利用Lyapunov指数的混沌控制及控制参数选择

利用 L yapunov 指数的混沌控制 及控制参数选择
丁丹平 , 田立新
( 江苏理工大学理学院 ,江苏 镇江 212013)
摘 要 : 自 1990 年 ,美国马里兰大学的 Ott , Grebogi 和 Yorke 三人首先从理论上提出控制混沌 的方法 , 即 O GY 方法 , 混沌控制已成了非线性理论及应用中重要的组成部分 1 但混沌控制 ( O GY) 方法在数学理论上还有许多工作需要完善 , 从数学理论上对 O GY 方法进一步论证和 探讨 ,对混沌控制理论的建立和体系化有很重要的意义 1 而笔者利用 Lyapunov 指数讨论了混 沌控制 ( O GY 方法) 有效的充分条件 ,获得了具体的表示式 1 并将此方法用于讨论具体的控制 参数的选择及控制参数所须满足的条件 1 最后对二维 Henon 映射的轨道稳定化控制的有效 性给出了解释 1 关键词 : 混沌 ; 轨道控制/ Lyapunov 指数 ;O GY 方法 中图分类号 :O193 文献标识码 :A 文章编号 :1007- 1741 ( 2000) 01- 0087- 05 70 年代后期以来 ,混沌现象的研究成为科学 界的热点问题 , 吸引了物理 、 数学 、 力学等诸学科 科研工作者的注意 1 到 80 年代末 ,在混沌动力系 统的数学基础 、 数值实验算法和实验室实验诸方 面都取得了进展 1 随着对混沌现象研究的深入 , 混沌的控制问题成了工程技术等应用的问题的迫 切需求 190 年代以来 , 以 O GY 方法为代表的混 沌控制 ( cont rolling chaos) 获得的发展 , 大大地推 进了混沌的应用研究 1 一般而言 ,混沌控制的目标有两种 : 一种是基 于在混沌奇异吸引子内存在无穷多的周期轨道 , 控制的目的是对其中某个不稳定周期轨道进行有 效的稳定控制 , 根据人们的意愿逐一控制所需的 周期轨道 ,这种控制并不改变系统中原有的周期 轨道 1 另一种控制目标则不要求必须稳定控制原 系统中的周期轨道 ,而只要通过可能的策略 、 方法 及途径 ,达到有效控制从而得到我们所需的周期 轨道即可 ,即通过对系统的控制获得人们所需的 新动力学行为 , 包括各种周期态及其他图样等 1
λu ax s - ays x s - ys 1 λu λu - 1 bx s - ays - θλu - 1 bx s - ays × [λ s x s ( ay u - bx u ) + λ u x u ( bx s - ay s ) ] +
第 1 期 丁丹平等 利用 L yapunov 指数的混沌控制及控制参数选择
引理 111 设 λ为矩阵 A 的特征值 , 则可得 相应 λ的特征向量 X , 使 | X | ≤ | I| 1 λu 为其特征 引理 112 设 M 为二阶阵 ,λ s、 值 , es =
xs ys , eu = xu yu
λu f u ・I (λ λ ) λu - 1 g ・f u + ue u f u + sesf s ・I
f s ・e u = 0 , f u ・es = 0
5 F P ( X) | 5P
P =0
=
a b
由矩阵谱分解定理 , M = λ s es f s +λ ue u f u , 其中λ s, λu 分别表示系统 ( 1) 在 X F = 0 处与稳定流形和 不稳定流形切方向对应的特征根 1 es 、 e u 表示与 λ λu 对应的特征向量 , f s 、 f u 为对应的反变基向 s、 量 , 满足 : es ・f s = eu ・ f u = 1 , es ・ f u = eu ・ fs = 0 , 且 es f s + eu f u = E , E 为单位阵 1 设 es =
其中 Xn =
, P 为系统的可控参数 , 设 P = 0
时系统 ( 1) 有一双曲不动点 X F = 01 令
M = D F P ( X) | g =
XF =0
推论 114 若设稳定流形切向量为 x 轴方 s a 1 - λ λ 向 , 不稳定流形切方向为 y 轴 , 则当 | λ b u - 1 u +λ s | ≤1 时 , 式 ( 3 ) 确定的参数确保目标轨道稳 定1 引理 112 的证明 设 f u = ( x 1 , y1) , f s = ( x 2 , y 2) 代入 f s ・es = 1 , f u ・e u = 1 ,
= lim ln
n →∞
|
[ g - (λ ue u f u + λ ses f s ) ・g ] ×
为对应特征向量 , 则
λu f u ・I (λ λ ) (8) λu - 1 g ・f u + ue u f u + sesf s ・I λu f u ・I 又 [ g - (λue u f u + λ ses f s ) ・g ] λu - 1 g ・f u (λ ue u f u + λ ses f s ) ・I = A B
