高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第二节 平行线分线段成比例定理课堂导学案 新人教A版选修4-11
选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质平行线分线段成比例定理课件人教新课标1
E.求证：AD AE DE . AB AC BC
A
(图形语言)
法2：为了证明
AD AB
DE BC
，需
D
用平行线分线段
线交于点G.
E
G
C
证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G.
∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC ∵CG//AB, ∴DE:DG=AE:AC
A
D L1
B
E L2
F
C L3
图1
A
DE
B
C
图2
（二、提高题:）
C
1、如图：EF∥AB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（4 cm）
EF
２、已知在△ABC中，D3E∥BC，EF∥DC， A 那么下列结论不成立的是( B )
A
B
A
AD AF
AB AD
B AD AC
AB AE
C AF AD
设线段AB的中点为P1，线 段BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
l A
P1
B
P2 P3
C
l
D
Q1
E
l1 a1
Q2
l2 a1
Q3
F
a3
分别过点P1,P2, P3作直线
l3
a1,a2,a3平行于l1,与l 的交
点分别为Q1,Q2,Q3.
这时你想到了什么？
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理
（2）已知AB=a,BC=b，EF= c，
ac
C
则DE=（ b ）
D L1 E L2
C L3
高中数学第一章相似三角形的判定及有关性1.2平行线分线段成比例定理教案2新人教A版选修4_1
平行线分线段成比例定理一、教学目标：㈠知识与技能：1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。
2．用推论进行有关计算和证明。
㈡教学思考：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。
㈢解决问题：学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。
㈣情感态度：1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。
2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。
二、教学重点：推论及应用三、教学难点：推论的应用四、教学方法：引导、探究五、教学媒体：投影、胶片六、教学过程：【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。
在本次活动中，教师应重点关注：1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。
2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。
设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。
【活动二】探究推论问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？321123教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。
推论：投影出示。
在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。
2．学生能否用定理证明所得推论。
设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。
【活动三】问题4 看图说比例式A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子，师生结对子说出比例式。
在本次活动中，教师应重点关注：1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。
2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。
3．学生能否体会由平行得出多个比例式。
设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。
【活动四】 教学例3问题5 已知：如图：BC ∥DE ，AB=15，AC=9，BD=4，求：AE学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理a41a高二41数学
OB=OG,即B项错误. 答案B
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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一
二
三
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探究(tànjiū)
探究
探究
一
(tànjiū)二 (tànjiū)三
点,所以BE=EC
=12BC=12AD.
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探究
探究
探究(tànjiū)
(tànjiū)一 (tànjiū)二
三
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解因为四边形ABCD是平行四边形, 所以OA=OC,BC=AD.
2
3
4
5
2.
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10 cm,E为AB的中点,点F在DC上,且 EF∥AD,则EF的长为( )
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理a41a高二41数学
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探究(tànjiū)
二
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三
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思维辨析
探究二证明线段相等
【例2】 如图,在△ABC中,E为中线AD上的一点,
交AC于点F,求证:AF=CF.
1BE并延长,
典例在△ABC 中,直线 DE 与直线 AB,AC 分别交于点 D,E,且
DE∥BC.若
+
AD=1,DB=2,则
=
.
错解 D,E 分别在边 AB,AC 上,则由 DE∥BC 知
+
=1+3=4.
=
= ,故
1
3
=
答案 4
正解(1)同错解;
(2)若 D,E 分别在 BA,CA 的延长线上,则由 DE∥BC 知
(2)符号表示:如图①②③所示,若 DE∥BC,则
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=
.
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2
做一做2 如图所示,在△ACE中,B,D分别在AC,AE上,则下列推理(tuīlǐ)不
已知 a∥b∥c,l1 交 a,b,c 于点
,
=
,
=
.
A,B,C,l2 交 a,b,c 于点 D,E,F,则
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4_1
3.推论的图形变化如图所示.
1.如图所示，AB∥CD，AC，BD 交于 O，BO
＝7，DO＝3，AC＝25，则 AO 的长为( )A.10源自B.7.5C.15
D.17.5
解析 ∵AB∥CD，∴CAOO＝DBOO＝73，∴AOA＋OCO＝
7＋7 3＝170.∴AAOC＝170，即A2O5 ＝170，∴AO＝17.5. 答案 D
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/5/25
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25
谢谢欣赏！
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
解析 由已知：BF∥AD，
∴ABDF＝ABEE＝ABB＋EBE＝ABBE＋1，
又∵AB＝DC，DBEC＝32，∴ABBE＝32，∴ABDF＝52.
