中考专题复习[30]ZZzzl梯形和平面镶嵌
中考数学热身 多边形与平面图形的镶嵌(含解析)
多边形与平面图形的镶嵌一.选择题1．只用下列图形不能镶嵌的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形 D．正六边形2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形 D．十二边形3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．85．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．4种B．3种C．2种D．1种6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是度．7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A．430°B．4343°C．4320°D．4360°8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．四边形的内角和等于度．10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为．12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．三、解答题13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．27．求下图中x的值．多边形与平面图形的镶嵌参考答案与试题解析一.选择题1．只用下列图形不能镶嵌的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形 D．正六边形【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，所以不能密铺；D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．故选C．【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形 D．十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】首先根据内角的度数计算出外角度数，再用360°÷外角的度数即可得到边数．【解答】解：∵n边形的每个内角为150°，∴它的外角是180°﹣150°=30°，∴n=360°÷30°=12，故选：D．【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是掌握多边形的内角与相邻的外角互补．3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【考点】多边形内角与外角．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°=1080°，∴n=8，所以该多边形的边数是八边形．故选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．5．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．故选B．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是36 度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，再求∠CAD就很容易了．【解答】解：根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，∴∠CAB=∠DAE=（180°﹣108°）=36°，∴∠CAD=108°﹣36°﹣36°=36°．【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A．430°B．4343°C．4320°D．4360°【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180度的倍数，由此即可找出答案．【解答】解：因为多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，在这四个选项中是180的倍数的只有4320度．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，是需要识记的内容．8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】多边形内角与外角．【专题】方程思想．【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．【解答】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得（n﹣2）•180°+x=570°解之，得n=．∵n为正整数，∴930﹣x必为180的倍数，又∵0＜x＜180，∴n=5．解法2：∵0＜x＜180．∴570﹣180＜570﹣x＜570，即390＜570﹣x＜570．又∵（n﹣2）•180°=570﹣x，∴390＜（n﹣2）•180°＜570，解之得4.2＜n＜5.2．∵边数n为正整数，∴n=5．故选A．【点评】此题较难，考查比较新颖，涉及到整式方程，不等式的应用．二、填空题9．四边形的内角和等于360 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：（4﹣2）•180°=360°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是12 ．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：∵正方形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°﹣90°﹣120°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°﹣150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360÷30=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360÷一个外角的度数．11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据了多边形的外角和定理即可得到答案．【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，∴一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．故答案为360°．【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n﹣2）•180°，外角和为360°．12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．三、解答题13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题；方程思想．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍列方程求解．【解答】解：设这个多边形是n边形．则（n﹣2）×180°=5×360°，n=12．5×360°=1800°．答：这个多边形内角和是1800°，是6边形．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．【考点】多边形的对角线．【专题】探究型．【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；∵n边形共有n个顶点，∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，∴能引条．∴凸八边形的对角线条数应该是： =20．【点评】能够从特殊中找到规律进行计算．15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据多边形镶嵌成平面图形的条件，因为正三角形的内角和为60°，而正方形、正六边形的内角分别为90°、120°，由于60+90×2+120=360，故能进行平面镶嵌，进而得出即可．【解答】解：因为三种瓷砖都必须用到，所以在每一个顶点处正三角形1个，正方形2个，正六边形1个即可．如图：【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解这类题，需要掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，即围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．【解答】解：（1）∵2300°÷180°=12…140°，则边数是：12+1+2=15；（2）该内角应是180°﹣140°=40°．【点评】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．17．求下图中x的值．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据五边形的内角和定理即可列方程求解．【解答】解：根据五边形的内角和是（5﹣2）•180=540°得到：2x+120+150+x+90=540解得：x=60．【点评】此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．。
