椭圆综合练习2(含答案)
高二数学椭圆练习题及答案
高二数学椭圆练习题及答案一：选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于 4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF26．方程=10，化简的结果是7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程xsinθ﹣ycosθ=1表示的曲线221、22129.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则该椭10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为11.如图，点F为椭圆=1的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为12．椭圆顶点A，B，若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=高二数学周测一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B 为焦点的椭圆”，那么 A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件.若椭圆2kx?ky?1的一个焦点是，则k的是 A.2211B.C. D.3228D．3x2－y2＝363．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为 A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝364.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 A.23B.33C.22D.2x2y25.椭圆2?2?1的两个焦点F1,F2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率abA.B. C． D.336x2y26.已知是直线l被椭圆??1所截得的线段的中点，则l 的方程为369A.x?2y?0B. x?2y?4?0C.x?3y?4?0D. x?2y?8?0x2y27．设F1，F2分别是椭圆2?2?1的左、右焦点，若在其右准线上存在P,ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是?A.?0 ?2???B.?01?C.?1?D.? ??x2y28．在椭圆，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|??1内有一点P43的值最小，则这一最小值是 A．D．457B． 2C．3二、填空题.双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是，则m的值是x2y210.已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围是____________.3?k2?kx2y211.设F1、F2是椭圆C：+=1的焦点，在曲线C上满足PF1?PF2=0的点P的个数124为________x2y2?12. 已知椭圆+=1的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上一点，满足∠F1PF2=，则△F1PF2433的面积为_________________.13.已知椭圆C的焦点F1和F2，长轴长6，设直线y?x?2交椭圆C于A、B两点，则线段AB的中点坐标 .14. 已知圆A：?x?2??y?16，圆B：?x?2??y?14．动圆C与圆A内切，且222与圆B外切．则动圆圆心的轨迹方程为.三、解答题 x2y215. 求以椭圆＋1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的169双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．16. 从双曲线C:x?y?1上一点Q引直线l:x?y?2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.17. 已知动点P与平面上两定点A，对应的准线方程为y??且离心率e为和42时，求直线l的方程.92，4234的等比中项.平分？2求椭圆方程，是否存在直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰为直线x??若存在，求出直线l的斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.x219. 设F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点.4若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值;设过定点M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.x2y220. 知椭圆2??1的左、右焦点分别为F1、F2，离心ab率e?x?2。
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。
（ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。
（ ）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。
(完整版)椭圆练习题(含答案)
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （其中2a>F1F2）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
当椭圆焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。
当椭圆焦点在y轴上时，标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b。
椭圆有x轴和y轴两条对称轴，对称中心为坐标原点O(0,0)。
椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b。
椭圆的顶点坐标为(±a,0)，(0,±b)。
椭圆的焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a（其中0<e<1）。
a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆。
对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F，PF_max=a+c，PF_min=a-c。
当点P在短轴端点位置时，∠F1PF2取最大值（余弦定理）。
椭圆方程常用三角换元为x=acosθ，y=bsinθ。
弦长公式为：设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)（k≠0）。
判断点P(x,y)是否在椭圆内，当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为c/a，短轴长为4√2，则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部，点$A(a,1)$，则$a$的取值范围是$-2<a<2$。
2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$，焦点为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。
椭圆 经典题型练习 (精选题) 含答案
