河北饶阳中学高二数学寒假作业一
高中数学寒假作业及详细解答
【解析】试题分析：设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，C是AB的中点，分别过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，由抛物线定义，得 ．
．
考点：抛物线的弦长．
12．A
【解析】
【分析】
首先根据椭圆定义可知 ，根据余弦定理 ，
再根据 ，根据这三个式子的变形得到 和 ，最后求离心率.
【详解】
由椭圆的定义，得 ，平方得 ①.
由 ， ②， 是锐角，
由余弦定理得 ③，
-③得 ④
由②④，得 ，
是锐角，
，
即 且
.
由②③可知 ⑤
由①⑤可得 ，
， ，即 ， .
则椭圆离心率的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于 的不等式关系.
【详解】
对 求导， ， ，而 ，
所以曲线在 处的切线斜率为1，切线方程为 ，
切线与坐标轴的交点为（0，1）和（-1，0），
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
【点睛】
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题。
16．
【解析】
【分析】
根据题意设出直线方程和 两点坐标，将直线与抛物线联立，利用韦达定理得出 的关系，再根据 ，即可解出 ，从而解出 .
建立坐标系如图，写出相关向量坐标，利用向量夹角公式即可；
由（1）求出平面 和平面 的法向量n和m，利用 即可，注意在本题中
平面 与平面 所成的角为锐角，所以
试题解析：（1）建立如图所示的直角坐标系，则
, , , ，从而
, .
记 与 的夹角为 ，则有
高二数学寒假作业(1)参考答案
高二数学寒假作业(1)参考答案1、-82、x-y- 3 =03、- 13 4.⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤+00000180135,1351350,45αααα 5、解：直线l ：ax+y+2=0恒过定点(0，-2)如图∵K AQ =43 ，K AP =- 32 ∴K l ≥43 或K l ≤- 32即：-a≥43 或-a≤- 32∴a≤- 43 或a≥32 6、解：设l 1、l 2、l 3的倾斜角为α1、α2、α3，斜率为k 1、k 2、k 3则α1:α2、α3=1:2:4，∴α2=2α1，α3=4α1∴k 2=tamα2=34 ，即：2tanα11-tan 2α1 =34 得：tanα1=13(舍负) ∴k 1=13，∴直线l 1的方程为：x-3y+10=0 又k 3=tan2α2=247，∴直线l 3的方程为：24x-7y-150=0 7、当k 存在时，设直线l 的方程为：y+5=k(x-2)，即：kx-y-2k-5=0由题意知：2|3k+2-2k-5|k 2+1 =|-k-6-2k-5|k 2+1∴k 1=-1或k 2=-17∴所求直线l 的方程为：x+y+3=0或17x+y-27=08、解：由题意知：直线l 的方程可设为：x a + y b=1(a>0，b>0) ∵过点(3，2)∴3a + 2b=1 ∴a+b=(a+b)(3a + 2b )=3+ 2a b + 3b a +2≥5 + 2 6 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=12332ba ab b a 即：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2636b a 此时直线l 的方程为：x 6 +3 + y 6 +2=1 高二数学寒假作业(2)参考答案1、y=- 12x+1 2、(-1，- 13 ) 3、二 4、-213 -65、3x+y+4=06、解：B 关于直线y=2x 的对称点B’在直线AC 上，设B’(a ，b)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+=+-=--223212131a b a b 得：⎩⎨⎧=-=31b a ∴直线AC 的方程为：x-3y+10=0由⎩⎨⎧==+-xy y x 20103 知C(2，4) ∴AB=50 ，BC=10 ，AC=40∵AB 2=BC 2+AC 2∴△ABC 是直角三角形7、解：由题意知：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=1)1(4)1(222a b b a a b a ∴a=23，b=2 8、解：设l 的方程为y-1=-m(x-1)则P(1+1m，0)、Q(0，1+m) 从而直线PR 的方程为：x-2y - m+1m=0 直线QS 的方程为：x-2y+2(m+1)=0又PR ∥QS∴|RS|=|2m+2+1+ 1m |5 =3+2m+ 1m 5 又|PR|=2+ 2m 5 |QS|=m+15四边形PRSQ 为梯形 ∴S 四边形PRSQ =12 [2+ 2m 5 + m+15 ]·3+2m+ 1m 5=15 (m + 1m + 94 )2- 180 ≥15 (2 + 94 )2- 180∴四边形PRSQ 的面积的最小值是高二数学寒假作业(3)参考答案一、填空1、22,4,0d a a a ==-===或2、弦长为4，1425S =⨯=3、tan4α==，相切时的斜率为4± 4、设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45a a a a x y +>==-+=5、得三角形的三边060的角二、解答题6、解：令(2),(1)y k x --=--则k 可看作圆122=+y x 上的动点到点(1,2)--的连线的斜率 而相切时的斜率为34，2314y x +∴≥+ 7、解：（1）2210100,x y x y +--=①；2262400x y x y ++--=②；②-①得：250x y +-=为公共弦所在直线的方程；（2=，公共弦长为高二数学寒假作业(4)参考答案1.[-；[){}1,12-；⎡⎣ 曲线21x y -=代表半圆2.30x y -+= 当AB CP ⊥时，AB 最小，1,1,21CP l k k y x =-=-=+3.220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 的方程为11(2)(2)4x x y y +--=2AT 的方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --= 24(2)4,220x y x y ∴--=-+= 4.解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d=(3,5)A -和(2,15)B 到直线10,x y -+=上的点的距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+= 对称的点'(4,2)A -，则'min d A B =5.解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222x y -+-=，表示的图形占整个图形的14 而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 1114(11)2222S ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+ 6.解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上，即4,23x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y ∴-+-=7 .解：在ΔABP 中有22221(4)2AP BP OP AB +=+，即当OP 最小时，22BP AP +取最小值，而min523OP =-=，394129123,3,(,)555555x y P P P =⨯==⨯= 高二数学寒假作业(5)参考答案1、20 62、73、324、 2 25、(x-2)2+(y-2)2=26、[1，+∞)7、(x-2)2+(y-1)2=258、(1)x=1或y=34 x + 54(2)设M(x 0，y 0)，则N(0，y 0)、Q(x ，y) ∵OQ =OM +ON∴⎩⎨⎧==002y y x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==200y y x x ∵x 02+y 02=4∴x 2+ y 24=4高二数学寒假作业(6)参考答案1、y= 3 3 x + 2 3 32、 23、(x+3)2+(y-2)2=24、y=x+15、a≠0 x 2+y 2-2x+2y=06、l ：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(1)m(2x+y-7)+x+y-4=0过定点(3，1)(3-1)2+(1-2)2<25(3，1)在圆内∴l 与圆相交(2)y=2x-5高二数学寒假作业(7)参考答案一、填空题1、362x +322y =1，2、1，3、2，4、y 2=28x ，5、（9,±6），6、965二、解答题 7、双曲线12222=-by a x （a >0,b>0），过焦点F 1的弦AB(A 、B 在双曲线的同支上)长为m ，另一焦点为F 2，求 △ABF 2的周长.