10.1 对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
高等数学下册10.1 对弧长的曲线积分
(2)若曲线 L 的方程为 x (y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L (3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？ 提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb) (2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (i ,i )si
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
i 1
n
L f (x, y)ds
即
lim f (i ,i )si L f (x, y)ds 0 i 1
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) •任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
L
f (x, y)ds f [x, (x)] 1 2 (x)dx
a d
b
L
f (x, y)ds f [ ( y), y] 2 ( y) 1dy
c
(3) f (x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
(整理)对弧长的曲线积分.
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
第十章 曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,t t tx e t y e t z e===从0t=到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。
1)te-）二、计算下列曲线积分：1. L⎰，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩（0tπ≤≤2）。
（324aπ）2.()Lx y ds+⎰，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B的三角形边界。
（13. L⎰，其中L是由极坐标曲线,0,r aπθθ===4所围成的区域的边界曲线。
（2(1)a ae aeπ-+4）4.()Lx y z ds++⎰，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)A B及螺线cos,sin,(02)x t y t z t tπ===≤≤组成。
（322+）三、计算L⎰，其中L是由,0y x y y===所围成的第一象限部分的边界。
（2sin cosR R Rπ+4）四、计算L，其中L是圆：2222x y z ax y⎧++=⎨=⎩。
（2aπ2）五、 计算Lxds⎰Ñ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线22y x -=所围成的第一象限部分的整个边界。
（+） 10.2 对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k 。
若质点从点(0,)a 沿椭圆22221x y a b +=在第一象限部分移动到点(0,)b ，求弹力所做的功。
（221()2k a b -）二、计算曲线积分22(2)(2)Lx xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)y x x =-≤≤沿x增加的方向。
（1415-） 三、 计算2y Lxe dy+⎰，其中L是曲线y =从点(0,0)O 到点(1,1)的一段弧。
（2322）四、 计算2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到点(2,0)的一段。
对弧长的曲线积分22404
ds
1
dx dy
2 dy
1 y 2 dy
yds
2
y
1 y 2 dy
L
0
1 (5 5 1) 3
y 2
y2 x
2
0
2x
例2. 计算L (x y)ds
L: 连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO.
解：L分段光滑
y
2B
f ((t), (t))
'2 (t) '2 (t)dt
L
( < )
例3. 计算 (x2 y 2 )ds 其中L: x2+y2=a2. L L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2 (x2 y 2 )ds L 2 (a 2 cos2 t a 2 sin 2 t) (a sin t)2 (a cost)2 dt 0 2 a 2 adt 2a3 0
2
Dxy
2
从而 (x2 y 2 )dS ( 2 1)
2
(2) ：x=x (y, z)
f (x, y, z)dS f (x( y, z), y, z)
Dyz
1
x y
2
x z
2
dydz
(3) ：y=y (x, z)
AB
0
2
BO: x=0, 0≤y≤2
y
ds=dy
2B
2
(x y)ds BO
0
ydy
=2
L
(x
y)ds
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
10.1第一类对弧长的曲线积分
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例 计算L| y | ds,其中L是右半圆周,即
x2 y2 R2 ( x 0).
解 由曲线L(半圆周A⌒BC如图)的
y
A
方程x2 y2 R2, 得
O
C
ds 1 y2dx
x
2
y2
y
2
dx
|
R y
|
dx
| y | ds ⌒| y | ds ⌒ | y | ds
L1 L2
L1
L2
(对路径具有可加性)
6
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
性质3 设在L上 f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
特别地, 有
L f ( x, y)ds L f ( x, y)ds
性质4(中值定理)若函数 f (x, y)在光滑曲线
或
12
( (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
此时需把它化为参数方程 (选择x, y, z中某一个
为参数), 再按上述方法计算.
18
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例 求I yds,其中L为y2 2x上自原点到 L
(2,2)的一段.
对x积分?
解 y2 2x x y2 (0 y 2)
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
10.1 第一类(对弧长)的 arc length 曲线积分 line integral
问题的提出 对弧长的曲线积分的概念与性质
对弧长的曲线积分的几何与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 小结 思考题 作业
第10章 曲线积分与曲面积分
第十章 第1节 对弧长的曲线积分
β
(α < β )
8
∫
L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t )dt
α
β
(α < β )
说明: 说明
y
ds = (dx) +(dy)
2
2 2
2
= φ′ (t ) +ψ′ (t ) dt
o
ds d y dx x x
9
注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
x = x ⇒ y = ψ ( x)
(1) L : y = ψ ( x )
2
a ≤ x ≤ b.
2
′2(x) d x ds = (dx) +(dy) = 1+ψ
α
− α
3
o α
L R x
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2 dθ
= R3(α −sinαcosα )
θ θ sin2 = R ∫ sin θdθ = 2R − α − 2 4 0
α
2
3
α
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
π 2 0
= ab ∫ sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
a ab u 2du (令 = a2 sin2 t +b2 cos2 t ) = 2 u 2 ∫b a −b
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y O
1
x
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二、对弧长的曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分
L
f ( x, y ) d s
转化
计算定积分 d s (d x) 2 (d y ) 2
x (t ) ( t ) (1)若L: y (t )
2 2 d s (t ) (t )dt
L
L1
xds xds
0 x
1
y x2 yx L1 (1,1) L2
x
0 x
1
O
L1 : y x, 0 x 1
2 1 (5 5 1) 2 12
高等数学
L2 : y x2 , 0 x 1
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补充: 设在 xoy 面上有一分布着质量的曲线弧 L, 其线密度为 ( x, y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:
山东交通学院高等数学教研室
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1 引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在 xoy 面上对应 弧段为AB ,
其线密度为连续函数
求此构件的质量.
