DMD期末考试A4笔记v3.0

计算例题1：回归分析（参数之间的关系）①根据观测样本数(B8=15)、自变量个数(B13=3)、回归系数个数(B21-B18,4个)、自由度(B14=11)，相互补充数据。

0β（截距）不为0时：自由度=观测样本数-自变量个数-1 0β（截距）为0时：自由度=观测样本数-自变量个数②根据置信区间95%、自由度(B14=11)，查表确定c 值，然后用回归系数(B21-B18)、标准误差(C21-C18)、c 值计算相应95%的上限(G21-G18)和下限(F21-F18)的值。

上限=回归系数+c ×标准误差 下限=回归系数-c ×标准误差下限到上限之间如果包含0，我们应该怀疑因变量Y 是否与此自变量线性相关，并考虑是否要把这个自变量从回归模型中消除掉。

③用t 统计值分析问题。

t 统计值=回归系数÷标准误差（可用此公式补充数据） 当∣t 统计值∣＞c 时那么在95%的置信区间下β不为0，相反t 统计值的绝对值小于c 时，我们要考虑是否要把这个自变量从线性回归模型中消除掉。

④根据p 值，判断在特定的置信区间下β是否包含0 例如当p 值=0.001时，β在99.9%的置信区间下正好包含0，也就是β在95%或者90%等等的置信区间下都不包含0 线性回归分析具体分析如下：构造线性回归系数置信区间的步骤β的显著性检验确定性系数R 2计算例题2：线性规划对偶问题五步骤：1、首先给一个文字题，需要建模，设计变量。

建模步骤：- 需要做哪些决策？→ 确定决策变量 - 问题的目标是什么？ → 写出目标函数- 资源和需求之间的情况如何？ → 确定约束条件注意：本题是利用对偶问题求解，所以原问题变量可能有多个，但是约束条件除了非负约束，一定有两个其他约束。

化成对偶问题后，有两个变量，约束条件有多个。

具体步骤参照GTC 公司问题：（写清变量代表什么） 解：GTC 公司生产计划模型 :1301001.527210.30.591516,0W P Max W P W P W P W P W P W P ==++≤+≤+≤≤≤≥决策变量：每天生产扳手的数量（以千件计）每天生产钳子的数量（以千件计）目标函数：约束条件：钢材浇铸装配扳手需求钳子需求非负约束 2、写出对偶问题原问题与对偶问题的对应关系：①max 与min 互换 ②目标函数的系数与对偶问题的右边项互换 ③约束条件的系数转置 ④别忘变量非负约束 0,,,..:min 0,,,..:max 212211112211112211212211112121112211≥≥+++≥++++++≥≤++≤+++++m nm mn n n m m mm n m n mn n n n n nn y y y c y a y a y a c y a y a y a t s y b y b y b D x x x b x a x a x a b x a x a x a t s x c x c x c P 3、图解法求解对偶问题① 画直角坐标系，非负约束构成坐标系的正象限。

② 根据约束条件画出每条约束线，对不等式约束，首先画出等式线，再判明约束方向。

③ 确定由非负约束和所有其他约束构成的可行域。

④ 确定目标函数线，根据目标优化方向平移目标函数线，直到该线离开可行域与该线接触的最后一点即为一最优解（切点）4、根据对偶问题最优解求解原问题①把对偶问题的最优解带入对偶问题的约束中。

②如果约束的等号不成立，则相对应的原问题的变量为0。

③对偶问题的解如果不为0（实际做题应该不为0），则相对应的原问题的约束等号成立。

④根据原问题的约束等式和0解带入，求解其他的变量。

例如：原问题Min 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 s.t. x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3x5 ≥ 42x1 - x2 + 3 x3 + x4 + x5 ≥ 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 则对偶问题： Max 4 y1 + 3 y2 s.t. y1 + 2 y2 ≤ 2y1 - y2 ≤ 3 2 y1 + 3 y2 ≤ 5 y1 + y2 ≤ 2 3 y1 + y2 ≤ 3 y1, y2 ≥ 0我们用图解法求出对偶问题的最优解为：y1=4/5, y2=3/5把最优解带入到对偶问题的约束中，因为第2,3,4等号都不成立，所以x2,x3,x4都等于0。