解 ∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|AF 1|＝2a ，∴(|AF 2|－|AF 1|)＋(|BF 2|－|BF 1|)＝4a ,又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB|＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋(|AF 1|＋|BF 1|)=4a ＋m. ∴△ABF 2的周长等于|AF 2|＋|BF 2|＋|AB|＝4a ＋2m.高二数学寒假作业(8)参考答案一、填空题1、162、k ＜１或k ＞２3、041222=+--+y x y x 4、2x+y=0 或 2x-y=0 二、解答题5、设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ 双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．6、[解析]:由 2223254c b a a c e b =-===⇒ 812==c a ，∴椭圆的方程为：18014422=+y x 或18014422=+x y .高二数学寒假作业(9)参考答案1. x 281 +y 272=1 2. x 236 +y 216=1 3. 2 -14. 2个5. 1436. [4-2 3 , 4+2 3 ]7. x 29 - y 216=1(x>0) 8. (1)(32 , ±532) 9. 4 (x- 2 )2+(y- 2 )2=4or (x+ 2 )2+(y+ 2 )2=4高二数学寒假作业(10)参考答案1. 92. 653. 5 or524. 225. 546. x22+y2=1, y=±x+17. 略。
高二数学寒假作业一教师版
FE D 1C 1B 1BCDA1A高二数学寒假作业（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1．已知集合}{|1A x x =≤，}{|0B x x =>，则A B = ______. (0,1] 2．设x ∈R ，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ______．233．已知四边形ABCD 是矩形，AB=2，AD=3，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若 ∠AEF 为钝角，则线段BE 长度的取值范围是＿＿＿＿（1,2） 4．若2x >，则12x x +-的最小值为 ． 4 5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝______.3.26．已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ______．3 7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为______. 98．已知函数n my x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为______．139．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ．42510．已知函数2,0,()2,0x x f x x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．(1,12)-+11．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= ______.3212．已知集合},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．对于集合},,,,{321n b b b b B =，若实数n b b b b ,,,,321 成等差数列，则)(B M = ．32-nT ←1 i ←3 While T <10 T ←T +i i ←i +2 End While Print iEFABCDP13．已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则ABCD的值为 ．11614．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______.54二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明. 15．（本小题满分14分）已知实数0>a ，命题p ：R x ∈∃，a x >|sin |有解；命题q ：]43,4[ππ∈∀x ，01sin sin 2≥-+x a x ．（1）写出⌝q ；（2）若p 且q 为真， 求实数a 的取值范围．解：（1）⌝q : 3[,]44x ππ∃∈，2sin sin 10x a x +-< （2）p 且q 为真，则p , q 同时为真，由于实数0>a ，则 p ：10<<a ；q ：]43,4[ππ∈x 时，]1,22[sin ∈x ，则由01sin sin 2≥-+x a x 得： x x a sin sin 1-≥，令x t sin =，则]1,22[∈t ，函数t t t f -=1)(在区间),0(+∞上为减函数，则当]1,22[∈t 时，22)22(1)(=≤-=f t t t f ， 要使x x a sin sin 1-≥在]43,4[ππ∈x 上恒成立，则22≥a ；综上可知，122<≤a ．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AB =，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ． 证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． ……… 2分又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． ………………… 3分 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． ………………… 5分 所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF ∥平面PAD ． ………………… 7分（Ⅱ）设AC DE H = ，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==， 又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，1333AG AC ==．所以23AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……………… 10分 又DE PA ⊥，PA AC A =，所以DE ⊥平面PAC ． ……………… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……………… 14分17．（本小题满分14分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4(0tan )3MEF αα∠=≤≤，故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分 sin 18060120cos cos ααα=-+sin 28060cos αα-=-． ………… 8分 （Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，数形结合得当6πα=时有max ()3f α=-，此时有min 80603W =+．