中考专题数学静态几何之图形的镶嵌和几何体的展开问题探讨
备战中考数学专题讲解】静态几何之图形的镶嵌和几何体的展开问题探讨平面图形的镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。
平面镶嵌的条件：各个顶点处内角和恰好为360 度。
有些几何体的表面，可以展开成平面图形，这个平面图形称为相应几何体的表面展开图。
有时可能得到几种不同的展开图形。
结合2013 年全国各地中考的实例，我们从三方面进行静态几何之图形的镶嵌和几何体的展开问题的探讨：（1）平面图形的镶嵌和剪拼问题；（2）几何体的展开问题；（3）几何体展开图的折叠问题。
一、平面图形的镶嵌和剪拼问题：【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】典型例题：1. 只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是【】A.正十边形 B .正八边形 C .正六边形 D .正五边形2. 用下列一种多边形不能铺满地面的是【】A .正方形B .正十边形.正六边形.等边三角形3. 如图，有一张一个角为30°,最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪幵后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是【】或 2.. 3 或 4 2..3 或2、. 3 或 4 2.. 34. 下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是【】A.正三角形B .正六边形C .正方形D .正五边形5. 有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b (b>a)的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接) ，则拼成的正方形的边长最长可以为【】A . a+bB . 2a+bC . 3a+bD . a+2b6. 在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是▲ .7. 如图①，将四边形纸片ABCC沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形ABCD 需要满足的条件是▲.8. 对正方形ABCC进行分割，如图1,其中E、F分别是BC CD的中点，M N G分别是OB OD EF 的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机” •若△ GOM勺面积为1则“飞机”的面积为▲•9. 一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上。
(初二数学)平面图形的镶嵌02
总结：其他平面图形镶嵌方法包括圆形、椭圆形、扇形等非 多边形的平面图形进行镶嵌，其优点在于给人以自然、和谐 的视觉感受，但拼接难度较大。
04
平面图形镶嵌的应用
装饰设计中的应用
平面图形镶嵌在装饰设计中有着广泛 的应用，它能够为室内外空间带来独 特的视觉效果和艺术美感。
平面图形镶嵌还可以与其他装饰手法 相结合，如绘画、雕塑等，以营造出 更加丰富和立体的空间氛围。
通过使用不同形状、大小和颜色的平 面图形，设计师可以创造出丰富多彩 的拼贴图案，为墙面、地面、天花板 等各个部位增添艺术气息。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，平面图形的镶嵌 也有着重要的应用价值。
利用不同材质、纹理和颜色的平 面图形，建筑师可以创造出独特 的立面、室内装饰和景观设计，
使建筑更具特色和个性化。
思考题2
用两种不同的正多边形进 行镶嵌，如何确定需要的 图形数量？
思考题3
平面图形的镶嵌有哪些实 际应用？
探究题
探究题1
探究平面图形镶嵌的基本原则是 什么？
探究题2
探究平面图形镶嵌在建筑设计中的 应用。
探究题3
探究平面图形镶嵌在装饰设计中的 应用。
THANKS
感谢观看
03
平面图形的镶嵌方法
三角形镶嵌
三角形镶嵌
利用等边或等腰三角形进行镶嵌，可以形成丰富多彩的图案 。三角形镶嵌的特点是结构稳定，可以适应不同的拼接方式 ，从而创造出多种视觉效果。
总结
三角形镶嵌是一种常见的平面图形镶嵌方法，其优点在于结 构稳定、拼接方式灵活多变，可以创造出丰富的视觉效果。
四边形镶嵌
平面图形镶嵌还可以用于建筑的 细节处理，如窗户、门框、栏杆 等部位，以增强建筑的精致感和
中考数学总复习训练 多边形与平面镶嵌(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
多边形与平面镶嵌一、选择题1．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．92．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．93．正十边形的每个外角等于（）A．18° B．36° C．45° D．60°4．正六边形的每个内角都是（）A．60° B．80° C．100°D．120°5．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形6．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形7．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形8．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形9．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正六边形 C．正方形D．正五边形10．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能11．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30° B．36° C．38° D．45°12．如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确13．如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是（）A．60° B．72° C．108°D．120°二、填空题14．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为．15．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=．16．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．17．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．18．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为．19．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于．21．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为cm2．22．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．23．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置．