七年级数学核心题目赏析
初一数学重点难题解析
初一数学重点难题解析初一数学难题解析在初一数学中，有一些重点难题需要我们特别关注和解析。
下面我将给出几个常见难题的解析，希望能够帮助大家更好地理解和掌握初一数学。
难题一：求一元二次方程的解一元二次方程是初一数学中的重要概念。
对于形如ax^2+bx+c=0的方程，我们需要求解x的值。
其中，a、b、c为已知常数。
解法：1. 首先，判断方程是否有解。
可以通过计算判别式D=b^2-4ac的值来判断。
如果D>0，则有两个不相等的实数解；如果D=0，则有两个相等的实数解；如果D<0，则无实数解。
2. 如果方程有解，我们可以使用求根公式x=(-b±√D)/2a来求解。
举例：求解方程x^2+6x+5=0。
解：首先，计算判别式D=b^2-4ac=6^2-4*1*5=16。
由于D>0，所以方程有两个不相等的实数解。
代入求根公式，可以得到x=(-6±√16)/2= (-6±4)/2。
因此，x1=(-6+4)/2=-1，x2=(-6-4)/2=-5，所以方程的解为x=-1和x=-5。
难题二：图形的相似性质在初一数学中，我们需要了解和运用图形的相似性质。
解法：1. 两个图形相似，意味着它们的形状相似，并且对应边的长度之比相等。
2. 对于两个相似的三角形ABC和DEF，它们的对应边的长度之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
举例：已知△ABC ~ △DEF，AB=6cm，AC=8cm，DE=9cm。
求EF的长度。
解：由相似三角形的性质可知，AB/DE=BC/EF=AC/DF。
代入已知条件，可以得到6/9=8/EF。
通过交叉相乘可以得到6*EF=9*8，即6EF=72。
解方程可得EF=12，所以EF的长度为12cm。
难题三：解方程组解方程组是初一数学中的重难点之一。
解法：1. 解方程组可以使用代入法、消元法、等价转化法等方法。
2. 代入法：将其中一个方程的一个未知数用另一个方程的未知数表示，代入到另一个方程中，得到一个未知数的方程，继续代入，最终求出所有未知数的值。
有理数的减法(6种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
有理数的减法（6种题型）【知识梳理】一．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．二．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．三、有理数加减法混合运算技巧（1）把算式中的减法转化为加法；（2）去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉；（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．【考点剖析】题型一：有理数减法法则的直接运用例1、计算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.【变式1】计算：(1)7.2－(－4.8)； (2)－312－514.解析：先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可．解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；(2)－312－514＝－312＋(－514)＝－(312＋514)＝－834.方法总结：进行有理数减法运算时，将减法转化为加法，再根据有理数加法法则进行计算．要特别注意减数的符号．【变式2】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)41373⎛⎫+−⎪⎝⎭．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．(1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5（3）原式=411416(3)(3)2 733721 +−=−−=−【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.题型二：有理数减法的实际应用例2.上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为( ) A．5℃ B．6℃ C．7℃ D．8℃解析：由题意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故选C.方法总结：要根据题意列出算式，再运用有理数的减法法则解答．【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，那么冷冻室的温度是（）A．18℃B．﹣26℃C．﹣22℃D．﹣18℃【分析】根据题意列出算式，再根据有理数的减法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：根据题意得：4﹣22＝﹣18（℃），则这台电冰箱冷冻室的温度为﹣18℃．故选：D．【点评】此题考查了有理数的减法，弄清题意并掌握有理数的减法法则是解本题的关键．题型三：应用有理数减法法则判定正负性例3.已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号．解析：判断a，b差的符号，可能不好理解，不妨把它转化为加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法则进行判定．解：因为b＜0，所以－b＞0.又因为a<0，a－b＝a＋(－b)，所以a与－b是异号两数相加，那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定，因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符号，而a＜0，因此a－b的符号为负号．方法总结：此类问题如果是填空或选择题，可以采用“特殊值”法进行判断，若是解答题，可以将减法转化为加法通过运算法则来解答．【变式1】若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是（）A．﹣2B．﹣6C．﹣2或﹣6D．2或6【分析】根据绝对值的意义确定a b的取值，然后代入求值．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，又∵a+b的绝对值与相反数相等，∴a+b≤0，∴a＝﹣4，b＝2或a＝﹣4，b＝﹣2，当a＝﹣4，b＝2时，a﹣b＝﹣4﹣2＝﹣6，当a＝﹣4，b＝﹣2时，a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，综上，a﹣b的值为﹣2或﹣6，故选：C．【点评】本题考查绝对值，相反数，有理数的减法运算，理解绝对值及相反数的概念，掌握有理数减法运算法则是解题关键．题型四：加减混合运算统一成加法运算例4.将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)解析：先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．题型五：有理数的加减混合运算例5.计算：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)；(3)23－18－(－13)＋(－38)．解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．解：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)＝－1423＋11215＋1223－14－11215＝(－1423＋1223)＋(11215－11215)－14＝－2＋0－14＝－16；(3)23－18－(－13)＋(－38)＝23－18＋13－38＝(23＋13)＋(－18－38)＝1＋(－12)＝12.方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．【变式1】计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26－18+5－16 ；（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）(3) (4) （5）（6）【答案与解析】 （1） 26－18+5－16=(+26)+(－18)+5+(－16) →统一成加法 =(26+5)+[(－18)+(－16)] →符号相同的数先加 = 31+(－34)=－3（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）=[ (+7)+(－7) ] +[(－21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0（3）→同分母的数先加（4） →统一成加法→整数、小数、分数分别加（5）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫−−+−++−+−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132.2532 1.87584+−+1355354624618−++−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫−−+−++−+−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++−++−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−+++−+− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦312128544⎛⎫=++−= ⎪⎝⎭132.2532 1.87584+−+→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起（6）→整数，分数分别加【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 【变式2】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）1113.7639568 4.7621362−−+−−+ （4）51133.464 3.872 1.54 3.376344+−−−+++ （5）1355354624618−++−； （6）132.2532 1.87584+−+【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组； 4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72 ＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23 ＝0+0－1.23＝－1.23（2）把正数和负数分别分为一组． 解：11－12+13－15+16－18+17 ＝(11+13+16+17)+(－12－15－18) ＝57+(－45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．(2.25 2.75)(3.125 1.875)=−++0.55 4.5=−+=1355354624618−++−1355354624618=−−++++−−1355(3546)()24618=−++−+−++−18273010036−++−=+2936=解：1113.76395684.7621362−−+−−+ 111(3.76 4.76)(521)(3968)362=−+−++−+1(6)2922=−+−+= （4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；546与13−易于通分，把它们分为一组；124−与34同分母，把它们分为一组．解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+−−−+++5113(3.46 1.54)( 3.87 3.37)(4)(2)6344=++−++−+−+115(0.5)4(1) 4.537.522=+−++−=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618−++− 1355354624618=−−++++−−135(3546)(246=−++−+−++182********−++−=+2936=注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如113322−=−−．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.2532 1.87584+−+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=−++ 0.55 4.5=−+=【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.题型六：利用有理数加减运算解决实际问题例6.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？解析：(1)先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．理解表中的正负号表示的含义，根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正负即可．解：(1)以警戒水位为基准，前两天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；则水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；则本周末河流的水位是上升了0.7米．方法总结：解此题的关键是分析题意列出算式，采用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题．【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）(1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？(2)小虫离开O点最远时是多少？(3)在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.【答案与解析】解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0 0表示最后小虫又回到了出发点O 答：小虫最后回到了出发地O. （2） (+5)+(－3)＝+2； (+5)+(－3)+(+10)＝+12； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O 点最远时是向右12cm; (3)（cm ）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm ，由 （粒） 答：小虫一共可以得到54粒芝麻.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5. （1）问收工时距A 地多远？（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A 地出发到收工时共耗油多少升？【答案与解析】（1）求收工时距A 地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A 地前面，若和为负数，则在A 地后面；距A 地的路程均为和的绝对值. 解：(1) (+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5) =[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3) =0+0+44+(－3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可. (|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）. 答：收工时在A 地前面41千米，从A 地出发到收工时共耗油13.4升.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．531086121054++−+++−+−+++−=15454⨯=【过关检测】一、单选题1．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）在生产图纸上通常用0.20.5300+−∅来表示轴的加工要求，这里300∅表示直径是300mm ，0.2+和0.5−是指直径在()3000.5mm −加到()3000.2mm +加之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是0.20.345+−∅，则下面产品合格的是（ ） A ．44.6mm B ．44.8mmC ．45.3mmD ．45.5mm【答案】B【分析】根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是39.96mm 和40.03mm 的两根轴是否合格． 【详解】由题意得：合格范围为：450.344.7mm −=到450.245.2mm +=， 而44.644.7<，45.345.2>，45.545.2> ∴A ，C ，D 都不合格， ∵44.744.845.2<< ∴B 选项是合格品， 故选：B ．2．（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）某地一天中午12时的气温是4℃，14时的气温升高了2℃，到晚上22时气温又降低了7℃，则22时的气温为（ ） A ．