配套K12八年级数学上册 13.3 等腰三角形学案 (新版)华东师大版
八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形13.3.2等腰三角形的判定导学案新版华东师大版48
13.3.2 等腰三角形的判定【学习目标】1、理解并掌握等腰三角形的判定定理2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. [%*^&@]【学习重难点】1、等腰三角形的判定定理的运用2、能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.【学习过程】[~#^%@]一、课前准备[@%^#&]1、等腰三角形定义_____________________2、等腰三角形性质：________________________________________________3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是5、等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是_________________6、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16 cm，求这个等腰三角形的边长?二、学习新知自主学习：猜想：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船到0处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。
如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？[*^@&%]验证：如图，△AB0中，∠A=∠B，A0=B0吗？请证明你的结论。
[&~@*#]归纳：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是三角形。
（简写成：等对等）[*%@~^]请你用几何语言表示（结合上图）[~#*%^]等腰三角形的判定定理与性质定理的区别？[@^#%&]_______________________________________________ [&^@%~] 总结：判定等腰三角形的方法有几种？分别有哪些？_______________________________________________________实例分析：例1、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.求证：AB=AC例2、如图，AB//CD，∠1=∠2，求证AB=AC【随堂练习】1、在ABC ∆中，cm AB 2=，︒=∠50B ，若cm AC 2=，则=∠A ______，=∠C _____；如果︒=∠50C ，则=AC ________.2、底角等于顶角的一半的等腰三角形是________三角形.3、如图，已知︒=∠=∠36DBC BAC ，︒=∠72C ，则图中有______个等腰三角形.4、如图，已知在ABC ∆中，AC AB =，BD 和CE 为角平分线，则图中有______个等腰三角形.5、如图，已知BC AD ⊥，垂足为D ，且BDE ∆和ADC ∆都是等腰直角三角形.如果cm EC 5=，则=AB _______cm .[#%*^&][*%~&#]【中考连线】如图，已知，在ABC ∆中，︒=∠60A ，高BD ，EC 相交于点H ，且1=HD ，2=HE 。
【最新】华师大版八年级数学上册《13.3.2等腰三角形的判定》学案
新华师大版八年级数学上册《13.3.2等腰三角形的判定》学案姓名：班级：小组：评价：【学习目标】1、探索等腰三角形和等边三角形的判定定理2、运用等腰三角形和等边三角形的判定定理及性质，解决相关问题。
【学习重点】：等腰三角形的判定定理【学习难点】：等腰三角形和等边三角形判定定理的应用。
【学习过程】一、单元导入，明确目标请同学们认真阅读课本81-83页，勾画等腰三角形及等边三角形的判定定理。
二、新知导学，合作探究自学指导一：等腰三角形的判定如图，在△ABC中，若∠B=∠C，能否得出△ABC是等腰三角形？你能证明吗？思考：怎么作辅助线？目的是什么？AB C在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等（简写成）13.3.2等腰三角形的判定达标检测八年级班组姓名分数1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,D是AC上一点，若∠BDC=72°,A则图中等腰三角形的个数为________，分别是__________________________.D21B C2、以下列各组数据为边长，能构成等腰三角形的有（）①6,6,8 ②17,15,17 ③7,7,25 ④12,12,24A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形。
4、如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,点E、F为垂足，且BE=CF,∠BDE=30°。
求证：△ABC是等边三角形。
AE FB D C例1、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=ODD CA B自学指导二：等边三角形的判定等边三角形的两个判定定理：1、_____个角都相等的三角形是等边三角形；2、有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形.例2、如图，△ABC是等边三角形，EF∥BC，交AB，AC于E，F。
华师版八年级数学上册教案：第13章 全等三角形3 等腰三角形(2课时)
13.3等腰三角形1等腰三角形的性质(第1课时)一、基本目标1．了解等腰三角形、等边三角形的概念,掌握等腰三角形、等边三角形的性质,且能熟练应用其性质求角的度数.2．理解等腰三角形“三线合一”的性质,能应用这个性质解决实际问题．二、重难点目标【教学重点】1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．【教学难点】等腰三角形“三线合一”的性质的理解及其应用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P78～P81的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角．2．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及高互相重合(简称“三线合一”)．(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴．3．三条边都相等的三角形是等边三角形．4．(1)等边三角形的各个角都相等,并且每一个角都等于60°.(2)等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,求△ABC各角的度数．【互动探索】(引发学生思考)设∠A＝x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．【解答】设∠A＝x.∵AD＝BD,∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC,∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠BCD＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°,∴x＋2x＋2x＝180°,解得x＝36°.