电磁学_稳恒磁场

1、环外部空间的磁场？为什么？ 2、如果不是密绕，但保持对称， 则内、外部空间的磁场？
§4
磁场的高斯定理和磁矢势
一、磁通量的定义及计算：
v v dΦ B = B ⋅ dS = BcosθdS v v Φ B = ∫ B ⋅ dS
S
单位： 1Wb = 1T × 1m 2 S
v B v B
二、高斯定理
v ω = Ω '− Ω = dΩ = dl2 ⋅ ∇Ω
v v μ0 I B ⋅ dl 2 = dl2 ⋅ ∇Ω 4π
v μ0 I B= ∇Ω 4π
3.2 安培环路定理的表述和证明
∫
L
v v B ⋅d l = μ 0
∑I
i
安培环路定理表述如下:磁感应强度 沿任何闭合环路L 的线积分，等于穿 过这环路所有电流的代数和的μ0倍
Ω '−Ω = ω
∂Ω ∂Ω ∂Ω )dx + ( )dy + ( )dz + O ( dl 2 ) ∂x ∂y ∂z v Ω ( x , y, z ) = Ω ( x0 , y0 , z0 ) + dl ⋅ ∇Ω + O ( dl 2 )
v v v v dl = dxi + dyj + dzk
v Ω '−Ω = ω = dl2 ⋅ ∇Ω
12
4π r12 dF12
2
μ 0 dl1 dl2
若:
r12 = C >> 1 dl1dl2
dF12 = 10 −7 / C ( N )
则
I = 1A
2.1 磁感应强度矢量----毕奥—萨伐尔定律
两电流元之间的相互作用是通过磁场进行的！ 电流元在空间 p 处产生的磁场：
p
v I 1dl1
v v μ o Idl × r ˆ dB = ⋅ 4π r2
v dB
v B
r0
μ 0 Idl sin θ dB = 4π r2
θ = π
R 2I B = ∫ dB cos α = 2 ( R 2 + r0 2 ) 3 / 2
1、圆心处： 2、轴上远处： 3、其他地方？
B =
2
, sin θ = 1, r0 = r sin α
α
μ0
I
R
μ0 I
2 R
B =
μ0 R 2I
v v ∫∫ B ⋅ d S = 0
S
即通过任意闭合曲面的磁通量为 0,
如何理解？
例：半无限长螺线管， 求：x=0处磁场强度B的径向分量。
带电环轴线上某点的磁 场强度为 dB =
μ0
R 2 Indx
2 2 3/ 2
2 (R + x )
图中 x = l
x = R cot β ; dx = − R csc 2 β ; R 2 + x 2 = R 2 csc 2 β ; dB = −
2 r3
例题4：一对相同、共轴、半径为 R、相距为 a 、载流各为 I 的圆线圈, （1）求轴线上的磁场分布；（2）a 多大时两线圈间轴线中点O 处附近 的磁场最均匀？ 1、轴线上的磁场分布：
RI B= 2 [ R + ( x + a / 2) ] μ RI + 2 [ R + ( x − a / 2) ]
∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS = 0
S1 S2
∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS
S1 S2
既然通过曲面S 的磁通量仅由它的边界线L 所决定，我们就可能找到一个 矢量A ，它沿L 作线积分等于通过S 的磁通量:
dF12 = q2 E1
例：载流螺线管磁感应线的分布：
N
S
N S
1、磁场在管内外的方向； 2、磁感应线密度（场强）的分布？
2.3
载流回路的磁场
实例：直线电流的磁场的求解。 v v ˆ v μ o Idl sin θ μ0 Id l × r B= B = L 4π 4π r 2 r2
∫
∫
v θ dl l
v pm = qm l
H = −∇U m
磁偶极子在外磁场中受到的力矩
v v v L = pm × H
1819-1820年丹麦科学家奥斯特发现电流产生磁场效应
现已知磁铁与磁铁，磁铁与电流 之间的相互作用都是通过磁场进行 的
磁铁 电流
磁场
磁铁 电流
1820年 奥斯特
磁针的一跳 电流的磁效应
奥斯特实验
0
L/2
2
−L / 2
dl ∫ [R + ( x − l )
2
2
3/ 2
B=
μ nI
0
2
