7_2二重积分的计算

第七章
第二节
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
7.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
设 f ( x, y) 0， 曲顶柱的底为
y 2 ( x)
z
1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
x
b x
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2 D1
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D

D1


D3
D3
o
x
7.2 二重积分的计算
例1. 计算 I
x y d ,
D
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
D2
1 y )d xd y 0
2
思考题：
设 f ( x ) 在 [ 0 ,1 ] 上 连 续 ， 并 设 f ( x ) dx A ，
0 1
求
dx
0
1
1
f ( x ) f ( y ) dy .
x
思考题解答：


1 x
f ( y ) dy 不 能 直 接 积 出 ,
改变积分次序.
2 1 2 2 d y x yd x 1 y
1 2
I
2 2 9 1 3 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 8
2


7.2 二重积分的计算 例2. 计算

D
x y d , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域.
y x y2 D: 1 y 2
(1)被积函数 f (x,y) 易积或可积；
(2)积分区域 D 不分块或少分块.
计算步骤： 1.画出区域D 2.定限 (1) 依题确定积分区域的类型；
(2) 投影找区间：x型区域向x轴投影，y型向y 轴投影；
(3) 穿刺找高度 3.表为二次积分并计算
练习、求 x e
2 D
y
2
dxdy ，其中 D 为( 0 , 0 ), ( 1 ,1 ), ( 0 ,1 ) 为顶
D
例6. 计算
D :{( x, y) | x y 4, y 0}
2 2
其中，
7.2 二重积分的计算 例7. 计算
2 y 4 x , y 3x , x 1 所围成.
其中D 由
2
解: 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y )
D D1 D2 (如图所示)
y
x y
2 2
I

D
2
8
0 d y
f ( x , y )d x
2 y
1 2
x D1D2
2
o
22 2 x
7.2 二重积分的计算 常用技巧：．利用对称性算积分 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
y
D1
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 (1) f ( x , y ) f ( x, y ), 则
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
o
a
x0 b x
y 1 ( x)
故曲顶柱体体积为
V
a
x 型区域
b a
D
f ( x, y ) d A( x)d x
[
b
( x)
1
2 ( x)
f ( x, y ) d y ] d x
7.2 二重积分的计算 同样, 曲顶柱的底为
2
0 dy 1
1
2 y 1 y
2
f ( x , y ) dx .
7.2 二重积分的计算
练习. 交换下列积分顺序
I d x
0 2 x
2
2 0
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x d y
8 y 2y
2
2 2 2
d x
8 x 0
2
f ( x, y ) d y
y
4
y 4 x
2
D1
y 3 x
显然, 在 D1上 , f ( x, y ) f ( x, y )
在 D2上 , f ( x, y ) f ( x, y )
I x ln( y 1 y )d xd y
2 D1
o
D2
1
x
x 1
பைடு நூலகம்
x ln( y
则有


f ( x, y ) d x d y
D
y
a
b
d x
2 ( x)
d
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
y 2 ( x) x 2 ( y)
1 ( x )
x 1 ( y)

c
d
d y
2 ( y)
1 ( y)
y c o a
D y 1 ( x)
0

x
f ( y ) dy
0


0 1
f ( x ) dx [(
1

0

1
) f ( y ) dy ]
x 2
f ( x ) dx
f ( y ) dy A .
0
0
二、利用极坐标计算二重积分
1、利用极坐标系计算二重积分
r dr
d
r
d
D
d r dr d

o
A


d

( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
0
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
0 2,
0 r ( ).
D
r ( )
o
A

D
f ( r cos , r sin ) rdrd
d


2
0

( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
D
f ( x , y )d

D
f ( r cos , r sin ) rdrd .
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r 1 ( )
D

o

r 2 ( )
,
1 ( ) r 2 ( ).
A

D
f ( r cos , r sin ) rdrd
若D为Y –型区域
1 ( y ) x 2 ( y ) D: c yd
y d
y c o
x 2 ( y)
x 1 ( y)
则
c
d
d y
2 ( y)
x
1 ( y)
f ( x, y ) d x
7.2 二重积分的计算 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
sin x
D
d x d y,
x
其中D 是直线
y yx
所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 :
0 y x D: 0 x sin x x sin x D x d xd y 0 x d x 0 d y
o
D x x
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d

则其体积可按如下两次积分计算
V
c
y
d
x 1 ( y) x 2 ( y)
D
f ( x, y ) d
2 ( y) 1 ( y )
[

d
f ( x, y ) d x ] d y
点的 三角形区域.
y
2
解： e
dy 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积分时必须考虑次序

D
x e
1
2
y
2
dxdy
y
3

dy
0
1
y
x e
2
y
2
dx
0


e
y
2

dy
0
3

1
e
y
2

y
2
dy
2

1 6
(1
2 e
).
0
6
例 4、改变积分
dx
0
1
1 x
f ( x , y ) dy




d

2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
0 r ( ).
o
D
r ( )


A

D
f ( r cos , r sin ) rdrd



1 x , 0 x 1}
2
例 2、 计 算
e
D
x y
2
2
dxdy ， 其 中 D 是 由 中 心 在 原 点 ，
半 径 为a 的 圆 周 所 围 成 的 闭 区 域 .