函数f (x )=x 2+|x +a |+1是偶函数的充要条件是a =0. 证明 先证充分性,若a =0,则函数f (x )=x 2+|x +a |+1是偶函数. 因为a =0,所以f (x )=x 2+|x |+1(x ∈R ). 因为f (-x )=(-x )2+|-x |+1=x 2+|x |+1, 所以f (x )是偶函数.再证必要性,若f (x )=x 2+|x +a |+1是偶函数,则a =0. 因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ), 即(-x )2+|-x +a |+1=x 2+|x +a |+1, 从而|x -a |=|x +a |,即(x -a )2=(x +a )2, 展开并整理,得ax =0.因为x ∈R ,所以a =0.13.已知c >0,设p :函数y =c x 在R 上单调递减;q :不等式x +|x -2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题,求c 的取值范围.解 函数y =c x在R 上单调递减等价于0<c <1. 不等式x +|x -2c |>1的解集为R等价于函数y =x +|x -2c |在R 上恒大于1.∵x +|x -2c |=⎩⎪⎨⎪⎧2x -2c ,x ≥2c ,2c ,x <2c ,∴函数y =x +|x -2c |在R 上的最小值为2c , ∴2c >1,得c >12.如果p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1,0<c ≤12,解得0<c ≤12;如果q 真p 假,则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1,c >12,解得c ≥1.∴c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[1,+∞). 四、探究与拓展14.已知直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 由直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,易知k ≠0,且圆心O 到直线l 的距离d =11+k2<1,所以|AB |=21-d 2=21-11+k 2=2k 21+k2.若k =1,则|AB |=2,d =22, 所以△OAB 的面积为12×2×22=12.反过来,若△OAB 的面积为12,则S =12×11+k 2×2k 21+k 2=k 21+k 2=12, 解得k =±1.故“k =1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.15.已知函数f (x )=x 2-2x +5.(1)是否存在实数m ,使不等式m +f (x )>0对任意x ∈R 恒成立?说明理由. (2)若存在一个实数x 0,使不等式m -f (x 0)>0成立,求实数m 的取值范围.解 (1)不等式m +f (x )>0可化为m >-f (x ),即m >-x 2+2x -5=-(x -1)2-4.要使m >-(x -1)2-4对任意x ∈R 恒成立,只需m >-4即可.故存在实数m ,使不等式m +f (x )>0对任意x ∈R 恒成立,此时,只需m>-4.(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,则只需m>f(x)min.又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m>4,∴所求实数m的取值范围是(4,+∞).。
高中数学 复习课(一)常用逻辑用语讲义(含解析)新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教

复习课(一) 常用逻辑用语命题及其关系通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题,考查命题及其关系,以及对命题真假的判断.[考点精要]四种命题的相互改写交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的逆命题;同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的否命题;交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是原命题的逆否命题.[注意] 互为逆否命题的两个命题,它们具有相同的真假性.[典例] 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假.(1)垂直于同一平面的两条直线平行;(2)当mn<0时,方程mx2-x+n=0有实数根.[解] (1)将命题写成“若p,则q”的形式为:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.它的逆命题、否命题和逆否命题如下:逆命题:若两条直线平行,则这两条直线垂直于同一个平面.(假命题)否命题:若两条直线不垂直于同一个平面,则这两条直线不平行.(假命题)逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不垂直于同一个平面.(真命题)(2)将命题写成“若p,则q”的形式为:若mn<0,则方程mx2-x+n=0有实数根.它的逆命题、否命题和逆否命题如下:逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn<0.(假命题)否命题:若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.(假命题)逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.(真命题)[类题通法]简单命题真假的判断方法[题组训练]1.命题“若函数f (x )=x 2-ax +3在[1,+∞)上是增函数,则a ≤2”的否命题( ) A .与原命题同为假命题 B .与原命题一真一假 C .为假命题D .为真命题解析:选D 原命题显然为真,原命题的否命题为“若函数f (x )=x 2-ax +3在[1,+∞)上不是增函数,则a >2”,为真命题,故选D.2.下列命题中为真命题的是( ) A .命题“若a >b ,则3a >3b”的逆命题 B .命题“若x 2≤1,则x ≤1”的否命题 C .命题“若x =1,则x 2-x =0”的否命题 D .命题“若a >b ,则1a <1b”的逆否命题解析:选A 对于A ,逆命题是“若3a >3b,则a >b ”,是真命题;对于B ,否命题是“若x 2>1,则x >1”,是假命题,因为x 2>1⇔x >1或x <-1;对于C ,否命题是“若x ≠1,则x 2-x ≠0”,是假命题,因为当x =0时,x 2-x =0;对于D ,逆否命题是“若1a ≥1b,则a ≤b ”,是假命题,如a =1,b =-1.故选A.3.下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1,则x -1>0”的否命题是“若x ≤1,则x -1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x =-4是方程x 2+3x -4=0的根”的否命题是“x =-4不是方程x 2+3x -4=0的根”A .1B .2C .3D .4解析:选C ①错误,否命题是“若一个函数不是余弦函数,则它不是周期函数”;②正确;③错误,否命题是“若两个数不全为正数,则它们的和不为正数”;④错误,否命题是“若一个数不是-4,则它不是方程x 2+3x -4=0的根”.充分条件与必要条件充要条件是数学的重要概念之一,在数学中有着非常广泛的应用,在高考中有着较高的考查频率,其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.[考点精要]充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件; (2)如果p ⇒q ,q ⇒p ,则p 是q 的充要条件.[典例] (1)(2017·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2017·某某高考)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列,所以S 4+S 6=4a 1+6d +6a 1+15d =10a 1+21d,2S 5=10a 1+20d ,S 4+S 6-2S 5=d ,所以d >0⇔S 4+S 6>2S 5.(2)法一:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12,得0<θ<π6,故sin θ<12.由sin θ<12,得-7π6+2k π<θ<π6+2k π,k ∈Z ,推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”.故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件.法二:⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12,而当sin θ<12时,取θ=-π6,⎪⎪⎪⎪⎪⎪-π6-π12=π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件. [答案] (1)C (2)A [类题通法]充要关系的判断方法(1)定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.(2)等价法:利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.[题组训练]1.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选A 若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定是菱形,故选A.2.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选B 当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β⇒/ α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.3.对于任意实数x,〈x〉表示不小于x的最小整数,例如〈1.1〉=2,〈-1.1〉=-1,那么“|x-y|<1”是“〈x〉=〈y〉”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选B 当x=1.8,y=0.9时,满足|x-y|<1,但〈1.8〉=2,〈0.9〉=1,即〈x〉≠〈y〉;当〈x〉=〈y〉时,必有|x-y|<1,所以“|x-y|<1”是“〈x〉=〈y〉”的必要不充分条件,故选B.含有逻辑联结词、量词的命题的真假,以及全称命题,特称命题的否定.[考点精要]1.含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系2.全称命题、特称命题的否定全称命题“∀x ∈M ,p (x )”的否定是“∃x 0∈M ,綈p (x 0)”,特称命题“∃x 0∈M ,p (x 0)”的否定是“∀x ∈M ,綈p (x )”.[典例] (1)已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)≥0,则綈p 是( ) A .∃x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)≤0 B .∀x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)≤0 C .