答案
5 2
4.如图所示，DE∥BC，EF∥DC. 求证：AD2＝AF·AB.
高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案1
高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案11．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. (难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 平行线分线段成比例定理阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．图形语言如图121，l1∥l2∥l3，则有：＝，AB＝，＝.AC图121如图122所示，DE∥A B，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )图122A.＝B.＝BFABC.＝D.＝DFBC【解析】∵DF∥EB，DE∥FB，∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE＝BF，DF＝EB，∴＝＝，A正确；CE＝＝，B正确；CBCD＝＝，C正确．AD【答案】D教材整理2 平行线分线段成比例定理的推论阅读教材P7～P9，完成下列问题．1．文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．图形语言如图123，l1∥l2∥l3，图123如图124所示，在△ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是( )图124A．BD∥CE⇒＝BDCEB．BD∥CE⇒＝BDCEC．BD∥CE⇒＝ADDED．BD∥CE⇒＝BDCE【解析】由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A，B，C 都是正确的，D是错误的．【答案】D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]如图E，AC上取点F，使AE＝AF，求证：＝.图125【精彩点拨】在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解．【自主解答】如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N.∵AE＝AF，∴AM＝AC.∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形，∴AB＝GC.∵CM∥EF，∴＝＝，∴＝.又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB，∴＝＝，∴＝.1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，＝＝＝.[再练一题]1．如图126，AD∥BE∥CF，EG∥FH，求证：＝.图126【证明】∵AD∥BE∥CF，∴＝.又∵EG∥FH，∴＝，∴＝.如图AC上一点，FE∥BC交AB于E，DF的延长线交BC于H，DE的延长线交CB的延长线于G.求证：BC＝GH. 【导学号：07370006】图127【精彩点拨】从复杂的图形中找出基本图形△A BC和△DHG，而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可．【自主解答】∵FE∥BC，∴＝，＝.∵AD∥EF∥BH，∴＝，∴＝，∴BC＝GH.1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式．2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题：(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化．[再练一题]2．如图128所示，已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，两腰BA，CD的延长线相交于点O，EF∥BC且EF过点P.求证：(1)EP＝PF；(2)OP平分AD和BC.图128【证明】(1)∵EP∥BC，∴＝.又∵PF∥BC，∴＝.∵AD∥EF∥BC，∴＝，∴＝，∴EP＝PF.(2)在△OEP中，AD∥EP，∴＝.在△OFP中，HD∥PF，∴＝，∴＝.又由(1)知EP＝PF，∴AH＝HD.同理BG＝GC.∴OP平分AD和BC.[探究共研型]探究1【提示】过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F.∵DE∥BC，CF∥AB，∴＝，＝.∴＝.∵四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC，∴＝，∴＝＝.探究2 如何证明课本中P9中“探究”？【提示】如果l1与l2相交于点G(如图(1))，那么l1与l2确定一个平面π.连接AD，BE，CF，则AD，BE，CF均在平面π上，且AD∥BE∥CF.由平行线分线段成比例定理可知，＝.如果l1与l2是异面直线，那么可在直线l2上取一点G，过点G 作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R(如图(2))，则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在π1中，连接AP，BQ，CR，则AP∥BQ∥CR，所以＝.在平面π2中，连接PD，QE，RF，则PD∥QE∥RF，所以＝，所以＝.(1) (2)如图129所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求＋的值；(2)求证：＋＝.图129【精彩点拨】(1)利用比例线段转化所求；(2)证出EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．【自主解答】(1)∵OE∥AD，∴＝.∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴＝，∴＋＝＋＝＝1.(2)证明：∵AD∥BC∥EF，可得＝＝＝，故OF＝OE，即EF＝2OE.由(1)知，∵＋＝1，∴＋＝2.∴＋＝2，∴＋＝.1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形．2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．[再练一题]3．如图1210，已知点E是▱ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点 F.求证：OB2＝OE·OF. 【导学号：07370007】图1210【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC.由AB∥CE，得＝.由AF∥BC，得＝，所以＝(等量代换)，即OB2＝OE·OF.[构建·体系]1．如图1211，已知DE∥BC，则下列比例式成立的是( )图1211A.＝B.＝DAABC.＝D.＝AEAC【解析】由平行线分线段成比例定理的推论知，＝.【答案】C2．如图1212，已知＝，DE∥BC，则等于( )图1212A. B.54C. D.49【解析】∵DE∥BC，＝.