6℃ B ．3−℃C ．1−℃D ．13℃【答案】C【分析】根据有理数加减计算法则求解即可． 【详解】解：4271+−=−℃， ∴22时的气温为1−℃， 故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数加减计算的实际应用，正确计算是解题的关键．3．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）如果x 是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（ ） A ．2021x − B ．2021x +C ．||2021x +D ．||x【答案】C【分析】根据有理数的大小比较法则以及绝对值的性质判断即可．【详解】解：A ．当2021x =时，20210x −=，故本选项不合题意；B ．当2021x =−时，20210x +=，故本选项不合题意；C ．∵||0x ≥，∴||202120210x +≥>，故本选项符合题意；D ．当0x =时，||0=x ，故本选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了绝对值以及有理数大小比较的方法，熟知有理数比较大小的法则是解题的关键． 4．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）在一次数学活动课上，数学老师将54−～共十个连续的整数依次写在十张不透明的卡片上，打乱顺序，然后让甲、乙、丙、丁四位同学任意抽取两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是甲：6−；乙：5−；丙：1；丁：a ．那么a 的值不可能是（ ）A ．2B ．6C ．3−D ．2−【答案】C 【分析】设最后剩余两张的数字之和为b ，得到()6515a b −+−+++=−，得到5a b +=，当3a =−时，58b a =−=，由54−~这十个连续整数中，两数之和最大为7，即可得到结论．【详解】解：设最后剩余两张的数字之和为b ，()()()()()65154321012345a b ∴−+−+++=−+−+−+−+−+++++=−，5a b ∴+=当3a =−时，58b a =−=． 54−~这十个连续整数中，两数之和最大为7，a ∴不可能为3−．故选：C【点睛】此题主要考查了有理数的的加减法，读懂题意是解题的关键．5．（2022秋·浙江·七年级校考期中）在数轴上点A 表示2−，与A 相距3.5个单位的点B 表示（ ）A ．5.5和 1.5−B ． 5.5−和1.5C ．1.5D ． 5.5−【答案】B【分析】与A相距3.5个单位的点B表示的数就是比2−大3.5或小3.5的数，据此求解即可．【详解】解：根据题意可得：与A相距3.5个单位的点B表示的数就是比2−大3.5或小3.5的数，2 3.5 1.52 3.5 5.5∴−+=−−=−，，则B表示的数是： 5.5−和1.5，故选：B．【点睛】本题考查了数轴的性质，有理数的加减运算，理解点A表示2−，那么与A相距3.5个单位的点B表示的数就是比2−大3.5或小3.5的数的解题的关键．6．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）某天一潜水员下海，他从水面潜入水下18米，后因海水中的洋流，上升了8米，在洋流过去后，他下潜到预定的水下35米的位置，则该潜水员在洋流过程后，下潜了（）A．9米B．10米C．17米D．25米【答案】D【分析】根据有理数的加减运算，即可求解．【详解】解：根据题意得：该潜水员在洋流过程后，下潜了()35188351025−−=−=米．故选：D【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，明确题意，准确列出算式是解题的关键．7．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（）A．收入19.00元B．支出10元C．支出3.00元D．支出22.00元【答案】C【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．【详解】解：1910123+−−=−（元），即表示支出3元，故选：C．【点睛】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键．【答案】B【分析】根据有理数的减法运算，逐项判断即可求解．【详解】解：A、()3211−−−=−<，故本选项不符合题意；B、()121−−−=，故本选项符合题意；C、()132122−−−=>，故本选项不符合题意；D、()2241−−=>，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．【答案】C【分析】利用被减数等于减数加上差列式求解即可．【详解】解：(5)(3010)5(20)25-+-+=-+-=-，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，利用被减数等于减数加上差列出算式是解题的关键．10．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“＋”，“－”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是0，算式可以列为：123456780+−−++−−+=．若在数1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次运算，使所得结果可能的最小非负数是0，则数n不可能是（）A．2020B．2021C．2023D．2024【答案】B【分析】分n 是4的倍数，余数为0，1，2，3四种情况求出最小的非负数即可作出判断．【详解】解：由题意知，12340+−−+=，56780+−−+=，当n 是4的倍数时，结果可能的最小非负数为0；当n 除以4余1时，第一个数为1，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；当n 除以4余2时，前两个数为1，2，121−+=，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；当n 除以4余3时，前两个数为1，2，3，1230+−=，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为0． 2020、2024均能被4整除、2023除以4余数为3，2021除4余数为1，∴数n 不可能是2021，故选：B ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题【答案】16.8【分析】用30元减去已知的花销，即可求出剩下部分．【详解】解：30 1.27.5 4.516.8−−−=元故答案是16.8．【点睛】本题考查了小数的减法，直接计算即可．12．（2023秋·浙江金华·七年级校考期末）如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______C ︒．【答案】22【分析】直接用冷藏室的温度减去冷冻室的温度即可得到答案．【详解】解：()41841822−−=+=（℃），∴变温室与冷冻室的温差为22C ︒，故答案为：22．【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确计算是解题的关键．13．（2022秋·浙江·七年级专题练习）若|2||2|0x y −++=，求||x y −的相反数＝__．【答案】4−【分析】先根据绝对值的非负性求出x 和y 的值，然后代入||x y −求相反数即可．【详解】解：∵|2||2|0x y −++=，∴20x −=，20y +=解得2,2−==y x ．∴|||2(2)||4|4x y −=−−==，∴||x y −的相反数是4−．故答案为：4−．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，相反数，以及有理数的减法，求出x 和y 的值是解答本题的关键．14．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图，数轴上一点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ，若点C 表示的数为1，则A 点表示的数为_________________．【答案】2−【分析】根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可．【详解】解：根据题意可得：点A 表示的数为：1522−+=−，故答案为：2−．【点睛】本题考查数轴上点的平移规律，解决此题的关键是熟练掌握左减右加，也考查了有理数的加减运算． 15．（2021秋·浙江金华·七年级统考期末）小毛同学的作业本上出现了一个错误的等式，请你直接在算式中添“括号”或“绝对值”或“负号”（不限定个数），使等式成立：32 5 −+=___________【答案】325−+=（答案不唯一）【分析】根据有理数的加减运算即可求出答案．【详解】解：32325−+=+=， 故答案为：32325−+=+=（答案不唯一）．【点睛】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算． 16．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）整数a 、b 、c 满足1000||10||||2023a b c ++=，其中||1a >且1abc >，则a b c ++的最小值是________．【答案】14−【分析】根据题意得出2=a ，2=b ，3c =，确定2a =±，2b =±，3c =±，或2a =±，1b =±，13c =±，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：1000||10||||2023a b c ++=，求a b c ++的最小值，||1a >，∴2=a ，2=b ，3c =，∴2a =±，2b =±，3c =±，或2a =±，1b =±，13c =±，∵1abc >，∴当2a =，2b =，3c =时，7a b c ++=，当2a =，2b =−，3c =−时，3a b c ++=−，当2a =−，2b =−，3c =时，1a b c ++=−，当2a =−，2b =，3c =−时，3a b c ++=−，当2a =，1b =，13c =时，16a b c ++=，当2a =，1b =-，13c =−时，12a b c ++=−，当2a =−，1b =-，13c =时，10a b c ++=，当2a =−，1b =，13c =−时，14a b c ++=−，∴a b c ++的最小值为14−，故答案为：14−．【点睛】本题主要考查整式的加减及绝对值的意义，有理数的大小比较，理解题意进行分类讨论是解题关键． 17．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）数轴上点A 对应的数是3−，那么与A 相距2个单位长度的点B 对应的数是______．【答案】5−或1−【分析】此题注意考虑两种情况：当点在A 点的左侧时，用减法，当点在A 点的右侧时，用加法，即可得出结果．【详解】解：在A 点左边与A 点相距2个单位长度的点所对应的有理数为325−−=−；在A 点右边与A 点相距2个单位长度的点所对应的有理数为321−+=−．故答案为：5−或1−．【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．【答案】1或7/7或1【分析】根据()2a c b c a b −=−=≠，可得点C 在点A ，B 之间，从而得到A ，B 间的距离为4，再由223d a −=，可得A 、D 两点间的距离为3，然后分两种情况讨论：当点D 在点A 的左侧时，当点D 在点A 的右侧时，即可求解．【详解】解：∵()2a cbc a b−=−=≠，∴点C在点A，B之间，且点A，C两点间的距离为2，B，C两点间的距离为2，∴A，B间的距离为4，∵223d a−=，∴3d a−=，即A、D两点间的距离为3，不妨设a b<，当点D在点A的左侧时，线段BD的长度为347+=；当点D在点A的右侧时，线段BD的长度为431−=；综上所述，线段BD的长度为1或7．故答案为：1或7．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键．三、解答题【答案】(1)答案见解析(2)6千米(3)18千米【分析】（1）根据已知条件在数轴上表示出来即可；（2）根据题意列出算式，即可得出答案；（3）根据题意列出算式，即可得出答案．【详解】（1）解：（2）解：C 村离A 村的距离为()426(km)−−=；（3）解：邮递员一共行驶了239418+++=（千米）．【点睛】本题考查了数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键．20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知|4||2|0x y −++=，求x y −的值．【答案】6−=x y【分析】先根据绝对值的非负性求出4x =，=2y −，再代入计算即可．【详解】∵|4||2|0x y −++=，|4|0x −≥，|2|0y +≥，∴40x −=，20y +=，解得4x =，=2y −，∴4(2)6x y −=−−=．【点睛】本题考查了绝对值的非负性有有理数的减法，求出4x =，=2y −是解题的关键． 1【分析】先根据数轴得到0,0,0a b c >><，再作答即可．【详解】解：由图可知，0,0,0a b c >><，故||||||1111a b c a b c a b c a b c −++=++=+−=． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性和根据数轴判断正负，根据数轴得到0,0,0a b c >><是解题的关键．(1)求当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数；(2)求16点整，该服务点还停放着几辆公交自行车．【答案】(1)当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数为47次(2)16点整，该服务点还停放着5辆公交自行车【分析】（1）将取车的次数相加即可求解；（2）记取车为负，存车为正，根据表格数据相加减即可求解．【详解】（1）解：127119847++++=，答：当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数为47次；（2）记取车为负，存车为正，∵某日上午6点整，服务点共停放了14辆公交自行车，当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数为47次．∴16点整，该服务点还停放着：1468996475+++++−=辆，答：16点整，该服务点还停放着5辆公交自行车23．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：|3(2)|−−表示3与2−差的绝对值，实际上也可以理解为3与2−在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A ，B 所对应的数分别用a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离表示为||AB a b =−．利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上2−和5这两点之间的距离为 ．(2)若x 表示一个实数，|2||4|x x ++−的最小值为 ．(3)直接写出所有符合条件的x ，使得|2||5|9x x −++=，则x 的值为 ．【答案】(1)7(2)6(3)6−或3【分析】（1）利用数轴直观得出答案．（2）x 在2−到4之间值最小，两点之间线段最短．（3）x 到2到5−距离之和是7，与9相差2，分到两段中，每段加1，得出结果．【详解】（1）|(2)5|7−−=．故答案为：7；（2）|2||4|x x ++−表示x 到2−和4的距离之和，当<2x −时，|2||4|6x x ++−>；当24x −≤≤时，|2||4|6x x ++−=；当4x >时，|2||4|6x x ++−>，故|2||4|x x ++−最小值为6．故答案为：6；（3）|2||5|9x x −++=表示x 到2−和4的距离之和等于9，52x −≤≤时，|2||5|7x x −++=，当5x <−时，516x =−−=−；当2x >时，213x =+=．故答案为6−或3．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，解本题的关键是分段讨论．【答案】(1)0.1(2)﹣2.5(3)﹣8(4)﹣1.2【分析】（1）先利用去括号法则去掉括号，再利用法则进行有理数的运算；（2）先利用去括号法则去掉括号，再利用加法的交换律结合律把同分母分数结合在一起运算；（3）先利用去括号法则去掉括号，再利用有理数的加减混合运算法则进行运算；（4）先把互为相反数的两个分数结合在一起，然后利用有理数的加减法则计算．（1）解： 4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）＝4.7+8.9﹣7.5﹣6＝13.6﹣13.5＝0.1；（2）解：313(245+−）+514+（﹣825）＝314﹣235+514﹣825＝314+514﹣235﹣825＝8.5﹣11＝﹣2.5；（3）解：2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2＝3.9﹣11.9＝﹣8；（4）﹣0.6﹣0.08+25﹣2511﹣0.92+2511＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2511+2511＝﹣0.2﹣1＝﹣1.2．