∃x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0 D .∀x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0(2)已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:p 1:|a +b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,2π3; p 2:|a +b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3,π;p 3:|a -b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π3;p 4:|a -b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3,π.其中的真命题是( ) A .p 1,p 4 B .p 1,p 3 C .p 2,p 3D .p 2,p 4[解析] (1)已知全称命题p :∀x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)≥0,则綈p :∃x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0,故选C.(2)由|a +b |>1可得:a 2+2a ·b +b 2>1,∵|a |=1,|b |=1,∴a ·b >-12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,2π3时,a ·b >-12,|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2>1,即|a +b |>1;由|a -b |>1可得:a 2-2a ·b +b 2>1,∵|a |=1,|b |=1,∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3,π,反之也成立.[答案] (1)C (2)A [类题通法]1.判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p ,q .(2)分别确定简单命题p ,q 的真假. (3)利用真值表判断所给命题的真假. 2.判断含有量词的命题真假的方法(1)全称命题的真假判定:要判定一个全称命题为真,必须对限定集合M 中每一个x 验证 p (x )成立,一般用代数推理的方法加以证明;要判定一个全称命题为假,只需举出一个反例即可.(2)特称命题的真假判定:要判定一个特称命题为真,只要在限定集合M 中,能找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可;否则,这一特称命题为假.(3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题.首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后把判断词加以否定.[题组训练]1.设命题p :函数y =sin 2x 的最小正周期为π2;命题q :函数y =cos x 的图象关于直线x =π2对称,则下列判断正确的是( )A .p 为真B .綈q 为假C .p ∧q 为假D .p ∨q 为真解析:选C 由题意p 与q 均为假命题,故p ∧q 为假.2.命题“存在x ∈R ,使得x 2+2x +5=0”的否定是________________.解析:这里给出的是一个特称命题,其否定是一个全称命题.等于的否定是不等于. 答案:对任意的x ∈R ,都有x 2+2x +5≠03.已知p :点M (2,3)在直线ax -y +1=0上,q :方程x 2+y 2+x +y +a =0表示圆,p ∨q 是假命题,某某数a 的取值X 围.解:当p 是真命题时,2a -3+1=0,即a =1, 所以当p 是假命题时,a ≠1;当q 是真命题时,1+1-4a >0,即a <12,所以当q 是假命题时,a ≥12.又p ∨q 是假命题,所以p ,q 均为假命题, 所以a ≥12且a ≠1,所以实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1∪(1,+∞).1.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题p :∀x ∈A,2x ∈B ,则( ) A .綈p :∃x ∈A,2x ∈B B .綈p :∃x ∉A,2x ∈B C .綈p :∃x ∈A,2x ∉BD .綈p :∀x ∉A,2x ∉B解析:选C 命题p 是全称命题:∀x ∈M ,p (x ),则綈p 是特称命题:∃x ∈M ,綈p (x ).故选C.2.命题p :若ab =0,则a =0;命题q :若a =0,则ab =0,则( ) A .“p 或q ”为假 B .“p 且q ”为真 C .p 真q 假D .p 假q 真解析:选D 由条件易知:命题p 为假命题,命题q 为真命题,故p 假q 真.从而“p 或q ”为真,“p 且q ”为假.3.下列命题中,真命题是( ) A .∃x 0∈R ,e x 0≤0 B .∀x ∈R,2x >x 2C .a +b =0的充要条件是ab=-1 D .a >1,b >1是ab >1的充分条件解析:选D ∵∀x ∈R ,e x >0,∴A 错;∵函数y =2x 与y =x 2的图象有交点,如点(2,2),此时2x=x 2,∴B 错;∵当a =b =0时,a +b =0,而0作分母无意义,∴C 错;a >1,b >1,由不等式可乘性知ab >1,∴D 正确.4.设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b ⊥m ,则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 先证“α⊥β⇒a ⊥b ”.∵α⊥β,α∩β=m ,b ⊂β,b ⊥m ,∴b ⊥α.又∵a ⊂α,∴b ⊥a ;再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β”.举反例,当a ∥m 时,由b ⊥m 知a ⊥b ,此时二面角αm β可以为(0,π]上的任意角,即α不一定垂直于β.故选A.5.下列有关命题的说法错误的是( )A .命题“若x 2-1=0,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-1≠0” B .“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件 C .若集合A ={x |kx 2+4x +4=0}中只有一个元素,则k =1D .对于命题p :∃x 0∈R ,使得x 20+x 0+1<0,则綈p :∀x ∈R ,均有x 2+x +1≥0 解析:选C A 显然正确;当x =1时,x 2-3x +2=0成立,但x 2-3x +2=0时,x =1或x =2,故“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件,B 正确;若集合A ={x |kx 2+4x +4=0}中只有一个元素,则k =0或k =1,故C 错误;D 显然正确.6.已知p :m -1<x <m +1,q :(x -2)(x -6)<0,且q 是p 的必要不充分条件,则m 的取值X 围是( )A .(3,5)B .[3,5]C .(-∞,3)∪(5,+∞)D .(-∞,3]∪[5,+∞)解析:选B p :m -1<x <m +1,q :2<x <6.因为q 是p 的必要不充分条件,所以由p 能得到q ,而由q 得不到p ,所以可得⎩⎪⎨⎪⎧m -1>2,m +1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥2,m +1<6.解得3≤m ≤5.7.命题“在△ABC 中,如果∠C =90°,那么c 2=a 2+b 2”的逆否命题是__________________________________.答案:在△ABC 中,若c 2≠a 2+b 2,则∠C ≠90°8.设p :x >2或x <23;q :x >2或x <-1,则綈p 是綈q 的________条件.解析:綈p :23≤x ≤2.綈q :-1≤x ≤2.因为綈p ⇒綈q ,但綈q ⇒/ 綈p . 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要9.已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值X 围是________.解析:命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”为真,则a ≤x 2,x ∈[1,2]恒成立,所以a ≤1. 命题q :“∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0”为真, 则“4a 2-4(2-a )≥0,即a 2+a -2≥0”,解得a ≤-2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值X 围是(-∞,-2]∪{1}. 答案:(-∞,-2]∪{1}10.已知p :x 2-8x -20>0,q :x 2-2x +1-a 2>0,若p 是q 的充分不必要条件,求正实数a 的取值X 围.解:p :x 2-8x -20>0⇔x <-2或x >10, 令A ={x |x <-2或x >10},∵a >0,∴q :x <1-a 或x >1+a , 令B ={x |x <1-a 或x >1+a }, 由题意p ⇒q 且q ⇒/ p ,知A B ,应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,1+a <10,1-a ≥-2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,1+a ≤10,1-a >-2⇒0<a ≤3,∴a 的取值X 围为(0,3].11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -1,x <-2,x +3-2≤x ≤12.(1)求函数f (x )的最小值;(2)已知m ∈R ,命题p :关于x 的不等式f (x )≥m 2+2m -2对任意m ∈R 恒成立;q :函数y =(m 2-1)x是增函数.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,某某数m 的取值X 围.解:(1)作出函数f (x )的图象,可知函数f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,12上单调递增,故f (x )min =f (-2)=1.(2)对于命题p ,m 2+2m -2≤1, 故-3≤m ≤1; 对于命题q ,m 2-1>1,故m >2或m <- 2.由于“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,则p 与q 一真一假.①若p 真q 假,则⎩⎨⎧-3≤m ≤1,-2≤m ≤2,解得-2≤m ≤1.②若p 假q 真,则⎩⎨⎧m >1或m <-3,m <-2或m >2,解得m <-3或m > 2. 故实数m 的取值X 围是(-∞,-3)∪[-2,1]∪(2,+∞).。
高二数学人教版A版选修2-1课件:第一章 常用逻辑用语 章末复习课

命题q:1-m≤x<1+m(m>0). ∵p是q的充分条件,
∴[-1,5]⊆[1-m,1+m),
∴ 1-m≤-1,
+m, 解得 m>4,
则实数m的取值范围为(4,+∞).
解析答
(2)若m=5,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数x的取值范围.
解 ∵m=5,∴命题q:-4≤x<6.