∴∠A＝36°,∠ABC＝∠ACB＝72°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种等量关系或和(差)关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小角的度数为x.【例2】如图,已知AB＝AC,BD⊥AC于点D,求证：∠BAD＝2∠DBC.【互动探索】(引发学生思考)由∠BAD＝2∠DBC,考虑作∠BAD的平分线,即作等腰三角形的高,再根据“等角的余角相等”求解．【证明】过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC,∴∠BAD＝2∠2.∵BD⊥AC,AE⊥BC,∴∠BDC＝∠AEC＝90°,∴∠C＋∠DBC＝∠2＋∠C＝90°,∴∠DBC＝∠2,∴∠BAD＝2∠DBC.【互动总结】(学生总结,老师点评)解决本题的关键：(1)利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中,可用“等角的余角相等”证明角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．已知等腰三角形的一个角为80°,则其顶角为(D)A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°2．如图,在△ABC,AB＝AC,BC＝6 cm,AD平分∠BAC,则BD＝__3__cm.3．在△ABC中,AB＝AC＝5,∠A＝60°,则BC＝5.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC是等腰三角形,且∠A＋∠B＝130°,求∠A的度数．【互动探索】要求∠A,需讨论∠A是等腰△ABC的顶角还是底角,再结合三角形的内角和求解．【解答】分情况讨论：当∠A为顶角时,∵∠A＋∠B＋∠C＝180°,∠A＋∠B＝130°,∴∠C＝50°,∴∠A＝80°.当∠C为顶角时,则∠A＝∠B.∵∠A＋∠B＝130°,∴∠A＝65°.当∠B为顶角时,则∠A＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°,∠A＋∠B＝130°,∴∠A＝∠C＝50°.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角．本易忽略讨论∠B是顶角还是底角．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习！2 等腰三角形的判定(第2课时)一、基本目标探索等腰三角形和等边三角形的判定方法． 二、重难点目标 【教学重点】掌握等腰三角形及等边三角形的判定方法． 【教学难点】会运用等腰三角形及等边三角形的判定方法解决问题．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P81～P83的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】一、等腰三角形的判定方法1．等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等,这个三角形为等腰三角形． 2．如图,在△ABC 中,∠B ＝∠C ,求证：AB ＝AC .证明：作∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,则∠BAD ＝∠CAD . 在△BAD 和△CAD 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∵△BAD ≌△CAD , ∴AB ＝AC .3．等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边_也相等(简写成_“等角对等边”__)．二、等边三角形的判定方法1．等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法正确的有__①②③___.(填序号)①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②等边三角形是等腰三角形的特殊情况；③等边三角形的底角与顶角相等；④等边三角形包括等腰三角形．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,DB＝DC,∠ABD＝∠ACD,求证：AB＝AC.【互动探索】(引发学生思考)要证AB＝AC,本题不能直接连结AD证全等得到,可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证．【证明】连结BC.∵DB＝DC,∴∠DBC＝∠DCB,∵∠ABD＝∠ACD,∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB,∴∠ABC＝∠ACB,∴AB＝AC.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题主要是通过连结BC,使AB、AC在同一个三角形中,通过证明它们所对的角相等,而证得这两条线段相等．【例2】如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的平分线,AE与CD交于点F,求证：△CEF是等腰三角形．【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形,需证△CEF中有两边相等．由等角的余角相等可得∠ABE＝∠ACD,从而由AE是∠BAC的平分线和三角形外角的性质可得CE＝CF.【证明】∵在△ABC中,∠ACB＝90°,∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD＋∠BAC＝90°,∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE＝∠EAC,∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC,即∠CEF＝∠CFE,∴CE＝CF,∴△CEF是等腰三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立．【例3】如图,△ABC是等边三角形,O为△ABC内任意一点,OE∥AB,OF∥AC,分别交BC 于点E、F,△OEF是等边三角形吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)由OE∥AB,OF∥AC→角相等(60°)→△OEF是等边三角形．【解答】△OEF是等边三角形．理由如下：∵OE∥AB,OF∥AC,∴∠B＝∠OEF,∠C＝∠OFE.∵△ABC是等边三角形,∴∠B＝∠C＝∠OEF＝∠OFE＝60°,∴△OEF是等边三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”或“有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形”进行判定．活动2巩固练习(学生独学)1．如图,△ABC中,∠A＝36°,AB＝AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是(D)A．