【点睛】在进行有理数的加减混合运算时，先去括号，化简成最简形式，然后利用有理数混合运算法则并结合运算定律简便运算，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键．【答案】(1)6；(2)−2；(3)32；(4)78【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可；（2）根据有理数的加减法法则计算即可；（3）根据有理数的加减法法则计算即可；（4）根据有理数的加法法则计算即可．（1）解：7-（-4）+（-5）=7+4+（-5）=11+（-5）=6（2）解：7.20.8 5.611.6−−−+，()()7.20.8 5.611.6⎡⎤=−+−+−+⎣⎦()()8 5.611.6=−+−+()13.611.6=−+ =−2 （3）解：125(2)(4)336−−−− 12524336⎛⎫⎛⎫=−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 15236⎛⎫=+− ⎪⎝⎭32=（4）解：()1170.125330.25488⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−+++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111713384884⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++−+++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111173388448⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−++−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 78=【点睛】本题主要考查了有理数的加减法运算，熟练掌握加减法法则是解题的关键，熟练利用加法运算律是简便计算的关键．【答案】(1)①217−；②0.82−；③1718−； (2)15−(3)20194042【分析】（1）①②③利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可；（2）利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可；（3）利用规律化简运算即可．【详解】（1）①|721|217−=−；②110.80.822−+=−；③7777||17181718−=−； 故答案为：①217−；②10.82−；③771718−； （2）原式150111501557525572=−+−− 150150111()()557557225=−+−−15=−； （3）原式11111111...23344520202021=−+−+−++− 1122021=− =20194042．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，本题是阅读型，正确理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键．。
核心试卷答案七年级数学
一、选择题1. 选择题：下列数中，负数是（）A. -3B. 3C. 0D. -5/2答案：A解析：在数轴上，负数位于0的左侧，因此-3是负数。
2. 选择题：下列代数式中，是单项式的是（）A. 3x + 2yB. x^2 + 3xyC. 2x^2yD. 5x + 4y^2答案：C解析：单项式是只包含一个变量或几个变量相乘的代数式，且指数为非负整数。
2x^2y符合单项式的定义。
3. 选择题：一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，它的周长是（）A. 20厘米B. 24厘米C. 30厘米D. 36厘米答案：B解析：长方形的周长计算公式为2(长+宽)，所以周长为2(6+4)=24厘米。
二、填空题4. 填空题：-8 + 3的结果是（）答案：-5解析：-8加上3相当于从-8出发向右移动3个单位，最终位置为-5。
5. 填空题：一个等腰三角形的底边长是8厘米，腰长是5厘米，它的面积是（）答案：20平方厘米解析：等腰三角形的面积公式为(底边长×高)/2。
由于是等腰三角形，高可以通过勾股定理计算，即h^2 = (腰长/2)^2 + (底边长/2)^2，所以h = √(5^2 - 4^2) = 3厘米。
因此，面积为(8×3)/2 = 12平方厘米。
三、解答题6. 解答题：计算下列各式的值。
（1）2a^2 - 5a + 3，当a=3时，求其值。
答案：2×3^2 - 5×3 + 3 = 18 - 15 + 3 = 6（2）3(x - 2) + 4x，当x=5时，求其值。
答案：3(5 - 2) + 4×5 = 3×3 + 20 = 9 + 20 = 297. 解答题：一个正方形的对角线长是10厘米，求它的边长。
答案：边长 = 对角线长/√2 = 10/√2 = 5√2厘米解析：正方形的对角线与边长之间的关系是d = a√2，其中d为对角线长，a为边长。
所以边长a = d/√2。
苏教版七年级下册期末数学重点初中题目解析
苏教版七年级下册期末数学重点初中题目解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．3332a a a ⋅=B ．632a a a ÷=C ．()236a a =D ．235a a a += 答案：C解析：C【分析】根据幂的运算法则逐项计算即可．【详解】解：A . 336a a a ⋅=，原选项不正确，不符合题意；B . 633a a a ÷=，原选项不正确，不符合题意；C . ()236a a =，原选项正确，符合题意； D . 23a a 、不是同类项，原选项不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟记幂的运算法则，准确进行计算．2．下列图形中，1∠和2∠不是内错角的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B解析：B【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角解答．【详解】解：A 、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；B 、∠1和∠2不是内错角，故选项符合题意；C 、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；D 、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；故选B ．【点睛】本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．3．已知点(),P a b 的坐标满足二元一次方程组52?934?8a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，则点P 所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B解析：B【分析】解方程组求出a 、b 的值，再根据各象限内点的坐标特征即可得到答案．【详解】解：529348a b a b +=-⎧⎨-=-⎩①②， ①2⨯得：10418a b +=-③，②+③得：1326a =-，2a ∴=-，把2a =-代入①得：1029b -+=-，12b ∴=， ∴方程组的解为212a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点P的坐标为1 (2,)2 -，∴点P在第二象限，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，各象限内点的坐标特征，正确求出方程组的解是解决本题的关键．4．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：C解析：C【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况．【详解】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；故选：C．【点睛】本题考查的是完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是解题的关键．5．已知关于x，y的不等式组：10xx a->⎧⎨-≤⎩有以下说法：①若它的解集是14x<≤，则4a =；②当1a =时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则45a ≤<；④若它有解，则2a ≥．其中所有正确说法的序号是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．④D ．②④答案：A解析：A【分析】根据不等式组的解集的定义，解不等式组，不等式组解集的整数解等概念，逐项分析即可【详解】①100x x a ->⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得：1x >解不等式②得：x a ≤若100x x a ->⎧⎨-≤⎩①②的解集是14x <≤ 则1x a <≤4a =∴①正确；②当1a =时，原不等式组为：1010x x ->⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得：1x >解不等式②得：1x ≤则原不等式组无解∴②正确；③若100x x a ->⎧⎨-≤⎩①②有解，由①可知解集为：1x a <≤ 若它的整数解只有2，3，4，则45a ≤<∴③正确；④若100x x a ->⎧⎨-≤⎩①②有解，由①可知解集为：1x a <≤ 则1a >∴④不正确.综上所述，正确的是①②③.故选A.【点睛】本题考查了不等式组的解集的定义，解不等式组，不等式组解集的整数解等概念，熟练以上知识是解题的关键．6．给出下列4个命题：①垂线段最短；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：A【分析】①根据垂线段的性质即可判断，②如果两个都是直角则可判断，③根据平行线的判定定理可判断，④因为没说明两直线平行，所以不能得出.【详解】①应该是连接直线为一点与直线上的所有线段，垂线段最短，所以错误；②如果两个都是直角则可判断“互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角”错误； ③根据平行线的判定定理可判断同旁内角相等，两直线平行正确；④因为没说明两直线平行，所以不能得出，故错误.故选A【点睛】本题考查垂线段的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握垂线段的性质、平行线的判定. 7．有一列按一定规律排列的式子：﹣3m ，9m ，﹣27m ，81m ，﹣243m ，…，则第n 个式子是（ ）A ．（﹣3）n mB ．（﹣3）n +1mC ．3n mD ．﹣3n m答案：A解析：A【分析】根据观察，可发现规律：系数是（−3）n ，字母因式均为m ，可得答案．【详解】由﹣3m ，9m ，﹣27m ，81m ，﹣243m ，…，得出规律：系数分别是（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3，（﹣3）4，（﹣3）5，…，字母因式均为m ，∴第n 个式子是（﹣3）n m ；故选：A ．【点睛】本题考查了单项式，观察式子发现规律是解题关键．8．如图，边长为()3a +的正方形纸片，剪出一个边长为a 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ）A ．23a +B ．3a +C ．6a +D ．26a +答案：A解析：A【分析】设另一边长为x ，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解．【详解】解：设另一边长为x ，根据题意得，3x =（a +3）2-a 2，解得x =2a +3．故选：A ．【点睛】此题考查了整式的混合运算以及完全平方公式应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题9．计算：32223x y x ⋅的结果是________．解析：526x y【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算求解．【详解】解：32223x y x ⋅=6x 5y 2，故答案为：6x 5y 2．【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握相关运算法则准确计算是解题关键．10．“若两条直线不相交，则这两条直线平行”是_____命题．（填“真”或“假”）解析：假【分析】若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面．【详解】解：若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面，故是假命题． 故答案为：假．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查学生的推理能力，属于基础题．11．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为____________． 解析：12【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】设这个多边形是n 边形，根据题意得，（n-2）•180°=5×360°，解得n=12．故答案为12．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．12．若 x ﹣y=5，xy=6，则12x 2y ﹣12xy 2 =_________；解析：15【分析】直接将原式变形，提取公因式，进而分解因式得出即可．【详解】∵x ﹣y=5，xy=6， ∴()22111165152222x y xy xy x y -=-=⨯⨯=． 故答案是15．【点睛】本题主要考查了因式分解的提取公因式法，运用公式是解题的关键．13．若关于x ，y 的方程组23x by ax =⎧⎨+=⎩与511y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a b +的值为______． 解析：2【分析】根据题意易得两个方程组的解为25x y =⎧⎨=⎩，把此解分别代入两个方程组中的第二个方程，可得关于a 与b 的两个二元一次方程，解这两个二元一次方程组成的方程组，即可求出a 与b 的值，从而求得结果．【详解】由题意知，两个方程组的相同解为25x y =⎧⎨=⎩，把25x y =⎧⎨=⎩代入第一个方程组中的第二个方程得：523b a +=；把25x y =⎧⎨=⎩代入第二个方程组中的第二个方程得：2511b a +=； 解方程组5232511b a b a +=⎧⎨+=⎩，得7313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则71233a b +=-= 故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，关键和难点是对方程组的解的理解．14．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米32元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需______元．解析：512元【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个长方形，长宽分别为5米，3米，∴地毯的长度为5＋3＝8(米)，∴地毯的面积为8×2＝16(平方米)，∴买地毯至少需要16×32＝512(元)【点睛】本题考查平移性质的实际运用．解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．15．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝_____．答案：18°【分析】连接BD．根据正五边形，正方形的性质求出∠DAB，∠GAB，由∠GAD＝∠GAB ﹣∠DAB计算即可．【详解】解：如图连接BD．∵ABCDE是正五边形，∵∠E＝∠EAB＝1解析：18°【分析】连接BD．根据正五边形，正方形的性质求出∠DAB，∠GAB，由∠GAD＝∠GAB﹣∠DAB计算即可．【详解】解：如图连接BD．∵ABCDE 是正五边形，∵∠E ＝∠EAB ＝108°，ED ＝EA ，∴∠EAD ＝∠EDA ＝36°，∴∠DAB ＝108°﹣36°＝72°，∵四边形ABFG 是正方形，∴∠GAB ＝90°，∴∠GAD ＝∠GAB ﹣∠DAB ＝90°﹣72°＝18°．故答案为18°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，掌握多边形内角和与每个内角之间的关系是解题的关键. 16．如图所示，已知点D E F 、、分别是AB BC CD 、、的中点，12DEF S ∆=厘米2，则ABC S ∆=___________平方厘米.答案：4【分析】△DEF 和△EFC 等底同高，那么面积应相等，同理可得所求的面积等于所给的面积的8倍．【详解】∵F 为CD 中点，∴DF=FC ，∴S △DEF=S △EFC ，同理：S △DEC=S △BD解析：4【分析】△DEF 和△EFC 等底同高，那么面积应相等，同理可得所求的面积等于所给的面积的8倍．【详解】∵F 为CD 中点，∴DF=FC ，∴S △DEF =S △EFC ，同理：S △DEC =S △BDE ,S △ADC =S △BCD ，∴S △ABC =8S △DEF =8×12=4.