相同
知识点二 充分条件、必要条件和充要条件 思考 命题的关系从充分条件和必要条件的角度分类,可以分为哪几类? 答案 (1)若p⇒q,且q p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;
(2)若p⇒q,且q⇒p,则p是q的充分必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q;
(3)若p q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件; (4)若p q,且q p,则p是q的既不充分又不必要条件.
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学 知识点一 思考1 答案 命题及其关系
命题的定义是什么? 能判断真假的陈述句叫命题.
思考2 答案
四种命题之间的关系是怎样的? 四种命题之间的关系如下图所示.
梳理
(1)判断一个语句是否为命题,关键是:(一)为 .
陈述句 ;(二)能 __________.
(2)互为逆否的两个命题的真假性 判断真假
梳理 (1)定义
一般地,如果p⇒q,那么称p是q的 如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的 p⇔q. (2)特征 条件,同时称q是p的 充分 条件,简称p是q的 充分必要 条件. 必要 条件,记作 充要
充分条件与必要条件具有以下两个特征:
①对称性:若p是q的充分条件,则q是p的 条件;
高中数学新人教A版选修2-1课件:模块复习课第1课时常用逻辑用语

命题q:“不等式x2-4x+1-m≤0无解”,
则Δ=16-4(1-m)<0,即m<-3.
如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,
若p真,q假,则-3≤m≤1,
若p假,q真,则不存在满足条件的m值,
∴-3≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[-3,1].
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④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“( p)∧( q)”为真命
题.
其中所有真命题的序号是
.
思路分析对于②③要注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑
联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.
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自主解答①∵x-3=0⇒x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”为真命题.
的必要不充分条件.
答案B
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4.(2019 北京高考)设点 A,B,C 不共线,则“与的夹角为锐角”是
“| + |>||”的(
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析∵A,B,C 三点不共线,∴| + |>||⇔| + |>| −
当a>1时,由(x-1)(x-a)≤0得1≤x≤a,
若p是q的必要不充分条件,则a>3,
即实数a的取值范围是(3,+∞).
答案(3,+∞)
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专题三 全称命题与特称命题
例3 判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号写出其否定
高中数学(新人教A版)必修第一册:第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】

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1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p:“对任意一个实数x,均有x2≥0”,则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R,使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R,均有x2≤0 (C)存在x0∈R,使得 x02 <0 (D)对任意x∈R,均有x2<0
解题技巧: 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解:CU B x x 1或x>2 可画数轴如下:
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时,同一集合画同一高度,
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧:
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析: 画出韦恩图,形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳:解决这一类问题一般借用数形结合,借 助于Venn 图,把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
高中数学第一章常用逻辑用语全章素养整合学案(含解析)新人教A版选修2-

第一章常用逻辑用语全章素养整合授课提示:对应学生用书第17页授课提示:对应学生用书第17页类型一四种命题及真假判断题型特点命题涉及知识点多,知识跨度大,主要考查命题及其关系以及对命题真假的判断.高考中多以选择题、填空题的形式命题.(1)明确条件和结论:认清命题的条件p和结论q,然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.(2)注意:原命题中的前提条件不能作为命题的条件.2.简单命题真假的判断方法(1)直接法:判断简单命题的真假,通常用直接法判断.用直接法判断时,应先分清条件和结论,运用命题所涉及的知识进行推理论证.(2)间接法:当命题的真假不易判断时,还可以用间接法,转化为等价命题或举反例.用转化法判断时,需要准确地写出所给命题的等价命题.[例1]原命题:“a,b为两个实数,若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是()A.逆命题:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假命题B.否命题:若a+b<2,则a,b都小于1,为假命题C.逆否命题:若a,b都小于1,则a+b<2,为真命题D.“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件[解析]“a+b≥2”可以得到“a,b中至少有一个不小于1”,但“a,b中至少有一个不小于1”,不一定能得出“a+b≥2”,所以原命题为真命题,逆命题为假命题,则逆否命题为真命题,否命题为假命题,且A,B,C变换形式正确;而对于选项D,“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件,故选项D的说法错误.[答案] D跟踪训练 1.(1)下列命题的逆命题为真命题的是( ) A .若x >2,则(x -2)(x +1)>0 B .若x 2+y 2≥4,则xy =2 C .若x +y =2,则xy ≤1 D .若a ≥b ,则ac 2≥bc 2解析:对于A 的逆命题是“若(x -2)(x +1)>0,则x >2”假命题. 对于B 的逆命题是“若xy =2,则x 2+y 2≥4”真命题. 对于C 的逆命题是“若xy ≤1,则x +y =2”假命题. 对于D 的逆命题是“ac 2≥bc 2,则a ≥b ”假命题. 故选B. 答案:B(2)下列四个命题:①“若a ,G ,b 成等比数列,则G 2=ab ”的逆命题; ②“如果x 2+x -6≥0,则x >2”的否命题;③在△ABC 中,“若A >B ,则sin A >sin B ”的逆否命题;④当0≤α≤π时,若8x 2-(8sin α)x +cos 2α≥0对∀x ∈R 恒成立,则α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0,π6. 其中真命题的序号是________.解析:①由G 2=ab 得不到a 、G 、b 成等比数列. ∴该逆命题为假命题.②由x >2可得出x 2+x -6≥0,∴该逆命题为真,故否命题为真命题. ③由A >B 可得出sin A >sin B ,∴该逆否命题为真命题.④∀x ∈R 该不等式恒成立,则32cos 2α-64sin 2α≥0,即cos 2α-2sin 2α≥0, 即1-2sin 2α-2sin 2α≥0, ∴-12≤sin α≤12.又∵α∈[0,π], ∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.故答案为②③. 答案:②③类型二 充分条件与必要条件的判定题型特点 充要条件是数学的重要概念之一,在数学中有着非常广泛的应用,在高考中有着较高的考查频率,主要以选择题、填空题形式考查,其特点是以高中数学的其他知识为载体,考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.方法归纳 法一:判断p 是q 的什么条件,其实质是判断“若p ,则q ”及其逆命题“若q ,则p ”是真是假.(1)原命题为真而逆命题为假,则p 是q 的充分不必要条件; (2)原命题为假而逆命题为真,则p 是q 的必要不充分条件; (3)原命题为真,逆命题为真,则p 是q 的充要条件;(4)原命题为假,逆命题为假,则p 是q 的既不充分也不必要条件,同时要注意反证法的运用.法二:用集合间的包含关系判断充分条件和必要条件. A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},若A B ,则A 是B 的充分不必要条件. 若A B ,则A 是B 的必要不充分条件. 若A =B ,则A 是B 的充要条件.若A 与B 间无包含关系,则A 是B 的既不充分也不必要条件.[例2] (1)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 由a 与b 相交,可推出平面α与β相交.由α与β相交,可推出a 与b 可能平行,可能相交,也可能异面.故选A. [答案] A(2)已知p :⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若綈p 是綈q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.[解析] 由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0), 得1-m ≤x ≤1+m .由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10.由綈p 是綈q 的必要不充分条件知, p 是q 的充分不必要条件, ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m ≥10,且不等式组中的等号不能同时成立,得m ≥9.跟踪训练 2.(1)在△ABC 中,“sin B =1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:由sin B =1且B 为内角,得B =90°由△ABC 为直角三角形,可得出△ABC 有一个内角为90°,但不一定是∠B =90°. 故选A. 答案:A(2)设p :2x -1≤1,q :(x -a )·[x -(a -1)]≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤1,32B.