若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为cm．24．如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是度．多边形与平面镶嵌参考答案与试题解析一、选择题1．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选：B．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．2．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n ﹣2）=1080，解此方程即可求得答案．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）=1080，解得：n=8．故选C．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．3．正十边形的每个外角等于（）A．18° B．36° C．45° D．60°【考点】多边形内角与外角．【专题】常规题型．【分析】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．【解答】解：360°÷10=36°，所以，正十边形的每个外角等于36°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题的关键．4．正六边形的每个内角都是（）A．60° B．80° C．100°D．120°【考点】多边形内角与外角．【专题】常规题型．【分析】先利用多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．【解答】解：（6﹣2）•180°=720°，所以，正六边形的每个内角都是720°÷6=120°，或：360°÷6=60°，180°﹣60°=120°．故选D．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便．5．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n﹣2）=360，解此方程即可求得答案．【解答】解：设此多边形是n边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n﹣2）=360，解得：n=4．∴这个多边形是四边形．故选A．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n﹣2）．6．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【考点】多边形内角与外角．【专题】应用题．【分析】任何多边形的外角和是360度，内角和等于外角和的一半则内角和是180度，可知此多边形为三角形．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180°=180°，解得：n=3．故选D．【点评】本题主要考查了已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．7．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：360÷36=10．故选C．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．8．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．【解答】解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．9．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形 B．正六边形 C．正方形D．正五边形【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．【解答】解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．10．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能【考点】多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论．因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果．【解答】解：∵内角和是1620°的多边形是边形，又∵多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原多边形为12边形；另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边形．综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形，故选D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况．11．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30° B．36° C．38° D．45°【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案．【解答】解：∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°，∵l∥BE，∴∠1=36°，故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180° （n≥3）且n为整数．12．如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【考点】平行四边形的判定．【分析】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．【解答】解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．【点评】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．13．如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是（）A．60° B．72° C．108°D．120°【考点】旋转的性质；正多边形和圆．【分析】由六边形ABCDEF是正六边形，即可求得∠AFE的度数，又由邻补角的定义，求得∠E′FE 的度数，由将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，可得∠EFE′是旋转角，继而求得答案．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE==120°，∴∠EFE′=180°﹣∠AFE=180°﹣120°=60°，∵将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，∴∠EFE′是旋转角，∴所转过的度数是60°．故选A．【点评】此题考查了正六边形的性质、旋转的性质以及旋转角的定义．此题难度不大，注意找到旋转角是解此题的关键．二、填空题14．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为 6 ．【考点】多边形内角与外角．【专题】探究型．【分析】先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．【解答】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，∴其内角的度数为：180°﹣60°=120°，∴=120°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．15．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= 300°．【考点】多边形内角与外角．【专题】数形结合．【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．【解答】解：由题意得，∠5=180°﹣∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣∠5=300°．故答案为：300°．【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．16．