材力-第3章 应力的计算及强度条件2
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
材料力学公式总结
材料力学公式总结材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，它是材料科学的基础和核心。
在材料力学中，有许多重要的公式，它们可以帮助我们理解材料的性能和行为。
本文将对材料力学中的一些重要公式进行总结，希望能对大家的学习和工作有所帮助。
1. 应力和应变的关系公式。
在材料力学中，应力和应变是两个非常重要的概念。
应力是单位面积上的力，通常用σ表示，而应变是材料单位长度的变形量，通常用ε表示。
它们之间的关系可以用胡克定律来描述，即σ = Eε，其中E为杨氏模量，是描述材料抵抗变形能力的一个重要参数。
2. 弹性模量的计算公式。
弹性模量是描述材料在受力后能够恢复原状的能力的一个重要参数。
对于各向同性材料，弹性模量E可以用杨氏模量和泊松比来表示，即E = 2G(1+μ)，其中G 为剪切模量，μ为泊松比。
3. 应力-应变曲线的公式。
材料在受力时，应力和应变之间的关系通常通过应力-应变曲线来描述。
对于线弹性材料来说，应力-应变曲线是一条直线，其斜率就是杨氏模量E。
而对于非线性材料来说，应力-应变曲线通常是一条曲线，可以用一些复杂的数学公式来描述。
4. 塑性变形的公式。
当材料受到超过其屈服强度的应力时，就会发生塑性变形。
塑性变形的特点是应力和应变不再呈线性关系，而是出现了一定的变形硬化。
塑性变形的公式通常比较复杂，需要根据具体的材料和加载条件来确定。
5. 断裂力学的公式。
材料在受到过大的应力时会发生断裂，断裂力学是研究材料断裂行为的学科。
在断裂力学中，有许多重要的公式，如格里菲斯断裂准则、弗兰克-雷迪公式等，它们可以帮助我们预测材料的断裂行为。
总结。
材料力学中的公式是我们理解材料性能和行为的重要工具，通过对这些公式的学习和掌握，我们可以更好地应用材料力学知识，解决工程实际问题。
希望本文对大家有所帮助，也希望大家能够深入学习材料力学，为材料科学的发展做出贡献。
材料力学课件PPT
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）
e
b
f 2、屈服阶段bc（失去抵抗变 形的能力）
b
e P
a c s
s — 屈服极限
（二）关于塑性流动的强度理论
1．第三强度理论（最大剪应力理论） 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响， 且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解： N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力：圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形
的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob
第3章 构件的强度和刚度
第3章构件的强度和刚度学习目标理解各种基本变形的应力概念和分布规律；掌握虎克定律及材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义；掌握各种基本变形的应力和强度计算方法；掌握弯曲刚度的基本计算方法；了解应力集中和交变应力的概念及材料在交变应力作用下的破坏特点。
3．1 分布内力与应力、变形与应变的概念3．1．1 分布内力与应力杆件受力作用时截面上处处有内力。
由于假定了材料是均匀、连续的，所以内力在个截面上是连续分布的，称为分布内力。
用截面法所求得的内力是分布内力的合力，它并不能说明截面上任一点处内力的强弱。
为了度量截面上任一点处内力的强弱程度，在此引入应力这一重要概念。
截面上一点的内力，称为该点的应力。
与截面相垂直的应力称为正应力，用σ表示；截面相切的应力称为切应力，也称剪应力，用τ表示。
在国际单位制中，应力的基本单位是N ／m2，即Pa。
工程中常用单位为MPa，GPa，它们的换算为：l MPa=106Pa=1 N／mm21 GPa=103MPa=103 N／mm23．1．2应变在外力的作用下，构件的几何形状和尺寸的改变统称为变形。
一般讲，构件内各点的变形是不均匀的，某点上的变形程度，称为应变。
围绕构件内K 点取一微小的正六面单元体，如图3—1(a)所示，设其沿x 轴方向的棱边长为x ∆，变形后的边长为x ∆+u ∆，如图3—1(b)所示，u ∆称为x ∆的线变形。
当x ∆趋于无穷小时，比值ε=u ∆／x ∆表示一点处微小长度的相对变形量，称为这一点的线应变或正应变，用ε表示。
一点处微小单元体的直角的改变量[图3—1(c)]，称为这一点的切应变，用γ表示。
正应变ε和切应变γ是度量构件内一点变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。
图3—1正应变和切应变3．2轴向拉伸与压缩的应力应变及虎克定律3．2．1 拉伸与压缩时横截面上的应力拉压杆，如图3—2(a)(b)所示，横截面上的轴力是横截面上分布内力的合力，为确定拉压杆横截面上各点的应力，需要知道轴力在横截面上的分布。
材力讲稿第3章扭转1-2
内外径之比
Wp =
Ip D/2
=
π
16
D 3 (1 − α 4 )
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形
Tρ τ ρ = Gρθ = Ip
T