椭圆经典题型练习一．选择题（共13小题）1．设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）3．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．6D．34．椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值是（）A．B．C．D．5．已知点M（﹣4，0），椭圆的左焦点为F，过F作直线l（l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知椭圆的左焦点为F1，离心率为，P是椭圆C上的动点，若点Q（1，1）在椭圆C内部，且|PF1|+|PQ|的最小值为3，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F作x 轴的垂线，交C于点P，若=2，cos∠OPF=，则椭圆C的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1 9．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（）A．2B．C．4D．10．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是（）A．（2，4）B．C．（6，8）D．（8，12）11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△AF1F2的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．13．已知点A（0，0），B（2，0）．若椭圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）14．已知点P圆C：（x﹣4）2+y2=4上，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值为．15．已知点A在椭圆+y2=1上，且O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为16．直线y=kx+k与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，则实数m的取值范围是．17．过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则此椭圆的离心率为18．椭圆右焦点为F，存在直线y=t与椭圆C交于A，B 两点，使得△ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=．19．已知F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为．20．已知点P（x，y）在椭圆上运动，则最小值是三．解答题（共10小题）1．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．2．已知p：实数m使得椭圆的离心率．（1）求实数m的取值范围；（2）若q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O 到直线AB的距离为定值，并求出该定值．4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．5．已知椭圆的离心率为且经过点．（1）求椭圆方程；（2）直线y=kx+m交椭圆于不同两点A，B，若，△OAB（O是坐标原点）的面积等于，求直线AB的方程．6．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．7．设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．8．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且C过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k＜0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，l，OQ 的斜率成等比数列，求k值．9．已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过F且垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，且与椭圆C交于A，B两点，Q为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）用S1，S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1•S2的最大值．椭圆练习参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆x2+y2=c2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，可得：，即a2﹣c2=ac，因为e=∈（0，1），所以e=．故选：C．2．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y 轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．3．【解答】解：如图所示，椭圆，可得a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn=6即102﹣3mn=64，解得mn=12．∴△F1PF2的面积S=mnsin60°==3．故选：B．4．【解答】解：由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．如图所示，设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．则==•|F1F2|，∴4a=|y2﹣y1|×2c，∴|y2﹣y1|==．故选：D．5．【解答】解：设F（﹣c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，可得（b2+4k2）x2+8ck2x+4k2c2﹣4b2=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，由直线MF恰好平分∠AMB，可得k AM+k BM=0，即有+=0，可得k（x1+c）（x2+4）+k（x2+c）（x1+4）=0，化为2x1x2+（c+4）（x1+x2）+8c=0，可得2•+（c+4）•（﹣）+8c=0，化简可得c=1，则椭圆的离心率e==，故选：C．6．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），另一个焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF|+|PF'|，即|PF'|=2a﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|=8﹣2a，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|=1，可得﹣1≤8﹣2a≤1，解得≤a≤，又c=2，可得e=∈[，]，故选：A．7．【解答】解：如图所示，设右焦点为F2．|PF1|+|PQ|=2a﹣（|PF2|﹣|PQ|）≥2a﹣|QF2|=3，∴2a﹣=3，=a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的标准方程为=1．故选：A．8．【解答】解：∵|OF|=c，PF⊥x轴，cos∠OPF=，∴sin∠OPF=，∴cos∠OPF=，|OP|===c，∵=2，∴|OP|•c•cos∠OPF=|OP|•c•=c•c•=2，解得c2=2，即c=∴|OP|=，∴|PF|=×=1，∴P（，1），∴+=1∵a2﹣b2=c2=2，∴a2=4，b2=2，∴+=1故选：B．9．【解答】解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C．10．【解答】解：∵椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，连结BF2，则AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB周长的取值范围是（6，8）．故选：C．11．【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故选：D．12．【解答】解：由椭圆的定义可得2（a+c）=6，所以a+c=3①，当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=②，由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=，c=1，椭圆方程为+=1，故选：A．13．