………………… 15分FEDCBAl 2l 1公路公路F E D C B A l 2l1公路公路M答：排管的最小费用为80603+万元，相应的角6πα=． ………………… 16分18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ，B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ． （Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程； （Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）图（2） 解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵PCD ∆的面积为12，∴122122a b ⨯⨯=，即6ab =．① ………………… 2分 此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=． ∴点O 到PD 的距离224ab d b a =+＝65． ② …… 4分 由①②解得3,2a b ==． …………… 6分 ∴所求椭圆方程为22194x y +=． ………… 7分 （Ⅱ）如图，当k ＝2时，(,2),(,2)C a b D a b ---，设12(,0),(,0)E x F x ，由D ，E ，P 三点共线，及1(,2)DE x a b =+ ，00(,2)DP x a y b =++（说明：也可通过求直线方程做） 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+，∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+，即002()2b x a AE y b⋅+=+．…… 9分由C ，F ，P 三点共线，及2(,2)CF x a b =-， 00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-，∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+，即002()2b a x FB y b⋅-=+．…… 11分 FEyxO P DCB A FEyxOPD CBAFEy xO P D CB A FEyxO P DCBA又2200221x y a b +=，∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++． ………………… 13分 而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分∴2EF AE FB =⋅，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 19. 已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足*1112()n n n n n a b a b na n N ++++=∈． （Ⅰ）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且112b =时，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定；（Ⅲ）设2*12()1n n n n a a a n N a ++=∈+，21nn i i S b ==∑，求证：226n S n <<．20．（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2x f x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 解：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解． （Ⅰ）当2()24()f x ax x a a =+-∈R 时，方程()()0f x f x +-=即22(4)0a x -=有解2x =±，所以()f x 为“局部奇函数”． ……………… 3分 （Ⅱ）当()2x f x m =+时，()()0f x f x +-=可化为2220xxm -++=，因为()f x 的定义域为[]1,1-，所以方程2220x xm -++=在[]1,1-上有解．………… 5分令12[,2]2xt =∈，则12m t t -=+．设1()g t t t=+，当(0,1)t ∈时，()g t 在(0,1)上为减函数，当(1,)t ∈+∞时，()g t 在(1,)+∞上为增函数． ………………… 7分所以1[,2]2t ∈时，5()[2,]2g t ∈．所以52[2,]2m -∈，即5[,1]4m ∈--． ………………… 9分（Ⅲ）当12()423x x f x m m +=-+-时，()()0f x f x +-=可化为2442(22)260x x xx m m --+-++-=． 22[2,)x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-，从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得1313m -+≤≤； ……………… 13分 2° 当(2)0F >时，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于2244(28)0,2,(2)0,m m m F ⎧∆=--⎪>⎨⎪>⎩≥解得1322m +<≤． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为1322m -≤≤． ………………… 16分。
高二数学寒假作业练习-最新教育文档
高二数学寒假作业练习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若ab，则下列不等式(1)a+c(2)a-c(3)ac(4)0)其中恒成立的不等式个数为()(A)0(B)1(C)2(D)2.过点(1，0)，且与直线平行的直线方程是()(A)(B)(C)(D)3.到两点A(-3，0)、B(3，0)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是()(A)椭圆(B)线段(C)双曲线(D)两条射线4.抛物线的准线方程是()(A)(B)(C)(D)5.圆=25在x轴上截得的弦长是()(A)3??(B)4(C)6(D)8.6与不等式同解的不等式为()(A)(B)(C)lg0(D)7.离心率为，一个焦点是(5，0)的双曲线的标准方程是()(A)(B)(C)(D)8.[原题资料有误]已知两点M(1，??)，N(?，?)，则M关于N的对称点的坐标是()??(A)(1，?)(B)(1，?)??(C)(1，3)???????(D)(?，?3)9.不等式组表示的区域是()10.以点A(1，3)，B(-2，8)，C(7，5)为顶点的ABC是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形11.已知椭圆上有一点P，它到椭圆左准线的距离是，点P 到右焦点的距离是它到左焦点距离的几倍()(A)7(B)6???????????????(C)5(D)12.、方程表示的曲线是()A抛物线的一段B线段C圆的一部分D抛物线第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上)13.函数(x0)的最小值为;14.过点C(-1，1)和D(1，3)，圆心在X轴上的圆的方程为。
15.已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P是该椭圆上的一个动点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.16如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是。
河北省饶阳中学高二数学寒假作业一