⎝⎛⎭⎫1,32 C .(-∞,1)∪⎣⎡⎭⎫32,+∞ D .(-∞,1)∪⎝⎛⎭⎫32,+∞ 解析:由p 得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,2x -1≤1⇒12≤x ≤1.由q 得a -1≤x ≤a .若p 是q 的充分不必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤12,a ≥1⇒1≤a ≤32,故选A.答案:A类型三 含有逻辑联结词的命题真假的判断题型特点 以高中数学的重要知识点为依托,考查含有逻辑联结词的命题的真假,并进行简单的应用.高考中主要以选择题和填空题的形式考查.方法归纳 判断含有逻辑联结词的命题的真假: (1)先判断简单命题p ,q 的真假.(2)根据“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的含义及其真假判断规律,即对于“p 且q ”有一假即为假;对于“p 或q ”有一真即为真;对于“非p ”真假与p 相反进行判断.[例3] (1)设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p :若a·b =0,b·c =0,则a·c =0;命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q )[解析] 取a =c =(1,0),b =(0,1),显然a·b =0,b·c =0,但a·c =1≠0,所以p 是假命题.a ,b ,c 是非零向量,由a ∥b 知a =x b ,由b ∥c 知b =y c ,所以a =xy c ,所以a ∥c ,所以q 是真命题.综上知p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题.因为綈p 为真命题,綈q 为假命题,所以(綈p )∧(綈q ),p ∨(綈q )都是假命题.[答案] A(2)已知命题p :∃x 0∈R ,x 0-1≥lg x 0,命题q :∀x ∈(0,π),sin x +1sin x>2,则下列判断正确的是( )A .p ∨q 是假命题B .p ∧q 是真命题C .p ∨(綈q )是假命题D .p ∧(綈q )是真命题[解析] 当x 0=1时,x 0-1≥lg x 0,所以命题p :∃x 0∈R ,x 0-1≥lg x 0为真;∀x ∈(0,π),sin x >0,sin x +1sin x ≥2sin x ·1sin x=2,当且仅当sin x =1时取等号,所以命题q :∀x ∈(0,π),sin x +1sin x>2为假.因此p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,p ∨(綈q )是真命题,p ∧(綈q )是真命题,选D.[答案] D跟踪训练p :函数y =sin 12x 的最小正周期是π,q :函数y =tan x 的图象关于直线x =π2对称,则下列判断正确的是( )A .p 为真B .綈q 为假C .p ∧q 为假D .p ∨q 为真解析:很明显p 和q 均是假命题,所以綈q 为真,p ∧q 为假,p ∨q 为假,故选C. 答案:C类型四 全称命题与特称命题题型特点 高考中主要考查全称命题、特称命题的真假判断,以及全称命题、特称命题的否定,多以选择题或填空题的形式出现.方法归纳 (1)全称命题与特称命题的判断:全称命题要对一个范围内的所有对象成立,要否定一个全称命题,只要找到一个反例就行.特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可.(2)含一个量词的命题的否定:全称命题的否定是特称命题,应含存在量词.特称命题的否定是全称命题,应含全称量词.[例4] 已知命题p :∀a ∈(0,+∞),f (x )=⎝⎛⎭⎫12x-a log 3x 在定义域内是单调函数,则綈p 为( )A .綈p :∃a 0∈(0,+∞),f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -a 0log 3x 在定义域内不是单调函数B .綈p :∃a 0∈(0,+∞),f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -a 0log 3x 在定义域内是单调函数C .綈p :∃a 0∈(-∞,0),f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -a 0log 3x 在定义域内不是单调函数D .綈p :∀a ∈(-∞,0),f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -a log 3x 在定义域内不是单调函数[解析] 由全称命题的否定可得綈p 为“∃a 0∈(0,+ ∞),f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -a 0log 3x 在定义域内不是单调函数”.[答案] A跟踪训练 4.(1)已知命题p :∃x 0∈R ,x 20-3x 0+2=0,则綈p 为( )A .∃x 0∉R ,x 20-3x 0+2=0B .∃x 0∈R ,x 20-3x 0+2≠0 C .∀x ∈R ,x 2-3x +2=0 D .∀x ∈R ,x 2-3x +2≠0解析:由特称命题否定的定义知选D. 答案:D(2)下列命题中的假命题是( ) A .∀x ∈R,2x -1>0 B .∀x ∈N *,(x -1)2>0 C .∃x 0∈R ,lg x 0<1 D .∃x 0∈R ,tan x 0=2解析:对于A ,∀x ∈R,2x -1>0恒成立,真命题. 对于B ,∀x ∈N *,(x -1)2≥0,假命题. 对于C ,∃x 0∈R ,lg x 0<1. 例x 0=1时lg x 0=0<1,∴真命题. 对于D ,∃x 0∈R ,tan x 0=2,真命题. 故选B. 答案:B授课提示:对应学生用书第19页1.(2017·高考天津卷)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:由⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12得0<θ<π6,0<sin θ<12, 由sin θ<12得-7π6+2k π<θ<2k π+π6,k ∈Z .故选A. 答案:A2.(2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p :∃n ∈N ,n 2>2n ,则綈p 为( ) A .∀n ∈N ,n 2>2n B .∃n ∈N ,n 2≤2n C .∀n ∈N ,n 2≤2nD .∃n ∈N ,n 2=2n解析:由特称命题的否定知选C. 答案:C3.(2017·高考山东卷)已知命题p :∃x ∈R ,x 2-x +1≥0,命题q :若a 2<b 2,则a <b .下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .p ∧(綈q )C .(綈p )∧qD .(綈p )∧(綈q ) 解析:“∃x ∈R ,x 2-x +1≥0”为真命题. “若a 2<b 2,则a <b ”为假命题. ∴綈q 为真命题,∴p ∧(綈q )为真命题. 故选B. 答案:B。
高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件1充分条件与必要条件2教案新人教A版选修2_

充分条件与必要条件一:教法分析●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念;(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念,熟练判断四种命题间的关系;(3)在理解定义的基础上,可以自觉地对定义进行转化,转化成推理关系及集合的包含关系.2.过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力:“会观察”,通过大量的问题,会观察其共性及个性;(2)培养学生的归纳能力:“敢归纳”,敢于对一些事例,观察后进行归纳,总结出一般规律;(3)培养学生的建构能力:“善建构”,通过反复的观察分析和类比,对归纳出的结论,建构于自己的知识体系中.3.情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知识的感受;(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性,培养同学们的辩证唯物主义观点;(3)通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新,多方位审视问题的创造技巧,敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来,并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神.●重点难点重点:充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义.难点:必要条件的定义、充要条件的充分必要性.重难点突破的关键:找出题目中的p、q,判断p⇒q是否成立,同时还需判断q⇒p是否成立,再弄清是问“p是q的什么条件”,还是问“q是p的什么条件”.二:方案设计●教学建议基于教材内容和学生的年龄特征,根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识,结合学生实际,主要突出以下几个方面:(1)创设与生活实践相结合的问题情景,在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理.(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式,使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”,保证学生对数学知识的主动获取,以求获得最佳效果.(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法),让学生在探索学习知识的过程中,领会常见数学思想方法,培养学生的探索能力和创造性素质.(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维.指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法,采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对命题结构的探究.让学生在问题情景中学习,观察,类比,思考,探究,概括,动手尝试相结合,体现学生的主体地位,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,形成实事求是的科学态度,增强锲而不舍的求学精神.●教学流程创设问题情境,通过对生活中的实际问题引出:真假命题中条件与结论有何关系?⇒引导学生通过对比、分析以上问题的答案,引出充分条件、必要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问题,得出四种条件的概念及判断方法.⇒通过例1及其变式训练,使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法,加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练,使学生掌握充分、必要条件的应用,进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点,完成例3及其变式训练,从而解决充要条件的证明问题.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学读充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图,开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的结论q.1.