故答案为4.【点睛】本题考察三角形中线的性质和三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质.17．计算与化简：（1）0202121)(1)(2)-+-+-（2）2(1)(2)(2)x x x +-+- 答案：（1）；（2）2x+5【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和乘方的意义计算；（2）根据乘法公式展开，然后合并即可．【详解】解：（1）原式=1-1+=；（2）原式=x2+2x+1-（解析：（1）14；（2）2x +5 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和乘方的意义计算；（2）根据乘法公式展开，然后合并即可．【详解】解：（1）原式=1-1+14=14； （2）原式=x 2+2x +1-（x 2-4）=x 2+2x +1-x 2+4=2x +5．【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2．也考查了完全平方公式和实数的运算．18．因式分解（1）m 2n ﹣9n ；（2）x 2﹣2x ﹣8．答案：（1）n （m+3）（m-3）；（2）（x-4）（x+2） 【分析】（1）先提公因式n ，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】 解：（1）m2n-9n解析：（1）n （m +3）（m -3）；（2）（x -4）（x +2） 【分析】（1）先提公因式n ，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】 解：（1）m 2n -9n =n （m 2-9） =n （m +3）（m -3）； （2）x 2-2x -8 =（x -4）（x +2）． 【点睛】本题考查提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，掌握平方差公式的结构特征以及十字相乘法适用二次三项式的特点是正确应用的前提． 19．解下列方程组（其中第（1）题用代入消元法解）（1）212316x y x y -=⎧⎨+=⎩ （2）234326x y x y +=⎧⎨-=⎩答案：（1） （2） 【分析】（1）先将变形为再代入中，求出y 的值，再代入即可求出x 的值； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】 解：（1）将①变形为：③， 将③代入②得， 解得 将代入③解析：（1）52x y =⎧⎨=⎩ （2）20x y =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）先将21x y -=变形为12x y =+再代入236x y +=中，求出y 的值，再代入12x y=+即可求出x 的值；（2）根据加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）212316x y x y ①②-=⎧⎨+=⎩将①变形为：12x y =+③， 将③代入②得，()212316y y ++= 解得2y =将2y =代入③，得1225x =+⨯=∴原方程组的解为：52x y =⎧⎨=⎩； （2）234326x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①×3-②×2，得13y =0， 解得y =0，把y =0代入②，得3x -0=6， 解得x =2，∴原方程组的解为20x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用代入法和加减法是解二元一次方程组常用的方法．20．解不等式组()217122x x x x ⎧+>⎪⎨+-≥⎪⎩并把它的解集在数轴上表示出来．答案：，数轴见解析 【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可． 【详解】 解：解不等式①得：． 解不等式②得：．所以，不等式组的解集是：． 在数轴上表示不等解析：21x -<≤-，数轴见解析 【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可． 【详解】解：()217122x x x x ⎧+>⎪⎨+-≥⎪⎩①② 解不等式①得：2x >-． 解不等式②得：1x ≤-．所以，不等式组的解集是：21x -<≤-． 在数轴上表示不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．三、解答题21．如图，已知AB ∥DC ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于点F ，∠CFE ＝∠E ．试说明AD ∥BC ．完成推理过程：∵AB ∥DC （已知） ∴∠1=∠CFE （ ） ∵AE 平分∠BAD （已知） ∴∠1= ∠2 (角平分线的定义) ∵∠CFE=∠E(已知) ∴∠2= （等量代换） ∴AD ∥BC （ ）答案：两直线平行，同位角相等；∠E ；内错角相等，两直线平行． 【分析】由AB 与DC 平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由AE 为角平分线，得到一对角相等，再根据已知角相等，等量代换得到一对内错解析：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．【分析】由AB与DC平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由AE为角平分线，得到一对角相等，再根据已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】解：∵AB∥DC（已知）∴∠1=∠CFE（两直线平行，同位角相等）∵AE平分∠BAD（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵∠CFE=∠E（已知）∴∠2=∠E（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定与性质．22．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．设某位顾客购买了x元的该种粽子．（1）补充表格，填写在“横线”上：（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？答案：（1）；；；（2）当时，顾客到甲、乙超市的花费相等；当时，顾客到甲超市花费更少；当时，顾客到乙超市花费更少.【分析】（1）根据题意，列出关系式，求出答案即可； （2）根据题意，分情况讨论，选择花解析：（1）100.95x +；100.95x +；300.9x +；（2）当400x =时，顾客到甲、乙超市的花费相等；当200400x <<时，顾客到甲超市花费更少；当400x >时，顾客到乙超市花费更少. 【分析】（1）根据题意，列出关系式，求出答案即可；（2）根据题意，分情况讨论，选择花费较少的商场，即可得到答案. 【详解】 解：（1）甲超市：当200＜x≤300时，花费为：200(200)95%100.95x x +-⨯=+； 当x ＞300时，花费为：200(200)95%100.95x x +-⨯=+； 乙超市：当x ＞300时，花费为：300(300)90%300.9x x +-⨯=+； 故答案为：100.95x +；100.95x +；300.9x +； （2）令甲超市与乙超市的花费相等时，有：100.95300.9x x +=+，解得：400x =；∴当400x =时，顾客到甲、乙超市的花费相等； 当200400x <<时，顾客到甲超市花费更少； 当400x >时，顾客到乙超市花费更少. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——方案问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出甲、乙超市的花费表达式，从而利用分类讨论的思想进行解题.23．（发现问题）已知32426x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，求45x y +的值．方法一：先解方程组，得出x ，y 的值，再代入，求出45x y +的值． 方法二：将①2⨯-②，求出45x y +的值． （提出问题）怎样才能得到方法二呢？ （分析问题）为了得到方法二，可以将①m ⨯+②n ⨯，可得(32)(2)46m n x m n y m n ++-=+．令等式左边(32)(2)45m n x m n y x y ++-=+，比较系数可得32425m n m n +=⎧⎨-=⎩，求得21m n =⎧⎨=-⎩．（解决问题）（1）请你选择一种方法，求45x y +的值；（2）对于方程组32426x y x y +=⎧⎨-=⎩利用方法二的思路，求77x y -的值；（迁移应用）（3）已知1224327x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，求3x y -的范围．答案：（1）2；（2）26；（3） 【分析】（1）利用方法二来求的值；由题意可知； （2）先根据方法二的基本步骤求出，即可得； （3）通过方法二得出，再利用不等式的性质进行求解． 【详解】 解：（1）利解析：（1）2；（2）26；（3）3836x y -≤-≤- 【分析】（1）利用方法二来求45x y +的值；由题意可知4524162x y +=⨯-⨯=；（2）先根据方法二的基本步骤求出15m n =-⎧⎨=⎩，即可得77(32)5(2)x y x y x y -=-++-；（3）通过方法二得出311(2)7(32)x y x y x y -=+-+，再利用不等式的性质进行求解． 【详解】解：（1）利用方法二来求45x y +的值；由题意可知：2(32)(2)64245x y x y x y x y x y +--=+-+=+， 即4524162x y +=⨯-⨯=；（2）对于方程组32426x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，由①m ⨯+②n ⨯可得：(32)(2)77m n x m n y x y ++-=-，则32727m n m n +=⎧⎨-=-⎩③④， 由③+2⨯④可得：77m =-，1m ∴=-，将1m =-代入④可得5n =，15m n =-⎧∴⎨=⎩， 则77(32)5(2)145626x y x y x y -=-++-=-⨯+⨯=；（3）已知1224327x y x y ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，通过方法二计算得：311(2)7(32)x y x y x y -=+-+，又()()1111222,4973228x y x y ≤+≤-≤-+≤-， 3836x y ∴-≤-≤-．【点睛】本题考查了二元一次方程的求解、代数式的求值、不等式的性质，解题的关键是理解材料中的方法二中的基本操作步骤．24．模型与应用.（模型）（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.（应用）（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CM n M n－1的角平分线M n O交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示）答案：（1）证明见解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【详解】【模型】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF解析：（1）证明见解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【详解】【模型】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF＝180°，同理∠2＋∠NEF＝180°∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°【应用】（2）分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)，故答案是：900°， 180°(n－1)；（3）过点O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠C M n O＝∠M n OR∴∠A M1O＋∠CM n O＝∠M1OR＋∠M n OR，∴∠A M1O＋∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠A M1O，同理∠CM n M n-1＝2∠CM n O，∴∠AM1M2＋∠CM n M n-1＝2∠AM1O＋2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，又∵∠A M1M2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CM n M n-1＝180°(n－1)，∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝(180n－180－2m)°点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．25．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点AB 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数． （3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）答案：（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45° 【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BA解析：（1）不发生变化，∠AEB =135°；（2）不发生变化，∠CED =67.5°；（3）60°或45° 【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB =90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出∠BAE =12∠OAB ，∠ABE =12∠ABO ，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB =90°，进而得出∠OAB +∠OBA =90°，故∠PAB +∠MBA =270°，再由A D 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12∠ABM ，由三角形内角和定理可知∠F =45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知∠CDE +∠DCE =112.5°，进而得出结论； （3）由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF =90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】解：（1）∠AEB 的大小不变， ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴∠AOB =90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．。
初中数学题大题经典题型及解析
初中数学题大题经典题型及解析一、平行线和相交线1. 同位角对顶角的性质在平行线和相交线的情况下，同位角对顶角的性质是初中数学中非常基础也非常重要的一部分。
同位角是指两条平行线被一条交线切割后，同位于交线的对应两个角，对顶角是指两条平行线被一条交线切割后，位于交线的两侧且不相邻的两个角。
这两种角的性质分别为：同位角相等，即∠1=∠3、∠2=∠4；对顶角相等，即∠1=∠4、∠2=∠3。
2. 平行线与三角形内角和的性质当两条平行线被一条交线所切割而构成的多边形中有三角形时，其内角和的性质为：同位角和对顶角的性质相似。
即∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°，且∠1+∠2+∠3=180°。
二、圆3. 圆的性质圆是初中数学中的一个重要概念，而圆的性质又是学习圆相关知识的基础。
圆包括圆心、直径、半径等重要概念。
圆的性质有很多，其中包括：同弧相等、同角相等、圆心角的性质等。
这些性质在解决关于圆的题目时非常重要。
4. 圆的面积和周长圆的面积和周长是初中数学中涉及圆的题目时非常重要的内容。
圆的面积公式为S=πr²，周长公式为C=2πr。
在解决圆相关的题目时，需要掌握这两个公式并灵活运用。
三、等腰三角形和等边三角形5. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两边相等的三角形，其性质包括：等腰三角形的两底角相等，顶角等于180°减去底角的一半，等腰三角形的高、底边、斜边之间的关系等。
6. 等边三角形的性质等边三角形是指三边都相等的三角形，其性质包括：三个内角都相等且等于60°，三条边相等，三条高相等等。
初中数学中关于平行线和相交线、圆、等腰三角形和等边三角形的大题经典题型包括同位角对顶角的性质、平行线与三角形内角和的性质、圆的性质、圆的面积和周长、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等。
这些题型涉及了数学中的基础知识和性质，对于学生来说是非常重要的。