1．已知抛物线的准线方程是x ＝－7，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 2．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标是( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－4,0)，(4,0)D ．(－5,0)，(5,0)3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.324．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线5．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1166．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 7．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标为( ) A ．(9,6) B ．(6,9) C ．(±6,9) D ．(9，±6)8．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．09．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2b2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是2，则b 的值为( )A. 2B.52C ．2 2 D. 5 10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y11．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.12．若曲线x 2k －2＋y 2k ＋5＝1的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________．13．动直线y ＝a 与抛物线y 2＝12x 相交于A 点，动点B 的坐标是(0,3a )，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为__________．14．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．15．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为34，求双曲线的方程．作业一参考答案1、解析：选B.∵抛物线的准线为x ＝－7，∴p ＝14，且开口方向向右． 故抛物线的方程为：y 2＝28x .2、解析：选D.双曲线焦点在x 轴上，且c ＝16＋9＝5，所以焦点为(±5,0)．3、解析：选C.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，故是等轴双曲线，离心率e ＝ 2.4、解析：选D.由题意得点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等， 因此点P 的轨迹是抛物线．5、解析：选D.依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.6、解析：选A.由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c ＝1，又e ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求的椭圆方程为x 24＋y 23＝1.7、解析：选D.设P (x 0，y 0)，则x 0－(－1)＝10，即x 0＝9，代入抛物线方程， 得y 20＝36，即y 0＝±6.8、解析：选B.∵直线mx ＋ny ＝4与圆O 无交点，∴4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，∴m 24＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点P (m ，n )在椭圆内部，过点P 的直线与椭圆有2个交点． 9、解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝44＋b 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2b 2.因此，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2＝2.故b ＝ 2.10、解析：选C.如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ·40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C中的2p ＝452符合题意．其方程不同主要是因为讨论的焦点不同．11、解析：∵|F 2A |＝|AB |＝6，a ＝5，由椭圆的定义知：|AB |＋|F 2A |＋|F 2B |＝4a ＝20， ∴|F 2B |＝8.12、解析：∵k ＋5>k －2，又曲线x 2k －2＋y 2k ＋5＝1的焦距与k 无关，∴k ＋5>0，k －2<0，曲线是焦点在y 轴上的双曲线，且a 2＝k ＋5，b 2＝2－k ，c 2＝a 2＋b 2＝7，故焦点坐标为(0，±7)．13、解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a y 2＝12x ，解得A (2a 2，a )，设M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2y ＝2a，∴x ＝14y 2，∴y 2＝4x .解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°， 如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝ca＝ 6. 14、 1615、解：(1)依题意，有3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，即m 2＝8n 2，即双曲线方程为x 216n 2－y 23n2＝1，故双曲线的渐近线方程是x 216n 2－y 23n 2＝0，即y ＝±34x .(2)不妨设渐近线y ＝±34x 与直线l ：x ＝c 交于点A 、B ，则|AB |＝3c 2，S △OAB ＝12c ·32c ＝34，解得c ＝1.即a 2＋b 2＝1，又b a ＝34，a 2＝1619，b 2＝319， ∴双曲线的方程为19x 216－19y 23＝1.。
河北饶阳中学高二数学寒假作业高中数学知识点
高二数学选修2 —1第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句真命题：判断为真的语句•假命题：判断为假的语句.2、 "若p，则q ”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论•3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q ”，它的逆命题为“若q，则p ” .4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题若原命题为“若p，则q ”，则它的否命题为“若「p，则「q ” • 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p，则q ”，则它的否命题为“若，则」p ”。
原命题若P则g互否］否命题若F则F6、四种命题的真假性:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.7、若p= q，贝U p是q的充分条件，q是p的必要条件.若p= q，则p是q的充要条件（充分必要条件）.8用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q .当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时,假命题.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q.当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时, p \ q是假命题.对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作-p .若p是真命题，则-p必是假命题；若p是假命题，则-p必是真命题.9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“- ”表示. 含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对泊中任意一个x，有p x成立”，记作“- x・泊，p x ”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在二I中的一个x，使p x成立”，记作“.11 , p x ”.10、全称命题p : - X•划，p x，它的否定—p : , - p x。
高二数学上学期寒假作业1
已知F1、F2分别为椭圆C1： 的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2： 的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且 .
