Fractional Calculus and its Applications to Science and 分数阶微积分与科学应用
国外优秀的高等数学教材
国外优秀的高等数学教材高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，它涵盖了微积分、线性代数、概率统计等多个重要概念和技巧。
为了提高学生的数学素养和应用能力，选择一本优秀的高等数学教材至关重要。
在国外，有很多备受推崇的高等数学教材，它们以其严谨的理论体系、易于理解的讲解方式和丰富的例题，成为了学生们学习和研究的宝贵资源。
本文将介绍几本国外优秀的高等数学教材，希望能为学生们在学习高等数学时提供参考和借鉴。
一、《Calculus: Early Transcendentals》《Calculus: Early Transcendentals》是由美国数学家詹姆斯·斯图尔特（James Stewart）所著的一本高等数学教材。
这本教材几乎成为了全球许多大学的高等数学教材标准教材，并且荣获了多个数学教育奖项。
其主要特点包括：1. 结构清晰：教材按照章节和节的结构编排，便于学生系统地学习和复习微积分的各个概念。
2. 知识严谨：该教材注重理论证明和逻辑推导，帮助学生深入理解微积分的原理和定理。
3. 真实应用: 《Calculus: Early Transcendentals》在理论讲解之外，还提供了大量真实世界中的应用例题，帮助学生理解微积分在物理、工程等领域的相关应用。
二、《Linear Algebra and Its Applications》《Linear Algebra and Its Applications》由美国数学家大卫·莱(David C. Lay)所著，是一本系统全面讲解线性代数的经典教材。
其主要特点包括：1. 清晰易懂：教材注重讲解线性代数的基本概念、定理和相关技巧，以简明易懂的语言指导学生。
2. 应用广泛：该教材将线性代数与现实生活中的问题相结合，以应用为导向，帮助学生更好地理解并应用线性代数的概念。
3. 丰富例题：《Linear Algebra and Its Applications》提供了大量的例题和习题，旨在让学生通过实战来加深对线性代数知识的理解和掌握。
判断向量组线性相关性的若干方法
判断向量组线性相关性的若干方法李德琼, 谢小良, 王仲梅(湖南工商大学 数学与统计学院, 湖南 长沙 410205)摘 要: 向量组的线性相关性是线性代数理论中一个基本且重要的内容, 它与矩阵、向量空间等概念具有紧密的联系. 向量组线性相关性的判断方法是灵活多变的. 给出判断向量组线性相关性的若干方法, 并从不同的角度, 采用不同的方法判断向量组的线性相关性, 从而提高学生理解和应用知识的能力.关键词: 向量组; 线性相关; 线性无关; 判定方法中图分类号: O151.2 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2021)01-0014-03Several Methods for Linear Correlation Judgment ofVector GroupsLI Deqiong, XIE Xiaoliang, WANG Zhongmei(School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Technology and Business, Changsha 410205, China)Abstract : Linear interrelationship of a vector group is a basic and important context in linear algebra theory, and it is closely linked with matrix and vector space theory. As the methods of linear correlation judgment of a vector group are flexible and variable, several methods to solve linear correlation judgment problems are given. Moreover, based on the comparative analysis of various methods, students are able to promote and enhance comprehensive ability to solve problems.Key words : vector group; linear dependence; linear independence; judgment methods向量组的线性相关性[1~3]是线性代数学习的重点和难点, 向量组相关性的判断方法很多, 针对不同的问题可以采用不同的方法判断其线性相关性[4~6]. 本文针对向量组线性相关性的判定方法进行分析, 为广大学生学习线性代数理论提供参考.1 向量组线性相关性的定义及判断方法1.1 定义设n 维向量组为12,,,s ααα , 若存在一组不全为零的数12,,,s k k k 使得1122s 0s k k k ααα+++= , 则称向量组12,,,s ααα 是线性相关的; 若1122s 0s k k k ααα+++= 当且仅当120s k k k ==== , 则称向量组12,,,s ααα 是线性无关的.1.2 判断方法判断向量组线性相关性的常见方法有:(1) 利用定义判断(2) 利用齐次线性方程组的解判断若向量组12,,,s ααα 的分量都已知, 则可以12,,,s ααα 为系数建立齐次线性方程组11220s s x x x ααα+++= , 如果该方程组存在非零解, 则此向量组12,,,s ααα 线性相关; 反之, 若齐次线性方程组只有零解, 则此向量组线性无关.(3) 利用行列式判断当向量组中向量的个数和维数相等时, 此向量组可以构成一个方阵. 如果该方阵的行列式不等于零, 则此向量组线性无关; 反之, 线性相关.收稿日期: 2020-07-12基金项目: 湖南省教育厅优秀青年项目(19B313); 湖南省学位与研究生教育改革研究重点项目(2019JGZD077); 湖南省普通高校教学改革研究项目(HNJN-2020-0632)作者简介: 李德琼, 女，博士, 讲师. 主要研究方向: 图论及其应用第34卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.34 No.1 2021年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2021第1期 李德琼, 等: 判断向量组线性相关性的若干方法 15(4) 利用矩阵的秩判断向量组12,,,s ααα 构成一个矩阵, 对该矩阵进行初等变换, 如果矩阵的秩等于向量组中向量的个数, 则向量组线性无关; 否则, 线性相关.(5) 一些特殊的简单判断方法① 包含零向量的向量组一定线性相关.② 向量组中向量的个数大于维数时, 向量组线性相关.