【解答】解：过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），C点的坐标代入椭圆方程得，解得m=6，所以椭圆的离心率为：=．故选：C．二．填空题（共7小题）14．【解答】解：∵点Q在椭圆上移动，∴可设Q（cosθ，2sinθ），由圆C：（x﹣4）2+y2=4，可得圆心C（4，0），半径r=2．∴|CQ|===≤5，当且仅当cosθ=﹣1时取等号．∴|PQ|的最大值=5+r=7．故答案为：7．15．【解答】解：∵O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，∴|OA|•|OP|=24，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y）在第一象限，B为点A 在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为|OP|cosθ==24×=24×=24×≤24×=8．当且仅当x=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为8．故答案为：8．16．【解答】解：直线y=kx+k恒过（﹣1，0），直线与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，可得：解得m∈（1，4）．故答案为：（1，4）．17．【解答】解：设直线l上的占P（t，t+9），取F1（﹣3，0）关于l的对称点Q （﹣9，6），根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2|==6 ，当且仅当Q，P，F2共线，即，即=﹣时，上述不等式取等号，∴t=﹣5．∴P（﹣5，4），据c=3，a=3，离心率为：e==．故答案为：．18．【解答】解：要使△ABF为等腰直角三角形，则B（c，2c）．，又a2=b2+c2，∴b2=2ac，⇒c2+2ac﹣a2=0，⇒e2+2e﹣1=0，且0＜e＜1，∴e=﹣1．故答案为：﹣1．19．【解答】解：F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，a=2，b2+c2=4，P是椭圆上一点，△PF1F2面积的最大值时，P在椭圆的短轴的端点，此时三角形的面积最大，S=bc≤=2，当且仅当b=c时，三角形的面积最大．故答案为：2．20．【解答】解：根据题意，点P（x，y）在椭圆上运动，则有，变形可得：+=，变形可得x2+2（y2+1）=5，则=[x2+2（y2+1）]（）=×[1+4++]=×[5++]≥（5+2×2）=；即最小值是，故答案为：三．解答题（共10小题）1．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（3分）（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…（5分）∵AF2⊥BF2，∴•=0，∴•=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4=﹣2m×+4==0∴m2=7．…（10分）∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．2．【解答】解：（1）当0＜m＜2时，∵，又，∴，∴，当m＞2时，∵，又，∴解得4＜m＜8．综上所述实数m的取值范围：或4＜m＜8．（2）∵q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，∴⊆[t，t+9]，∴，解得．3．【解答】解：（1）由题意知，e==，a==2，又a2=b2+c2，所以a=2，c=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±；此时，原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，由OA⊥OB得k OA k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，所以=0，即m2=（1+k2），所以原点O到直线AB的距离为d==，综上，原点O到直线AB的距离为定值．4．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．5．【解答】解：（1）椭圆的离心率为且经过点，可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）直线y=kx+m与椭圆x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，可得|AB|=•==•=，①由△OAB（O是坐标原点）的面积等于，设O到AB的距离为d，可得|AB|d=，即d=，即有=，即3m2=2+2k2②联立①②解得m=1，k=±；m=﹣1，k=±，则直线AB的方程为y=±x+1或y=±x﹣1．6．【解答】解：（1）如图所示，椭圆C：=1的离心率为，∴=，△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16，∴a=4，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程+=1；（2）设过点P（2，1）作直线l，l与椭圆C的交点为D（x1，y1），E（x2，y2），则，两式相减，得（﹣）+4（﹣）=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率为k==﹣=﹣=﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4=0．7．【解答】解：（1）根据及题设知，5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），故C的离心率为；………………………………………………（4分）（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，即b2=6a①………………………………………………（7分）由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）则，即代入C的方程，得②……………………………………………（10分）将①及代入②得解得故8．【解答】解：（1）由题意可得，解得，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），由，消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∵直线l与椭圆交于两点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（m2﹣1）=4（4k2﹣m2+1）＞0，设点P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，，∴y1+y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OP、l、OQ的斜率成等比数列，∴，整理得，∴，又m≠0，所以，，结合图象可得，故直线l的斜率为定值．9．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．10．【解答】解：（1）由已知c=1，，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆C的方程为：；（2）当l斜率不存在时，AB=，得S1•S2=6．当l斜率存在时，设为直线为y=kx+m，由l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得m2+2km=1…（*）联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．|AB|=．Q到直线的距离，S1•S2==．将（*）式代入得S1•S2=，令t=m2+1∈（1，+∞）．∴S1•S2==．综上，S1•S2的最大值为6．。
椭圆专题训练卷(含解析)