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线
y=kx（k>0）与椭圆C1相交于E、F两点.
求四边形AEBF面积的最大值.
高二数学寒假作业参考答案（1）
故所求圆的方程为 或 .（14分）
20．（本小题满分14分）
解：（1）设 .
由C2： ，得F1（0，1）.（1分）
因为M在抛物线C2上，故 .①（2分）
又 ，则 .②（3分）
解①②得 （4分）
因为点M在椭圆上，故 ，即 ③
又c=1，则 ④
解③④得 故椭圆C1的方程为 .
（2）不妨设 ， ，且 .
将 代入 中，可得 ，即 ，所以 .由（1）可得 .
故四边形AEBF的面积所以 因为 ，所以 .所以 ，当且仅当 时，等号成立.故四边形AEBF面积的最大值为 .（14分）
2．下列是全称命题且是真命题的是
A． B．
C． D．
3．双曲线 的渐近线方程是
A． B． C． D．
4．命题“若a>-3，则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A．1 B．2 C．3D．4
5．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则k的值是
A．1 B． C． D．
6．若焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 ，则实数k等于
（3）经过点C（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直.
16．（本小题满分12分）
如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点E、F、E1、F1.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？
高二数学寒假作业(含答案)
数学寒假作业（一）测试范围：解三角形使用日期：腊月十九 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 22．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°3．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A.31010 B ．－31010 C.55D ．－554．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°5．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°6．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.24257．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( ) A ．150° B ．120° C ．90°D ．135°8．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ，B 的大小关系不能确定9．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 210．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形11．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )A.532B. 3C.52 D ．512．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为85，则此三角形面积为________．14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.15.如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 面积．18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C .19．(本题满分12分)如图，某海轮以30n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80min 到达C 点，求P 、C 间的距离．20．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．21．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ，求b 及c 的长．22．(本题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos(B－C)－1＝6cos B cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b、c.家长签字：日期：数学寒假作业（一）答案1、[答案] D2、[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.3、[答案] D4、[答案] A5、[答案] B[解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.6、[答案] A7、[答案] B8、解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a >b .∴A >B .答案：A 9、[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，∴sinB ＝2sin A ，∴sin B sin A ＝ 2.由正弦定理，得ba ＝sin Bsin A ＝ 2.10、[答案] B[解析] 由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，即a ＝2b 或b ＝2a . 当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2.故△ABC 为直角三角形．11、[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5，∴cos A ＝－12，∴sin A ＝32，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532.12、[答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin π2－A 1sin B 2＝cos B 1＝sin π2－B 1sin C 2＝cos C 1＝sinπ2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立， 即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D.13、[答案] 403[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2得x ＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S ＝12×16×10·sin60°＝40 3. 14、[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 15、[答案] 332[解析] 解法一：∵∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°.∵CD ＝2，AC ＝19，∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719. ∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738.∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D＝19×35738sin120°＝3.∴h ＝AD ·sin60°＝332. 解法二：在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°，∴AD 2＋2AD －15＝0.∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)．∴h ＝AD sin60°＝332.16、[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝b c .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．17、[解析] (1)∵cos C ＝55，∴sin C ＝255，∴tan C ＝2.∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3＋21－3×2＝1，又0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c ×sin B sin C ＝4×22255＝10.∵B ＝π4，∴A ＝3π4－C .∴sin A ＝sin(3π4－C )＝sin 3π4cos C －cos 3π4sin C ＝22×55－(－22)×255＝31010.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×10×4×31010＝6.18、[解析] 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°，∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－2 3 ② ①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由⎩⎨⎧b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎨⎧b ＝3＋1c ＝2，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝3＋1sin60°6＝6＋24.∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°.∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角， ∴B ＝75°，从而可知C ＝45°.[点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°. 若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°. 19、[解析] AB ＝30×4060＝20，BC ＝30×8060＝40.在△ABP 中，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，∠APB ＝30°， ∴BP ＝ABsin ∠APB ·sin ∠BAP ＝20sin30°sin120°＝20 3. 在Rt △BCP 中，PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋2032＝207.∴P 、C 间的距离为207nmile.20、[解析] (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．21、[解析] (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎨⎧b ＝6c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26c ＝4.22、[解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)∵0<A <π，cos A ＝13，∴sin A ＝223.由S △ABC ＝22，得12bc sin A ＝22， ∴bc ＝6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16， ∴b ＋c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.数学寒假作业（二）测试范围：数列使用日期：腊月二十一 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．833．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．424．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.31155．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．188．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．1610．