是常数, 且弧长为 s, 则其质量为 不是常数, 仍可采用 “分割, 作近似, 求和, 取极限”方法.
B
M n1
y
m
在 上的曲线积分:
连续
(3) 若 是空间光滑曲线弧， 类似可定义函数
L f ( x, y) ds存在.
L
f ( x, y, z ) d s lim f (i ,i , i ) si
0
i 1
n
3 性质
(1)
f ( x , y ) d s L f ( x, y ) d s
y 2 ( x, y) d s
I y L x 2 ( x, y ) d s
D
D
D
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推广: 设空间有一分布着质量的曲线弧 , 其线密度为 ( x, y, z ), 则 曲线弧 对 x 轴, y 轴, z 轴的转动惯量
2 2 I ( x , y , z ) d s ( x z ) ( x, y , z ) d s I x ( y z ) y 2 2
L
2
4 y ) ds
2
y
3
解: 利用对称性定理得, 原式 =
2 2 2 x y d s (3 x 4 y ) ds L L
2 O
2x
12a
0 12ds 12 ds
L L
L : 3x 4 y 12
2 2
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L1 L2
则 f ( x, y )ds = ds L L x x0 3 例如, L : 3 , 则 L ds 2 0 y 2 若 L : x2 y 2 1, 则 ds 2
L 2 2 ds 2 则 ( x y )d s L L
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区 间 平面域 曲线积分 曲面积分 曲线弧 曲面
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
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第十章
10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
b
d s 1 2 ( x) dx
2 1 ( x) dx a f [ x , ( x )]
2 x ( y ) ( c y d ) d s 1 ( y) dy (3) 若L: yy
(4) 若 : x (t ), y (t ), z (t ) ( t )
b
3
2
0
1 ( 5 5 1) 12
2 f [ x , ( x )] 1 ( x) dx a
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例2 计算曲线积分
2 2 2 2 其中 L : ( x y ) d s , x y 2x. L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法1：L 的参数方程： x 1 cos t , (0 t 2π) y sin t
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对称性定理
若 L L1 +L2 , 且 L1 , L2 关于x 轴对称, 则
L
f ( x, y ) d s
2 f ( x, y ) d s 若 f ( x, y) f ( x, y) 时 L
1
0
若 f ( x, y) f ( x, y) 时
类似地, 若L1 ，L2 关于y 轴对称, 则
2 y L
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例3 计算半径为 R ,中心角为
的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解: 建立如图的坐标系, 则
y O
I x y ds
2 L
L
I x y 2 ( x, y ) d s
L
t
x R cos t ( t ) L: y R sin t
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例4 计算曲线积分 线 解:
其中 为螺旋
的一段弧.
( x 2 y 2 z 2 ) ds
[(a cos t )2 (a sin t )2 (kt)2 ]
a k
2
2
2π 0
(a 2 k 2 t 2)dt
2π 2 2 2 2 2 a k (3a 4 π k ) 3
n
积分弧段
弧长元素
线密度为 ( x, y ) 的曲线形构件的质量
m lim (i ,i ) si
0
i 1
L ( x, y ) d s
线密度
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注： (1)若 L 是闭曲线 , 则记为 L f ( x, y) d s (2) L光滑，
( 为常数)
L
(2)
f ( x, y) g ( x, y) d s
L
L
f ( x, y )d s g ( x, y)d s
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(3) 若
则
L
f ( x , y ) d s f ( x, y ) d s f ( x, y ) d s
P 123
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例1 计算
其中 L 是抛物线
(0 x 1)
1
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
y
解: L : y x
2
B(1,1)
yx L
2
0 x
x 1 4 x dx
2 0 1
O
1
1x
1 (1 4x 2 ) 12
(1) 曲线弧对 x 轴, y 轴的转动惯量 I x , I y ; (2) 曲线弧的质心坐标 x, y; 解: (1) I x L x ( x, y ) d s y ( x, y ) d s L (2) x y L L ( x, y ) d s 2 L ( x, y) d s 薄片关于x, y 轴的转动惯量为 I x y ( x, y)d x ( x, y )d y ( x, y )d D D 薄片的质心坐标为 x y 2 D I y x x,( y x,)d y )d ( x, y)d (
i 1
n
(i ,i ) M i
M1 M 2
si M i 1
max{si }
1 i n
o
A
x
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2 定义 设 L是xoy 面内的一条光滑曲线弧, 函数 在L上有界. 任意插入一列点 M1 , M 2 ,, M n1 , 把 L 分成n段:
L: y sin 2sin cos
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2 2 d s 2d x ( ) y ( ) d
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x 2cos2 π π ( ) 法2: L: y 2sin cos 2 2
2 2 ( x y ) ds L
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例5 计算
其中 为球面
x2 y 2 z 2 4 化为参数方程 解: : xz x 2 cos t : y 2sin t 0 t 2 π
x2 y 2 z 2 4 与平面 x z 的交线.
z 2 cos t
R x
t sin 2t 3 R sin t d t R R ( sin cos ) - 4 2 思考: 求圆弧 L 的质心坐标?
3
2 2 R sin t
2
( R sin t ) ( R cos t )2 dt
2
3
I z ( x2 y 2 ) ( x, y, z ) d s