在上面四个电路中,你能说出p,q之间的推出关系吗?【提示】①开关A闭合,灯泡B一定亮,灯泡B亮,开关A不一定闭合,即p⇒q,qD p;②开关A闭合,灯泡B不一定亮,灯泡B亮,开关A必须闭合,即pD q,q⇒p;③开关A闭合,灯泡B亮,反之灯泡B亮,开关A一定闭合,即p⇔q;④开关A闭合与否,不影响灯泡B,反之,灯泡B亮与否,与开关A无关,即pD q,且qD p.2.电路图③中开关A闭合,灯泡B亮;反之灯泡B亮,开关A一定闭合,两者的关系应如何表述?【提示】p⇔q.1.充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是( )①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件.A.③④ B.②③C.①②③ D.①②④(2)若p:(x-1)(x+2)≤0,q:x<2,则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【思路探究】(1)Δ=b2-4ac与方程有何关系?当Δ=0,Δ>0或Δ<0时,一元二次方程的根的情况如何?(2)不等式(x-1)(x+2)≤0的解集是什么?p、q有怎样的关系?【自主解答】(1)①对,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;②对,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;③错,Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根DΔ>0;④对,Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根.故选D.(2)p:-2≤x≤1,q:x<2,显然p⇒q,但qD p,即p是q的充分不必要条件.【答案】(1)D (2)A1.判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p两命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p真,则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互推出时,可以举出一个反例进行否定.2.判定方法常用以下几种:(1)定义法:借助“⇒”号,可记为:箭头所指为必要,箭尾跟着充分.(2)集合法:将命题p、q分别看做集合A,B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p 的必要条件,即p⇒q,可以用“小范围推出大范围”来记忆;当A=B时,p、q互为充要条件.已知如下三个命题中:①(2013·福州高二检测)若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件;②(2013·临沂高二检测)对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件;③直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0.则“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件;④“m<-2或m>6”是“y=x2+mx+m+3有两个不同零点”的充要条件.正确的结论是________.【解析】①中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当(a-1)(a-2)=0时,a=1或a=2,不一定有a=2.∴“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,①正确.②∵a>bD ac2>bc2(c=0),但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件,②错.③中,ab=1且ac=3时,l1与l2重合,但l1∥l2⇒a1=1b,即ab=1,∴“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点⇔Δ=m2-4(m+3)>0⇔m<-2或m>6.∴是充要条件,④正确.【答案】①③④充分条件、必要条件、充要条件的应用(2013·大连高二期末)设集合A={x|-x2+x+6≤0},关于x的不等式x2-ax -2a2>0的解集为B(其中a<0).(1)求集合B;(2)设p :x ∈A ,q :x ∈B ,且綈p 是綈q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围. 【思路探究】 (1)不等式x 2-ax -2a 2>0的解集是什么?(2)由“綈p 是綈q 的必要不充分条件”可得怎样的推出关系?这种推出关系的等价关系是什么?表现在集合上又是怎样的?【自主解答】 (1)x 2-ax -2a 2>0⇔(x -2a )(x +a )>0, 解得x >-a 或x <2a .故集合B ={x |x >-a 或x <2a }.(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件, 则綈q ⇒綈p , 由此可得p ⇒q ,则A ={x |x 2-x -6≥0}={x |(x -3)(x +2)≥0} ={x |x ≥3或x ≤-2} 由p ⇒q , 可得A ⊆B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧-a <3-2<2a ,⇒a >-1.法二 A ={x |x ≥3或x ≤-2},∁U A ={x |-2<x <3},而∁U B ={x |2a ≤x ≤-a }, 由綈p 是綈q 的必要不充分条件, 可得綈q ⇒綈p , 也即∁U B ⊆∁U A ,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a >-2-a <3,⇒a >-1.1.利用充分、必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,即先化简集合A ={x |p (x )}和B ={x |q (x )},然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A 与B 的包含关系,进而得到相关不等式组(也可借助数轴),求出参数的取值范围.2.判断p 是q 的什么条件,若直接判断困难,还可以用等价命题来判断,有时也可通过举反例否定充分性或必要性.已知p :x 2-8x -20≤0,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0).若綈p 是綈q 的充分而不必要条件,求实数m 的取值范围.【解】 法一 由x 2-8x -20≤0,得-2≤x ≤10, 由x 2-2x +1-m 2≤0,得1-m ≤x ≤1+m (m >0). ∴綈p :A ={x |x >10或x <-2}, 綈q :B ={x |x >1+m 或x <1-m }. ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件,∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1+m ≤10,1-m ≥-2,解得0<m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0<m ≤3}.法二 由x 2-8x -20≤0,得-2≤x ≤10, 由x 2-2x +1-m 2≤0得1-m ≤x ≤1+m (m >0), ∴p :A ={x |-2≤x ≤10},q :B ={x |1-m ≤x ≤1+m }.∵綈p 是綈q 的充分不必要条件, ∴q 也是p 的充分不必要条件,∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1+m ≤10,1-m ≥-2,解得0<m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0<m ≤3}.充要条件的证明求证:方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不等的实根的充要条件是:0<m <13.【思路探究】 先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立. 【自主解答】 充分性(由条件推结论): ∵0<m <13,∴方程mx 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0, ∴方程有两个不等的实根.设方程的两根为x 1、x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m >0,故方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,即0<m <13⇒方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根.必要性(由结论推条件):若方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根, 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4-12m >0x 1x 2>0,∴0<m <13,即方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13.综上,方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.1.证明p 是q 的充要条件,既要证明命题“p ⇒q ”为真,又要证明“q ⇒p ”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.2.证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.求证:关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0. 【证明】 假设p :方程ax 2+bx +c =0有一个根是1,q :a +b +c =0.(1)证明p ⇒q ,即证明必要性. ∵x =1是方程ax 2+bx +c =0的根, ∴a ·12+b ·1+c =0, 即a +b +c =0.(2)证明q ⇒p ,即证明充分性. 由a +b +c =0,得c =-a -b . ∵ax 2+bx +c =0,∴ax 2+bx -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0. 故(x -1)(ax +a +b )=0. ∴x =1是方程的一个根.故方程ax 2+bx +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0. 五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数y =-m nx +1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )A .m >0,n >0B .mn <0C .m <0,n <0D .mn >0【错解】 由题意可得,一次函数y =-m nx +1n的图象同时经过第一、二、四象限,即⎩⎪⎨⎪⎧-mn <0,1n >0,解得m >0,n >0,所以选A.【答案】 A【错因分析】 p 的必要不充分条件是q ,即q 是p 的必要不充分条件,则qDp 且p ⇒q ,故本题应是题干⇒选项,而选项D 题干,选项A 为充要条件.【防范措施】 要说明p 是q 的充分不必要条件,须满足p ⇒q ,但qD p ;要说明p是q 的必要不充分条件,须满足pDq ,但q ⇒p ;要说明p 是q 的充要条件,须满足p ⇒q且q ⇒p ,解题时一定要考虑周到,切莫顾此失彼.