希望同学们能够在学习这些题型的过程中，掌握其相关性质，并能够灵活运用到解题中。
(完整版)数学苏教版七年级下册期末重点中学题目解析
（完整版）数学苏教版七年级下册期末重点中学题目解析一、选择题1．计算()23x ⎡⎤-=⎣⎦（ ） A ．6x - B ．6x C ．5x - D ．5x答案：B解析：B【分析】根据幂的乘方计算法则进行求解即可得到答案.【详解】解：()()22336x x x ⎡⎤-=-=⎣⎦， 故选B.【点睛】本题主要考查了幂的乘方计算，解题的关键在于能够熟练掌握幂的乘方计算法则. 2．如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列符合题意的结论是（ ）A ．13∠=∠B ．14∠=∠C ．24∠∠=D ．34180∠+∠=︒ 答案：A解析：A【分析】利用对顶角、同位角、同旁内角定义解答即可．【详解】解：A 、∠1与∠3是对顶角，故原题说法正确，符合题意；B 、由条件不能得出∠1＝∠4，故原题说法错误，不符合题意；C 、∠2与∠4是同位角，只有a //b 时，∠2＝∠4，故原题说法错误，不符合题意；D 、∠3与∠4是同旁内角，只有a //b 时，∠3＋∠4＝180°故原题说法错误，不符合题意； 故选：A ．【点睛】此题主要考查了对顶角、同位角、同旁内角，关键是掌握各种角的定义．3．关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩（其中a ，b 是常数）的解为34x y =⎧⎨=⎩，则方程组2()3()18()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=-⎩的解为（ ） A ．34x y =⎧⎨=⎩ B ．71x y =⎧⎨=-⎩ C ． 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩ D ． 3.50.5x y =⎧⎨=⎩答案：C解析：C【详解】分析：由原方程组的解及两方程组的特点知，x +y 、x ﹣y 分别相当于原方程组中的x 、y ，据此列出方程组，解之可得．详解：由题意知：3{4x y x y +=-=①②，①+②，得：2x =7，x =3.5，①﹣②，得：2y =﹣1，y =﹣0.5，所以方程组的解为 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩． 故选C ．点睛：本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x 、y 的方程组．4．已知a ＞b ，则下列不等关系中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．a ＋c ＞b ＋cC ．a －1＞b ＋1D ．ac 2＞bc 2 答案：B解析：B【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断即可．【详解】解：A 、不等式两边都乘以c ，当c ＜0时，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；B 、不等式两边都加上c ，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；C 、不等式的两边一边加1一边减1，不等号的方向不确定，原变形错误，故此选项不符合题意；D 、不等式的两边都乘以c 2，当c=0时，变为等式，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质．解题的关键宋掌握不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．5．如果点(), 21P m m -在第三象限，那么m 的取值范围是（ ）A ．12m >B ．102m <<C ．0m <D ．102m -<< 答案：C解析：C第三象限的符号特征为（－，－），据此列不等式组解答．【详解】∵ P （m ，2m －1）在第三象限，∴ m 02m-10⎧⎨⎩＜＜，解得：m 0＜， 故选C ．【点睛】本题考查象限的符号特征和不等式组的应用，熟练掌握第三象限符号为（－，－）是关键．6．下列命题中，正确的是（ ）A ．任何有理数的偶数次方都是正数B ．任何一个整数都有倒数C ．若b=a ，则|b|=|a|D ．一个正数与一个负数互为相反数答案：C解析：C【解析】【分析】利用举反例的方法判断即可．【详解】解：0的偶数次方不是正数，A 错误；0没有倒数，B 错误；b=a ，则|b|=|a|，C 正确；1和﹣2不是互为相反数，D 错误；故选C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判 断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．设一列数1a ，2a ，3a ，…，n a ，…中任意三个相邻的数之和都是20，已知2a x =，309a x =+，924a x =-，则2021a =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．11答案：A解析：A【分析】由题可知，a 1，a 2，a 3每三个循环一次，可得a 30=a 3，a 92=a 2，所以x =4-x ，即可求a 2=2，a 3=11，再由三个数的和是20，可求a 2021=a 2=2．【详解】解：由题可知，a 1+a 2+a 3=a 2+a 3+a 4，∵a2+a3+a4=a3+a4+a5，∴a2=a5，∵a4+a5+a6=a3+a4+a5，∴a3=a6，……∴a1，a2，a3每三个循环一次，∵30÷3=10，∴a30=a3，∵92÷3=30…2，∴a92=a2，∴x=4-x，∴x=2，∴a2=2，∵2021÷3=673…2，∴a2021=a2=2，故选：A．【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的运算解题是关键．8．如图，将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则下列结论正确的有（）个．①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE；④如果∠2=30°，则有BC∥AD．A．4 B．3 C．2 D．1答案：B解析：B【分析】根据三角板的特点及平行线的判定定理即可依次判断．【详解】依题意可得∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，①正确；∵∠CAD=∠1+∠2+∠3∴∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°若∠2=30°，∴∠1=90°-∠2=60°∴∠1=∠E=60°∴AC ∥DE ，③正确；若∠2=30°，∴∠3=90°-∠2=60°∴∠1≠∠E∴BC ，AD 不平行，④错误；故选B ．【点睛】此题主要考查三角板与平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理．二、填空题9．232x x -⋅=__________．解析：-2x 5【分析】根据整式的运算法则即可求解．【详解】232x x -⋅=-2x 5故答案为：-2x 5．【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．10．能使命题“若a b >，则2ab b >”为假命题的b 所有可能值组成的范围为____． 解析：0b ≤【分析】根据不等式的性质和命题的真假判断即可；【详解】当b=0时，得2ab b =，此命题是假命题；当0b ＜时，得2ab b ＜，此命题是接命题；故b 的取值范围为0b ≤．【点睛】本题主要考查了命题与定理的考查，结合不等式的性质判断是关键．11．在同一平面内，正六边形和正方形如图所示放置，则α∠等于____度．解析：150【分析】求出正六边形和正方形的内角的度数，这两个角的度数与α∠的和是360︒，即可求得答案；【详解】正六边形的内角是：()6-21806=120÷︒，正方形的角是90︒，则36012090150α∠︒-︒-︒=︒=．故答案为：150．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，准确计算是解题的关键．12．将12张长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的13，则小长方形纸片的长a 与宽b 的比值为 ___．答案：A解析：4【分析】用a ，b 分别表示出大长方形的长和宽，根据阴影部分的面积是大长方形面积的13，列式计算即可求解．【详解】解：根据题意得：AD =BC =8b +a ，AB =CD =2b +a ，∵阴影部分的面积是大长方形面积的13， ∴非阴影部分的面积是大长方形面积的23， ∴()()282123b a b a ab ++=， 整理得：22880a ab b -+=，即()240a b -=，∴4a b =，则小长方形纸片的长a 与宽b 的比值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，以及因式分解的应用，解题的关键是弄清题意，列出长方形面积的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则．13．已知关于,x y 的方程组7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，则1m n -的平方根为________． 解析：12±【分析】根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m 、n,再代入求平方根.【详解】 将1,2x y =⎧⎨=⎩代入方程组7,234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩得 27264m n m n +=⎧⎨-=⎩， 解得51m n =⎧⎨=⎩. 所以114m n =- 所以1m n-的平方根为12± 故答案为：12± 【点睛】考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键．14．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，10AC =．AD 平分BAC ∠且交BC 于点D ，点E 和F 分别是线段AB 和AD 上的动点，则FE FB +的最小值为__________．答案：A解析：245【分析】在AB 上取点F′，使AF′=AF ，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．因为EF+CE=EF′+EC ，推出当C 、E 、F′共线，且点F′与H 重合时，FE+EC 的值最小．【详解】解：如图所示：过点 F 作FG AB ⊥，FH AC ⊥，垂足为G ，H ．AD平分BAC∠FG FH∴=FB FE FB FH BH+=+≥∴当,,B F H共线，FB FE+的值最小，,,B F H共线，BH AC⊥∴245AB BCBHAC⨯==∴FB FE+的最小值为245．故答案为：24 5【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是转化线段，利用垂线段最短，解决最短问题．15．在正五边形和正八边形、正六边形和正方形、正八边形和正方形、正十边形和正方形，这几种组合中，能铺满地面的正多边形的组合是____答案：正八边形和正方形．【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，然后找出多边形围绕一点可以围成一个周角的情况即可．【详解】解：正五边形的每个内角为180°×（5－2）÷5=108°；正八边形解析：正八边形和正方形．【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，然后找出多边形围绕一点可以围成一个周角的情况即可．【详解】解：正五边形的每个内角为180°×（5－2）÷5=108°；正八边形的每个内角为180°×（8－2）÷8=135°；正六边形的每个内角为180°×（6－2）÷6=120°；正方形的每个内角为180°×（4－2）÷4=90°；正十边形的每个内角为180°×（10－2）÷10=144°；设a 个正五边形和b 个正八边形围绕一点可以围成一个周角108a ＋135b=360，此方程无正整数解，故正五边形和正八边形不能铺满地面；设c 个正六边形和d 个正方形围绕一点可以围成一个周角120c ＋90d=360，此方程无正整数解，故正六边形和正方形不能铺满地面；设m 个正八边形和n 个正方形围绕一点可以围成一个周角135m ＋90n=360，解得：21m n =⎧⎨=⎩，故正八边形和正方形能铺满地面； 设x 个正十边形和y 个正方形围绕一点可以围成一个周角144x ＋90y=360，此方程无正整数解，故正十边形和正方形不能铺满地面；故答案为：正八边形和正方形．【点睛】此题考查的是平铺的判断，掌握多边形的内角和公式和平铺的性质是解决此题的关键． 16．一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB ，将△ACD 绕着公共顶点A ，按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），当△ACD 的一边与△AOB 的某一边平行时，相应的旋转角α的值是___.答案：15，30，45，75，105，135，150，165．【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算．【详解】分10种情况讨论：解：（1）如图所示，解析：15，30，45，75，105，135，150，165．【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算．【详解】分10种情况讨论：解：（1）如图所示，当//CD OB 时，453015α︒︒︒=-= ；（2）如图所示，当AD BO ‖ 时，45B α︒=∠= ；（3）如图所示，当AC BO ‖ 时，4590135α︒︒︒=+= ；（4）如图所示，当CD BO ∥ 时，1806045165α︒︒︒︒=-+= ；（5）如图所示，当AD BO ‖ 时，4590135α︒︒︒=+= ；（6）如图所示，当AC BO ‖ 时，45α︒= ．（7）DC 边与AB 边平行时α=60°+90°=150°（8）DC 边与AB 边平行时α=180°-60°-90°=30°，（9）DC 边与AO 边平行时α=180°-60°-90°+45°=75°．（10）DC 边与AO 边平行时α=90°+15°=105°故答案为15，30，45，75，105，135，150，165． 【点睛】此题考查旋转的性质．解题关键在于掌握旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 17．计算与化简：（1）020212(21)(1)(2)-+-+- （2）2(1)(2)(2)x x x +-+-答案：（1）；（2）2x+5 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和乘方的意义计算； （2）根据乘法公式展开，然后合并即可． 【详解】解：（1）原式=1-1+=；（2）原式=x2+2x+1-（解析：（1）14；（2）2x +5【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和乘方的意义计算； （2）根据乘法公式展开，然后合并即可． 【详解】解：（1）原式=1-1+14=14； （2）原式=x 2+2x +1-（x 2-4） =x 2+2x +1-x 2+4 =2x +5． 【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2．也考查了完全平方公式和实数的运算． 18．因式分解： （1）3232x x y xy -+； （2）()222x y x +-．答案：（1）；（2） 【分析】(1)先提取公因式x 分解因式； (2)利用平方差公式分解因式． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式 ． 【点睛】此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方解析：（1）23(2)x x xy y -+；（2）()4y x y + 【分析】(1)先提取公因式x 分解因式； (2)利用平方差公式分解因式． 【详解】解：（1）原式=23(2)x x xy y -+；（2）原式()()22x y x x y x =+++-()222y x y =+()4y x y =+．【点睛】此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方法：提公因式法和公式法（完全平方公式及平方差公式）是解题的关键． 19．解方程组：（1）352526x y x y -=⎧⎨+=⎩ （2）1521123x y x y -=+⎧⎪+-⎨=+⎪⎩ 答案：（1）；（2）． 【分析】（1）方程组利用加减消元求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元求出解即可． 【详解】 （1） ①得：③ ②③得： 将代入①得： （2）解：方程组整理得：解析：（1）34x y =⎧⎨=⎩；（2）1420x y =-⎧⎨=-⎩．【分析】（1）方程组利用加减消元求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元求出解即可． 