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为9 ．【考点】正多边形和圆．【分析】分∠OAB=70°和∠AOB=70°两种情况进行讨论即可求解．【解答】解：当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．故答案是：9．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．17．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是12 ．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：∵正方形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°﹣90°﹣120°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°﹣150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360÷30=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360÷一个外角的度数．18．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ．【考点】平面镶嵌（密铺）．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．【解答】解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，而正六边形的内角为120°，故答案为：6．【点评】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．19．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 240 度．【考点】多边形内角与外角．【专题】压轴题；数形结合．【分析】利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．【解答】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，故答案为：240．【点评】考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于15 ．【考点】等腰梯形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【解答】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH﹣AB﹣BG=8﹣1﹣3=4，EF=PH﹣HF﹣EP=8﹣4﹣2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．21．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为40 cm2．【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题．【分析】根据正八边形的性质得出正八边形每个内角以及表示出四边形ABGH面积进而求出答案即可．【解答】解：连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：=135°，∴∠HGM=45°，∴MH=MG，设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，∴BG×GF=2（+1）x2=20，四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=10，∴正八边形的面积为：10×2+20=40（cm2）．故答案为：40．【点评】此题主要考查了正八边形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出四边形ABGH面积是解题关键．22．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是2．【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题．【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．故答案是：2．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．23．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置．若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为4πcm．【考点】正多边形和圆；弧长的计算；旋转的性质．【分析】每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，然后计算出弧长，最后乘以六即可得到答案．【解答】解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，正六边形的中心O运动的路程∵正六边形的边长为2cm，∴运动的路径为：=；∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，∴正六边形的中心O运动的路程6×=4πcm故答案为：4π．【点评】本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质，解题的关键是弄清正六边形的中心运动的路径．24．如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是60 度．【考点】旋转对称图形．【分析】本题考查旋转对称图形的概念，旋转的最小度数是解决本题的关键．【解答】解：将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是=60度．【点评】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．。
平面镶嵌知识点聚焦
平面镶嵌知识点聚焦随着新课程改革的深入，中考试题也随着不断革新，在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，为了帮助大家学好平面镶嵌的问题，下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳．知识点1、镶嵌的认识1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形覆盖(或平面镶嵌).2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于0360.平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙，不能重叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成0360,则这些平面图形就能密铺.知识点2:实现平面镶嵌的常用方法探究一:用一种正多边形镶嵌设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k个正n边形.根据上述限定条件有方程()02180360, nkn-⋅⋅=整理,得kn-2k-2n=0,即242.22knk k==+--n,k皆为正整数,当k=3时,426;32n=+=-当k=4时,424;42n=+=-当k=6时,423;62n=+=-进而限用一种正n边形的镶嵌有三种情况:探究二:用多种正多边形镶嵌以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x 个,正四边形有y 个,根据限定条件有方程0006090360,x y ⋅+⋅=整理,得2x+3y=12,得整数解3,2,x y =⎧⎨=⎩即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌. 类似可讨论出:用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌;用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等等.探究三：任意多边形的平面镶嵌取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要相等的边重合，且同一个顶点处的各个内角之和为3600。