∠C＝2∠AB．BD＝BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点2．如图,△ABC以点A旋转中心,按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′,则△ABB′是等边三角形．3．如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC,∴∠CAD＝∠ADE.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD＝∠DAE,∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD,∴∠DAE＋∠B＝90°,∠ADE＋∠BDE＝90°,∴∠B＝∠BDE,∴△BDE是等腰三角形．4．如图,AB＝AC,∠BAC＝120°,AD⊥AC,AE⊥AB.(1)求∠C的度数；(2)求证：△ADE是等边三角形．(1)解：∵AB＝AC,∠BAC＝120°,∴∠B＝∠C＝30°,即∠C＝30°.(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°,AD⊥AC,AE⊥AB,∴∠ADC＝∠AEB＝60°,∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°,∴△ADE是等边三角形．活动3拓展延伸(学生对学)【例4】已知平面直角坐标系中,点A的坐标为(－2,3),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A．3个B．4个C．5个D．6个【互动探索】∵△AOP为等腰三角形,∴可分三种情况讨论：(1)当AO＝AP时,以点A为圆心,AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于点O和另一点P1；(2)当AO＝OP时,以点O为圆心,AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于两个点,即点P2、P4；(3)当AP＝OP时,作AO的中垂线,与y轴有一个交点P3.综上所述,符合条件的点P共有4个．故选B．【答案】B【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此题的关键：(1)利用分类讨论思想确定等腰三角形的顶点；(2)利用尺规作图和数形结合思想确定等腰三角形的个数．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习！。
八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形13.3.2等腰三角形的判定导学案华东师大版(2
八年级数学上册第13章全等三角形13.3 等腰三角形13.3.2 等腰三角形的判定导学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第13章全等三角形13.3 等腰三角形13.3.2 等腰三角形的判定导学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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13.3。
2 等腰三角形的判定【学习目标】1、理解并掌握等腰三角形的判定定理2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.【学习重难点】1、等腰三角形的判定定理的运用2、能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.【学习过程】一、课前准备1、等腰三角形定义_____________________2、等腰三角形性质:________________________________________________3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是5、等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是_________________6、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16 cm，求这个等腰三角形的边长？二、学习新知自主学习：猜想：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船到0处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素)？验证：如图，△AB0中，∠A=∠B,A0=B0吗？请证明你的结论.归纳：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是三角形。
八年级数学华东师大版上册13.3等腰三角形优秀教学案例
（二）过程与方法
1.学生通过观察、猜想、推理、验证等过程，探索并发现等腰三角形的性质。
2.学生通过小组合作、讨论交流等方法，培养合作学习的能力和团队协作精神。
3.学生通过自主学习、探究学习，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.教师引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为学习等腰三角形的性质奠定基础。
（二）讲授新知
1.教师引导学生观察等腰三角形的图形，让学生自己发现等腰三角形的性质，如两边相等、两角相等等。
2.教师指导学生进行证明，如通过画图、推理等方法，证明等腰三角形的性质。
3.教师通过举例、讲解等方法，让学生理解等腰三角形的性质及其在实际问题中的应用。
5.教学评价的全面性：教师对学生的学习过程和结果进行评价，既关注学生的知识与技能，又关注过程与方法、情感态度与价值观。这种全面性的教学评价，有利于全面提高学生的数学素养，培养学生的创新精神和实践能力。
本节课的亮点主要体现在情境导入的真实性、问题导向的有效性、小组合作的互动性、教学策略的灵活性和教学评价的全面性等方面。这些亮点使教学过程既注重知识传授，又关注学生能力的培养，充分体现了“以人为本”的教育理念，有助于提高学生的数学素养，培养学生的创新精神和实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，每个小组共同探究等腰三角形的性质，分享各自的发现和证明方法。
2.教师组织小组之间的讨论交流，让学生互相学习、互相启发，培养学生的合作能力和团队精神。
3.教师对小组讨论的过程进行指导和评价，鼓励学生积极参与，培养学生的自主学习能力和问题解决能力。
（四）总结归纳
3.小组合作的互动性：教师将学生分成小组，组织学生进行小组合作、讨论交流，让学生互相学习、互相启发。这种互动性的小组合作方式，既培养了学生的合作能力和团队精神，又提高了学生的自主学习能力和问题解决能力。
华师大版八年级数学上册教案13.3_等腰三角形_1