由两种不同材料组成的圆轴， 讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材 料的剪切弹性模量分别为G 料的剪切弹性模量分别为 1和G2，且G1＝2G2。圆轴 尺寸如图中所示。 尺寸如图中所示。 圆轴受扭时， 外层之间无相对滑动。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的切应力分布，有图中( 、 横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D) 、 、 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
T
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 观察到的变形现象 （1）A ） B C D A B C ∴横截面上存在切应力！ 横截面上存在切应力！ D
（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 圆周线大小、位置、形状、间距保持不变， 对转动。 对转动。 ∴横截面上不存在正应力！ 横截面上不存在正应力！
薄壁圆轴的扭转 扭 转/薄壁圆轴的扭转
薄壁圆轴两端截面之间相对 转动的角位移， 转动的角位移，称为 相对扭
m
A B
γ
D C
m
ϕ
转角 ，用ϕ 表示。 表示。
薄壁圆轴表面上每个格子的直 角的改变量，称为 切应变。 角的改变量， 用 γ 表示 。
(c)
A D
横截面上没有正应力，只有切应力。 横截面上没有正应力，只有切应力。 且横截面上的切应力的方向是沿着 B 圆周的切线方向， 圆周的切线方向，并设沿壁厚方向 是均匀分布的(壁厚较小 。 是均匀分布的 壁厚较小)。 壁厚较小
材料力学强度计算
Δd=d1-d 拉伸时，Δd＜0；压缩时，Δd＞0 对应的单位横向尺寸上的变形称为横向线应
变，以ε′
' d
d
线应变是无量纲 的量，其正负号 规定与杆的纵向 变形相同。
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料压缩时的力学性能
金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，柱的高度约为 直径的1.5 ~ 3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的 要求非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。
低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图，如图示。
在屈服以前，压缩时的曲线和拉 伸时的曲线基本重合，屈服以后 随着压力的增大，试样被压成 “鼓形”，最后被压成“薄饼” 而不发生断裂，所以低碳钢压缩 时无强度极限。
一、应力
概念
杆件截面上某一点处的内力 集度称为该点的应力
应力
图a所示杆m-m截面上K点处的应 力，在K点周围取一微小面积A， 设A面积上分布内力的合力为P， 则p为△A上的平均应力
pm
P A
p lim P dP A0 A dA
一般来说，截面上的内力分布并 不是均匀的，因而，我们将微面 积A趋向于零时的极限值称为K点 的内力集度，即K点的应力p
应力
应力p是一个矢量。通常情况下，它既不与截面垂直，
也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上常将
它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。 σ称为正应力，τ称为切应力。对于正应力σ规定：
拉应力（箭头背离截面）为正，压应力（箭头指向截 面）为负；对于切应力τ规定：顺时针（切应力对研 究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）为正， 逆时针为负。
2.3.1材料的许用应力、安全系数及强度条件.
强度要求。
解：① 轴力：N = P =25kN
②应力：
max
N A
4P πd 2
4 25 10 3 3.14 14 2
162 MPa
③强度校核：
max 162MPa 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
大家辛苦了！
工程力学应用
我们加油！
2.5 轴向拉(压) 杆的强度计算
材料的力学性能指标
1.弹性指标：弹性模量E、泊松比μ
2.塑性指标： 断后伸长率δ 断面收缩率ψ
l1 l 100 %
l
A A1 100 %
A
工程上一般将δ＞5％的材料称为塑性材科，
将δ＜5％的材料称为脆性材料。 3.强度指标
屈服极限σs : 塑性材料的极限应力 强度极限σb ：脆性材料的极限应力
m a x
N A
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度： max ②设计截面尺寸： NhomakorabeaAm in
Nmax
[ ]
③许可载荷： Nmax A ; P f (Ni )
举 例
例 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm
一 ，许用应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足
一、许用应力与安全系数
1.材料的极限应力
塑性材料： σ°=σs 脆性材料： σ°=σb
2.许用应力
为了保证构件能正常地工作，应当把最大工作应力限制 在一定的范围之内，这个限制值称为材料在拉伸（或压缩） 时的许用应力。用 [σ]表示。
[σ]= σ° K
二、强度条件准则
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