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1 B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n＋111．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210 B.129 C.110 D.15二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．等比数列{a n }中，a 3＝12， a 5＝48，那么a 7＝________.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 15．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，S n 是其前n 项的和，则S n 等于________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．18．(12分)等差数列{a n}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20.19．(12分)已知数列{a n}的首项a1＝3，通项a n＝2n p＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列{a n}的前n项和S n的公式．20．(12分)设{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且b1＝0，c n＝a n＋b n，若{c n}是1,1,2，…，求数列{c n}的前10项的和．21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．22．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .家长签字：日期：数学寒假作业（二）答案1、答案 D2、答案 B3、答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4、答案 A5、答案 C解析 由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6，故选C.6、答案 A解析 依题意得a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln n n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A.7、答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B. 8、答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.9、答案 C解析 由4a 1＋a 3＝4a 2⇒4＋q 2＝4q ⇒q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10、答案 B 11、答案 B 12、答案 D 解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n }为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12.∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n，∴a 10＝15.13、解析：由题意可知a 3，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 3·a 7，∴a 7＝48212＝192.14、解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1，2n －1n ≥2.15、解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 16、解析：∵(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·1＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1)．∴S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.17、解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.18、解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19、解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)得a n ＝2n＋n ，S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20、解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝a 11－q 101－q ＋10b 1＋10×92d ＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．21、解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22、解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，a n ＝13n (n ≥2)．验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．(2)b n ＝n ·3n，S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1上述两式相减得： －2S n ＝3＋32＋33＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.即S n ＝n2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.数学寒假作业（三）测试范围：不等式使用日期：腊月二十三 测试时间：100分钟 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＞－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2} 2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N3．下列命题中正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b4．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32 D ．35．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．156．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3＞10，x 2＋7x ＋12≤0的解集为( )A ．[－4，－3]B ．[－4，－2]C ．[－3，－2]D ．∅7．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．a (a －b )＞08. 在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．19． 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．210．已知x >0，y >0.若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4 C ．－2<m <4 D ．－4<m <2 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 11．函数y ＝2－x －4x (x ＞0)的值域为________． 12．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．13．已知不等式x 2－ax －b ＜0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为________．14．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1，表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．三、解答题(共4小题，共50分) 15．(12分)解下列关于x 的不等式 (1)1＜x 2－3x ＋1＜9－x(2)ax2－x－a2x＋a＜0(a＜－1)16．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．17．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？18．(14分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．家长签字：日期：数学寒假作业（三）答案1．选C 原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.2．选A 因为M －N ＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N . 3．选C 选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a ＞b ，但a 2＜b 2，所以B 不正确；选项D 中，当a ＝－2，b ＝－1时，a 2＞b 2，但a ＜b ，所以D 不正确．很明显C 正确．4.选A 可行域为如图所示的阴影部分，可知z ＝x －y 在点A (0,3)处取得最小值，∴z 最小值＝－3.5．选B x ，y 为正数，(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y ＝2x等号成立．6．选 A ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3＞10x 2＋7x ＋12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3＜－5x ＋3x ＋4≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2－4≤x ≤－3⇒－4≤x ≤－3.7．选C 由已知可得，c ＜0，a ＞0，b 不一定，若b ＝0时，C 不一定成立，故选C. 8．选A 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13、－1、0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.9．选B 如图所示：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，表示的可行域如阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x ，得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B.10．选D ∵x >0，y >0.∴2y x ＋8x y ≥8(当且仅当2y x ＝8xy 时取“＝”)． 若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立， 则m 2＋2m <8，解之得－4<m <2.11．解析：当x ＞0时，y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4x ，x ＝2时取等号．答案：(－∞，－2]12．解析：由已知得2x 2＋2x －4≤2－1，所以x 2＋2x －4≤－1，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.答案：{x |－3≤x ≤1}13．解析：方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3.根据韦达定理得：a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1＜0，解得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1314．解析：画出可行域，由图知最优解为A (1,1)，故A 到x ＋y ＝10的距离为d ＝4 2.答案：4 215．解：(1)∵1＜x 2－3x ＋1＜9－x ， ∴x 2－3x ＋1＞1且x 2－3x ＋1＜9－x . ∴x ＞3或x ＜0且－2＜x ＜4. ∴－2＜x ＜0或3＜x ＜4.