等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．教学重点1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课在上述过程中，我们可以得到ΔABC中AB = AC，这样就得到了一个等腰三角形．[师]按照我们的做法，得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．并在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]同学们来想一想．1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以△BAD≌△CAD（SSS）．所以∠B=∠C．[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为所以△BAD≌△CAD．所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．Ⅲ．课时小结。
K12推荐学习八年级数学上册 13.3 等腰三角形学案 (新版)华东师大版
13.3 等腰三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、 等腰三角形的概念及性质.2、 等边三角形的概念及性质.3、 等腰三角线、等边三角形的识别【重点难点】1、 等腰三角形、等边三角形的概念及性质.2、 等腰三角线、等边三角形的识别.知识概览图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧合一底边上的高及中线三线顶角的平分线角的性质边的性质等腰三角形的性质的有关概念等边三边形等腰三角形等腰三角形、）（新课导引如下图所示，位于海上A ，B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A =∠B .如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点？（不考虑风浪因素）【问题探究】如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA =OB ，那么由∠A =∠B ，能否直接判断出OA =OB 呢？教材精华知识点1 等腰三角形的概念及性质等腰三角形的概念两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.如图10-79所示，在等腰三角形中ABC 中，AB =AC ，则AB 和AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角.拓展（1）顶角是指两腰的夹角，并不是位置在上面的角，如图10-80所示，在△DEF中，DF=EF，则顶角是∠F，而不是上面的∠D.（2）在定义等腰三角形时，不能说成是“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”.等腰三角形的性质等腰三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质可以得出等腰三角形的边、角、三线、对称性这四个方面的性质分别如下：（1）边：等腰三角形的两腰相等.（2）角：等腰三角形的两底角相等，简称为“等边对等角”.（3）三线：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为“三线合一”.（4）对称性：等腰三角形具有轴对称性，底边垂直平分线是它的对称轴.知识点2 等边三角形的概念及性质等边三角形的概念三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形的性质等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的所有性质外，还具有如下一些特殊的性质：（1）边：等边三角形的三边相等.（2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.（3）三线：等边三角形每个角的平分线都是其对边上的中线和高.（4）对称性：等边三角形具有轴对称性，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线.知识点3 等腰三角形的识别识别方法：（1）两边相等的三角形是等腰三角形.（2）两角相等的三角形是等腰三角形，简称为“等角对等边”.（3）如果一个三角形一边上的高、中线和该边所对的角的平分线中的有任意两条互相重合，那么这个三角形的就是等腰三角形.“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中.“等边对等角”是等腰三角形的性质，“等角对等边”是等腰三角形的识别.它们之间的关系是互逆的.知识点4 等边三角形的识别识别方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有两个角都为60°的三角形是等边三角形.（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.拓展在判断一个三角形是否是等边三角形时，我们可从边的角度去考虑，也可从角的角度去考虑.在使用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”时应注意其前提条件必须是“等腰三角形”，此时不论60°的角是顶角还是底角，都可说明此三角形为等边三角形.课堂检测基础知识应用题1、若等腰三角形的一边长为6，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）A．10 B．14 C．16 D．14或162、若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角为（）A．40° B．70° C．100° D．40°或100°3、等边三角形有_______条对称轴.综合应用题4、如图10-95所示，已知△ABC为等边三角形，BD=AB，交于点E，当E在AC上运动时，∠ADC 的度数是否发生变化？如果变化，说明变化范围；如果不变，求出∠ADC的度数.探索创新题5、图10-106所示，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的一点，DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N.（1）试说明DM+DN=定值（一腰上的高）；（2）若点D在BC的延长线上，其他条件不变，此结论是否仍然成立？说明理由.体验中考1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°2、若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为______.学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 如果腰长为6，那么三边长分别为6，6，4，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为16；如果腰长为4，那么三边长分别为4，4，6，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为14.故正确答案为D.解题策略 在没有指明腰和底边时，一定要分类讨论.2、分析 此题主要考查等腰三角形的两底角相等的性质.当140°的角为顶角的外角时，顶角为180°-140°=40°；当140°的角为底角的外角时，底角为40°，顶角为180°-2×40°=100°.故正确答案为D.3、分析 此题考查等边三角形的性质.由等边三角形的性质可得出等边三角形有三条对称轴.故正确答案为三.4、解：∠ADC 的度数不变.设∠ABD =α，则∠DBC =60°-α.在△ABD 中，由AB =DB ，得∠ADB =21×（180°-α）=90°-2α. 