③ 若向量组中有一个部分组线性相关, 则该向量组线性相关; 反之, 若向量组线性无关, 则其任意的部分组都线性无关.2 向量组线性相关性判断典型例题下面举例进行详细说明.例1 判断向量组1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=, 3(0,0,1)α=, 4(1,0,1)α=的线性相关性. 解 方法一. 易知123400αααα--+=, 利用定义可知1234,,,αααα线性相关.方法二. 设未知量123,,x x x 和4x , 建立齐次线性组112233440x x x x αααα+++=, 则有124121340,0,0.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩显然, 1231,1,1,x x x ==-=-40x =是方程组的一组非零解, 故1234,,,αααα线性相关.方法三. 向量组1234,,,αααα构成矩阵12341101(,,,)11001011T T T TA αααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 对A 做初等变换将其化为阶梯形矩阵:110111011100011010110001A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以矩阵A 的秩()3R A =, 矩阵A 的秩小于向量组中向量的个数, 故向量组1234,,,αααα线性相关. 方法四. 向量组中有4个向量, 而向量的维数是3, 向量的个数大于维数, 故向量组1234,,,αααα线性相关.例2 若4维向量组1234,,,αααα线性无关, 判断向量组112223,βααβαα=+=+, 334,βαα=+441βαα=+的线性相关性.解 方法一. 设存在常数1234,,,k k k k , 使得112233440k k k k ββββ+++=, 则有141122()()k k k k αα++++ 233344()()0.k k k k αα+++= 由1234,,,αααα线性无关, 得141223340,0,0,0.k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 显然, 12341,1,1,1k k k k ==-==-是方程组的一组非零解. 因此, 向量组1234,,,ββββ线性相关.方法二. 由于1234123410011100()()01100011B AP ββββαααα⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎝⎭,16 湖南理工学院学报(自然科学版) 第34卷向量组1234,,,αααα线性无关, 故矩阵A 可逆. 而||0P =, 即矩阵P 不可逆. 于是有矩阵B 不可逆, 即矩阵B 的秩小于4, 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.从以上两道典型例题的多种解法中可以看出, 在解题过程中, 应注重知识的前后联系, 从不同角度分析比较, 选取最优解题方法.参考文献:[1] 王萼芳, 石生明. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003 [2] 张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007[3] 同济大学数学系. 工程数学线性代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007 [4] 陈雪梅. 学生怎样理解向量的线性相关性[J]. 数学教育学报, 2007, 2(16), 64~67 [5] 李晓颖. 浅谈如何判断一组向量线性相关[J]. 中国校外教育, 2012 (6): 79+131 [6] 张沛华. 判定向量组线性相关性的若干方法[J]. 教育教学论坛, 2013 (19): 167~168(上接第6页)证明 注意到关于s 的函数2(())(())a b x s b a b x s s αααααα+---+-在[,]x a b x +-上单调递减,2(())(())s a b x a b x s a s αααααα-+-+--在[,]a b x x +-上单调递增, 由推论2即可得证．参考文献:[1] Ostrowski A. Über die absolute abweichung einer differentiebaren funktion von ihren integralmittelwert[J]. Comment. Math. Helv, 1938, 10(1): 226~227 [2] Pompeiu D. Sur une proposition analogue au théorème des accroissements finis[J]. Mathematica, 1946, 22: 143~146[3] Dragomir S S. An inequality of Ostrowski type via Pompeiu’s mean value theorem[J]. Social Science Electronic Publishing, 2005, 6(3): Art 83.https:///publication/2107058[4] Khalil R, Horani M A, Yousef A, et al. A new definition of fractional derivative[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, 264(1):65~70[5] Abdeljawad, Thabet. On conformable fractional calculus[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2015, 279: 57~66[6] Iyiola O S, Nwaeze E R. Some new results on the new conformable fractional calculus with application using D’Alambert approach [J]. Progr. Fract.Differ. Appl, 2016, 2(2): 115~122[7] Pardalos P M, Rassias T M. Contributions in mathematics and engineering[M]. 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Arabian Journal of Mathematics, 2015, 4(3): 159~170。
美国普林斯顿大学数学、应用和计算数学专业概况
相信很多在本科阶段学习数学专业的学生，到申请研究生的时候，有着这样的疑惑：到底是要申请数学呢，还是应用数学，或者有些学校专业名为计算数学?那我们这边就以普林斯顿大学为例，86留学网给大家分析一下美国研究生阶段，数学专业的开设情况。
