高中数学第二章数列2.2等差数列(第2课时)学案新人教A版

2.2 等差数列(第2课时)
学习目标
在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差中项的定义及应用,明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.
合作学习
一、设计问题,创设情境
在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公式与公差,作为一类特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢?
二、信息交流,揭示规律
1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.
(1)2,( ),4;
(2)-12,( ),0;
(3)a,( ),b.
2.等差中项定义
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫做a与b的等差中项.
符号表示:2A=a+b⇒A= .
【思考】(1)在等差数列{a n}中,是否有2a n+1=a n+a n+2成立?等差数列又可以怎么叙述?
从第2项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.
(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.
3.等差数列的性质
问题1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.
性质1:若数列{a n}是等差数列,公差为d.若d>0,则{a n}是递增数列;若d<0,则{a n}是递减数列;若d=0,则{a n}是常数列.
问题2:探究等差数列{a n}中任意两项a n,a m之间的关系.它们之间的关系可表示为.
由此也可得到等差数列通项公式的另一种表示:a n=a m+(n-m)d
公差的另一种表示:d=,
性质2:a n=a m+(n-m)d,d=.
问题3:在等差数列{a n}中,若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q一定成立吗?特别地,m+n=2k,则a m+a n=2a k成立吗?
性质3:在等差数列{a n}中,若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q.
三、运用规律,解决问题
4.已知数列{a n}的通项公式为a n=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?证明你的结论.
5.已知等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45,求数列{a n}的通项公式.
四、变式训练,深化提高
6.三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.
7.已知a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
二、信息交流,揭示规律
1.(1)3 (2)-6 (3)
2.
问题1:略
问题2:a n=a m+(n-m)d
分析:证明等式,可以考虑从等号的两侧证明,能够利用的是前面掌握的等差数列的通项公式.
解:由等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d,得
a m=a1+(m-1)d.
a n-a m=-=(n-m)d,
∴a n=a m+(n-m)d.
即等式成立.
问题3:a m+a n=a p+a q一定成立;当m+n=2k时,a m+a n=2a k成立.
三、运用规律,解决问题
4.证明:取数列{a n}中的任意相邻两项a n与a n-1(n>1),
求差得a n-a n-1=(pn+q)-=pn+q-(pn-p+q)=p,
它是一个与n无关的常数,所以{a n}是等差数列.
5.解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,由此得到a4=5.
又∵a2·a4·a6=45,∴a2a6=9,即(a4-2d)(a4+2d)=9,∴(5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.
当d=2时,a n=a4+(n-4)d=2n-3;
当d=-2时,a n=a4+(n-4)d=13-2n.
四、变式训练,深化提高
6.解:设这三个数分别为x-d,x,x+d.
则解得
∴相应地,所求三个数为3,5,7或7,5,3.
7.证明:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),
∴b+c,c+a,a+b成等差数列.
说明:如果a,b,c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a,b,c 成等差数列,常改证2b=a+c成立.
五、反思小结,观点提炼
略。