椭圆专题训练卷一、单选题1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．102．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“216x ＋29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．5C ．7D ．84．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）A B C D5．（2020·四川资阳 高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．347．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为( )A ．2B ．34C ．12D ．148．（2020·甘肃城关 兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ）A ．4B ．2C D 9．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．B ．4C ．3D ．110．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2aN c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．(0B ．1)C ．5)6， D ．5(,1)6二、多选题11．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，焦距为2，过点F的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是( ) A ．45B ．23C ．12D ．1312．（2019·辽宁葫芦岛 高二月考）椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（ ） A ．1B ．3C ．4D ．813．（2020·岳麓 湖南师大附中高二期末）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6 B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆面积的最大值为3 C ．存在点P ，使12PF PF ⊥ D ．1PF 的取值范围是[1,3]14．（2020·山东中区 济南外国语学校高三月考）我们通常称离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 三、单空题15．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.16．（2020·河北桃城 衡水中学高三其他（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为________.17．（2020·河南中原 郑州一中高三其他（文））已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.四、双空题18．（2019·浙江高二学业考试）椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.19．（2020·上海高二课时练习）椭圆22192x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 在椭圆上，若14PF =，2PF =_______；12F PF ∠的小大为__________．20．（2019·浙江高二期中）若方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______；当1m =-时，椭圆的焦点坐标为______.21．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 五、解答题22．（2020·上海高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4）.求它的标准方程.23．（2019·于都县第二中学高二月考（文））焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点(2,1)P 在椭圆上.（1）求m 的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 24．（2019·永济市涑北中学校高二月考（理））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程； （2）求点到直线距离的最大值.25．（2019·河南宛城 南阳中学高二月考（理））已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足1260F PF ︒∠=，求12PF F ∆的面积．26．（2019·牡丹江市第三高级中学高二期末（文））已知点(2,1)P -在椭圆()222:102x yC a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求直线AB 的斜率．27．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 6． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-，求k 的取值范围．一、单选题1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．2．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“216x ＋29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“216x ＋29y ≤1”表示的平面区域N 为椭圆216x ＋29y ≤1及其内部， 则如图显然N 在M 内， 故选：B ．3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5C ．7D ．8【答案】D 【解析】∵ 椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，∴ 22a m =-，210b m =-， ∵ 焦距为4， ∴ 24c =即24c =，在椭圆中：222a b c =+即2(10)4m m -=-+，解得：8m =， 故选：D4．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．3【答案】B 【解析】依题意可知3ab ,即3b =,又c ===,所以该椭圆的离心率3c e a ==. 故选:B5．（2020·四川资阳 高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A 点睛：求椭圆标准方程的两种思路方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定22a b ，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a b ，的方程组．如果焦点位置不确定，也可把椭圆方程设22100()mx ny m n m n >>≠＋＝，，的形式．6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)bb a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.7．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线2:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A ，则24y x =由2AB c =，可知22OA x y c =+=2224x x c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得22x =， 所以221,33A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭把点A 代入椭圆方程得到222222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得3e =故选A 项.8．（2020·甘肃城关 兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ） A ．4 B ．2C ．32D ．332【答案】A 【解析】延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,作图如下：因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥， 所以2MF MP =，所以2111MF MF MP MF F P -=-=， 因为,O N 分别为122,F F F P 的中点， 所以ON 为12PF F ∆的中位线， 所以1122ON F P ==， 所以21124MF MF F P ON -===. 