因为△ABC 是等边三角形，所以AB =BC ，故BD =BC ，所以在△BDC 中，∠BDC =21×（180°-∠DBC ）= 21×[180°-（60°-α）]=60°+2α. 所以∠ADC =∠ADB +∠BDC =（90°- 2α）+（60°+ 2α）=150°. 即当点E 在AC 上运动时，∠ADC 的度数不变，为150°.5、解：（1）如图10-106所示，过点C 作CH ⊥AB 于H ，连结AD ，则S △ADB +S △ADC = S △ABC .因为S △ADB =21DM ·AB ，S △ADC =21DN ·AC ，S △ABC =21AB ·CH ， 所以21DM ·AB +21DN ·AC =21AB ·CH . 因为AB =AC ，所以DM +DN =CH.因为△ABC 一定，所以一腰上的高一定，所以DM +DN =定值.（2）结论不成立.理由如下：如图10-107所示，过点C 作CH ⊥AB 于H ，连接AD ，则S △ADB =S △ABC +S △ACD . 所以21DM ·AB =21AB ·CH +21DN ·AC . 因为AB =AC ，所以DM =CH +DN .体验中考1、分析 本题考查等腰三角形的性质.50°的角可能是顶角，也可能是底角，当50°的角是底角时，顶角为180°-50°×2=80°，所以顶角为50°或80°.故正确答案为D.2、分析 本题考查等腰三角形的性质.因为等腰三角形的一个外角为70°，所以与它相邻的内角为110°.因为110°>90°，因此110°这个角只能是顶角，所以它的底角为2110180︒-︒=35°.故正确答案为35°.。
八年级数学上册 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形的性质教案2 (新版)华东师大版
13.3 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目的1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质.2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动.重点、难点重点：等腰三角形等边对等角性质.难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质.教学过程一、复习引入1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形?△ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形.2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象?二、新课1．指出△ABC的腰、顶角、底角.相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角.2．实验.现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论.可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.(5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线.结论(2)用文字如何表述?等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么?等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”)例l已知：在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数.本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程.引申：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角.三、练习巩固P81 练习1、2补充：填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______四、小结本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等 (简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用.用数学语言表述如下：1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C.2．△ABC中，如果A月＝AC，D在BC上，那么由条件(1)∠BAD＝∠CAD，(2)AD⊥AC，(3)BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个.五、作业P84 习题13.3 第1、2、3题.。
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13.3 等腰三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、 等腰三角形的概念及性质.
2、 等边三角形的概念及性质.
3、 等腰三角线、等边三角形的识别
【重点难点】
1、 等腰三角形、等边三角形的概念及性质.
2、 等腰三角线、等边三角形的识别.
知识概览图
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧合一底边上的高及中线三线顶角的平分线角的性质边的性质等腰三角形的性质的有关概念等边三边形等腰三角形等腰三角形、）（
新课导引
如下图所示，位于海上A ，B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A =∠B .如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点？（不考虑风浪因素）
【问题探究】如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA =OB ，那么由∠A =∠B ，能否直接判断出OA =OB 呢？
教材精华
知识点1 等腰三角形的概念及性质
等腰三角形的概念
两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
如图10-79所示，在等腰三角形中ABC 中，AB =AC ，则AB 和AC 是腰，BC 是底边，∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角.
拓展
（1）顶角是指两腰的夹角，并不是位置在上面的角，如图10-80所示，在△DEF中，DF=EF，则顶角是∠F，而不是上面的∠D.
（2）在定义等腰三角形时，不能说成是“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”.
等腰三角形的性质
等腰三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质可以得出等腰三角形的边、角、三线、对称性这四个方面的性质分别如下：
（1）边：等腰三角形的两腰相等.
（2）角：等腰三角形的两底角相等，简称为“等边对等角”.
（3）三线：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为“三线合一”.
（4）对称性：等腰三角形具有轴对称性，底边垂直平分线是它的对称轴.