接下来，86留学网为大家介绍一下美国普林斯顿大学数学、应用和计算数学专业对比解析。
美国普林斯顿大学数学、应用和计算数学专业介绍首先普林斯顿大学是美国一所私立研究型大学，位于美国新泽西州的普林斯顿，八所常春藤盟校之一。
在2016USNEWS排名中，普林斯顿大学综合排名第一，同时研究生数学专业排名也和麻省理工大学(MIT)共同并列第一。
普林斯顿大学具有两个和数学相关的专业，一个属于Departmentof Mathematics，另一个在Programin Applied and Computational Mathematics下。
美国普林斯顿大学数学、应用和计算数学专业研究领域对比普林斯顿的数学系和其他的数学top院校相比，从第一年开始就更加注重学生的独立研究。
在2015-16学年，该系共有64名教职员工，17名访问学者或研究员，62名在读博士生。
“Our GraduateProgram (Department of Mathematics) is unique from the other top mathematicsinstitutions in the U.S. in that it emphasizes, from thestart, independent research. Each year, we have extremely motivatedand talented students among our new Ph.D. candidates who, we are proud tosay, will become the next generation of leading researchers in theirfields. ”而另外一个Programin Applied and Computational Mathematics(PACM)是一个跨学科和跨部门的项目，主要研究方向为数学及其在科学和工程领域的应用，包括数值分析和其他计算方法。
高等数学外文教材推荐
高等数学外文教材推荐在学习高等数学的过程中，选择一本优质的教材对于提高学习效果和理解能力至关重要。
除了中文教材外，外文教材也是一种很好的选择。
它们提供了不同的视角和方法，拓宽了学生的数学思维，增强了他们的语言表达能力。
以下是一些值得推荐的高等数学外文教材：1. "Calculus" by Michael Spivak《微积分学》迈克尔·斯皮瓦克这是一本经典的高等数学教材，适合有一定数学基础的学生。
斯皮瓦克书中的证明严谨而精炼，概念讲解清晰，推导过程详细，很好地帮助了解微积分的基本概念和方法。
此外，该教材还通过习题和练习提供了大量的实践机会，帮助学生巩固所学内容。
2. "Advanced Engineering Mathematics" by Erwin Kreyszig《高级工程数学》埃温·克雷西格这本教材适用于工程和科学专业的学生，涵盖了数学分析、线性代数、概率论等方面的知识。
克雷西格书中的内容既深入又全面，结合实际应用，将数学概念与工程问题相结合，使学生更容易理解和应用数学方法。
3. "Linear Algebra and Its Applications" by Gilbert Strang《线性代数及其应用》吉尔伯特·斯特朗斯特朗的教材深入浅出，以直观的方式介绍了线性代数的概念和技巧。
书中提供了许多实际应用的例子和练习题，帮助学生将抽象的线性代数理论与实际问题联系起来。
此外，斯特朗还通过图形和直观的几何解释使数学内容更易于理解。
4. "Introduction to Probability" by Joseph K. Blitzstein and Jessica Hwang《概率论导论》约瑟夫·B.布利茨坦和黄嘉丽这本教材是一本适合初学者的概率论教材。
布利茨坦和黄嘉丽以亲切和易读的方式介绍了概率论的基本概念和技巧。
岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础_殷德顺
第32卷 第5期 岩 土 工 程 学 报 Vol.32 No.5 2010年 5月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering May 2010岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础殷德顺，和成亮，陈 文(河海大学工程力学系，江苏 南京 210098)摘 要：应变硬化型岩土的三轴试验应力应变曲线能够表现出不同的弯曲程度，而应力应变曲线的弯曲程度是岩土应变硬化能力的体现，但已有的研究中还没有相应的参数来描述岩土的硬化能力。
为了获得反映岩土应变硬化能力的参数，从而有助于了解岩土的塑性性能和指导土体的合理承载，根据Hollomon 提出的描绘金属塑性拉伸变形的指数方程（经验公式），提出了岩土应变硬化指数理论。
通过许多三轴试验，发现岩土应变硬化指数理论提出的岩土应力应变关系符合乘幂函数关系的假设能够被验证，岩土的应变硬化指数能够反映岩土的硬化能力。
岩土的力学性质介于理想固体和理想流体之间，其应力应变关系既不遵守胡克定律，也不遵守牛顿黏性定律，而是遵守介于它们之间的某种关系。
利用分数阶微积分理论给出了恒应变率加载情况下的土应力应变关系。
关系式显示应力应变之间也呈乘幂函数关系，说明岩土分数阶应力应变关系能够为岩土应变硬化指数理论提供理论基础。
关键词：应变硬化指数；分数阶微积分；三轴试验；理论基础中图分类号：TU43 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2010)05–0762–05作者简介：殷德顺(1972– )，男，副教授，主要从事土的本构模型及基本理论研究。
E-mail: yindeshun@ 。
Theory of geotechnical strain hardening index and its rationale fromfractional order calculusYIN De-shun, HE Cheng-liang, CHEN Wen(Department of Engineering Mechanics, Hohai University, Nanjing 210098, China)Abstract : The curvature of stress-strain curves from triaxial tests on harden soil is a reflection of hardening ability, but there isn’t a parameter of hardening ability in geotechnical mechanics. In order to gain such a parameter that can help us to know plasticity and proper bearing capacity of soil, a theory of geotechnical strain hardening index (TAGSHI) in response to exponential equation (an empirical equation) which