故选：A9．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．23B ．4C ．3D ．1【答案】C 【解析】连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-,()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：C10．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2aN c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．2(0， B ．21) C ．25)6， D ．5(,1)6【答案】D 【解析】∵点,2a N c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的外部，∴222214c a a b +＞，2212b a ＜ ，由椭圆的离心率22121122c b e a a ==--=＞ ，122MF MN a MF MN +=-+， 又因为2MF MN -+≤2NF ，且22aNF =，要11232MF MN F F +<恒成立，即22a MF MN -+≤32222a a c +<⨯，则椭圆离心率的取值范围是5,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 二、多选题11．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，焦距为2，过点F的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是( ) A ．45B ．23C ．12D ．13【答案】CD 【解析】由22c =,则1c =.过点F 的弦长最小值为222b a≥,即22b a ≥即有222a c a -≥,即2210a a --≥,解得:a ≥或152a(舍),122c e a=≤=. 故选: CD.12．（2019·辽宁葫芦岛 高二月考）椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．8【答案】BC 【解析】由题意可得4a =，16122c ，则26a cPF a c .故选：BC .13．（2020·岳麓 湖南师大附中高二期末）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为003y b <=,则12PF F ∆项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大. 此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .14．（2020·山东中区 济南外国语学校高三月考）我们通常称离心率为12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD 【解析】2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+ ()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e = 故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得232e +=（舍去）或232e =e ∴=故D 正确 故选：BD 三、单空题15．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 【答案】4或8 【解析】因为221102x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且a 20->，所以210a <<,由椭圆的方程可得()2c 102122a a a =---=-，又2c 4=，所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或816．（2020·河北桃城 衡水中学高三其他（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为________.【答案】2212524x y +=【解析】椭圆的短轴长为，即2b =，∴b = .∵两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，∴1225c a =⨯，得5a c =， 又因为222a b c =+，故可解得1c =，5a =，故该椭圆的标准方程为2212524x y +=.故答案为：2212524x y +=.17．（2020·河南中原 郑州一中高三其他（文））已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.【解析】 如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得3b a =又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =， 令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b === ∴()13883255FANSFM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦故答案为：35. 四、双空题18．（2019·浙江高二学业考试）椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.323【解析】椭圆2214x y +=得：2,1,a b c ===2214x y +=椭圆的焦距长为：19．（2020·上海高二课时练习）椭圆22192x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 在椭圆上，若14PF =，2PF =_______；12F PF ∠的小大为__________．【答案】2 ；23π； 【解解：因为由椭圆的定义，我们可知1221222121212121222||||cos 21642812422PF PF a PF a PF PF PF F F PF F F PF PF PF +=∴=-+-∆∠=⨯+-==-⨯⨯中，20．（2019·浙江高二期中）若方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______；当1m =-时，椭圆的焦点坐标为______. 【答案】11(2,)(,1)22---； (0,1),(0,1)-. 【解析】①根据椭圆的方程特征，方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则201021m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得：11(2,)(,1)22m ∈---； ②1m =-时，椭圆的方程2212y x +=，焦点在y 轴，其坐标分别为(0,1),(0,1)-故答案为：①11(2,)(,1)22m ∈---；②(0,1),(0,1)- 21．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 【答案】椭圆 45【解析】设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，1AF 的斜率不为0，可设1:1AF l x my =- 则122:11BF y y l x x =+-①，211:11AF y y l x x =--② 所以()12121221212121211112224y y y y y y y y x x x x my my m y y m y y ⋅=⋅=⋅=+------++ 联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2242303m y my ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，得122243m y y m +=+，122343y y m -=+ 所以222316133y x m -=--+由①②得()12122112y y x x m y y y y ++-+=-，所以35x m y = 所以22231316353y x x y -=-⎛⎫-+⎪⎝⎭整理得222215344x x +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 的轨迹所在的曲线是椭圆，14554e == 故答案为：椭圆；45.