∴原不等式1＜x 2－3x ＋1＜9－x 的解集为{x |－2＜x ＜0或3＜x ＜4}． (2)由ax 2－x －a 2x ＋a ＜0 ∴(x －a )(ax －1)＜0因a ＜－1∴(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，当a ＜－1时，1a ＞a ，所以x ＜a ， 或x ＞1a .∴不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞1a }．16．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k ＜0 .由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3×－2＝6，－3＋－2＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝4－4k ·6k ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k ＞66或k ＜－66.所以k ＜－66.即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大． 18．解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． 而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2x －1×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．数学寒假作业（四）测试范围：简易逻辑使用日期：腊月二十五 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列语句中是命题的是( )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 45°＝1C ．x 2＋2x －1＞0 D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充要条件；②a ＞b ＞0是1a ＜1b 的充要条件；③a＞b ＞0是a 3＞b 3的充要条件．则其中正确的说法有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0, 则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．(2013·广州一模)“m <2”是“一元二次不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：5x －6＞x 2，则非p 是非q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0, 则x ，y 互为相反数”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题． 其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④8．已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈z .命题q ：∃x 0∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1＝0.则下列命题为真命题的是( )A ．非pB ．p ∧qC ．非p ∨qD ．非p ∨非q 9．(2014·江西卷)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，a ，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤111．下列命题中的假命题是( )A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1，0)C ．∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∀m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 12．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．命题：“若a ·b 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________________________________________________________________________．14．用“充分、必要、充要”填空：①p∨q为真命题是p∧q为真命题的__________条件；②非p为假命题是p∨q为真命题的__________条件；③A：|x－2|＜3，B：x2－4x－15＜0，则A是B的________条件．15．命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．16．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)对于下述命题p，写出“非p”形式的命题，并判断“p”与“非p”的真假：(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；(2)p：有一个素数是偶数；(3)p：任意正整数都是质数或合数；(4)p：三角形有且仅有一个外接圆．18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．19．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．20．(12分)已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．21．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．家长签字：日期：数学寒假作业（四）答案1、B 解析：可以判断真假的陈述句．2、D 解析：原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题．3、A 解析：①a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，仅仅是充分条件；②a ＞b ＞0⇒1a ＜1b ，仅仅是充分条件；③a ＞b ＞0⇒a 3＞b 3，仅仅是充分条件．4、D 解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．5、B 解析：一元二次不等式x 2＋mx ＋1>0的解为m ∈(－2，2)，则m <2只是其必要不充分条件．6、A 解析：非p ：|x ＋1|≤2，－3≤x ≤1，非q ：5x －6≤x 2，x 2－5x ＋6≥0，x ≥3或x ≤2，非p ⇒非q ，充分不必要条件． 7、C 解析：若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等” 为假命题；若q ≤1⇒4－4q ≥0，即Δ＝4－4q ≥0，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根，为真命题．“不等边三角形的三个内角相等”逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，为假命题．8、D 解析： 显然命题p 为真；因为对∀x ∈R ，都有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＞0，所以命题q 为假，所以非q 为真，由“或”“且”“非”命题的真值表知D 正确．9、D 解析：由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；∵ab 2＞cb 2，且b 2＞0，∴a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，则a ∥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确．10、A 解析：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1.∴a ≤－2或a ＝1.11、C 解析：当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题；将(1，0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题；当φ＝π2时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2是偶函数，C 为假命题；当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.12、A 解析：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2，a ≥1. ∴a ≤－2，或a ＝1.13、答案：若a ，b 至少有一个为零，则a ·b 为零 14、答案：①必要 ②充分 ③充分15、解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0.答案：[－3，0]16、解析：由x 2＞1得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－117、解析：(1)非p ：91∉A ，或91∉B ；p 真，非p 假． (2)非p ：每一个素数都不是偶数；p 真，非p 假．(3)非p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假，非p 真．(4)非p ：存在一个三角形有两个及其以上的外接圆或没有外接圆；p 真，非p 假．18、解析：逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19、解析：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12＞1，f （1）＞0，即k ＜－2，所以其充要条件为k ＜－2.20、解析：对于命题p ：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减． 当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0＜a ＜1.如果p 为假命题，那么a ＞1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4＞0，即4a 2－12a ＋5＞0⇔a ＜12，或a ＞52.又∵a ＞0，所以如果q 为真命题，那么0＜a ＜12或a ＞52.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 21、解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，的(x －3a )(x －a )＜0. 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2， 即2＜x ≤3.所以q 为真时，2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3⇔2＜x ＜3， 所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)∵非p 是非q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，则有(2，3](a ，3a )．于是满足⎩⎨⎧a ≤2，3a ＞3，解得1＜a ≤2，故所求a 的取值范围是(1，2]．数学寒假作业（五）测试范围：圆锥曲线使用日期：腊月二十七 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2→| ＝( )A.32B. 3C.72 D ．42．抛物线的顶点和椭圆x 225＋y 29＝1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝8xC ．y 2＝12xD ．y 2＝6x3．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12 B ．m ≥1 C ．m ＞1 D ．m ＞24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝15．(2013·惠州一调)已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7D.56或76．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(1，2)C ．(2，1)D ．(－1，2)7．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＝y 24＝18．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．