∴＝，∴＝.又∵＝，∴＝.【答案】C3．如图1213所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一颗树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．图1213【解析】设河宽为x米，据题意＝，解得x＝22.5.【答案】22.54．如图1214所示，已知a∥b，＝，＝3，则＝________. 【导学号：07370008】图1214【解析】∵a∥b，∴＝，＝.∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.又∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝＝.【答案】1255．如图1215，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15 cm，AF＝4 cm，求BE和DE的长．图1215【解】∵DE∥AC，∴∠3＝∠2.又AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，即AE＝ED.∵DE∥AC，EF∥BC，∴四边形EDCF是平行四边形，∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.设AE＝DE＝FC＝x.由EF∥BC，得＝，即＝，解得x1＝6，x2＝－10(舍去)．所以DE＝6(cm)，BE＝15－6＝9(cm)．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1216，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数是( )图1216A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵BC∥AD，∴＝，＝，故①④正确．∵BF∥AD，∴＝，故②正确．【答案】C2．如图1217，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且＝，则＝( )图1217A. B.C. D.25【解析】∵CD∥AB，∴＝＝，又AD∥BC，∴＝.由＝，得＝，即＝，∴＝＝.故选C.【答案】C3．如图1218，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－为( )【导学号：07370009】图1218A. B．1C. D.23【解析】∵AD∥BM，∴＝.又∵DC∥AN，∴＝，∴＝，∴＝，∴－＝－＝＝1.【答案】B4．如图1219，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE 交AD于点F，则AF∶FD为( )图1219A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．5∶1【解析】过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，所以DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.【答案】C5．如图1220，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是( )图1220A．5∶12B．5∶13C．5∶19D．5∶21【解析】如图，作MN∥AD交DC于点N，∴＝.又∵AM＝ME，∴DN＝NE＝DE＝，∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.∵PD∥MN∥QC，∴＝＝＝.【答案】C二、填空题6．(2016·乌鲁木齐)如图1221，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，则DE的长为__________．图1221【解析】∵DE∥BC，∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2.∵AD＝CE，∴CE∶AE＝3∶2.∵AE∶AC＝2∶5，∴DE∶BC＝2∶5.∵BC＝10，∴DE∶10＝2∶5，解得DE＝4.【答案】47．如图1222，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.图1222【解析】如图，过D作DG∥AC交FC于G.则＝＝，∴DG＝BC.又BC＝AC，∴DG＝AC.∵DG∥AC，∴＝＝，∴DF＝AF.从而AD＝AF，∴AD∶DF＝7∶2.【答案】7∶28．如图1223，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.图1223【解析】∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝，∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12，∴＝1－＝1－，∴EO＝7.5，∴EF＝15.【答案】15三、解答题9．线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图1224，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值．图1224【解】过D作DE∥CO交AC于E，因为D为OA中点，所以AE＝CE＝AC，＝，因为点C为OB中点，所以BC＝CO，＝，所以＝＝，所以PC＝CE＝AC，所以＝＝＝2.10．如图1225，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：＋＝. 【导学号：07370010】图1225【证明】∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥EF∥CD，∴＝，＝，∴＋＝＋＝＝＝1，∴＋＝.[能力提升]1．如图1226，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则＋的值为( )图1226A. B．1C. D．2【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G，则＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.【答案】C2．如图1227，已知P，Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝( )图1227A．3∶14 B．14∶3C．17∶3D．17∶14【解析】过点P作PM∥AC，交BQ于M，则＝.∵PM∥AC且＝，∴＝＝.又∵＝，∴＝·＝×＝，即＝.【答案】B3.如图1228所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．图1228【解析】如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB于点H.∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h1，S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.【答案】7∶54．某同学的身高为 1.6 m，由路灯下向前步行 4 m，发现自己的影子长为2 m，求这个路灯的高．【解】如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6m，PB＝2 m，BD＝4 m.∵AB∥CD，∴＝，∴CD＝＝＝4.8(m)，即路灯的高为4.8 m.。