Hollomon established from experience in metal tensile deformation is developed. Based on a lot of triaxial tests, it is shown that the assumption in TAGSHI is right, which thinks that stress-strain relationship of soil is the power function in triaxial tests, and the strain hardening index may reflect geotechnical hardening ability. As we all know that geotechnical mechanical property should be intermediate between that of an ideal solid and an ideal fluid, so its stress-strain relation should neither follow the Hook’s law nor obey the Newton's law of viscosity, and it should be consistent with the fractional expression ()d ()d t t t ββσε=, (01β<<). The geotechnical stress-strain relation is derived byapplying the theory of fractional order calculus operator under the condition of loading with constant strain rate. The analytic results show that the geotechnical stress-strain curves exhibit power relation, and it is consistent with the assumption in TAGSHI. This indicates that the fractional expression ()d ()t t t ββσε=, (01β<<) can give a rationale for TAGSHI.Key words : strain hardening index; fractional order calculus; triaxial test; rationale0 前 言常规三轴试验是研究岩土材料力学性质的重要手段，无论是砂土[1]、黏土[2-3]，还是岩石材料[4]，它们的三轴试验已经积累了大量的试验数据和经验。
美国高等数学最好的教材
美国高等数学最好的教材在美国高等数学教育领域，选择一本优秀的教材对学生的学习成果产生了重要的影响。
本文将介绍几本在美国广受好评的高等数学教材，分析它们的特点和优势，旨在帮助读者选择适合自己的教材。
1. "Calculus: Early Transcendentals" by James StewartJames Stewart的《微积分：早期超越函数》是一本备受赞誉的高等数学教材。
这本教材以清晰易懂的语言和详细的解释，全面覆盖了微积分的各个方面，包括函数、极限、导数和积分等内容。
它引入了实际应用和实例，帮助学生将数学理论与实际问题相结合。
此外，教材中还包含了丰富的练习题和解答，帮助学生巩固知识和提高解题能力。
2. "Linear Algebra and its Applications" by David C. LayDavid C. Lay的《线性代数及其应用》是一本经典的线性代数教材。
该教材以简明扼要的风格介绍了线性代数的基本原理和应用。
它提供了大量的例子和图表，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
此外，教材还特别注重应用，引入了线性代数在工程、经济学和计算机科学等领域的实际应用。
3. "Probability and Statistics for Engineers and Scientists" by Ronald E. WalpoleRonald E. Walpole的《工程与科学的概率与统计学》是一本广泛应用于工科和科学领域的概率与统计学教材。
该教材以问题解决的方法引导学生学习概率与统计学的基本理论和方法。
它以实际案例和环境中的应用为基础，将统计学与实际问题联系起来，帮助学生理解统计学的概念和应用技巧。
此外，教材中还提供了大量的练习题和答案，供学生巩固所学知识。
4. "Differential Equations and Linear Algebra" by Gilbert StrangGilbert Strang的《微分方程与线性代数》是一本以推导和解释为主导的教材。
用动力系统方法研究一类时间分数阶扩散方程的精确解
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(6), 2896-2903 Published Online June 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.126291用动力系统方法研究一类时间分数阶扩散方程的精确解黎超玲重庆师范大学数学科学学院，重庆收稿日期：2023年5月25日；录用日期：2023年6月19日；发布日期：2023年6月27日摘要随着时代的发展，分数阶微分模型的应用越来越广泛，故对其研究非常有必要。
本文在Riemann-Liouville 分数阶导数的定义下利用半固定式变量分离法与动力系统理论相结合的方法，研究了一类时间分数阶扩散方程的精确解，获得了方程的一系列精确解，通过解的坐标演化图直观地展示了在不同参数条件下的扩散现象。
关键词时间分数阶扩散方程，Riemann-Liouville 分数阶导数，半固定式变量分离法，动力系统方法，精确解Exact Solutions of a Class of Time-Fractional Diffusion Equation by Dynamic System MethodChaoling LiSchool of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, ChongqingReceived: May 25th , 2023; accepted: Jun. 19th , 2023; published: Jun. 27th , 2023AbstractWith the development of the times, the application of fractional differential model is more and more extensive, so it is very necessary to study it. In this paper, under the definition of Riemann-Liouville fractional derivative, the exact solution of a class of time fractional diffusion equations is studied by combining semi-fixed variable separation method with dynamic system theory, and a series of exact solutions of the equations are obtained. The diffusion phenomenon under different parameter con-ditions is intuitively displayed through the coordinate evolution diagram of the solutions.