(cos β − cos β )
1 2
0
1、无限长管：B = μ nI
B 2、半无限长管： =
μ nI
0
2
3、无限长管内非轴线处场强？ 4、无限长管外场强？
§3
安培环路定理
3.1 载流线圈与磁偶极层的等价性
v ˆ dl1 × r12
方向与AB所构成的平面垂直，并满足右手定则。
矢量运算 v v v v (1) a ⋅ b = b ⋅ a = ab cos θ
v v v v v (2) a × b = ab sin θ ⋅ e n = − b × a
(3)
v en
v v v v v v v v v a ⋅ (b × c ) = b ⋅ (c × a ) = c ⋅ (a × b )
2 r12
∫
L1
v v v a×b = c
• 安培环路定理的应用举例 例题1：求圆截面的无限长直导线的磁场分布，设导线的 半径为 R ,电流 I 均匀地通过横截面
v v ∫ B ⋅d l = B ⋅ 2 π r = μ ∑ I
L 0
'
I
R
r > R,∑ I
'
= I
B(r )
B
=
I 2 π r
0
μ
'
v r
v v dB1 ( r )
磁感应强度单位？ 1T = 1N /( A ⋅ m ) 则安培定律可写为：
v μ d F 12 = 0 4π v v ˆ I 2 d l 2 × ( I 1 d l 1 × r12 )
2 r12
1T = 10 4 Gs
v v = I 2 d l 2 × d B 12
与静电场比较？
dx
作近似：
r
B( x + Δx ) − B( x ) S = B⊥ 2π r dx
π r 2 dB( x ) 2π r dx
x =0
= B⊥
B⊥ =
μ 0 nIr
4R
4.2 磁矢势
运用磁场的“高斯定理”更根本的意义在于能引入另一个矢量
—磁矢势
v A( r , t )
∫∫
r r B ⋅ dS = 0
∫
L1
v v v μ I B( r2 ) ⋅ ( − dl2 ) = 0 4π
∫
L1
v v ˆ ( − dl2 × dl1 ) ⋅ r12
2 r12
=−
μ0 I 4π
∫
L1
dω = −
μ0 I ω 4π
Ω + ( −Ω ' ) + ω = 0
Ω ( x , y, z ) = Ω ( x0 , y0 , z0 ) + (
μ o I ⋅ ro d θ ⋅ sin θ μoI B=∫ = 2 2 2 L 4π ro 4π sin θ ⋅ ro / sin θ θ 1 μoI = (cos θ 1 − cos θ 2 ) θ 2 4π ro
∫θ
v B
I
∫θ
θ2
1
sin θ ⋅ d θ
0
=
=
π
μoI B = 2π ro
2.4 载流圆线圈轴线上的磁场 电流 I 、半径 R 、场点 r0.
v v v v v v v v v a × (b × c ) = b ⋅ (a ⋅ c ) − c ⋅ (a ⋅ b )
v i
v k
(4)
v v v i×j =k
v v v j ×k = i
v j
v v v k ×i = j
v v v k × j = −i
例题1：求一对平行电流元间的相互作用力，二者都与连线垂直。
I
v r
v B
因为各电流元产生的磁场方向相同，磁场方向垂直纸 面向里所以只求标量积分。磁场方向垂直纸面向里。
Q l = − r cos θ Q ro = r sin θ
∴ l = −ro ctgθ
∴ dl = ro dθ / sin 2 θ
θ2
1
ro
sin θ ⋅ d θ
μ o I ⋅ ro d θ ⋅ sin θ μoI B=∫ = 2 2 2 L 4π ro 4π sin θ ⋅ ro / sin θ
2 r12
v v μ I B( r2 ) = 0 1 4π
∫
L1
v v v r12 = r2 − r1
1
v μ0 I v v B( r2 ) ⋅ dl2 = 4π
o•
2 r12 L1 v v ˆ μ 0 I ( dl2 × dl1 ) ⋅ r12 = 2 4π r12
∫
v v ˆ ( dl1 × r12 ) ⋅ dl2
0 1 2 1 21 2
r
21
v I dl
2
2
2
v dF
牛顿第三定培
国际电磁学单位制是MKSA制，M长度、K质量、S时间、A安培