用任意多边形作平面镶嵌，符合条件的有任意三角形或任意四边形。
知识点例析例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( )A.3B.4C.5D.6分析:平面镶嵌的必备条件:图形拼合后同一顶点的若干个角的和恰好等于0360,一个顶点周围两个正方形的角的和是0180,那么一个顶点周围的n 个正三角形的角的和为0180,而正三角形的每个内角等于060,所以需要3个正三角形即可，所以选A.例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ）A.1种B.2种C.3种D.4种分析:本题卡考查正多边形镶嵌的条件.要达到平铺地面的目的,所选用的正多边形必须满足n×正多边形的内角=0360(其中n 为正整数).正方形内角090,00360904=⨯,符合要求,所以正方形可选用.正六边形内角0120,003601203=⨯,符合要求,所以正六边形可选用.故选B.例3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面(即平面镶嵌)的是( )A.正三角形和正四边形B.正四边形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形分析:正三角形的内角度数为090,而60,正四边形的内角度数为0 0360+⨯⨯,所以正三角形和正四边形能够铺满地面.903=260正四边形的内角度数为0360,108,它们组合得不到090,正五边形的内角度数为0所以正四边形和正五边形不能够铺满地面.正五边形的内角度数为0120,它们组合得不到108,正六边形的内角度数为0360,所以正五边形和正六边形不能够铺满地面.正轮流边形的内角度数为0135,它们组合得不到120,正八边形的内角度数为0360,所以正六边形和正八边形不能够铺满地面.综上所述,应选A.例4.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下图中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
中考中的镶嵌问题
中考中的镶嵌问题解答镶嵌问题的关键是判断围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起是否恰好是一个周角．如果能构成一个周角，则能镶嵌成一个平面，否则不能镶嵌．现以中考题为例加以说明．一、用同一种正多边形镶嵌例1（2008 年哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A ）4种；（B ）3种 ；（C ）2种；（D ）1种．分析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C ．评注：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌例2（2008年绥化市）一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．分析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n 1、n 2、n 3，则有()111802n n ︒⋅-＋()221802n n ︒⋅-＋()331802n n ︒⋅-=360°，整理得，11n ＋21n ＋31n =21． 解：根据分析可知，11n ＋21n ＋31n =21，即41＋61＋31n =21．解得，n 3=12．所以第三个正多边形的边数是12．评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足11n ＋21n ＋31n =21． 三、运用镶嵌探索规律例3（2008年重庆市）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．分析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n 2＋（n －1）2= 102＋（10－1）2=181．评注：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．用正多边形瓷砖镶嵌地面观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面常常是用一种或几种正多边形瓷砖铺砌而成，你知道用哪些正多边形瓷砖可以镶嵌地面吗？一、用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面例1为迎接大学生冬季运动会，某市正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（ ）正三角形 正方形 正五边形 正六边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ分析：当用n 块内角为x °的同一种正多边形围绕一点拼在一起时，则有nx °=360°，此时有n=x360，由于n 为正整数，所以x 只能为60，90，120．也就是正多边形中只有正三角形（内角为60°），正方形（内角为90°），正六边形（内角为120°）才能单独镶嵌地面，而其它的同一种正多边形瓷砖不能单独镶嵌地面．解：选C ．提示：用一种正多边形瓷砖可以镶嵌地面，这种正多边形只能是正三角形，正方形，正六边形中的一种．二、用两种正多边形瓷砖镶嵌地面例2 在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能镶嵌地面的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④分析：假设用x 块正三角形瓷砖与y 块正方形瓷砖可以镶嵌．则60°x+90°y=360°，即2x+3y=12，由于x ，y 为正整数，只有当x=3，y=2时2x+3y=12成立，所以用3块正三角形瓷砖和2块正方形瓷砖可以镶嵌地面；同样的方法可以知用2块正三角形瓷砖和2正六边形瓷砖或用4块正三角形瓷砖和1块正六边形瓷砖可以镶嵌地面；用2块正八边形瓷砖和1块正方形瓷砖可以镶嵌地面；用正六边形和正方形瓷砖不能镶嵌地面．解：选D ．提示：用两种正多边形瓷砖镶嵌地面，这两种瓷砖可以是正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形．三、用三种不同的正多边形瓷砖镶嵌地面例3 一块美观的地板是由四块边长相等的正多边形瓷砖镶嵌而成，其中3块分别是正三角形，正四边形、正六边形瓷砖，则另外一块瓷砖为( )．A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形分析: 因为正三角形、正方形、正六边形的内角分别是60°，90°，120°，因为镶嵌时，拼接处的角度和应为360°，所以另一块正多边形的内角应为360°-60°-90°-120°=90°．由此可知另一块瓷砖为正方形．解：选B．提示：用一块正三角形瓷砖，两块正方形瓷砖和一块正六边形瓷砖可以镶嵌地面．注意：不存在四种或四种以上的正多边形瓷砖的镶嵌的情况．在用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面时，一般多用正方形瓷砖或正六边形瓷砖，虽然正三角形瓷砖也可以镶嵌地面，但它不及正方形瓷砖大方实用，施工也麻烦，在镶嵌地面时，一般不使用正三角形瓷砖．而多用正方形或正六边形瓷砖．用什么样的正多边形才能镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌，也叫做密铺。
初中九年级数学 第24讲中考专题 梯形复习课件
10．(2009 中考变式题)在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角形 AC、BD 相交于点 O， 以下四个结论：①∠ABC＝∠DCB，②OA＝OD，③∠BCD＝∠BDC，④S△AOB＝S△DOC，其 中正确的是( )
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②④
【解析】正确的是①②④，③不一定成立．
【答案】B
12．(2010·芜湖)如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC⊥BD 于点 O，AE⊥BC， DF⊥BC，垂足分别为 E、F，AD＝4，BC＝8，则 AE＋EF 等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【解析】过 D 作 DH∥AC，交 BC 延长线于点 H，∵AD∥BC，∴四边形 ACHD 为平行 四边形，∴AC＝DH，AD＝CH.∵AB＝CD，AD∥BC，∴AC＝BD，∴DH＝BD.