因为y1,y2为0，所以原问题的非负约束都为等式，即x4 + 3x5 = 4，2x1 - x2 + 3 x3 + x4 + x5 = 3。

带入为0，求解出x1,x5都为1。

原问题的解为 (1, 0, 0, 0, 1)5、敏感分析：一个问题的对偶解= 原问题约束的影子价格 对偶解的经济含义：资源对经济目标的边际贡献影子价格：当某资源约束的右边值值增加一个单位时，所有其他约束保持不变时，最优目标函数发生变化的数值。

影子价格的一般原则：① 每个约束对应一个影子价格。

② 影子价格的单位是目标函数的单位除以约束的单位。

影子价格的经济信息：影子价格反映资源在系统内的稀缺程度，如果资源供大于求，则影子价格为零，增加该资源的供应不会给系统目标带来任何改善；如果是稀缺资源，其影子价格大于零，价格越高，资源的稀缺程度越高。

100%规则多个右边项系数变化的敏感性分析用100%规则检查紧约束右边项的变化：价格可能会发生变化。

如果上式不满足，影子则影子价格保持不变；，，变化率之和不超过如果满足 定义比率系数：项系数的允许变化范围假定已经找出每个右边%10010)/(0)/(:≤⎩⎨⎧≤∆-∆≥∆-∆=≤≤∑j j i i i i i i i ii i ii i r b b L b b b U b r r U b L多个目标函数系数发生变化用100%规则检查两个以上变量系数变化情况。

/()0:/()01100%j j jj j j j j j j j j j j j L c U c U c b r r c L c b r ≤≤∆-∆≥⎧=⎨∆-∆≤⎩≤∑已知每个系数的变化范围：　定义比率系数　如果满足，变化率之和不超过，则最优解保持不变；如果上式不满足，最优解可能会发生变化。

计算例题3：线性规划结果分析，补全数据①允许的增量为无穷时，相应的阴影价格为0。

②阴影价格不为0时，终值和约束限制值相等。

③目标函数随着紧约束的约束限制值改变而改变，上 图中钢铁的约束限制值增加1单位时，利润增加60。

④当约束限制值超出允许增量时，阴影价格会变化， 例如如果钢材的供给增加到30，超出了27+1.5，那 么就不能增加60×3 =120的利润。

⑤敏感分析参照上一题（对偶问题）的第五步。

计算例题4：混合规划问题（整数变量，二态变量） 不需求解，只列出式子。

例如：服务中心设置问题决策：客户服务中心的数目和位置，确定每个国家的 客户由哪个服务中心来处理优化目标：使服务中心中的运营成本最小化，并保证 达到预先承诺的服务水平；要求从客户服务中心到5 个主要国家中每个国家的平均服务时间不超过1.5天；2222211212,511ˆ()(),,,n n i i i i i k R Excel B R R e y yR x x x Y ===-=-==-∑∑ 确定性系数在中的格第一个解释：数据中因变量的值发生了很大的变化，线性回归模型就是以自变量的线性函数来解释这种变化。

而的值就是对线性回归模型这种解释程度的测量残差平方和没有被解释的变化总变化总变化被自变量解释的变化总变化是由自变量的线性回归等式解释的因变量的观测值的变化占总变化的比例22201R R R ；的数值总是位于与之间；一般来讲，的数值越高，回归模型拟合的越好；的数值经常被用来测量回归模型拟合数据的程度，但是并不能够证明两个变量之间的因果关系。

