13.4最短路径问题
§13.4 课题学习 最短路径问题【内容解析】本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”的问题． 【目标解析】能利用轴对称解决最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 【学习重难点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 【复习回顾】1. 线段公理：__________________________________________.2. 垂线性质：__________________________________________.3. 三角形三边不等关系：①______________________________；②___________________________.4. 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？5. 如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？6. 如图，点A ，B 在直线l 的异侧，点C 是直线l 上的一个动点. （1）当点C 在l 的什么位置时，AC+CB 有最小值？试在图中作出点C ，数学依据：____________________.（2）你能将点B “移”到l 的另一侧'B 处，即点A ，'B 在直线l 的同侧，仍能满足'CB CB =，试在图中作出点'B ，数学依据：____________________.小组长检查批改： 等级与评价：【典例赏析】前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者海伦.一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？精通数学、物理学的海伦稍加思考，利用轴对称的知识回答了这个问题.后来这个问题被称为“将军饮马问题”．小小数学家，你能将这个问题抽象为数学问题吗？分析：将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．（1）将军从____出发，到______饮马，然后到______地．（2）在河边l 饮马的地点有______处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和．（3）需要解决的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短时直线l 上的点，设C 为直线上的一个动点，上面的问题转化为：当____在l 的什么位置 时，AC 与CB 的_____最小． （4）如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？如何将B “移”到l 的另一侧'B 处，满足直线l 上的任一点C ，都能满足'CB CB =？ （5）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点'B 吗？ 作法：①作点B 关于直线l 的对称点_______； ②连接_______，与直线l 交于点C ； ③点C 即为所求.证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′．由轴对称的性质知， BC =_____，BC ′=_______． ∴ AC +BC = AC +_____ = ______， AC ′+BC ′ = AC ′+____．在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′+B ′C ′，∴ AC +BC ＜__________． 即AC +BC 最短．【小试牛刀】1．如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．思路点拨：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经之路.将河岸抽象成一条直线BC ，这样问题就转化为“P ，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的和最小.”2．如图，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在∠AOB 内的P 点，乙站在OA 上，丙站在OB 上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P 处．如果甲、乙、丙三人速度相同，试作图求出乙、丙必须站在何处，他们比赛所用时间最短．3．（1）如图1，已知直线MN 与在MN 同侧的两点A ，B ，在MN 上求作一点P ，使PA PB -最大； （2）如图2，已知直线MN 与在MN 异侧的两点A ，B ，在MN 上求作一点Q ，使QA QB -最大.并说明理由及作法.BA问题2：（造桥选址问题）如图，A ，B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析：（1）我们可以把河的两岸看成两条平行线a 和b ，N 为直线b 上的一个动点，MN 垂直于直线b ,交直线a 于点M ，这样，上面的问题 可以转化为下面的问题：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？（2）由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB 最小时，AM+MN+NB 最小．这样问题可转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+NB 最小． 作法：①将点A 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'； ②连接A'B 交河对岸于点N ；③则点N 为建桥的位置，MN 为所建的桥.证明：由平移的性质，得 AM ∥____，且AM =___， MN =_____， 所以A ，B 两地的距离：AM+MN+BN =____+MN +____=______+MN ，若桥的位置建在N'处，过N '作N'M'⊥a ，垂足为M ',连接AM'，A'N '，BN'， 则AB 两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=_____+M'N'+N'B ，在△A'N'B 中，∵_____+_____＞A'B ，∴______+______+MN ＞_____+MN ， 即AM'+M'N'+N'B ＞AM+MN+BN ．所以在点N 的位置建桥MN ，AB 两地的路径AMNB 最短.【小试牛刀】如图,直线12l l ，A 、B 为两定点，M 、N 分别在直线1l ，2l 上，且2MN l ^，请确定M 、N 的位置，AM MN BN ++最小．1l2l【课后达标检测】1．请各位小数学家帮助我们解决以下生活中的数学实际问题，要求作图保留痕迹，并写作法． （1）张湾区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.（2）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？（3）如图，八（1）班与八（2）班两个班的学生分别在M 、N 两处参加植树劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM=PN ，请你找到点P ．2．如图，直线l 外不重合的两点A 、B ，在直线l 上求作一点C ，使得AC+BC 的长度最短，作法为：①作点B 关于直线l 的对称点B′；②连接AB′与直线l 相交于点C ，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ） A ．转化思想 B ．三角形的两边之和大于第三边C ．两点之间，线段最短D ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角3．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ） A ．25° B ．30° C ．35° D ．40° 4．如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =5．若点M 、N 分别是线段AC ，AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为（ ） A ．10B ．8C ．D ．65．如图，四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） A ．130° B ．120° C ．110°D ．100°6．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为 cm ．7．如图，钝角三角形ABC 的面积为15，最长边AB =10，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值为 ．8．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是____________.9．（1）如图1，直线同侧有两点A 、B ，在直线上求一点C ，使它到A 、B 之和最小（保留作图痕迹）. （2）如图2，A ，B 在直线MN 的同侧，在直线MN 上求一点P ，使∠APM =∠BPN.（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小;②若∠BAE =125°，∠B =∠E =90°，AB=BC ，AE=DE ，∠AMN +∠ANM 的度数为 ． （4）如图4，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 上一点，AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为_________．第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题。