( f u ・I ) ( f s ・g) λu + f u ・g
λu 、 λ 将式 ( 5) 两端关于 Xn 求导 , 注意到 g 、 eu 、 s、
d Xn +1 d Pn d Xn d Pn = g + (λ g u e Fu f u +λ s es f s) ・ d Xn d Xn d Xn d Xn
s - λ s ( f s ・I) + λ 1 u λ λ s u ( ) θ g ・f u b - a
过参数控制将目标轨道稳定化 1 在文献 [ 5 ] 中已 给出了具体的公式 1
2 关于控制参数的讨论
下面就一类特殊情形来讨论有关控制参数的 选取 1 设二维平面系统 Xn +1 = Fp ( Xn ) , 见式 ( 1) 1 在 P = 0 时有双曲不动点 X F = 0 , P 为参 λu 为特征值 1 经适当坐标变换 , 使λ λu 分 数 ,λ s、 s、 别在 x 轴 , y 轴方向 , 则由上节 es = ( 1 , 0) T , e u =
(7) (2) ( 7) 代入式 ( 4) , 得到 将式 ( 6) 、
则 λ=
λ 1 λ 2
= lim
1
n
ln
d xn d x0
n →∞
d yn ln d y0
λ = lim 1
n →∞
n
n
i =1
ln ∑
[ g - (λ ue u f u + λ ses f s ) ・g ] ×
1 定理及证明
( 13) 可以看出 , O GY 方法是将轨 由式 ( 12) 、 道的不稳定流形控制引入稳定流形 , 由于 这种控 制 , 一方面确实使不稳定流形稳定化 , 另一方面也 会影响原来稳定流形 , 甚至引起稳定流形的不稳 定化 1 由定理 113 还可知 , 即使目标轨道没有稳 定流形 , 若 | λu | > 1 , | λ s | > 1 的情形下 , 仍可通
江 苏 理 工 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 2000 年 1 月 8 8
设二维平面上系统 :
X n +1 = F P ( Xn ) (1) xn yn
Pn = λ u (λ u - 1)
-1
( Xn ・f u ) / ( g ・f ) ( 3 )
第 21 卷第 1 期 2000 年 1 月
江 苏 理 工 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) Journal of Jiangsu University of Science and Technology ( Natural Science)
Vol. 21 No. 1 Jan. 2000
|λ s | ≠1 ,θ = | ( es , e u ) | = x s y u - x u y s
根据文献 [ 1 ] , 有 ( Xn - Png) Xn+1 = Png + (λ ueuf u + λ sesf s) ・
es 、 fu、 f s 与 Xn 无关 , 有
( 5)
N = - ( f s ・I ) λ s +
M =λ ue u f u + λ s es f s
1 1 其中 f s = θ ( y u , - x u ) , f u = θ ( - ys , x s ) 定理 113 对系统 ( 1) , 如果满足 | N | ≤ |λ u
- 1 | , 则满足下式的参数 Pn 可确保轨道稳定 :
其中
A =
收稿日期 :1999 - 08 - 30 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (19601020) ; 校青年基金资助项目 作者简介 : 丁丹平 ,男 ,江苏理工大学讲师 ,硕士 1
自 1990 年 , E Ott , C Grebogi 和 J A Yorke [ 1 ] 提出 了混沌控制的概念和实现混沌控制的方法 , 即 O GY 方法以来 , 已有大量的结果表明 O GY 方法 是行之有效的 , 并发展出了许多混沌控制的方法 ( 见文献 [ 2 ,4～6 ] ) , 其中许多方法都是以 O GY 方法为基础发展起来的 1 因此 ,O GY 方法的数学 证明对于建立混沌控制数学理论有重要意义 1 虽 然已有一些这方面的工作[ 2 ,5 ] , 但从混沌控制的 许多具体结果和数值计算来看 , 仍有许多理论问 题需要解决 1Lyapunov 指数是刻画轨道稳定性的 重要指标 ,在许多混沌控制的实际例子中都通过 最大 L yapunov 指数计算来判断轨道稳定是否已 经实现 1 笔者利用 Lyapunov 指数从理论上获得 了关于 O GY 方法的一个充分条件定理 , 并利用 L yapnov 指数对文献 [ 2 ,5 ] 等中有关参数的定值 范围作了探讨 1 混沌控制最主要的特点就是不改变系统特 性 ,而仅对其轨道进行控制 1O GY 方法的本质就 是目标轨道稳定化 1