五、解答题22．（2020·上海高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4）.求它的标准方程.【答案】2212516x y +=或221167y x +=【解析】（1）若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x ya b a b+=>>.将点（0，4）代入，得4b =.由26c =，解得3c =.22225∴=+=a b c ，从而椭圆方程为2212516x y +=； （2）若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y xa b a b+=>>.将点（0，4）代入，得4a =.由26c =，解得3c =，2227b a c =-=，从而椭圆方程为221167y x +=. 综上所述，椭圆的标准方程为2212516x y +=或221167y x +=.23．（2019·于都县第二中学高二月考（文））焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点2,1)P 在椭圆上.（1）求m的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长22、焦距22、离心率2 2【解析】（1）由题意，点(2,1)P在椭圆上，代入，得222114m+=，解得2m=（2）由（1）知，椭圆方程为22142x y+=，则2,2,2a b c===椭圆的长轴长24a=；’短轴长222b=；焦距222c=；离心率22cea==.24．（2019·永济市涑北中学校高二月考（理））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；（2）求点到直线距离的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得，得椭圆（2）设，则当时，.25．（2019·河南宛城 南阳中学高二月考（理））已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项.(1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足1260F PF ︒∠=，求12PF F ∆的面积．【答案】(1) 22143x y +=;(2) 3【解析】(1)设所求椭圆方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>， 根据已知可得2221212242,2,413F F PF PF a a b a c =∴+==∴==-=-=, 所以此椭圆方程为22143x y +=； (2)在12PF F ∆中，设12,PF m PF n ==，由余弦定理得：22242cos604()22cos60163m n mn m n mn mn mn︒︒=+-⋅∴=+--⋅=- 121134sin 6004322PF F mn S mn ︒∆=∴=⋅=⨯=26．（2019·牡丹江市第三高级中学高二期末（文））已知点(2,1)P -在椭圆()222:102x y C a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线AB 的斜率．【答案】（1）22182x y +=；（2）12. 【解析】（1）将(2,1)P -代入22212x y a +=, 得()2222112a -+=,28a =. 故椭圆方程为22182x y +=. （2）当直线AB 斜率不存在时不合题意,故设直线:AB y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为00(,)M x y ,由22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222()148480k x kmx m +++-=, 0122()14214km x x x k +=-=+,00214m y kx m k =+=+, 直线OP 经过弦AB 的中点,则OM OP k k =,0012y x =-, 142m km =--,12k ∴=,即直线AB 的斜率为12. 27．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距离是6．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-，求k 的取值范围． 【答案】解（I ）（II ） 【解析】（I ）由已知，；,故椭圆C 的方程为………………4分（II ）设则A、B坐标是方程组的解．消去，则，………………7分所以k的取值范围是………………12分。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。
高考数学一轮复习 考点50 椭圆必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。
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椭圆综合练习2一、选择题1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)2.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ）A ．23 B ．3 C ．27 D ．43. 过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．33 C ．12 D ．134. 椭圆141622=+y x 有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为41-,则22OQ OP + 为（ ）A .4 B.64 C.20 D.不确定5.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c by x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A .)53,55( B.)55,52(C.)53,52(D.)55,0( 6. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距,则a cb +的取值范围是 ( )A (1, +∞)B ),2(∞+C )2,1(D ]2,1(二、填空题：7. 椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠ 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是____________________.8. 圆心在y 轴的正半轴上,过椭圆14522=+y x 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为_______________________.9. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成ο30角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为______________________. 10. 已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥。
若12PF F ∆的面积为9，则b = . 三、解答题：11.如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |．求椭圆方程.12.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上, 离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.13.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程; (2)求21F F A k ∆的面积; (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.14.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为33，以原点为圆心。