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
13.4最短路径问题1--两点(两定点)一轴型
13.4最短路径问题1--两点(两定点）一轴型一．【知识要点】 2. 主要类型有“两点一线”，“一点两线”，“两点两线” 模型。
3.方法：①“两点一线，两点在异侧，连接两点，交点为所求”；②“两点一线，两定点在同侧，先作对称，连接另一点，交点为所求”。
二．【经典例题】1．如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2.已知点P 、Q 分别是△ABC 边AB 、AC 上的两定点，在BC 边上求作一点M ，使△PQM 周长最短。
画出图形，不写作法。
3.如图所示，△ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，高AH=10cm ，P 为AH 上一动点，则PD+PB 的最小值为___________cm.【问题 1】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小。
连 AB ，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB ．【问题 2】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B ＇连 A B ＇，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为A B ＇．4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）5．（绵阳2021年期末10题）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．6．(2022年绵阳期末第11题）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（）A．36°B．60°C．72°D．108°三．【题库】【A】1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）。
13.4将军饮马——最短路径问题
A
BP
河
B'
最短路线：A ---P--- B.
将军饮马：
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到 河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
BP B'
A
P'
河
AP + BP < AP' + BP'
将军饮马：
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB,AC上的点，你能
在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗？
将军饮马：
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
将军饮马：
A'
P
NQ
B'
A
M
B将军饮马：
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两 球分别位于B、A两点的位置上,试问怎样撞击白球，使 白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
将军饮马：
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
A' M 草地
最短路线：
P
O
. A ---P--- Q---A 驻地A
Q
N 河边
A''
将军饮马：
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在
AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周 长最短吗？
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
恩施州清江外国语学校 教师：刘玉兰
将军饮马：
13.4课题学习-最短路径问题
B A C
L
B
/
证明:
在L 上任取另一点C ',连结AC ' 、BC'、B'C'. ∵ 直线 L 是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ' 在对称轴上， ∴CB=CB',C'B=C'B'. B ∴AC+CB=AC+CB'=AB'
A
Ｃ'
在△AC'B'中， AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
13.4课题学习 最短路径问题
提出问题
八年级(1)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，小华按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，才 能最快拿到球跑到目的地A?
A
B小华 l
探究一
如图，直线L两侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
C 两点之间，线段最短。
A/
。
A C B小明 l
巩固新知
练 习 一
A
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直 线a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B， 最先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、 小熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
B A a B A B A a B
C
C
a
C
a
C
小猫
小猪
A‘
小猴
小熊
练 习 二
巩固新知
A/
。
l2 N M A
B/
。
B小华
l1
人教版八年级数学13.4最短路径问题(包含答案)
13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P在轴上，则PA+PB的最小值是______________。
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
13.4课题学习++最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年+人教版+八年级数学上册
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
专题13.4 最短路径问题 (解析版)
专题13.4 最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC ＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例题1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．【答案】见解析。
人教版 八年级上册13.4 最短路径问题(将军饮马问题)
A
城堡
B
军营
“将军饮马” 问题（一）
设C将为河直流线抽上象的为一一个条动直点线，l上．面将的城问堡题和就军转营化分别 为抽：象当成点AC，在B l两的个什点么。位置时,AC 与CB 的和最小?
·B
·A
C
C
l
“将军饮马” 问题（一）
如果点A与点B在直线l的异侧，点C 在什么位置，AC+BC最短？
·A
人教版 八年级上册
13.4 最短路径问题
（将军饮马问题）
最短路径
B
l
线段公理： 两点之间，线段最短。
垂线段性质： 垂线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
将相军传从，城古堡希出腊发亚，历到山一大条里笔亚直城的里河有边一饮位马久，负然盛后名到 军的营学．者请，问名将叫军海到伦河．边有什一么天地，方一饮位马将可军使专他程所拜走访的海路伦线， 全求程教最一短个？百思不得其解的问题：
你能将 这个实际问 题转化成数 学问题吗？
“将军饮马” 问题（二）
A’
C
D B’
A
B
最短路径为： A C D B
C
l
·B 转化：两点之间，线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
利用轴对称的性质如何找到点A的对应点 A’的位置。
·B ·A
l
A’
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
“将军饮马” 问题（二）
牧马人从A地出发，先到草地边某处牧 马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出 最短路径。