知识点2 等边三角形的概念及性质
等边三角形的概念
三边都相等的三角形叫做等边三角形.
等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的所有性质外，还具有如下一些特殊的性质：
（1）边：等边三角形的三边相等.
（2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
（3）三线：等边三角形每个角的平分线都是其对边上的中线和高.
（4）对称性：等边三角形具有轴对称性，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线.
知识点3 等腰三角形的识别
识别方法：
（1）两边相等的三角形是等腰三角形.
（2）两角相等的三角形是等腰三角形，简称为“等角对等边”.
（3）如果一个三角形一边上的高、中线和该边所对的角的平分线中的有任意两条互相重合，那么这个三角形的就是等腰三角形.
“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中.“等边对等角”是等腰三角形的性质，“等角对等边”是等腰三角形的识别.它们之间的关系是互逆的.
知识点4 等边三角形的识别
识别方法：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）有两个角都为60°的三角形是等边三角形.
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
拓展在判断一个三角形是否是等边三角形时，我们可从边的角度去考虑，也可从角的角度去考虑.在使用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”时应注意其前提条件必须是“等腰三角形”，此时不论60°的角是顶角还是底角，都可说明此三角形为等边三角形.
课堂检测
基础知识应用题
1、若等腰三角形的一边长为6，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）
A．10 B．14 C．16 D．14或16
2、若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角为（）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
3、等边三角形有_______条对称轴.
综合应用题
4、如图10-95所示，已知△ABC为等边三角形，BD=AB，交于点E，当E在AC上运动时，∠ADC 的度数是否发生变化？如果变化，说明变化范围；如果不变，求出∠ADC的度
数.
探索创新题
5、图10-106所示，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的一点，DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N.
（1）试说明DM+DN=定值（一腰上的高）；
（2）若点D在BC的延长线上，其他条件不变，此结论是否仍然成立？说明理由.
体验中考
1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角为（）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
2、若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为______.
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 如果腰长为6，那么三边长分别为6，6，4，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为16；如果腰长为4，那么三边长分别为4，4，6，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为14.故正确答案为D.
解题策略 在没有指明腰和底边时，一定要分类讨论.
2、分析 此题主要考查等腰三角形的两底角相等的性质.当140°的角为顶角的外角时，顶角为180°-140°=40°；当140°的角为底角的外角时，底角为40°，顶角为180°-2×40°=100°.故正确答案为D.
3、分析 此题考查等边三角形的性质.由等边三角形的性质可得出等边三角形有三条对称轴.故正确答案为三.
4、解：∠ADC 的度数不变.
设∠ABD =α，则∠DBC =60°-α.
在△ABD 中，
由AB =DB ，得∠ADB =21×（180°-α）=90°-2
α. 因为△ABC 是等边三角形，所以AB =BC ，故BD =BC ，
所以在△BDC 中，∠BDC =
21×（180°-∠DBC ）= 21×[180°-（60°-α）]=60°+2
α. 所以∠ADC =∠ADB +∠BDC =（90°- 2α）+（60°+ 2α）=150°. 即当点E 在AC 上运动时，∠ADC 的度数不变，为150°.
5、解：（1）如图10-106所示，过点C 作CH ⊥AB 于H ，连结AD ，则S △ADB +S △ADC = S △ABC .
因为S △ADB =
21DM ·AB ，S △ADC =21DN ·AC ，S △ABC =2
1AB ·CH ， 所以21DM ·AB +21DN ·AC =21AB ·CH . 因为AB =AC ，
所以DM +DN =CH.
因为△ABC 一定，所以一腰上的高一定，
所以DM +DN =定值.
（2）结论不成立.理由如下：
如图10-107所示，过点C 作CH ⊥AB 于H ，连接AD ，则S △ADB =S △ABC +S △ACD . 所以21DM ·AB =21AB ·CH +2
1DN ·AC . 因为AB =AC ，
所以DM =CH +DN .
体验中考
1、分析 本题考查等腰三角形的性质.50°的角可能是顶角，也可能是底角，当50°的角是底角时，顶角为180°-50°×2=80°，所以顶角为50°或80°.故正确答案为D.
2、分析 本题考查等腰三角形的性质.因为等腰三角形的一个外角为70°，所以与它相邻的内角为110°.因为110°>90°，因此110°这个角只能是顶角，所以它的底角为
2
110180︒-︒=35°.故正确答案为35°.。