【详解】（1）352526x y x y -=⎧⎨+=⎩①②①5⨯得：15525x y -=③ ②+③得：1751x =3x ∴=将3x =代入①得：4y =34x y =⎧∴⎨=⎩（2）1521123x y x y -=+⎧⎪+-⎨=+⎪⎩解：方程组整理得：6322x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②2⨯得：2212x y -=③ ②-③得：14x =- 将14x =-代入①得：20y =-1420x y =-⎧∴⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元与加减消元．20．已知，以二元一次方程组321232x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩的解(),x y 为坐标的点在第一象限，求k 的取值范围．答案：【分析】解关于x 、y 的二元一次方程组，得x 与y ，再根据点在第一象限的坐标特征即可得到关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】 解方程组得， 由题意知，， ∴，解不等式组得，． 【点解析：815k -<<【分析】解关于x 、y 的二元一次方程组，得x 与y ，再根据点在第一象限的坐标特征即可得到关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解方程组得1138513k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由题意知0x >，0y >，∴1138513kk+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解不等式组得，815k-<<．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，点在各个象限的坐标特征等知识，难点在于解含有参数k的二元一次方程组．三、解答题21．已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．（1）∠CFD=90°；（2）求证：//AB CD．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由∠C＝∠1得到BE∥CF，根据平行线的性质即可证得∠CFD＝∠DGE＝90°；（2）首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由∠C＝∠1得到BE∥CF，根据平行线的性质即可证得∠CFD＝∠DGE＝90°；（2）首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C＝∠2，从而证得AB∥CD.【详解】证明：（1）∵BE⊥FD，∴∠DGE＝90°，∵∠C＝∠1，∴BE∥CF，∴∠CFD＝∠DGE＝90°；（2）∵BE⊥FD，∴∠EGD＝90°，∴∠1+∠D ＝90°，又∠2和∠D 互余，即∠2+∠D ＝90°， ∴∠1＝∠2， 又已知∠C ＝∠1， ∴∠C ＝∠2， ∴AB ∥CD . 【点睛】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE ⊥FD 及三角形内角和定理得出∠1和∠D 互余.22．某超市投入31500元购进A 、B 两种饮料共800箱，饮料的成本与销售价如下表：（单位：元/箱）（1）该超市购进A 、B 两种饮料各多少箱？ （2）全部售完800箱饮料共盈利多少元？（3）若超市计划盈利16200元，且A 类饮料售价不变，则B 类饮料销售价至少应定为每箱多少元？答案：（1）购进A 型饮料450箱，购进B 型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B 类饮料销售价至少定为每箱54元 【分析】（1）设购进A 型饮料x 箱，购进B 型饮料y 箱，根据题意解析：（1）购进A 型饮料450箱，购进B 型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B 类饮料销售价至少定为每箱54元 【分析】（1）设购进A 型饮料x 箱，购进B 型饮料y 箱，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据利润的公式解答即可；（3）设B 类饮料销售价定为每箱a 元，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：（1）设购进A 型饮料x 箱，购进B 型饮料y 箱，根据题意得800423631500x y x y +=⎧⎨+=⎩解得450350x y =⎧⎨=⎩答：购进A 型饮料450箱，购进B 型饮料350箱． （2）（64﹣42）×450+（52﹣36）×350＝15500（元）答：全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）设B类饮料销售价定为每箱a元，根据题意得（64﹣42）×450+（a﹣36）×350≥16200解得a≥54答：B类饮料销售价至少定为每箱54元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）．23．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？答案：（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购解析：（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购买B类年票，这两种方式何者次数更多即可．（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A类年票、购买B类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可．（3）小明选择购买A类年票，说明A类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．【详解】÷次；若（1）由于预算限制，小丽不可能买A类年票；若直接购票，可以进中心8010=8-÷=次，所以应该购买 B 类年票．购买B类年票，可进中心(8060)210⨯元；若购买A类年票，需花费120元；若购买B （2）若直接购买门票，需花费2010=200⨯元；所以应该购买B类年票．类年票，需花费60+202=100（3）设小明每年进拓展中心约x 次，根据题意列出不等式组：10120602120x x ≥⎧⎨+≥⎩，解得1230x x ≥⎧⎨≥⎩，故30x ≥． 所以小明一年中进入拓展中心不低于30次． 【点睛】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．24．在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分∠EDB①若∠BAC ＝100°，∠C ＝30°，则∠AFD ＝ ；若∠B ＝40°，则∠AFD ＝ ； ②试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系？请说明理由；（2）点D 在线段BG 上运动时，∠BDE 的角平分线所在直线与射线AG 交于点F 试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系，并说明理由答案：（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由解析：（1）①115°；110°；②1902AFD B ∠=︒+∠；理由见解析；（2）1902AFD B ∠=︒-∠；理由见解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出12BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠，由三角形的外角性质即可得出结果；②由①得：∠EDB=∠C ，1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG ，再由三角形的外角性质即可得出结论；（2）由（1）得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，1122BDH EDB C ∠=∠=∠,由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°， 则∠B=180°-100°-30°=50°， ∵DE ∥AC ， ∴∠EDB=∠C=30°，∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，∴1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152FDG EDB ∠=∠=︒， ∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°， ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°； 若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°， ∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，∴12BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠，∵∠DGF=∠B+∠BAG ，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG =()12B BAC C ∠+∠+∠ 1401402=︒+⨯︒4070110=︒+︒=︒故答案为：115°；110°； ②1902AFD B ∠=︒+∠；理由如下：由①得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠，∵∠DGF=∠B+∠BAG ， ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG =∠B+∠BAG+∠FDG =()12B BAC C ∠+∠+∠ ()11802B B =∠+︒-∠ 1902B =︒+∠；（2）如图2所示：1902AFD B ∠=︒-∠；理由如下：由（1）得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，1122BDH EDB C ∠=∠=∠，∵∠AHF=∠B+∠BDH ， ∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF11802BAC B BDH=︒-∠-∠-∠1118022BAC B C =︒-∠-∠-∠()11802B BAC C =︒-∠-∠+∠ ()11801802B B =︒-∠-︒-∠ 1180902B B =︒-∠-︒+∠1902B =︒-∠．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 25．已如在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若70ABC ∠=︒，则NDC ∠=________．（2）如图2，若BF 、DE 分别平分CBM ∠、CDN ∠，判断DE 与BF 位置关系并证明理由．（3）如图3，若BP 、DP 分别五等分CBM ∠、CDN ∠（即15CBP CBM ∠=∠，15CDP CDN ∠=∠），则P ∠=_______．答案：（1）70°；（2）DE ∥BF ，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可；（2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF解析：（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54°【分析】（1）根据四边形内角和计算即可；（2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论；（3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算．【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°，∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠NDC=180°-110°=70°；（2）DE∥BF，如图，连接BD，∵∠ABC+∠ADC=180°，且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠CDN=180°，∵∠CBF=12∠MBC，∠CDE=12∠CDN，∴∠CBF+∠CDE=90°，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，∴DE∥BF；（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，∴∠CDP+∠CBP=15（∠MBC+∠CDN）=36°，连接PC并延长，∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，∴∠DPB=90°-36°=54°．【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．。
字母表示数与代数式(6种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
字母表示数与代数式（6种题型）【知识梳理】一、字母表示数1.用字母表示数（1）意义：使用一个字母a可以表示任意一个数字。
（2）优越性：用字母还可以表示数的运算律和一些图形的面积、周长和体积。
2.字母表示数要注意的几点：数字与字母及字母与字母的乘号要省略；除法运算要用分数线来表示；数学应写在字母的前面，当字母前的数字是1的时候应省略不写（当字母前的数字是带分数时，一定要带分数化成假分数；主体为和的形式，后面有单位需加括号；注意：字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．3.字母表示数常见的类型：（1）用字母表示运算律；(2)用字母表示数学公式；（3）用字母表示实际问题；（4）用字母表示性质二、代数式：用运算符合和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．注：①单独一个数或一个字母也是代数式；②“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆）三、代数式的值用数字代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的记过叫做代数式的值．求代数式的值第一步：用数值代替代数式里的字母．第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果．【考点剖析】 题型一：字母表示图形的周长和面积例1.黑板的长为2.5米，宽为b 米，则他的面积和周长分别是多少？【分析】本题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。
【解答】面积22.5 2.5()b b =⨯=米 周长()()2.522 2.5()b b =+⨯=+米 【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面。
【变式1】若长方形的长为,a 宽为,b 则长方形的周长是________, 面积是________. 答案：2（a+b ） ab 题型二：字母表示运算律例2.请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等。
【解答】加法交换律：a b b a +=+ 加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 乘法分配律：bc ac c b a +=⨯+)(【点评】这里的“×”号，只是为了使表达清晰，实际做题时要注意书写规范。
(完整版)苏教版七年级下册期末数学重点初中题目解析