高中数学选修4-1知识点总结
高中数学选修4-1知识点总结高中数学选修4-1知识点总结第一讲相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2.平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
2016-2017学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 2 平行线分线段成比例定理学案
二平行线分线段成比例定理1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. (难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 平行线分线段成比例定理阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．图121如图122所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )图122A.AD DC ＝AFDE B.CE CB ＝BF AB C.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC【解析】 ∵DF ∥EB ，DE ∥FB ， ∴四边形DEBF 为平行四边形， ∴DE ＝BF ，DF ＝EB ， ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE，A 正确；CE CB ＝DE AB ＝BFAB，B 正确； CD AD ＝CE EB ＝CEDF，C 正确． 【答案】 D教材整理2 平行线分线段成比例定理的推论 阅读教材P 7～P 9，完成下列问题． 1．文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．图形语言如图123，l 1∥l 2∥l 3，图123如图124所示，在△ACE 中，B ，D 分别在AC ，AE 上，下列推理不正确的是( )图124A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CEC ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DE D ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A ，B ，C 都是正确的，D 是错误的．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]如图F ，使AE ＝AF ，求证：EP FP ＝AC AB.图125【精彩点拨】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C 作CM ∥EF ，交AB 于点M ，交AD 于点N ，且BC 的中点为D ，可以考虑补一个平行四边形来求解．【自主解答】 如图，过C 作CM ∥EF ，交AB 于点M ，交AD 于点N .∵AE ＝AF ，∴AM ＝AC . ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD ＝CD .延长AD 到G ，使得DG ＝AD ，连接BG ，CG ，则四边形ABGC 为平行四边形，∴AB ＝GC . ∵CM ∥EF ，∴EP MN ＝FP CN ＝APAN，∴EP FP ＝MN CN.又AB ∥GC ，AM ＝AC ，GC ＝AB ， ∴MN CN ＝AM GC ＝AC AB ，∴EP FP ＝ACAB.1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，EP FP ＝MN CN ＝AM GC ＝ACAB.[再练一题]FH ，求证：AB AC ＝EG FH.图126又∵EG ∥FH ，∴EG FH ＝DE DF， ∴AB AC ＝EG FH.如图FE ∥BC 交AB于E ，DF 的延长线交BC 于H ，DE 的延长线交CB 的延长线于G .求证：BC ＝GH . 【导学号：07370006】图127【精彩点拨】 从复杂的图形中找出基本图形△ABC 和△DHG ，而EF 是它们的截线，再使用定理或推论即可．【自主解答】 ∵FE ∥BC ，∴EF BC ＝AE AB ，EF GH ＝DFDH. ∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DFDH，∴EF BC ＝EF GH，∴BC ＝GH .1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式． 2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题： (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化．[再练一题]2．如图128所示，已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点P ，两腰BA ，CD 的延长线相交于点O ，EF ∥BC 且EF 过点P .求证：(1)EP ＝PF ； (2)OP 平分AD 和BC .图128【证明】 (1)∵EP ∥BC ，∴EP BC ＝AE AB.又∵PF ∥BC ，∴PF BC ＝DF DC. ∵AD ∥EF ∥BC ，∴AE AB ＝DFDC，∴EP BC ＝PF BC，∴EP ＝PF . (2)在△OEP 中，AD ∥EP ，∴AH EP ＝OH OP. 在△OFP 中，HD ∥PF ，∴HD PF ＝OHOP， ∴AH EP ＝HD PF.又由(1)知EP ＝PF ，∴AH ＝HD . 同理BG ＝GC∴OP 平分AD探究1 【提示】∴DF ＝BC ， ∴AD AB ＝DE BC， ∴AD AB ＝AE AC ＝DEBC.探究2 如何证明课本中P 9中“探究”？【提示】 如果l 1与l 2相交于点G (如图(1))，那么l 1与l 2确定一个平面π.连接AD ，BE ，CF ，则AD ，BE ，CF 均在平面π上，且AD ∥BE ∥CF .由平行线分线段成比例定理可知，AB BC ＝DE EF. 如果l 1与l 2是异面直线，那么可在直线l 2上取一点G ，过点G 作l 3∥l 1，设l 3与平面α，β，γ分别相交于P ，Q ，R (如图(2))，则l 1与l 3确定一个平面π1，l 3与l 2确定一个平面π2.在π1中，连接AP ，BQ ，CR ，则AP ∥BQ ∥CR ，所以AB BC ＝PQQR . 在平面π2中，连接PD ，QE ，RF ，则PD ∥QE ∥RF ，所以PQ QR ＝DEEF， 所以AB BC ＝DE EF.(1) (2)如图129所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求OE AD ＋OE BC的值； (2)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.