%()/1001%,95%mm mm m b m m b m b b x S t c P c T c T dof n k t b c S b c S ββββ-≤≤==--⎡⎤-⨯+⨯⎣⎦设是自变量的回归系数，并设是回归系数的标准误差。

那么，的的置信区间计算如下：首先利用分布表将计算如下公式中的数值：其中，服从一个自由度的分布。

于是，的置信区间为：备注： 的置信区间已经在表格中给出0110112,1,,,,,Excel 1821),,0(7)114i k ki i k n Y x x i n b b b B B Excel B s dof n k Execl B βββεεεεμσσ=++++=⋯-==-- 设线性回归模型为：其中其中，回归系数显示在表格回归系数一列(假设，是均值为和标准离差为的相互独立的正态分布随机变量的观测值。

的回归估计结果是表格中的标准误差的数值由表示。

自由度观测样本个数自变量个数，在中的一格中。

01,,,(1821)kb b b S S S Excel C C - 回归系数的标准误差表示为，显示在中回归系数的右侧/()/1001,%0.1821m m b m t t b Sc P c T c T dof n k t t c t Excel D D βββ=-≤≤==-->-计算统计值：，设的数值满足以下等式其中，服从自由度为的分布。

如果那么在的置信水平上，我们认为不等于统计值在中的格最优解邮局上班问题：设xi 为第i 天开始上班的人数：min : z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 s.t . x 1 +x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ε 17 x 1 + x 2 +x 5 + x 6 + x 7 ε 13 x 1 + x 2 + x 3 +x 6 + x 7 ε 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 +x 7 ε 19 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ε 14 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ε 16 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ε 11 xi ε 0 i = 1, 2, . . . , 7要求到5个主要客户国家的平均服务时间不超过1.1天。

解：令i=1,2,……,5表示5个国家；j=1,2,……,5表示5个服务中心定义以下决策变量：10j j ij y j y j X i j =⎧⎪⎨=⎪⎩，如果服务中心被选中；，如果服务中心未被选中；：来自国家的客户得到位置的服务中心的服务百分比目标函数：服务中心成本最小12345min 2015222116j j j c y y y y y y =++++∑： 1:)1(1:)1(1:)3(1:)2(1:)1(5,,1155545352514544434241353433323125242322211514131211=++++==++++==++++==++++==++++===∑x x x x x i x x x x x i x x x x x i x x x x x i x x x x x i i x ij j 法国服务 意大利服务　瑞士服务 德国服务 英国服务 服务需求约束：服务时间约束：到每个国家的平均服务时间要小于1.5天 5.10.20.15.00.25.15.15.00.20.20.10.35.10.15.10.20.20.35.10.25.00.10.30.25.10.30.25.15.25.05,,15.155545352514544434241353433323125242322211514131211≤++++≤++++≤++++≤++++≤++++=≤∑x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i x t ij ij j 法国 意大利瑞士 德国 英国 总平均服务时间应小于1.1天 1.10.20.15.00.25.1(20.0)5.00.20.20.10.3(10.0)0.15.10.20.20.3(15.0)0.25.00.10.30.2(30.0)0.30.25.15.25.0(25.01.155545352514544434241353433323125242322211514131211≤++++++++++++++++++++≤∑∑x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t p ij ij j i i ＋＋＋＋ 服务中心限制的逻辑约束,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5,,1;5,,1555554553552551445444443442441335334333332331225224223222221115114113112111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x j i y x j ij ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤==≤ 服务中心数量约束 100323254321or y x y y y y y y j ij j j =≥≤++++≤≤≤∑整数约束：非负约束：整体模型：min ..11.5 1.1,230,01j j jj ij j ij ij i i j ij ij ij j j j ij j c y s t x i t x i p t x x y i j y x i j y or i==∇≤∇≤≤∇≤≤≥∇=∇∑∑∑∑∑∑总运营成本 1. 仿真模拟可以充分发挥计算机计算速度快的优势，是对随机环境下复杂管理问题进行决策分析的一种有效方法。