【正解】 一次函数y =-m n x +1n 的图象同时经过第一、二、四象限,即⎩⎪⎨⎪⎧-mn <0,1n >0,得m >0,n >0.故由函数y =-m nx +1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn >0,而由mn >0不一定推出函数y =-m nx +1n的图象过一、二、四象限,所以选D.【答案】 D 六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷,且一般情况下,错误率低,在解题中应用极为广泛.(2)集合法从集合角度看,设集合A={x|x满足条件p},B={x|满足条件q}.①若A⊆B,则p是q的充分条件;若A B,则p是q的充分不必要条件.②若A⊇B,则p是q的必要条件;若A B,则p是q的必要不充分条件.③若A=B,则p是q的充要条件.④若A⃘B,且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时,可利用原命题与逆否命题等价来解决.(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n,则可得p1⇒p n,充要条件也有传递性.七、双基达标1.(2013·成都高二检测)“x=3”是“x2=9”的( )A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【解析】当x=3时,x2=9;但x2=9,有x=±3.∴“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件.【答案】 A2.设p:x2+3x-4>0,q:x=2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当x2+3x-4>0时,不一定有x=2;但当x=2时,必有x2+3x-4>0,故p是q的必要不充分条件.【答案】 B3.在“x 2+(y -2)2=0是x (y -2)=0的充分不必要条件”这句话中,已知条件是________,结论是________.【答案】 x 2+(y -2)2=0 x (y -2)=04.若p :x =1或x =2;q :x -1=x -1,则p 是q 的什么条件?【解】 因为x =1或x =2⇒x -1=x -1;x -1=x -1⇒x =1或x =2,所以p 是q 的充要条件.八、知能检测一、选择题1.若集合A ={1,m 2},B ={2,4},则m =2是A ∩B ={4}的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 当m =2时,m 2=4,A ∩B ={4},但m 2=4时,m =±2,∴A ∩B ={4}得m =±2.【答案】 A2.(2013·济南高二检测)设α,β∈(-π2,π2),那么“α<β”是“tan α<tan β”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 在(-π2,π2)中,函数y =tan x 为增函数,所以设α、β∈(-π2,π2),那么“α<β”是tan α<tan β的充要条件.【答案】 C3.下列选项中,p 是q 的必要不充分条件的是( )A .p :a +c >b +d ,q :a >b 且c >dB .p :A B ,q :x ∈A ⇒x ∈BC .p :x =1,q :x 2=xD .p :a >1,q :f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上为增函数【解析】 易知由a +c >b +dDa >b 且c >d . 但a >b 且c >d ,可得a +c >b +d∴“p :a +c >b +d ”是“q :a >b 且c >d ”的必要不充分条件.故选A.【答案】 A4.“α>β”是“sin α>sin β”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .既不充分也不必要条件D .充要条件【解析】 由“α>β”D “sin α>sin β”;由“sin α>sin β”D “α>β”,应选C.(也可以举反例).【答案】 C5.(2013·青岛高二检测)下列各小题中,p 是q 的充分必要条件的是( ) ①p :m <-2或m >6,q :y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点;②p :f -x f x=1,q :y =f (x )是偶函数; ③p :cos α=cos β;tan α=tan β;④p :A ∩B =A ,q :∁U B ⊆∁U A .A .①②B .②③C .③④D .①④【解析】 ①y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点,则Δ=m 2-4(m +3)>0,得m >6或m <-2,所以p 是q 的充要条件.②若y =f (x )中存在x 0,使得f (x 0)=0,则p 是q 的充分不必要条件.③当α=β=k π+π2时,tan α,tan β无意义,所以p 是q 的必要不充分条件. ④p 是q 的充要条件.【答案】 D二、填空题6.下列不等式:①x <1;②0<x <1;③-1<x <0;④-1<x <1.其中,可以是x 2<1的一个充分条件的所有序号为________.【答案】 ②③④7.(2013·武汉高二检测)“b 2=ac ”是“a 、b 、c ”成等比数列的________条件.【解析】 “b 2=acD”a ,b ,c 成等比数列,如b 2=ac =0;而“a ,b ,c ”成等比数列“⇒”“b 2=ac ”.【答案】 必要不充分8.在平面直角坐标系xOy 中,直线x +(m +1)y =2-m 与直线mx +2y =-8互相垂直的充要条件是m =______.【解析】 直线x +(m +1)y =2-m 与直线mx +2y =-8互相垂直⇔1·m +(m +1)·2=0⇔m =-23. 【答案】 -23 三、解答题9.指出下列命题中,p 是q 的什么条件.(1)p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪2-x -12≤34,q :13x 2+32x -3≥0; (2)p :ax 2+ax +1>0的解集是R ,q :0<a <4;(3)p :A ∪B =A ,q :A ∩B =B .【解】 (1)化简得p :⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132, q :⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤-6或x ≥32.如图由图可知,⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤-6或x ≥32, 所以p 是q 的充分不必要条件.(2)因为ax 2+ax +1>0的解集是R ,所以①当a =0时成立;②当a ≠0时,ax 2+ax +1>0的解集是R ,有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=a 2-4a <0,a >0,解得0<a <4,所以0≤a <4.所以pD ⇒/q ,q ⇒p ,所以p 是q 的必要不充分条件.(3)对于p :A ∪B =A ⇔B ⊆A ,对于q :A ∩B =B ⇔B ⊆A ,即p ⇔q ,所以p 是q 的充要条件.10.若A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},且A 是B 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【解】 ∵A 是B 的充分不必要条件,∴A B .又A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3}.因此a +2≤-1或a ≥3,∴实数a 的取值范围是a ≥3或a ≤-3.11.设a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边,证明:“a 2=b (b +c )”是“A =2B ”的充要条件.【证明】 充分性:由a 2=b (b +c )=b 2+c 2-2bc cos A 可得1+2cos A =c b =sin C sin B. 即sin B +2sin B cos A =sin(A +B ).化简,得sin B =sin(A -B ).由于sin B >0且在三角形中,故B =A -B ,即A =2B .必要性:若A =2B ,则A -B =B ,sin(A +B )=sin B ,即sin(A +B )=2sin B cos A =sin A .∴sin(A +B )=sin B (1+2cos A ).∵A 、B 、C 为△ABC 的内角,∴sin(A +B )=sin C ,即sin C =sin B (1+2cos A ).∴sin C sin B =1+2cos A =1+b 2+c 2-a 2bc =b 2+c 2-a 2+bc bc,即c b =b 2+c 2+bc -a bc. 化简得a 2=b (b +c ).∴a 2=b (b +c )是“A =2B ”的充要条件.九、备课资源试求关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个负实根的充要条件.【自主解答】 如果方程x 2+mx +1=0有两个负实根, 设两负根为x 1,x 2,则x 1x 2=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=m 2-4≥0,x 1+x 2=-m <0,解之得m≥2. 因此m ≥2是方程x 2+mx +1=0有两个负实根的必要条件. 下面证明充分性.因为m ≥2,所以Δ=m 2-4≥0,所以方程x 2+mx +1=0有实根,设两根为x 1,x 2, 由根与系数的关系知,x 1x 2=1>0,所以x 1,x 2同号. 又x 1+x 2=-m ≤-2<0,所以x 1,x 2同为负数.故m ≥2是方程x 2+mx +1=0有两个负实根的充要条件.求关于x 的不等式kx 2+x +k >0(k ≠0)恒成立的充要条件.【解】 kx 2+x +k >0(k ≠0)恒成立.⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k >0Δ=1-4k 2<0⇔k >12.。