49．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )A ．(4，0)B ．(2，0)C ．(0，2)D ．(0，－2)10．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12 B ．x 2＝2y －116 C ．x 2＝2y －1 D ．x 2＝2y －211．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5，0)或(－5，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－332C ．(0，3)或(0，－3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，3212．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(1，3]D ．(1，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．抛物线y 2＝8x 上一个点P (P 在x 轴上方)到焦点的距离是8，此时P 点的坐标是________．14．与椭圆x 24＋y 23＝1具有相同的离心率且过点(2，－3)的椭圆的标准方程是____________．15．若直线y ＝32x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是________．16．抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是_________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在 x 轴上，虚轴长为12，离心率为 54； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .18．(12分) 已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．19．(12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程．20. (12分)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)、B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．21．(12分)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；(2)设A (0，b )，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，54b ，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34b ，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．22．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1，0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．家长签字：日期：数学寒假作业（五）答案1、C2、A3、C 解析：由e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝1＋m 1＝1＋m ＞2，m ＞1.4、B5、C6、B7、C 解析：依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ，又|AB |＝b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝2b 2a ＝3，∴2b 2＝3a .又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a ＝2，b ＝ 3.故C 的方程为x 24＋y 23＝1.8、C 解析：设P (a ，b )为抛物线上在第一象限内的点，则a ＋2＝42，得a ＝32，因为点P (a ，b )在抛物线上，所以b ＝26，所以S △POF ＝12×2×26＝23，故选C.9、B 解析：直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2，0)．10、C 解析：由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0，1)，设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，4y 0＝x 20，∴x 2＝2y －1. 11、C 解析：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1||PF 2|22＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，故选C.12、C 解析：|PF 2|2|PF 1|＝（|PF 1|2a ）2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当|PF 1|＝4a 2|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号． 又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a .∴c ≤3a ，即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1，3]． 13、答案：()6，4314、答案：x 28＋y 26＝1或3y 225＋4x 225＝1 15、答案：216、解析：设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m 2)，∵M 在抛物线内，则有52＞(m2)2，得－10＜m ＜10且m ≠0，综上所述，m ∈(－10，10)．答案：(－10，10)17、解析：(1)焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝12，c a ＝54，b 2＝c 2－a 2.解得a ＝8，b ＝6，c ＝10.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 264－y 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，b a ＝32.解得a ＝3，b ＝92.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为 x 29－y 2814＝1.同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为y 29－x 24＝1. 故所求双曲线的方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.18、解析：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是 x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 线段的中点为M (x 0，y 0)，那么：x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95.所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.19、解析：设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，双曲线的方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1，半焦距c ＝13，由已知得：a 1－a 2＝4，c a 1∶c a 2＝3∶7，解得：a 1＝7，a 2＝3.所以：b 21＝36，b 22＝4，故所求两条曲线的方程分别为：x 249＋y 236＝1 ，x 29－y 24＝1.20、解析：(1)设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·yx －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1.由于x ≠±2，所以求得的曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.解得x 1＝0, x 2＝－4k1＋2k 2(x 1，x 2分别为M ，N 的横坐标)．由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1＋2k 2＝432，解得：k ＝±1.所以直线l 的方程x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。
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数学作业一
一、选择题：
1．函数f （x ）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ） A ．ab=0 B ．a+b=0 C ．a=b D ．a 2+b 2=0 2．“至多有三个”的否定为（ ）
A ．至少有三个
B ．至少有四个
C ．有三个
D ．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ） A ．金盒里 B ．银盒里 C ．铅盒里 D ．在哪个盒子里不能确定
4．不等式
04)2(2)2(2
<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是（ ）
A ．)2,2(-
B ．]2,2(-
C ．]2,(-∞
D ．)2,(--∞ 5．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ）
A ．a 和b 至少有一个是偶数
B ．a 和b 至多有一个是偶数
C ．a 是偶数，b 不是偶数
D ．a 和b 都是偶数 6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（ ）
A ．不拥有的人们不一定幸福
B ．不拥有的人们可能幸福
C ．拥有的人们不一定幸福
D ．不拥有的人们不幸福 7．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
8．条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 9．2x2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ）
A ．－21＜x ＜3
B ．－21＜x ＜0
C ．－3＜x ＜21
D ．－1＜x ＜6
10．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1。
则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
二、填空题：
11．下列命题中_________为真命题． ①“A ∩B=A ”成立的必要条件是“A B ”；②“若x2+y2=0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。
12．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为___ _____．
13． 知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件． 14．设p 、q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的 条件．
15．所给命题：
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题； ②{}
R x x
x ∈=+,01|2
=
{}=0或
;
③对于命题:“p 且q ”，若p 假q 真，则“p 且q ”为假；
④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件． 其中为真命题的序号为 ． 三、解答题：
16．给定两个命题,
P ：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数
根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
17．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么 （1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？。