黎超玲KeywordsTime Fractional Diffusion Equation, Riemann-Liouville Fractional Derivative, Semi-Fixed Variable Separation Method, Dynamical System Method, Exact SolutionsCopyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言分数阶微积分和整数阶微积分都起源于同一个时代，即Leibniz 时代。
国外高等数学自学教材推荐
国外高等数学自学教材推荐数学作为一门严谨而抽象的学科，对于学习者来说，需要借助有效的学习材料来增进理解和掌握。
对于那些有自学能力和有意向在国外深造的学生来说，选择一本合适的数学自学教材是至关重要的。
本文将向大家介绍几本在国外广泛推荐的高等数学自学教材。
1. 《Calculus》(托马斯微积分)《Calculus》是一本由George B. Thomas编写的高等数学经典教材。
该教材以清晰、简洁的语言和严谨的推导，覆盖了微积分的各个主题，包括导数、积分、微分方程等。
该书结构合理，思路清晰，并配有大量的例题和习题供学生练习。
此外，该教材还提供了部分解答，方便学生进行自我验证。
2. 《Linear Algebra and Its Applications》(线性代数及其应用)由David C. Lay及其合著者编写，《Linear Algebra and Its Applications》是一本广泛采用的线性代数教材。
该教材从基础的线性方程组开始，逐步介绍了向量空间、线性变换、特征值和特征向量等概念，并提供了大量的应用例子，如网络流、图论等。
这本教材以其深入浅出的风格和丰富的练习题而闻名，是学习线性代数的理想选择。
3. 《Probability and Statistics for Engineers and Scientists》(工程与科学中的概率与统计)该教材是由Jay L. Devore编写的，适用于工程和科学领域的概率与统计教材。
书中循序渐进地介绍了概率论和统计学的基本原理和方法，并着重强调了在实际问题中的应用。
该教材提供了大量的实例和案例，帮助学生理解概念和方法，培养解决实际问题的能力。
4. 《Differential Equations and Their Applications》(微分方程及其应用)此教材由Martin Braun编写，是学习微分方程的一本经典教材。
教材讲解了线性微分方程、非线性微分方程以及应用数学中的一些相关内容。
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Thermal motion of atoms
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•Classical and nonextensive information theory (Giraldi 2019)
• Bayin (2019) and its supplements • Oldham and Spanier (1974) • Podlubny (2019) • Others
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GAUSSIAN DISTRIBUTION
Gaussian distribution or the Bell curve is encountered in many different branches of scince and engineering
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IAM-METU General Seminar: Fractional Calculus and its Applications Prof. Dr. Selcuk Bayin
December 21, 2019, Tuesday 15:40-17.30
The geometric interpretation of derivative as the slope and integral as the area are so evident that one can hardly imagine that a meaningful definition for the fractional derivatives and integrals can be given. In 1695 in a letter to L’ Hopital, Leibniz mentions that he has an expression that looks like the derivative of order 1/2, but also adds that he doesn’t know what meaning or use it may have. Later, Euler notices that due to his gamma function derivatives and integrals of fractional orders may have a meaning. However, the first formal development of the subject comes in nineteenth century with the contributions of Riemann, Liouville, Grünwald and Letnikov, and since than results have been accumulated in various branches of mathematics.
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Note:
Constraint on the variance, through the central limit theorem, assures that any system with finite variance always tends to a Gaussian.
Fractional Calculus and its