（完整版）苏教版七年级下册期末数学重点初中题目解析一、选择题1．下列运算正确的是（）A．（x+3）2＝x2+9 B．a2•a3＝a6C．（x﹣9）（x+9）＝x2﹣9 D．（a2）3＝a6答案：D解析：D【分析】直接根据完全平方公式、平方差公式，同底数幂的乘法和幂的乘方计算法则求解判断即可.【详解】解：A、（x+3）2＝x2+6x+9，故原题计算错误；B、a2•a3＝a5，故原题计算错误；C、（x﹣9）（x+9）＝x2﹣81，故原题计算错误；D、（a2）3＝a6，故原题计算正确；故选D．【点睛】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式，同底数幂的乘法和幂的乘方计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2．如图，∠1和∠2不是同位角的是（）A．B．C．D．答案：D解析：D【分析】根据同位角的定义，“在两条被截直线的同方，截线的同侧的两个角，即为同位角”直接分析得出即可．【详解】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；B、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；C、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；D、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了同位角的定义，正确掌握同位角定义是解题关键．3．不等式1433x->的解集为（）A．49x>-B．49x<-C．4x<-D．4x>-答案：C解析：C【解析】【分析】系数化为1即可得．【详解】解：不等式1433x->的解集为x＜−4，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．若a＞b，则下列各式中不成立的是（）A．a＋2＞b＋2 B．－12＋a＜－12＋b C．2a＞2b D．－12a＜－12b答案：B解析：B【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A、∵a＞b，∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；B、∵a＞b，∴－12＋a＞－12＋b，故本选项符合题意；C、∵a＞b，∴2a＞2b，故本选项不符合题意；D、∵a＞b，－12a＜－12b，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．已知关于x的不等式组220x ab x->⎧⎨->⎩的解集为11x-<<，则()2020a b+为（）A ．1B ．3C ．4D ．-1答案：A解析：A【分析】先用字母a 、b 表示出不等式组的解集，然后根据已知不等式组的解集对应得到关于a 、b 的相等关系，求出a 、b 的值，代入代数式中求解即可．【详解】由220x a b x ->⎧⎨->⎩解得：22b a x +<<， ∵不等式的解集为11x -<<，∴a+2=﹣1，12b =， 解得：a=﹣3，b=2，∴()20202020(32)1a b +=-+=，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程、求代数式的值，会利用不等式组的解集得出对应的相等关系是解答本题的关键．6．下列给出4个命题:①内错角相等;②对顶角相等;③对于任意实数x ，代数式2610x x -+ 总是正数;④若三条线段a 、b 、c 满足a b c +>，则三条线段a 、b 、c 一定能组成三角形.其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：B【解析】①两直线平行，内错角相等，故错误；②对顶角相等，正确；③对于任意实数x ，代数式2610x x -+=(x −3)2+1总是正数，正确；④若三条线段a 、b 、c 满足a +b >c ，则三条线段a 、b 、c 一定能组成三角形，错误， 故选B.点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的三边关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．注意：要说明一个没命题的正确性，一般需要推理、论证，二判断一个命题是假命题，只需举出一个范例即可. 7．已知整数1a ，2a ，3a ，4a …满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…，依此类推，则2021a 的值为（ ）A ．1008-B ．1009-C ．1010-D ．2020-答案：C解析：C【分析】分别计算：1234567,,,,,,,a a a a a a a 再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．【详解】解：探究规律：10a =， 2111a a =-+=-， 3221a a =-+=-，4332a a =-+=-，5442a a =-+=-，6553a a =-+=-，7663a a =-+=-，…，总结规律：当n 是奇数时，结果等于12n --；n 是偶数时，结果等于2n -； 运用规律： 2021202111010.2a -=-=- 故选：C ．【点睛】本题考查的是数字类的规律探究，考查列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键．8．如图，△ABC 中∠A=30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B 的度数为（ ）A ．75°B ．72°C ．78°D ．82°答案：C解析：C【分析】在图①的△ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的性质和图②③可知：∠B=3∠CBD，即可在△CBD中，得到另一个关于∠B、∠C度数的等量关系式，联立两式即可求得∠B的度数．【详解】在△ABC中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°…①；根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C；在△CBD中，则有：∠CBD+∠BCD=180°-82°，即：13∠B+∠C=98°…②；①-②，得：23∠B=52°，解得∠B=78°．故选：C．【点睛】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B和∠CBD的倍数关系是解答此题的关键．二、填空题9．计算：223x x________．解析：6x3【分析】根据单项式乘单项式的计算法则进行计算求解．【详解】解：原式=6x3，故答案为：6x3．【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握计算法则是解题基础．10．命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．解析：假【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后判断逆命题的真假．【详解】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等” 的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是直角”，此逆命题是假命题．故答案为假．【点睛】本题考查了命题与定理，逆命题．判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设与结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．11．已知正多边形的一个外角40°，若从这个正多边形的一个顶点出发，可以作________条对角线．解析：6【分析】利用多边形的外角和是360︒，正多边形的每个外角都是40︒，即可求出这个正多边形的边数，再根据n 边形从一个顶点出发可引出(3)n -条对角线可求答案．【详解】解：360409︒÷︒=，936-=．故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是6．故答案为：6．【点睛】主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，解题的关键是：n 边形从一个顶点出发可引出(3)n -条对角线．12．已知224m n -=，则2202024m n -+=____________．解析：2012【分析】把224m n -=看作一个整体，进一步将原式分解代入求得答案即可．【详解】解：2202024m n -+=220202(m 2n)--∵224m n -=∴原式=2020-2×4=2012．故答案为2012．【点睛】此题考查因式分解的实际运用，整体代入是解决问题的关键．13．关于x 的方程组3221231x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y >，则m 的取值范国是_______． 解析：m ＞-2【分析】两个方程相减得x -y =m +2，由x ＞y 知m +2＞0，解之可得答案．【详解】解：两个方程相减得x -y =m +2，∵x ＞y ，∴x -y ＞0，则m +2＞0，解得m ＞-2，故答案为：m ＞-2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握等式的基本性质，并结合已知条件得出关于m 的不等式．14．如图，A 是线段BC 外一点，连接AB ，AC ，过点A 作线段BC 的垂线AH ，垂足为H ．在AB 、AC 、AH 这三条线段中，AH 是最短的线段，依据是_______．解析：垂线段最短【分析】根据垂线段最短的定义求解即可．【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短，∴依据是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的定义，解题的关键在于能够熟记定义．15．三角形的三边长为3、7、x ，则x 的取值范围是______答案：4<x<10【分析】根据三角形的三边关系直接进行求解即可．【详解】解：由三角形的三边长为3、7、x ，则有：，即；故答案为．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关解析：4<x<10【分析】根据三角形的三边关系直接进行求解即可．【详解】解：由三角形的三边长为3、7、x ，则有：7373x -<<+，即410x <<；故答案为410x <<．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 16．如图，若AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是∠BAC 的角平分线，∠C ＝42°，∠BAE ＝15°，则∠DAB ＝_______°答案：18【分析】先由三角形的高和内角和求出∠DAC ，然后由角平分线得出∠BAC ，从而计算即可得到答案．【详解】解：∵AD 是△ABC 的BC 边上的高，∠C ＝42°，∴∠DAC=180°-90°-4解析：18【分析】先由三角形的高和内角和求出∠DAC ，然后由角平分线得出∠BAC ，从而计算即可得到答案．【详解】解：∵AD 是△ABC 的BC 边上的高，∠C ＝42°，∴∠DAC =180°-90°-42°=48°，∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAC =2∠BAE =15°×2=30°，∴∠DAB =∠DAC -∠BAC =48°-30°=18°，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了三角形的高和角平分线的内容，注意三角形的内角和是180°，以及三角形的高和角平分线的性质即可解答．17．计算：（1）()()()32335-93ab a bc a b ⋅-÷-．（2）()20212532π-⎛⎫-+----- ⎪⎝⎭ 答案：（1）；（2）-4【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值可以解答本题．【详解】解：（1）（﹣ab2）3•（﹣9a3解析：（1）323a b c -；（2）-4【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值可以解答本题．【详解】解：（1）（﹣ab 2）3•（﹣9a 3bc ）÷（﹣3a 3b 5）＝（﹣a 3b 6）•（﹣9a 3bc ）÷（﹣3a 3b 5）＝﹣3a 3b 2c ；（2）﹣22+21()2--﹣（π﹣5）0﹣|﹣3| ＝﹣4+4﹣1﹣3＝﹣4．【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、积的乘方、同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．18．因式分解（1）()222416x x +- （2）()244m x y x y --+ 答案：（1）；（2）【分析】（1）原式首先根据平方差公式分解，然后再根据完全平方公式再进行二次分解即可；（2）原式首先提取公因式（x-y ），然后再根据平方差公式二次分解即可．【详解】解：（1）解析：（1）22(2)(2)x x +-；（2）()(2)(2)x y m m -+-【分析】（1）原式首先根据平方差公式分解，然后再根据完全平方公式再进行二次分解即可； （2）原式首先提取公因式（x -y ），然后再根据平方差公式二次分解即可．【详解】解：（1）()222416x x +- =()()224444x x x x -++-+=22(2)(2)x x +-（2）()244m x y x y --+=()24()m x y x y ---=()2(4)x y m --=()(2)(2)x y m m -+-【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．19．解方程组（1）3211x y x y -=-⎧⎨-=⎩ （2）2345319x y x y +=⎧⎨-=⎩答案：（1）；（2）．【分析】（1）由①+②，可求得，再代入②，可求出 ，即可求解；（2）由①+②，可求出，再代入，求出，即可求解．【详解】解：（1），由①-②×2，得： ，将代入②，得：解析：（1）34x y =-⎧⎨=-⎩；（2）23767x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【分析】（1）由①+②，可求得3x =-，再代入②，可求出4y =- ，即可求解；（2）由①+②，可求出237x =，再代入，求出67y =-，即可求解． 【详解】 解：（1）3211①②-=-⎧⎨-=⎩x y x y ， 由①-②×2，得： 3x =- ，将3x =-代入②，得：31y --= ，解得：4y =- ，所以原方程组的解为34x y =-⎧⎨=-⎩； （2）2345319①②+=⎧⎨-=⎩x y x y ， 由①+②，得：723x = ，解得：237x =， 将237x =代入①，得：232347y ⨯+= ，解得：67y =- ，所以原方程组的解为23767x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．20．解不等式组：()265317x x x x ->-⎧⎨+≤+⎩，并把解集在数轴上表示出来．答案：，见解析【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出来，即可．【详解】解：由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为：．如图，把解集在数轴上表示出来为．解析：1<2x ≤，见解析【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出来，即可．【详解】解：由①得：>1x ，由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为：1<2x ≤．如图，把解集在数轴上表示出来为．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．三、解答题21．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ．（1）如果∠AOC ＝50︒，求∠DOE 的度数；（2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD．答案：（1）65；（2）见解析【分析】（1）先根据邻补角求出∠AOD＝130，再根据角平分线求求∠DOE的度数即可；（2）根据等角的余角相等证明∠DOF＝∠BOF即可．【详解】解：（1）∵∠解析：（1）65︒；（2）见解析【分析】（1）先根据邻补角求出∠AOD＝130︒，再根据角平分线求求∠DOE的度数即可；（2）根据等角的余角相等证明∠DOF＝∠BOF即可．【详解】解：（1）∵∠AOC＝50︒，∴∠AOD＝180︒-∠AOC＝130︒，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝65︒；∴∠DOE＝12（2）∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90︒，∴∠DOE+∠DOF＝90︒，∴∠AOE+∠BOF＝90︒，∵∠AOE＝∠DOE，∴∠DOF＝∠BOF，∴OF平分∠BOD．【点睛】本题考查了角平分线、邻补角和垂线的定义，解题关键是准确识别图形，明确角之间的关系，正确进行推理证明和计算．22．某农场收割小麦，为了加快速度，决定用两种型号的收割机进行联合作业．已知1台大型收割机和3台小型收割机1h可以收割小麦1.4公顷；2台大型收割机和5台小型收割机1h可以收割小麦2.5公顷．（1）问每台大型收割机和每台小型收割机1h收割小麦各多少公顷？（2）农场要租赁两种型号的收割机一共10台，要求3小时完成的小麦收割任务不少于12公顷，则至多可以租赁小型收割机几台？答案：（1）每台大型收割机收割公顷，每台小型收割机收割公顷；（2）至多可以租赁小型收割机台．【分析】（1）设每台大型收割机收割公顷，每台小型收割机收割公顷，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，解方程解析：（1）每台大型收割机1h 收割0.5公顷，每台小型收割机1h 收割0.3公顷；（2）至多可以租赁小型收割机5台．【分析】（1）设每台大型收割机1h 收割x 公顷，每台小型收割机1h 收割y 公顷，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，解方程组即可求解；（2）设租赁小型收割机m 台，则租赁大型收割机()10m -台，根据3小时完成的小麦收割任务不少于12公顷列出不等式，解不等式及即可求解．【详解】解：（1）设每台大型收割机1h 收割x 公顷，每台小型收割机1h 收割y 公顷，则3 1.4,25 2.5,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得0.5,0.3.x y =⎧⎨=⎩答：每台大型收割机1h 收割0.5公顷，每台小型收割机1h 收割0.3公顷；（2）设租赁小型收割机m 台，则租赁大型收割机()10m -台，由题意得()30.330.51012m m ⨯+⨯-≥解得5m ≤．答：至多可以租赁小型收割机5台．【点睛】本题为二元一次方程组和一元一次不等式的综合应用，读懂题意，设出未知数列出方程组、不等式是解题关键．