材力 第3章 轴向拉压变形
二）装配应力——预应力、初应力： 由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变 形而引起的应力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB 1
2
C
B 1
D
C
3
A1
2
A
A
16
17
12
F
FN1 FN 2
例2 图示结构,已知： L、A、E、a、F 。求：各杆轴力。 解：1、平衡方程: L 3 a A F FN3 FN2
△L 2
2 a B
1
Y 0 F F F F 0 M 0 F a F 2a 0
N1 N2 N3 A N2 N1
2、几何方程：
L1 B
△L 2 △L1
分析：
1、
A
L2
uB vB
uB L1
L2 sin
F
2、 v B L1ctg 3、
C
图2
B u v
2 B
2 B
B′
8
§3—2 拉压静不定问题
一、概念 1、静定：结构或杆件的未知力个数 = 有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。 2、静不定：结构或杆件的未知力个数 > 有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。 3、多余约束：在静不定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
B 1 D 3 A 2 C
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
F
9
5、静不定的分类（按静不定次数划分）： 静不定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定静不定的次数）。 2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
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b
F
a
l l
F
F
F
A
Abs
工程中常见的联接结构 铆钉联接
工程中的联接结构 南京机场屋架结构
焊接联接
工程中常见的联接结构 沈阳机场屋架结构 螺栓，销钉联接
二、剪切的实用计算
d
F
t
F
剪切受力特点：作用在构件两侧 面上的外力合力大小相等、方向 相反且作用线很近。 变形特点：位于两力之间的截面 发生相对错动。 假设切应力在剪切面（m-m截面） 上是均匀分布的 Fs 得切应力计算公式： τ = A
F
m
F
m
Fs
F
F
Fs
Fs τ ≤ [τ ] 切应力强度条件： = A
[τ]联接件的许用切应力常由实验方法确定根据 联接件的实际受力情况，作模拟剪切试验，得到 破坏应力，再除以安全系数得到，即
[τ ] =
τb
n
三、挤压的实用计算
d
t
Fbs Fbs
t
挤压力 实际挤压面
F
t
F
Fbs
t
F
b
F
σ max
d
F F
d
计算挤压面
t
挤压：联接件与被联接件互相传递压力时，相接触的表面是相 互压紧的称挤压，当挤压力过大，接触面附近将被压溃或发生塑性 变形。 Fbs σ bs = 假设挤压力在挤压计算面积上均匀分布，即 式中的Abs等于实际挤压面向直径方向的投影面面积。 建立挤压强度条件:
挤压强度合格, ∴销轴强度合格。
例：两块钢板用七个铆钉联接如图所示。已知钢板的厚度δ=6mm,宽 度b=200mm ，铆钉直径d=18mm 。材料的许用应力[σ]=160MPa、 [τ]=100MPa 、 [σbs]=240MPa试求[F]max。 解：1.剪切
d
δ
F
Fs F π d 2 7 τ= = / ≤ [τ ] ⇒ F ≤ π × 182 × 100 = 178kN As 7 4 4
I
F
F ≤ 160 × 6 × (200 − 36) = 157.4kN
σⅡ=
FNⅡ AⅡ
=
⇒ F ≤ 7 / 5 × 160 × 6 × (200 − 54) = 192.6kN [ F ]max = 157.4 kN
工程中常见的联接结构
h 2
F
A
m
m d
h b
l
榫联接
榫联接(竹、木、石制器物或 构件利用凹凸方式相联接)
F
2.挤压
σ bs =
II
F
I
b
Fbs F = / dδ ≤ [σ bs ] ⇒ Abs 7
F ≤ 7 × 240 × 18 × 6 = 181.4kN
F
3.拉伸
σⅠ =
FN Ι F = ≤ [σ ] ⇒ AΙ δ (b − 2d )
5F / 7 ≤ [σ ] δ (b − 3d )
II
FN
2F 7 5F 7
Fs τ= As
F 2
F 2
F
F F 40 ×103 τ= = = 3.14 π 2 2A 2× D 2× × 0.0222 4 4 = 52.6 MPa < [τ ]
F
t
剪切强度合格
o FS p
m FS n
2.挤压强度校核
Fbs 40 ×103 F = = = 91MPa < [σ bs ] σ bs = Abs Dt 0.022 × 0.02
3. 4 联接件的工程实用计算 一、 概述
d
F
t2
d
F
t
F
F
t2 t 1
F
b
F
F
b
F
联接件： 1. 受剪切而产生剪切变形。 2. F与FS不在一直线上，引起弯曲变形。 3. 螺帽拧紧而引起螺杆拉伸 。 4. 铆钉与铆钉孔处还要产生挤压破坏。 联接件虽小，其受力相当复杂。在工程计算中采用 实用计算的方法。
σ bs =
Fbs A
≤ ⎡σ bs ⎤ ⎣ ⎦
Abs
例：某起重机吊具，吊钩与吊板通过销轴联接。已知： F=40kN、[τ]=60MPa、 [σbs]=120MPa,销轴直径D=22mm:1.剪切强度校核 销轴的受力情况如图
F
m n p
t 2
o
D
F Fs = 2