椭圆短半轴长半径的圆与直线2y x =+相切， （1）求a 与b ；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 与点P .求线段1PF 垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型。
15.已知椭圆的中心在原点，其中两顶点的坐标为(1,0)和(0,2)，M 是椭圆上的动点． （1）若,C D 的坐标分别是(0,3),(0,3)，求MC MD g 的最大值；（2）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，0QA BA =u u u r u u u rg ．求线段QB 的中点P 的轨迹方程.参考答案一、 选择题：DCB C A D3.解析:因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=o有232,b a a=从而可得33c e a ==，故选B4．解析: 设直线方程为 kx y =,解出2OP ,写出2OQ 另法：设11(,)P x y ，22(,)Q x y 则12121212144y y y y x x x x ⋅=-⇒=- P Q 、Q 在椭圆上22222211121222222222222121212164324()16416164()16x y x x y y x y x x y y y y ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=-=-⋅++⎪⎪⎩⎩ 222222222121212121616164()16x x y y y y y y ==-⋅++ 得 22124y y += 22222222121212||||323()321220OP OQ x x y y y y ∴+=+++=-+=-=5．解析: 解齐次不等式:a c bb <+<2,变形两边平方. 6．解析: 焦三角形AFO,如图: θθθ,cos sin +=+acb 为锐角.转化为三角函数问题. 二、填空题： 7.5353<<-x 解析:以椭圆的中心为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交；8.25)62(22=-+y x ；9.21 解析: 求b a , R c R b R a R a 33,,332,230cos 2===∴=ο 10.解析依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=+2222121214||||18||||2||||c PF PF PF PF aPF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。
三、解答题：11.解： 以O 为原点，O A 为X 轴建立直角坐标系，设A （2，0），则椭圆方程为22214x y b+= ∵O 为椭圆中心，∴由对称性知|O C |＝|O B |又∵0AC BC =u u u r u u u rg ， ∴AC ⊥BC又∵|BC |＝2|AC | ∴|O C |＝|AC | ∴△A O C 为等腰直角三角形∴点C 的坐标为（1，1） ∴点B 的坐标为（－1，－1）将C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得243b =， 则求得椭圆方程为223144x y +=12.解:设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=a c 得b a 2=)(,34)21(3)23(22222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=若21<b , 则当b y -=时2AM 最大,即23()72b +=, 21237>-=∴b ,故矛盾.若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12=b ，所求方程为 1422=+y x 13.解析（1）设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= （0a b >>）半焦距为c;则21232a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ , 解得633a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ , 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：221369x y +=. (2 )点K A 的坐标为(),2K - 12121126326322K A F F S F F =⨯⨯=⨯⨯=V （3）若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+f 可知点（6，0）在圆k C 外， 若0k <，由22(6)0120215120k k -+---=-f 可知点（-6，0）在圆k C 外； ∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G.14分析（1）由椭圆2222222313x y c a b c e a a b+==+==中及建立a 、b 等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a 、b.（2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。
14.解析（1）由于33e = ∴22222213c a b e a a -=== ∴2223b a = 又211b ==+ ∴b 2=2,a 2=3因此， 3 . b=2a =（2）由（1）知F 1，F 2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P （1，t ）.（t ≠0）.那么线段PF 1中点为(0,)2t N ，设M(x 、y )是所求轨迹上的任意点.由于1(,) . (2,)2tMN x y PF t =--=--u u u u v u u u v 则12()02t MN PF x t y y t⎧=+-=⎪⎨⎪=⎩⋅u u u uv u u u v 消去参数t 得24(0)y x x =-≠,其轨迹为抛物线（除原点）15解：（1）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221(0)x y a b b a +=>>.由两顶点的坐标为(1,0)和(0,2)知1,2b a ==从而得椭圆方程为2214y x += . 又易知C ，D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以,24MC MD a +== 从而22()242MC MD MC MD +⋅≤==，当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)± 时上式取等号，MC MD ⋅的最大值为4（II ）如图（20）图，设M(,),(,)m m B B x y B x y , (,)Q Q Q x y .因为(,0),N N x OM ON OQ +=u u u u r u u u r u u u r，故2,,Q N Q M x x y y ==222(2)4yQ Q M x y x y +=+= ①因为0,QA BA ⋅=u u u r u u u r(1)(1)(1)(1)0,Q Q N n Q N Q N x y x y x x y y --⋅--=--+=所以 1Q N Q N N Q x x y y x x +=+-. ②记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点，所以 2,2P Q P P Q P x x x y y y =+=+由因为 221N N x y +=，结合①，②得22221(()())4P P Q N Q N x y x x y y +=+++22221(2())4Q N Q n Q N Q N x x y y x x y y =+++++1(52(1))4Q N x x =++-34P x =+故动点P 的轨迹方程为221()12x y -+=。