2018届北京各区高三上期末文科数学分类汇编——概率统计部分(含答案)

2018届北京各区高三上期末文科数学汇编——概率统计部分（含答案）一、选填问题 1.（大兴）已知圆M ：224xy+=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于的概率为 . 142.（房山）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为 B（A ） 640 （B ）520 （C ） 280 （D ） 2403. （丰台）某单位员工中年龄在20~35岁的有180人，35~50岁的有108人，50~60岁的有72人．为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取 人．64.（海淀）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :（A ） 0，0（B ） 0，5（C ） 5，0（D ）5，5二、解答题5.(东城)“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可频率支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市20122016-年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图．（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%．）%（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选两年，求至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A，由图可知，这五年中有201220132014，，这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以3()5P A=.……5分（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以9()10P B=.………10分（Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大.………13分6.（朝阳）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.………………2分（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率93P==. …………………………10分155（Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分7.（通州）某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示.（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业.若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各 随机选取1个，求这两个企业得分的差的 绝对值不超过5分的概率. 注：方差()()()2222121n s x xx xx x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦解：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是()19794888378885⨯++++=，方差是()()()()()2222219788948888888388788848.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.…………………… 4分（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有()96,97，()96,94，()96,88，()93,97，()93,94，()93,88，()89,97，()89,94，()89,88，()86,97，()86,94，()86,88共12组， …………………… 8分 设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件A ，则事件A 包含有()96,97，()96,94，()93,97，()93,94，()93,88，()89,94，()89,88，()86,88共8组. …………………… 11分 所以()82.123P A ==所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是2.3…………………… 13分8.（大兴）某校高三年级共有300人参加数学期中考试，从中随机抽取4名男生和4名女生的试卷，获得某一道题的样本，该题得分的茎叶图如图。

男 女7 5 0 4 8 2 1 1 2 3(Ⅰ) 求样本的平均数；(Ⅱ) 设该题得分大于样本的平均数为合格，根据样本数据估计该校高三年级有多少名同学此题成绩合格；(Ⅲ)在这4名男生和4名女生中，分别随机抽取一人，求该题女生得分不低于男生得分的概率.9.（西城）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数； （Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，B类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分] 因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）． 将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),ab cde a cbdead bc e(,),(,)ce a b d d e a b c ． [ 8分]所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=． [10分]（Ⅲ）12k k <． [13分]10.（顺义）某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收(I)若所抽调的50名市民中,收入在[)35,45的有15名,求,,a b c 的值,并完成频率分布直方图;(II)若从收入(单位:百元)在[)55,65的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率..解:(I)由频率分布表得0.10.20.10.11a b +++++=,即0.5a b +=.因为所抽调的50名市民中,收入(单位:百元)在[)35,45的有15名,所以150.350b ==,所以0.2,0.25010a c ==⨯=,所以0.2,0.3,10a b c ===, 且频率分布直方图如下:(II)设收入(单位:百元)在[)55,65的被调查者中赞成的分别是123,,A A A ,不赞成的分别是12,B B ,事件M :选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”,(百元)(百元)则从收入(单位:百元)在[)55,65的被调查者中,任选2名的基本事件共有10个:()()()()12131112,,,,,,,A A A A A B A B ,()()()232122,,,,,A A A B A B ,()()3132,,,A B A B ,()12,B B , 事件M 包含的结果是()()1112,,,A B A B ,()()2122,,,A B A B ,()()3132,,,A B A B , ()12,B B 共7个,以()710P M =, 故所求概率为710.11.（石景山）某学校高三年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生. （Ⅰ）完成下面的22⨯列联表；（Ⅱ）在抽取的样本中，调查喜欢运动女生的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段取两名女)50,40[和)70,60[的所有女生中随机抽生，求她们的运动时间在同一区间段的概率. 解：（Ⅰ）根据分层抽样的定义，可知抽取男生130人，女生70人， …………1分…………5分（Ⅱ）由直方图可知在[40,50)内的人数为2人，设为,m n ，分钟/天m2m 3m 5m 6m 4m 在[60,70)内的人数为4人，设为,,,a b c d . ……6分 设“两人的运动时间在同一区间段”的事件为A . ………7分 从中抽取两名女生的可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)m n m a m b m c m d n a n b ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)n c n d a b a c a d b c b d c d …10分两人的运动时间恰好在同一区间段的可能情况有7种.7()15P A =………13分12.（昌平）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :(Ⅰ) 求m 的值；(Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．解：(Ⅰ) 由图知，(23426)101+++⨯+⨯=mm m m m ，得0.005=m .……3分(Ⅱ) 由图知，该大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)1065%++⨯=，所以从该大学中随机选出一人，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ……………6分(Ⅲ) 由该大学学习“中华诗词”时间的频率分布直方图及题意，得该大学选取的40名学生学习“中华诗词”时间的数据分组与频率分布表：由题意可得，100.1200.2300.3400.2500.15600.0532.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）故估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间为32.5分钟. ………13分13.（房山）为加速京津冀一体化的旅游发展，以倡导亲子游览，增进和谐家庭为目的，由中国关心下一代工作委员会事业发展中心发起的20182017—北京亲子年票京津冀跨年版,共收入京津冀100多个亲子游玩学习的好去处，年票单价198元．某一旅游公司工作人员为了考察年票的使用情况，进行了抽样调（Ⅰ）求这6张年票中分别来自三个地区的年票数量；（Ⅱ）若在这6张年票中随机抽取2张，求至少有1张来自于北京的概率；（Ⅲ）为迎接北京冬奥会，年票中特提供了多样化选择的平台，有十渡爱琴海滑雪场(房山)，陶然亭冰雪嘉年华（西城），八达岭滑雪场（延庆），钓鱼岛滑雪场（怀柔），门票价格分别是98元，110元，100元, 70元，年票规则是只允许使用一次．假设一名顾客在年票有效期内只在这四个滑雪场选择两个场所游玩，请回答去哪两个滑雪场更划算（只写结论）. 解：（Ⅰ）30050100150=++33001506=⨯，23001006=⨯，1300506=⨯所以，来自北京、天津、河北三个地区的年票数量分别是123，，.（Ⅱ）来自北京的年票记作321,,a a a ；来自天津的年票记作21,b b ；来自河北的年票记作c .{()()()()()()()()()()()()()()()}c b c b b b c a b a b a c a b a b a a a c a b a b a a a a a ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121323132221232121113121，=Ω共15种，其中至少有1张来自于北京的年票共有12种。