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第一章常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.知识点一命题及其关系1.判断一个语句是否为命题,关键是:(1)为陈述句;(2)能判断真假.2.互为逆否关系的两个命题的真假性相同.3.四种命题之间的关系如图所示.知识点二充分条件、必要条件和充要条件1.定义一般地,若p则q为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.2.特征充分条件与必要条件具有以下两个特征:(1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件;(2)传递性:若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件.即若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件,q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定.知识点三简单的逻辑联结词与量词1.常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x ”表示“存在x ”.4.含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做特称命题.类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究 命题角度1 充分条件与必要条件的再探究例1 设甲、乙、丙三个命题,若①甲是乙的充要条件;②丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,则( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 答案 A解析 由①得甲⇔乙,②可以理解为丙是乙的充分条件,但不是乙的必然结果,即丙⇒乙,乙⇏丙.则丙是甲的充分条件,但不是甲的必然结果.反思与感悟 若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件,即q 的充分条件是p ,p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”,则可认为p 的必然结果是q ,q 是p 的必然结果. 则p ⇏q 易表述为以下几种说法:p 是q 的不充分条件,q 的不充分条件是p ; q 是p 的不必要条件,p 的不必要条件是q .跟踪训练1 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( )A.a 2>b 2>0B.log 21a >log 21b >0 C.ln a >ln b >0 D.x a >x b且x >0.5答案 C解析 设条件p 符合条件,则p 是a >b >0的充分条件,但不是a >b >0的必然结果,即有 “p ⇒a >b >0,a >b >0⇏p ”.A 选项中,a 2>b 2>0⇏a >b >0,有可能是a <b <0,故A 不符合条件; B 选项中,log 21a >log 21b >0⇔0<a <b <1⇏a >b >0,故B 不符合条件;C 选项中,ln a >ln b >0⇔a >b >1⇒a >b >0,而a >b >0⇏a >b >1,符合条件;D 选项中,x a>x b且x >0.5⇔0.5<x <1时a <b ;x >1时a >b ,无法得到a ,b 与0的大小关系,故D 不符合条件.命题角度2 充要条件的再探究例2 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足:b n =a n -a n +2,c n =a n +2a n +1+3a n +2(n =1,2,3,…),证明:{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n +1(n =1,2,3,…). 证明 (必要性)设{a n }是公差为d 1的等差数列,则b n +1-b n =(a n +1-a n +3)-(a n -a n +2)=(a n +1-a n )-(a n +3-a n +2)=d 1-d 1=0, 所以b n ≤b n +1(n =1,2,3,…)成立.又c n +1-c n =(a n +1-a n )+2(a n +2-a n +1)+3(a n +3-a n +2)=d 1+2d 1+3d 1 =6d 1(常数)(n =1,2,3,…), ∴数列{c n }为等差数列.(充分性)设数列{c n }是公差为d 2的等差数列,且b n ≤b n +1(n =1,2,3,…). ∵c n =a n +2a n +1+3a n +2, ① ∴c n +2=a n +2+2a n +3+3a n +4.②①-②得c n -c n +2=(a n -a n +2)+2(a n +1-a n +3)+3(a n +2-a n +4)=b n +2b n +1+3b n +2. ∵c n -c n +2=(c n -c n +1)+(c n +1-c n +2)=-2d 2, ∴b n +2b n +1+3b n +2=-2d 2,③ 同理有b n +1+2b n +2+3b n +3=-2d 2.④④-③得(b n +1-b n )+2(b n +2-b n +1)+3(b n +3-b n +2)=0. ⑤∵b n +1-b n ≥0,b n +2-b n +1≥0,b n +3-b n +2≥0, ∴由⑤得b n +1-b n =0(n =1,2,3,…).由此不妨设b n =d 3(n =1,2,3,…),则a n -a n +2=d 3(常数). 由此c n =a n +2a n +1+3a n +2=4a n +2a n +1-3d 3, 从而c n +1=4a n +1+2a n +2-3d 3=4a n +1+2a n -5d 3. 两式相减得c n +1-c n =2(a n +1-a n )-2d 3,因此a n +1-a n =12(c n +1-c n )+d 3=12d 2+d 3(常数)(n =1,2,3,…),∴数列{a n }是等差数列.反思与感悟 利用充要条件的定义证明问题时,需要从两个方面加以证明,切勿漏掉其中一个方面.跟踪训练2 设{a n }是各项为正数的无穷数列,A i 是边长为a i ,a i +1的矩形的面积(i =1,2,…),则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A.{a n }是等比数列B.a 1,a 3,…,a 2n -1,…或a 2,a 4,…,a 2n ,…是等比数列C.a 1,a 3,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列D.a 1,a 3,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列,且公比相同 答案 D解析 A i =a i a i +1,若{A i }是公比为q 的等比数列,则有对∀i ≥1有q =A i +1A i =a i +1a i +2a i a i +1=a i +2a i.这说明{a 2i -1}及{a 2i }均是等比数列且公比都是q ,即D 选项{A i }为等比数列的必要条件,故研究反向问题即可.由上述,D 选项是{A i }为等比数列的必要条件.设D 选项为真,即设{a 2i -1},{a 2i }均为等比数列,且公比都是q ,则对∀i ∈N *,有A i +1A i =a i +1a i +2a i a i +1=a i +2a i=q ,为等比数列.这表明D 选项也是{A i }为等比数列的充分条件.故选D. 类型二 等价转化思想的应用例3 已知c >0,设p :函数y =c x在R 上单调递减;q :不等式x +|x -2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题,求c 的取值范围. 解 函数y =c x在R 上单调递减⇔0<c <1.不等式x +|x -2c |>1的解集为R ⇔函数y =x +|x -2c |在R 上恒大于1.∵x +|x -2c |=⎩⎪⎨⎪⎧2x -2c , x ≥2c ,2c , x <2c ,∴函数y =x +|x -2c |在R 上的最小值为2c ,∴2c >1,得c >12.如果p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1,0<c ≤12,解得0<c ≤12;如果q 真p 假,则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1,c >12,解得c ≥1.∴c 的取值范围为(0,12]∪[1,+∞).反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想,本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等,即以充要条件为基础,把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化、具体化.跟踪训练3 已知命题p :(x +1)(x -5)≤0,命题q :1-m ≤x <1+m (m >0). (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围;(2)若m =5,“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,求实数x 的取值范围. 解 (1)由命题p :(x +1)(x -5)≤0,解得-1≤x ≤5.命题q :1-m ≤x <1+m (m >0). ∵p 是q 的充分条件, ∴[-1,5]⊆[1-m ,1+m ),∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤-1,5<1+m ,解得m >4,则实数m 的取值范围为(4,+∞). (2)∵m =5,∴命题q :-4≤x <6.∵“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题, ∴命题p ,q 为一真一假. 当p 真q 假时,可得⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤5,x <-4或x ≥6,解得x ∈∅.当q 真p 假时,可得⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >5,-4≤x <6,解得-4≤x <-1或5<x <6.因此x 的取值范围是[-4,-1)∪(5,6). 类型三 分类讨论思想的应用 例4 已知关于x 的方程(m ∈Z ):mx 2-4x +4=0,① x 2-4mx +4m 2-4m -5=0,②求方程①和②的根都是整数的充要条件. 解 当m =0时,方程①的根为x =1, 方程②化为x 2-5=0,无整数根,∴m ≠0. 当m ≠0时,方程①有实数根的充要条件是 Δ=16-4×4m ≥0⇒m ≤1; 方程②有实数根的充要条件是Δ=16m 2-4(4m 2-4m -5)≥0⇒m ≥-54.∴-54≤m ≤1.又∵m ∈Z ,∴m =-1或m =1.当m =-1时,方程①为x 2+4x -4=0,无整数根; 当m =1时,方程①为x 2-4x +4=0, 方程②为x 2-4x -5=0. 此时①和②均有整数根.综上,方程①和②均有整数根的充要条件是m =1.反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一,利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为:其一,分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点,有利于对学生知识面的考查;其二,解分类讨论问题需要有一定的分析能力,一定的分类讨论思想与技巧,因此有利于对能力的考查;其三,分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是:整体问题化为部分来解决,化成部分后,可以增加题设条件,这也是解分类讨论问题总的指导思想. 跟踪训练4 已知p :x -5x -3≥2;q :x 2-ax ≤x -a .若綈p 是綈q 的充分条件,求实数a 的取值范围. 解 ∵p :x -5x -3≥2,∴x -1x -3≤0,即1≤x <3. 又∵q :x 2-ax ≤x -a ,∴x 2-(a +1)x +a ≤0. ①当a <1时,a ≤x ≤1; ②当a =1时,x =1; ③当a >1时,1≤x ≤a .设q 对应的集合为A ,p 对应的集合为B , ∵綈p 是綈q 的充分条件.∴∁R B ⊆∁R A ,即A ⊆B . 当a <1时,A ⊈B ,不合题意; 当a =1时,A B ,符合题意;当a >1时,1≤x ≤a ,要使A ⊆B ,则1<a <3. 综上,符合条件的a ∈[1,3).1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数.2.已知α,β是两个不同的平面,直线a ⊂α,直线b ⊂β,p :a 与b 无公共点,q :α∥β,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若α与β相交,设交线为c ,若a ∥c ,b ∥c ,则a ∥b ,此时a 与b 无公共点,所以p ⇏q ;若α∥β,则a 与b 的位置关系是平行或异面,a 与b 无公共点,所以q ⇒p .