【答案】C
4．(2010·烟台)如图，小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地，为了美化小区，社区居 委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水 池的形状一定是( )
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解析】连结等腰梯形的两条对角线，运用三角形中位线定理可证得水池的形状为菱形．
②如图，过点 D 作 DF⊥BC 于 F. 在 Rt△CDB 中，BD＝BC·cos∠DBC＝2 3， 在 Rt△BDF 中，DF＝BD·sin∠DBC＝ 3， 在 Rt△DFC 中，∵∠C＝60° ∴CD＝2 ∴AD＝2. ∴S 梯形 ABCD＝12×(2＋4)× 3＝3 3(cm2)．
1.如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，DA＝CB.若 AB＝10，DC＝4，tanA＝2，则这个 梯形的面积是 42.
中考专题复习梯形.docx
第三十课时梯形一、复习目标1、理解梯形的定义，并学握梯形的性质。
2、掌握等腰梯形的性质与判定方法。
3、熟悉梯形中常川的六种辅助线，通过辅助线将梯形问题转化到熟悉的三角形、平行四边形问题屮去解决。
4、理解多边形的定义，掌握多边形的内角和的计算公式及外角和定理。
二、教学重点与难点（一）教学重点：多边形的內角和公式，等腰梯形的性质与判定。
（二）教学难点：等腰梯形的辅助线的添加方法，数学思想方法的体会及具运川。
三、复习过程（一）、知识梳理1.多边形：（1）多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.（2）多边形的内角和：n边形的内角和二（n —2）180。
（3）正多边形：在平而内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形.（4）多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角.在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360。
（5）过n边形的一个顶点共有（n-3）条对如线，n边形共有巴匸习条对角线.2（6）过n边形的一个顶点将n边形分成（n-2）个三角形.2.梯形：（1）定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形•两腰相等的梯形叫等腰梯形.一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的对角线相等.（3）等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.②对角线相等的梯形是等腰梯形.（4）等腰梯形常见的作辅助线的方法.①当两腰（或对角线）具备特殊关系时，移腰（或对角线），构造等腰三角形或肯角三角形。
②当涉及面积时，作高，构造直角三角形。
③当涉及腰（或对角线）的屮点时，可添加辅助线构造全等三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
梯形和平面镶嵌
本课主要知识点 1. 梯形的相关概念 （1）一组对边平行 ____，而另一组对边不平行 ______的四边形叫做梯形. （2）两腰____ ____于底的梯形叫 相等的梯形叫做等腰梯形，一腰垂直 做直角梯形.
一般梯形
（3）梯形 2. 梯形的判定 （1）定义法：判定四边形中一组对边平行 ____而另一组对边不平行 ______. （2）有一组对边平行且不相等的四边形是梯形.
5
2. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°，∠C = 45°，AD = 1， BC = 4，E为AB的中点. EF∥DC交BC于F，求EF的长.