Applications to Science and Engineering
Selçuk Bayın
Slides of the seminars IAM-METU (21, Dec. 2019) Feza Gürsey Institute (17, Feb. 2019)
The situation on the applied side of this intriguing branch of mathematics is now changing rapidly. Fractional versions of the well known equations of applied mathematics, such as the growth equation, diffusion equation, transport equation, Bloch equation. Schrödinger equation, etc., have produced many interesting solutions along with observable consequences. Applications to areas like economics, finance and earthquake science are also active areas of research.
We first write
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Riemann-Liouville definition
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Differintegral of a constant
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Some commonly encountered semi-derivatives and integrals
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Caputo derivative
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Relation betwee the R-L and the Caputo derivative
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Summary of the R-L and the Caputo derivatives
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In one dimension p(x) is the probability of a single particle making a single jump of size x.
Maximizing entropy; S=
subject to the conditions
and variance
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Other properties of Differintegrals: • Leibniz rule • Uniqueness and existence theorems • Techniques with differintegrals • Other definitions of fractional derivatives
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Successive integrals
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For n successive integrals we write
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Comparing the two expressions
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Finally,
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•Variation in peoples heights •Grades in an exam •Thermal velocities of atoms •Brownian motion •Diffusion processes •Etc.
can all be described statistically in terms of a Gaussian distribution.
Such a distribution is called an attractor.
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Initial condition
Memory Probability density
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Special functions as differintegrals
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Applications to Science and Engineering
• Laplace transform of a Differintegral
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Derivative and integral as inverse operations
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If the lower limit is different from zero
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nth derivative can be written as
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Fractional evolution equation
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Mittag-Leffler function
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Euler equation
y’(t)=iω y(t) We can write the solution of the following extra-ordinary differential equation: