第四章 时间序列预测法

t


2.参数估计方法： （1）普通最小二乘法： 令yt-k=abt，给定k的值，通过两边取对数将 模型化为线性模型，采用回归分析方法估计 参数a,b；反复试算，选择使估计值与预测值 拟合值最好的k及在该k值下估计得到的a 和b 的估计值。 （2）非线性最小二乘法
35




（3）三段求和法 基本原理：将时间序列分为项数相等的三段， 然后分别计算每段的和，以此估计模型参数。 估计参数 首先，将时间序列分为项数相等的三段，每 段的项数 r=n/3 (n为时间序列的项数)， 其次，时间t的取值为0，1，…，r-1,… 2r1,…,3r-1。 再次，分别求出序列每段数据的和：∑1Y 、 ∑2Y 、∑3Y。
2
27

对于多项式趋势外推预测模型，当k≥2 时，只需进行简单的变量置换，就可以 将其化为线性模型，从而就可以采用多 元回归分析的方法进行参数估计，预测。
28

2.折扣最小二乘法 引：在外推预测时，一个历史资料的近期观 察值显然比远期观察值对未来发展的影响要 大得多，因此，应着重考虑近期的追溯预测 值与实际观察值的接近程度，如果一种预测 方法能使近期的追溯预测值非常接近观察值， 那么用作外推预测也较为可靠。运用最小二 乘法求出时间数列的趋势线进行预测时，就 整个历史资料来说，这个趋势线是最合适的， 但是，它不能反映近期资料比远期资料影响 未来变化更重要的事实，为了处理这个问题， 有人提出了各种加权的方法，如折扣最小二 乘法，三点法等.
36

最后，利用每段的和求模型参数的值
37
n2 ˆ 预测区间 : y0 t (n 2) S y
2
32
Sy
ˆ n i ( y y ) 2

(3)折扣系数α的确定： 折扣系数一般是根据时间序列数据的不规则 波动状况来确定。当时间序列数据不规则波 动较大时，α宜取较小值(如0.1～0.4)；当时 间序列波动较小时，α宜取较大值(如0.6～ 0.9)。总的原则是：α值的选取要保证估计标 准误差Sy或近期相对误差达到较小。对于特 定的时间序列， 通常的做法是分别用几个不 同的α值进行试算，从中选出较理想的α值。
第四章 趋势外推预测法
1
第一节 时间序列预测法
2
一、时间序列及其变动模式
1、时间序列概念：是指将某种研究对 象的统计数值，按其发生的时间先后顺 序排列而成的数列。 两个构成要素：一是研究对象所属的 时间；一 是研究对象在一定时期或时 点所达到的数量水平

3
2、 时间序列包含的变动类型： （1）趋势变动。趋势变动是指由于受某 种规律的长期支配或某种根本性因素的 持续影响， 研究对象在较长时间内朝着 一定的方向呈现持续地上升、下降或水 平变动。 （2）季节变动。季节变动是指由于受自 然条件和社会文化等因素的影响，研究 对象在一年内随季节更替而呈现有规则 的周期性变动。这种周期变动的长度、 幅度较为固定，并且都具有可预见性。

18


若时间序列各期数值的一阶差分大体相 同，那么该序列宜配合直线趋势预测模型。 若时间序列各期数值的二阶差分大体相 同，那么该序列宜配合二次抛物线趋势预测 模型。 若时间序列各期数值的三阶差分大体 相同，那么该序列宜配合三次抛物线直线趋 势预测模型。

19
若时间序列各期的环比发展速度或者各 期数值对数的一阶差分大体相同，那么 该序列宜配合指数曲线趋势预测模型。 若时间序列各期数值的一阶差分 近似等比变化，那么该序列宜配合修正 指数曲线趋势预测模型。
13

（2）修正指数曲线预测模 型
K>0,a>0,0<b<1
ˆ yt k ab
t
k
K>0,a<0,0<b<1
14

(三)生长曲线预测模型 （1）逻辑增长曲线预测模型 (logistic curve)
k ˆ yห้องสมุดไป่ตู้ bt 1 ae
(k>0,b>0,a>0)
k
15

(2)龚珀兹(Gompertz)增长曲线预测模型

9
第二节 趋势外推预测模型种类及识别方 法
10

引：趋势外推模型描述经济变量随时间 变化的的规律性，并用于未来经济的预 测。但是，时间并不是经济活动变化的 原因，所以趋势外推模型不属于因果关 系模型。
11
一、趋势分析模型的种类

（一）多项式曲线预测模型
ˆ ˆ (1)直线Yt b0 b1t或Yt b0 (水平直线) ˆ (2)二次抛物线Y b b t b t 2
5
上述四种变动类型组合成时间序列的总 变动。组合的形式主要有两种： 相乘型 Yt=Tt· t· t· S C It 相加型 Yt=Tt+ St+ Ct+ It 式中：Yt表示现象在第t时期的总变动值； Tt为现象在第t时期的趋势变动值；St表 示现象在第t时期的季节变动值；Ct表示 现象 在第t时期的循环变动值；It为现象 在第t时期的不规则变动值

4


（3）循环变动。循环变动是指由于受自然因 素及政治经济体制等因素的影响，研究对象 以 数年或数月为周期呈现涨落起伏相间的周期性 变动。但这种周期变动的长度、幅度往往不固 定，并且难以确切预见。 （4）不规则变动。不规则变动是指由于受各 种偶然性因素的影响，研究对象呈现突然 上升 或下降的不规则波动。不规则变动虽然人们无 法掌握、控制和分析，但它不会成为或者影响 研究对象变动的主流。
29
(1)基本原理： 折扣最小平方法就是对时间序列各期 的观察值与估计值离差的平方进行折扣加 权，并使其总和达到最小的一种参数估计 方法。 其数学表达式为

Q
i 1
n
n i
ˆ i ) 2 最小值 ( yi y
α为折扣系数，0＜α＜1，由于α0=1,…, αn-t，…，αn-1 由近及远，越来越小，这 说明对最近期误差平方不打折扣，而对远 期的误差平方 ，随着时期的越远打的折扣越大。
25
（2）估计二次抛物线趋势分析模型参数
ˆ b0 b1t b2t 2 y
y nb0 b1 t b2 t 2 2 3 ty b0 t b1 t b2 t t 2 y b0 t 2 b1 t 3 b2 t 4
ˆ yt k a
bt
（k>0,a<1,0<b<1)
16
二、趋势分析模型的选择

（一）图形识别法 通过绘制散点图来选择合适的模型。 在实际中常需要经过试算，以选择较为较好 的预测模型。
17
（二）差分法 一阶差分▽Yt=Yt-Yt-1 二阶差分▽(2)Yt=▽Yt-▽Yt-1 k阶差分 ▽(k)Yt=▽(k-1)Yt-▽(k-1)Yt-1

7
2.时间序列分析法的假定条件 分析对象在过去和现在的变动模式可以 延伸到未来 ，或者说，作用于分析对象 的规律、根本性因素及其作用的方向和 强度与过去、现在相同。

8
3.时间序列分析法的基本步骤 ⑴编制时间数列。 ⑵对时间序列进行分析，判别时间序 列的性质和变动模式。 ⑶根据时间序列的性质和变动模式， 选择适宜的分析方法和分析模型。 ⑷估计参数，检验模型，进行外推
k= 0，则为水平趋势模型 K=1，为直线模型 K=2，为二次抛物线模型 K=n，为n次多项式模型

23
（二）参数估计方法 1.普通最小二乘法(OLS) 原理：普通最小平方法是以时间序列各 期的观察值与估计值离差平方和达到最 小为前提条件，来估计参数、建立趋势 分析模型的方法，即要求：
t 0 1 2
ˆ (3)三次抛物线Yt b0 b1t b2t 2 b3t 3 ˆ (4)n次抛物线Y b b t b t n
t 0 1 n
其中 t代表时间变量。
12

（二）指数曲线预测模型
y
a>0,b>1
(1)简单指数曲线预测模型
ˆ yt ab
t
t
a>0,1>b>0
30
折扣的程度取决于α值的大小，α值越接 近于0，折扣程度就越大；α值越接近于1， 折扣程度越小。当α=1时，其折扣意义就 消失了，折扣最小平方法，转化为普通最 小平方法。
31

（2）估计直线趋势预测模型参数
ˆ y b0 b1t
n n n n i yi b0 n i b n i ti i 1 i 1 i 1 n n n n i t y a n i t b n i t 2 i i i i i 1 i 1 i 1 估计标准误差 :

20
若时间序列各期数值倒数的一阶差分近 似等比变化，那么该序列宜配合罗吉缔 曲线趋势预测模型。 若时间序列各期数值对数的一阶 差分近似等比变化，那么该序列宜配合 龚伯兹曲线趋势预测模型。

21
第三节 趋势外推预测模型的应用
22
一、 多项式曲线趋势外推模型

（一）一般形式
ˆ yt b0 b1t b2t 2 bk t k
33
二、指数曲线趋势外推法
(一)简单指数曲线预测模型 ˆ t abt 1.模型形式 y 2.参数估计方法： (1)普通最小二乘法：通过两边取对数后 变量置换，将原模型化成线性模型，然后 采用回归方法估计参数a,b。 (2)非线性最小二乘法。
34

（二）修正指数曲线模型 1.模型形式：
ˆ yt k ab

ˆ Q ( y y ) min