解：作AG∥DC，∴ ∠AGB = ∠C = 45° A D ∵ AD∥BC E ∴ 四边形ADCG为平行四边形 ∴ AD = CG = 1 B F G ∴ BG = BC - CG = 4 - 1 = 3 AB ∵ ∠B = 90° ∴ tan ∠AGB = BG ∴ AB = BG · tan 45°= 3×1 = 3 ∵ EF∥DC ∴ ∠EFB = ∠C = 45° 又∵ E为AB的中点 3 1 1 ∴ BE = AB = ×3 = 2 2 2 3 2 3 2 BE BE ∴ EF = = ÷ = ∵ sin ∠EFB = EF sin 45° 2 2 2
2
特殊梯形
直角梯形 等腰梯形
本课主要知识点 3. 等腰梯形的性质与判定 性质：（1）等腰梯形的两腰______ 相等 ，两底______. 平行 （2）等腰梯形在同一底上的两个角______. 相等 （3）等腰梯形的对角线______. 相等
相等 的梯形是等腰梯形. 判定：（1）两腰______
相等 的梯形是等腰梯形. （2）在同一底上的两个角______ 相等 的梯形是等腰梯形. （3）对角线______
6
C
三、基础练习 1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点， 且AD = 5，BC = 7，则EF的长为（ A ） A. 6 B. 7 C. 8
A E B
D. 9
D F C
7
2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A 作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C = 2∠E. （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形. 证明：∵ AE∥BD ∴ ∠E = ∠BDC 又∵ DB平分∠ADC ∴ ∠ADC = 2∠BDC = 2∠E 又 ∵ ∠ C = 2∠ E
11
D
N
C
B
2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠A +∠B = 90°，CD = 5， AB = 11，点M、N分别为AB、CD的中点，求线段MN的长. 11 5 N C D 解：∴ AF = AM – FM = =3 2 2 又AE = AB - EB = 11 - 5 = 6 1 1 F M E B ∴ AF = AE A 2 又∵ ∠A + ∠B = 90° ∴ ∠A + ∠1 = 90° ∴ ∠ADE = 180°- (∠A + ∠1) = 180°- 90°= 90° 1 1 ∴ DF = AE = ×6 = 3 2 2 ∴ MN = DF = 3
2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠A +∠B = 90°，CD = 5， AB = 11，点M、N分别为AB、CD的中点，求线段MN的长. 解： 作DE∥CB交AB于E， DF∥MN交AB于F 1 ∴ ∠1 = ∠B F M E A ∵ DC∥AB ∴ 四边形CDEB和四边形NDFM都是平行四边形 ∴ DC = EB = 5；DN = FM； DF = NM ∵ M、N分别为AB、CD的中点 ∴ AM = 1 AB = 1 ×11 = 2 2
A D
B
F C
E
∴ AC = BD
又∵ AD∥BE ∴ 四边形ACED为平行四边形 ∴ AC = DE，AD = CE = 6 ∴ BD = DE 又∵ AC⊥BD
10
∴ BD⊥DE 作高DF，得BF = FE 1 ∴ DF = 2 BE = 1 (BC + CE) 2 = 1 (8 + 6) 2 =7
E
D A B
C
∴ ∠ADC = ∠C
∴ 梯形ABCD是等腰梯形.
8
2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A 作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C = 2∠E. （2）若∠BDC = 30°，AD = 5，求CD的长.
A B
解：∵ ABCD是等腰梯形（已证） ∴ AD = BC = 5
3
本课主要知识点 4. 梯形的中位线 两腰中点 的线段叫做梯形的中位线. （1）定义：连接梯形__________ （2）性质：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半. 5. 平面镶嵌 用形状、大小完全相同或几种平面图形进行连接彼此 之间不留______ 空隙 ，不重叠地铺成一片，叫平面图形的密铺， 又称平面图形的镶嵌.
E
D
C
又∵ ∠C = 2∠E， ∠E = ∠BDC（已证） ∴ ∠C = 2∠BDC = 2×30°= 60° ∴ ∠DBC = 180°- 30°- 60°= 90° ∴ CD = 2BC = 2×5 = 10
9
四、提高练习 1. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD，AC⊥BD， 7 AD = 6，BC = 8. 则梯形的高为_____. 分析： 作DE∥AC交BC的延长线于E ∵ 梯形ABCD是等腰梯形
4
知识点的练习 1. 某商店出售下列四种形状的地砖，① 正三角形；② 正方形； ③ 正五边形；④ 正六边形. 若只送购其中一种地砖镶嵌地 面，可供选择的地砖共有（ B ）种. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 分析：能否镶嵌地面就是看用来镶嵌地面的几个正多边形的一 个内角的和是否为360°，如果是一种正多边形镶嵌，就是看它 一个内角度能否整除360°，本题中正三角形每个内角为60°， 360°÷60°= 6， ①可以，同理， ②④可以. 因为正五边形的 每个内角为 (5 - 2)×180° = 108°，360°÷108°不能整除，所 5 以③不可以，因此选B.