由此可知p 是q 的必要不充分条件,故选B.3.已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ; ③p ∧(綈q );④(綈p )∨q 中,真命题是________. 答案 ②③解析 当x >y 时,-x <-y ,故命题p 为真命题,从而綈p 为假命题. 当x >y 时,x 2>y 2不一定成立,故命题q 为假命题,从而綈q 为真命题.由真值表知,①p ∧q 为假命题;②p ∨q 为真命题;③p ∧(綈q )为真命题;④(綈p )∨q 为假命题.4.对任意x ∈[-1,2],x 2-a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,0]解析 由x 2-a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0.5.(1)若p :两条直线的斜率互为负倒数,q :两条直线互相垂直,则p 是q 的什么条件? (2)若p :|3x -4|>2,q :1x 2-x -2>0,则綈p 是綈q 的什么条件?解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数,∴两条直线互相垂直,∴p ⇒q . 又∵一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,两条直线也垂直,∴q ⇏p . ∴p 是q 的充分不必要条件.(2)解不等式|3x -4|>2,得p :{x |x >2或x <23},∴綈p :{x |23≤x ≤2}.解不等式1x 2-x -2>0,得q :{x |x <-1或x >2}.∴綈q :{x |-1≤x ≤2}. ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件.1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.2.判断命题真假的步骤确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒根据真值表判断复合命题的真假3.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断,如下表:4.含有一个量词的命题的否定注意:(1)(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定,就是要对其结论进行否定,而否命题是既否定条件又否定结论.40分钟课时作业一、选择题1.命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x0∉R,x20≠x0D.∃x0∈R,x20=x0答案 D解析全称命题的否定是特称命题,所以“∀x∈R,x2≠x”的否定为“∃x0∈R,x20=x0”.2.命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0答案 D解析“且”的否定词为“或”,所以“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”.3.有下列命题:①垂直于同一条直线的两个平面互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③若直线m,n与同一个平面所成的角相等,则m,n互相平行;④若直线m,n是异面直线,则与m,n都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析①垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确;②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,错误;③若直线m,n与同一个平面所成的角相等,则m,n互相平行或相交或异面,错误;④若直线m,n是异面直线,则与m,n都相交的两条直线是异面直线或相交直线,错误.4.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:9x+ay=1,则“a+3=0”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析因为两直线平行,所以有a2-9=0,解得a=±3,当a=±3时,显然两条直线平行,故“a+3=0”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选C.5.下列有关命题的叙述,①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题;②“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件;③命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则綈p:∀x∈R,使得x2+x-1≥0;④命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”.其中错误的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析若p∨q为真命题,则p,q至少有一个为真,所以p∧q不一定为真,所以①错误. x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件,②正确.根据特称命题的否定是全称命题知③正确.“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”所以④错误,所以错误命题的个数为2个.6.下列命题中的真命题是( )A.对于实数a、b、c,若a>b,则ac2>bc2B.x2>1是x>1的充分不必要条件C.∃α,β∈R,使得sin(α+β)=sin α+sin β成立D.∀α,β∈R,tan(α+β)=tan α+tan β1-tan α·tan β成立答案 C解析A项中,当c=0时不符合题意,故A项错误;B项中,x2>1是x>1的必要不充分条件,故B 项错误;当α=β=0时,符合题意,故C 项正确;当α=β=π2时,不符合题意,故D 项错误. 二、填空题7.若命题p :常数列是等差数列,则綈p :__________________________________. 答案 存在一个常数列,不是等差数列 解析 全称命题的否定是特称命题.8.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p ,则q ”的形式为____________. 答案 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称解析 改写成“若p ,则q ”的形式为:若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称.9.命题p :若ac =b ,则a ,b ,c 成等比数列,则命题p 的否命题是________命题.(填“真”或“假”) 答案 假解析 其原命题的否命题是:若ac ≠b ,则a ,b ,c 不成等比数列. 若b =-ac ,则b 2=ac ,此时a ,b ,c 也可以成等比数列,故为假命题.10.定义f (x )={x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”,例如{1.2}=2,{4}=4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________.(请写出所有真命题的序号)①f (2x )=2f (x );②若f (x )=f (y ),则x -y <1;③任意x ,y ∈R ,f (x +y )≤f (x )+f (y );④f (x )+f (x +12)=f (2x );⑤函数f (x )为奇函数.答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )=2f (x )不一定成立, 如x 取1.5;f (x )+f (x +12)=f (2x )不一定成立,如x 取0;函数f (x )不满足奇函数的关系, 如f (1.6)=f (2),f (-1.6)=f (-1). 故答案为②③. 三、解答题11.求证:函数f (x )=x 2+|x +a |+1是偶函数的充要条件是a =0. 证明 先证充分性,若a =0,则函数f (x )=x 2+|x +a |+1是偶函数. 因为a =0,所以f (x )=x 2+|x |+1(x ∈R ). 因为f (-x )=(-x )2+|-x |+1=x 2+|x |+1,所以f (x )是偶函数.再证必要性,若f (x )=x 2+|x +a |+1是偶函数,则a =0.因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ),即(-x )2+|-x +a |+1=x 2+|x +a |+1,从而|x -a |=|x +a |,即(x -a )2=(x +a )2,展开并整理,得ax =0.因为x ∈R ,所以a =0.12.已知命题p :“存在a >0,使函数f (x )=ax 2-4x 在(-∞,2]上单调递减”,命题q :“存在a ∈R ,使∀x ∈R ,16x 2-16(a -1)x +1≠0”.若命题“p ∧q ”为真命题,求实数a 的取值范围.解 若p 为真,则对称轴x =--42a =2a 在区间(-∞,2]的右侧,即2a≥2,∴0<a ≤1. 若q 为真,则方程16x 2-16(a -1)x +1=0无实数根,∴Δ=[-16(a -1)]2-4×16<0,∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题,∴命题p 、q 都为真,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1,12<a <32,∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为(12,1]. 13.求实数a 的取值范围,使得关于x 的方程x 2+2(a -1)x +2a +6=0. (1)有两个都大于1的实数根; (2)至少有一个正实数根. 解 (1)方程x 2+2(a -1)x +2a +6=0的两实根x 1,x 2均大于1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,x 1>1,x 2>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0,(x 1-1)+(x 2-1)>0,(x 1-1)(x 2-1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0,x 1+x 2>2,(x 1+x 2)-x 1x 2<1 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4(a -1)2-4(2a +6)≥0,-2(a -1)>2,-2(a -1)-(2a +6)<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-1或a ≥5,a <0,a >-54.∴-54<a ≤-1. (2)由题意 ①当一根为正,一根为负时,⎩⎪⎨⎪⎧ 2a +6<0,Δ>0,∴a <-3;②当一根为正,一根为零时,⎩⎪⎨⎪⎧ 2a +6=0,-2(a -1)>0,Δ>0,∴a =-3;③当两根均为正时,⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,x 1+x 2=-2(a -1)>0,x 1x 2=2a +6>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-1或a ≥5,a <1,a >-3.即-3<a ≤-1.综上所述,方程至少有一个正实数根时,a 的取值范围是(-∞,-1].。