23．阅读理解：例1．解方程|x |＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x |＝2的解为x ＝±2．例2．解不等式|x ﹣1|＞2，在数轴上找出|x ﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x ﹣1|＝2的解为x ＝﹣1或x ＝3，因此不等式|x ﹣1|＞2的解集为x ＜﹣1或x ＞3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x ﹣2|＝3的解为 ；（2）解不等式：|x ﹣2|≤1．（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．答案：（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a≥6【分析】（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可；（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-解析：（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a≥6【分析】（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可；（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；（3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集；（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答．【详解】解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5，∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5；（2）在数轴上找出|x-2|=1的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3，∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3．（3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6，∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边．若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3，∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3，∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3．（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值．当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2，当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6，当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2，即|x+2|+|x-4|的最大值为6．故a≥6．【点睛】本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．24．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.答案：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【详解】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2解析：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【详解】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.25．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是；（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .答案：（1）;（2）;（3）见解析;（4）【分析】（1）根据三角形外角性质可得；（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；（3）如下解析：（1）12A ∠=∠;（2）122A ∠+∠=∠;（3）见解析;（4）1222360A B ∠+∠=∠+∠-︒【分析】（1）根据三角形外角性质可得；（2）在四边形A EAD '中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '，从而推导出关系式； （4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．【详解】（1）∵△'EDA 是△EDA 折叠得到∴∠A=∠A '∵∠1是△'ADA 的外角∴∠1=∠A+∠A '∴12A ∠=∠；（2）∵在四边形A EAD '中，内角和为360°∴∠A+A '+∠A DA '+∠A EA '=360°同理，∠A=∠A '∴2∠A+∠A DA '+∠A EA '=360°∵∠BDA=∠CEA=180∴∠1+∠A DA '+∠A EA '+∠2=360°∴122A ∠+∠=∠ ；（3）数量关系：212A ∠-∠=∠理由：如下图，连接AA '由（1）可知：∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '∴212()2EAA DAA DAE ∠-∠=∠-=∠'∠'；（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF ，∠1=180°－2∠BFE相加得：123602(360)22360A B A B ∠+∠=︒-︒-∠-∠=∠+∠-︒．【点睛】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．。
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七年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【核心例题】例1计算：200720061......431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成2111211-=⨯，可利用通项()11111+-=+⨯n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解 原式=)2007120061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =2007120061......41313121211-++-+-+-=200711-=20072006例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c例3 计算：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-211311 (9811991110011)分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.解 原式=2132......9897999810099⨯⨯⨯⨯⨯=1001 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220.分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解 原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2） =2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2） =2-22-23-24-……-217+218 =…… =2-22+23 =6【核心练习】1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：()()......1111++++b a ab ()()200620061++b a 的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a 、b 的值代入就成为了例1.） 2、代数式ababb b a a ++的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个） 【参考答案】1、200820072、3字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.【典型例题】例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得35=x ,把x 、y 的值代入2x-4y+6可得答案328.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解 由3x-6y-5=0，得352=-y x所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=6352+⨯=328例2已知代数式1)1(++-n n x x ，其中n 为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=-1时，代数式的值是 .分析 当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n 和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n 和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解 当x=1时，1)1(++-n n x x =111)1(++-n n =3当x=-1时，1)1(++-n n x x =1)1()1()1(+-+--n n =1例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25…… 752=5625= ，852=7225=（1）找规律，把横线填完整； （2）请用字母表示规律; （3）请计算20052的值.分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n （n+1）+25(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S 表示三角形的个数.（1）当n=4时，S= ，（2）请按此规律写出用n 表示S 的公式.分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解 (1)S=13(2)可列表找规律：所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，21，31-，41，51-，61①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ； ②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来:【参考答案】1、①111-，121，1311-;②20081;③0.2、1+n ×(n+2) = (n+1)2平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.【典型例题】例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解例2 两条平行直线m 、n 上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线.A ．20B ．36C ．34D ．22分析与解 让直线m 上的4个点和直线n 上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m 上的4个点和直线n 上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D. 例3 如图，OM 是∠AOB 的平分线.射线OC 在∠BOM 内，ON 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON 的大小等于_______.分析 求∠MON 有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC 靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解 因为OM 是∠AOB 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，所以∠MOB=21∠AOB ，∠NOB=21∠COB 所以∠MON=∠M OB-∠N OB=21∠AOB-21∠C OB=21（∠AOB-∠C OB ）=21∠AOC=21×80°=40°例4 如图，已知∠AOB=60°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC. （1）求∠DOE 的大小； O AM CNOB CD E图1图2图3（2）当OC 在∠AOB 内绕O 点旋转时，OD 、OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线，问此时∠DOE 的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.分析 此题看起来较复杂，OC 还要在∠AOB 内绕O 点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE 是∠AOB 的一半，也就是说要求的∠DOE ， 和OC 在∠AOB 内的位置无关.解 (1)因为OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC.所以∠DOC=21∠BOC ，∠COE=21∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠BOC+21∠COA=21（∠BOC+∠COA ）=21∠AOB因为∠AOB=60°所以∠DOE =21∠AOB= 21×60°=30° (2)由（1）知∠DOE =21∠AOB ，和OC 在∠AOB 内的位置无关.故此时∠DOE 的大小和（1）中的答案相同.【核心练习】1、A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分.【参考答案】1、15条2、分分或1165411921.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。
解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。
列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。
【典型例题】例1已知方程2x+3=2a 与2x+a=2的解相同，求a 的值.分析 因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x ，可把2x 整体代入.解 由2x+3=2a ，得 2x=2a-3. 把2x=2a-3代入2x+a=2得2a-3+a=2， 3a=5,所以 35=a例2 解方程 31221+-=--x x x 分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.解 两边同时乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1) 去分母，得6x-3x+3=12-2x-2 6x-3x+2x=12-2-3 5x=7 x=57 例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.解：设原进价为x 元，销售价为y 元，那么按原进价销售的利润率为 %100⨯-x x y ,原进价降低后在销售时的利润率为%100%6.93%6.93⨯-x xy ,由题意得： %100⨯-x x y +8%=%100%6.93%6.93⨯-x xy 解得 y=1.17x故这种商品原来的利润率为%10017.1⨯-xxx =17%. 例4解方程 │x-1│+│x-5│=4分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x 进行讨论.解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=5.1和5两个“零点”把x 轴分成三部分，可分别讨论：1）当x<1时，原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4，解得 x=1.因x<1，所以x=1应舍去.2）当1≤x ≤5时，原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4，解得 4=4，所以x 在1≤x ≤5范围内可任意取值.3）当x>5时，原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4，解得 x=5.因x>5，故应舍去. 所以， 1≤x ≤5是比不过的。