13.4最短路径问题
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
13.4最短路径问题1--两点(两定点)一轴型
13.4最短路径问题1--两点(两定点）一轴型一．【知识要点】 2. 主要类型有“两点一线”，“一点两线”，“两点两线” 模型。
3.方法：①“两点一线，两点在异侧，连接两点，交点为所求”；②“两点一线，两定点在同侧，先作对称，连接另一点，交点为所求”。
二．【经典例题】1．如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2.已知点P 、Q 分别是△ABC 边AB 、AC 上的两定点，在BC 边上求作一点M ，使△PQM 周长最短。
画出图形，不写作法。
3.如图所示，△ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，高AH=10cm ，P 为AH 上一动点，则PD+PB 的最小值为___________cm.【问题 1】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小。
连 AB ，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB ．【问题 2】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B ＇连 A B ＇，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为A B ＇．4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）5．（绵阳2021年期末10题）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．6．(2022年绵阳期末第11题）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（）A．36°B．60°C．72°D．108°三．【题库】【A】1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）。
13.4将军饮马——最短路径问题
A
BP
河
B'
最短路线：A ---P--- B.
将军饮马：
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到 河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
BP B'
A
P'
河
AP + BP < AP' + BP'
将军饮马：
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB,AC上的点，你能
在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗？
将军饮马：
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
将军饮马：
A'
P
NQ
B'
A
M
B将军饮马：
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两 球分别位于B、A两点的位置上,试问怎样撞击白球，使 白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
将军饮马：
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
A' M 草地
最短路线：
P
O
. A ---P--- Q---A 驻地A
Q
N 河边
A''
将军饮马：
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在
AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周 长最短吗？
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
恩施州清江外国语学校 教师：刘玉兰
将军饮马：
13.4课题学习-最短路径问题
B A C
L
B
/
证明:
在L 上任取另一点C ',连结AC ' 、BC'、B'C'. ∵ 直线 L 是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ' 在对称轴上， ∴CB=CB',C'B=C'B'. B ∴AC+CB=AC+CB'=AB'
A
Ｃ'
在△AC'B'中， AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
13.4课题学习 最短路径问题
提出问题
八年级(1)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，小华按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，才 能最快拿到球跑到目的地A?
A
B小华 l
探究一
如图，直线L两侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
C 两点之间，线段最短。
A/
。
A C B小明 l
巩固新知
练 习 一
A
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直 线a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B， 最先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、 小熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
B A a B A B A a B
C
C
a
C
a
C
小猫
小猪
A‘
小猴
小熊
练 习 二
巩固新知
A/
。
l2 N M A
B/
。
B小华
l1
人教版八年级数学13.4最短路径问题(包含答案)
13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P在轴上，则PA+PB的最小值是______________。
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
13.4课题学习++最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年+人教版+八年级数学上册
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
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§13.4 课题学习 最短路径问题【内容解析】本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”的问题． 【目标解析】能利用轴对称解决最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 【学习重难点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 【复习回顾】1. 线段公理：__________________________________________.2. 垂线性质：__________________________________________.3. 三角形三边不等关系：①______________________________；②___________________________.4. 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？5. 如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？6. 如图，点A ，B 在直线l 的异侧，点C 是直线l 上的一个动点. （1）当点C 在l 的什么位置时，AC+CB 有最小值？试在图中作出点C ，数学依据：____________________.（2）你能将点B “移”到l 的另一侧'B 处，即点A ，'B 在直线l 的同侧，仍能满足'CB CB =，试在图中作出点'B ，数学依据：____________________.小组长检查批改： 等级与评价：【典例赏析】前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者海伦.一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？精通数学、物理学的海伦稍加思考，利用轴对称的知识回答了这个问题.后来这个问题被称为“将军饮马问题”．小小数学家，你能将这个问题抽象为数学问题吗？分析：将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．（1）将军从____出发，到______饮马，然后到______地．（2）在河边l 饮马的地点有______处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和．（3）需要解决的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短时直线l 上的点，设C 为直线上的一个动点，上面的问题转化为：当____在l 的什么位置 时，AC 与CB 的_____最小． （4）如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？如何将B “移”到l 的另一侧'B 处，满足直线l 上的任一点C ，都能满足'CB CB =？ （5）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点'B 吗？ 作法：①作点B 关于直线l 的对称点_______； ②连接_______，与直线l 交于点C ； ③点C 即为所求.证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′．由轴对称的性质知， BC =_____，BC ′=_______． ∴ AC +BC = AC +_____ = ______， AC ′+BC ′ = AC ′+____．在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′+B ′C ′，∴ AC +BC ＜__________． 即AC +BC 最短．【小试牛刀】1．如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．思路点拨：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经之路.将河岸抽象成一条直线BC ，这样问题就转化为“P ，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的和最小.”2．如图，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在∠AOB 内的P 点，乙站在OA 上，丙站在OB 上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P 处．如果甲、乙、丙三人速度相同，试作图求出乙、丙必须站在何处，他们比赛所用时间最短．3．（1）如图1，已知直线MN 与在MN 同侧的两点A ，B ，在MN 上求作一点P ，使PA PB -最大； （2）如图2，已知直线MN 与在MN 异侧的两点A ，B ，在MN 上求作一点Q ，使QA QB -最大.并说明理由及作法.BA问题2：（造桥选址问题）如图，A ，B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析：（1）我们可以把河的两岸看成两条平行线a 和b ，N 为直线b 上的一个动点，MN 垂直于直线b ,交直线a 于点M ，这样，上面的问题 可以转化为下面的问题：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？（2）由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB 最小时，AM+MN+NB 最小．这样问题可转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+NB 最小． 作法：①将点A 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'； ②连接A'B 交河对岸于点N ；③则点N 为建桥的位置，MN 为所建的桥.证明：由平移的性质，得 AM ∥____，且AM =___， MN =_____， 所以A ，B 两地的距离：AM+MN+BN =____+MN +____=______+MN ，若桥的位置建在N'处，过N '作N'M'⊥a ，垂足为M ',连接AM'，A'N '，BN'， 则AB 两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=_____+M'N'+N'B ，在△A'N'B 中，∵_____+_____＞A'B ，∴______+______+MN ＞_____+MN ， 即AM'+M'N'+N'B ＞AM+MN+BN ．所以在点N 的位置建桥MN ，AB 两地的路径AMNB 最短.【小试牛刀】如图,直线12l l ，A 、B 为两定点，M 、N 分别在直线1l ，2l 上，且2MN l ^，请确定M 、N 的位置，AM MN BN ++最小．1l2l【课后达标检测】1．请各位小数学家帮助我们解决以下生活中的数学实际问题，要求作图保留痕迹，并写作法． （1）张湾区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.（2）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？（3）如图，八（1）班与八（2）班两个班的学生分别在M 、N 两处参加植树劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM=PN ，请你找到点P ．2．如图，直线l 外不重合的两点A 、B ，在直线l 上求作一点C ，使得AC+BC 的长度最短，作法为：①作点B 关于直线l 的对称点B′；②连接AB′与直线l 相交于点C ，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ） A ．转化思想 B ．三角形的两边之和大于第三边C ．两点之间，线段最短D ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角3．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ） A ．25° B ．30° C ．35° D ．40° 4．如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =5．若点M 、N 分别是线段AC ，AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为（ ） A ．10B ．8C ．D ．65．如图，四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） A ．130° B ．120° C ．110°D ．100°6．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为 cm ．7．如图，钝角三角形ABC 的面积为15，最长边AB =10，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值为 ．8．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是____________.9．（1）如图1，直线同侧有两点A 、B ，在直线上求一点C ，使它到A 、B 之和最小（保留作图痕迹）. （2）如图2，A ，B 在直线MN 的同侧，在直线MN 上求一点P ，使∠APM =∠BPN.（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小;②若∠BAE =125°，∠B =∠E =90°，AB=BC ，AE=DE ，∠AMN +∠ANM 的度数为 ． （4）如图4，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 上一点，AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为_________．第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题。