图129【精彩点拨】 (1)利用比例线段转化所求； (2)证出EF ＝2OE ，再利用(1)的结果证明． 【自主解答】 (1)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BE AB. ∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥AD ∥BC ， ∴OE BC ＝AE AB， ∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AEAB＝1.(2)证明：∵AD ∥BC ∥EF ，可得OF BC ＝OD BD ＝OA AC ＝OEBC，故OF ＝OE ，即EF ＝2OE . 由(1)知，∵OE AD ＋OE BC ＝1，∴2OE AD ＋2OEBC＝2.∴EF AD ＋EFBC＝2， ∴1AD ＋1BC ＝2EF.1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形． 2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．[再练一题]3．如图1210，已知点E 是▱ABCD 边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O ，交AD07370007】图1210由AF ∥BC ，得OA OC ＝OF OB， 所以OF OB ＝OB OE(等量代换)， 即OB 2＝OE ·OF .[构建·体系]1．如图1211，已知DE ∥BC ，则下列比例式成立的是( )图1211A.DA AB ＝ACAE B.DE BC ＝DA AB C.EA AB ＝DA ACD.DA AB ＝AE AC【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论知，DA AC ＝EAAB.【答案】 C2．如图1212，已知AD DB ＝45，DE ∥BC ，则ECAC等于( )图1212A.95 B.54 C.59D.49【解析】 ∵DE ∥BC ，AD DB ＝45.∴AB DB ＝95， ∴DB AB ＝59. 又∵DB AB ＝EC AC，∴EC AC ＝59. 【答案】 C3．如图1213所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一颗树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【解析】 设河宽为x＝35，BC CD ＝3，则AEEC＝________. 【导学号：07370008】图1214【解析】 ∵a ∥b ， ∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BC CD＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD .又∵AF BF ＝35，∴AG BD ＝AF BF ＝35， ∴AG 4CD ＝35，∴AG CD ＝125， ∴AE EC ＝AG CD ＝125.【答案】1255．如图1215，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15 cm ，AF ＝4 cm ，求BE 和DE 的长．图1215【解】 ∵DE ∥AC ， ∴∠3＝∠2. 又AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，即AE ＝ED . ∵DE ∥AC ，EF ∥BC ，∴四边形EDCF 是平行四边形， ∴ED ＝FC ，即AE ＝ED ＝FC . 设AE ＝DE ＝FC ＝x .由EF ∥BC ，得AE BE ＝AF FC ，即x 15－x ＝4x，解得x 1＝6，x 2＝－10(舍去)． 所以DE ＝6(cm)，BE ＝15－6＝9(cm)．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1216，梯形ABCD 中，AE 分别交BD 于G ，交BC 于F .下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )图1216A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵BC ∥AD ， ∴EC CD ＝EF AF ，AF AE ＝CDDE，故①④正确．∵BF ∥AD ，∴FG AG ＝BG GD，故②正确． 【答案】 C2．如图1217，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝( )图1217A.32 B.23 C.52D.25【解析】 ∵CD ∥AB ，∴CD BE ＝FD EF ＝32， 又AD ∥BC ，∴BF AD ＝EF ED.由FD EF ＝32，得FD ＋EF EF ＝3＋22， 即ED EF ＝52， ∴AD BF ＝ED EF ＝52.故选C. 【答案】 C3．如图1218，平行四边形ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，则BC BM －AB BN为( )【导学号：07370009】图1218A.12 B ．1 C.32D.23【解析】 ∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DMMN. 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MC BM， ∴DM ＋MN MN ＝MC ＋BMBM，∴DN MN ＝BC BM， ∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MNMN＝1.【答案】 B4．如图1219，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )图1219A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1【解析】 过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，如图，因为D 是BC 的中点， 所以DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.【答案】 C5．如图1220，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是( )图1220A ．5∶12B ．5∶13C ．5∶19D ．5∶21【解析】 如图，作MN ∥AD 交DC 于点N ，∴DN NE ＝AM ME. 又∵AM ＝ME ，∴DN ＝NE ＝12DE ＝52，∴NC ＝NE ＋EC ＝52＋7＝192.∵PD ∥MN ∥QC ， ∴PM MQ ＝DN NC ＝52192＝519. 【答案】 C 二、填空题6．(2016·乌鲁木齐)如图1221，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ＝CE ，若AB ∶AC ＝3∶2，BC ＝10，则DE 的长为__________．图1221【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴AD ∶AE ＝AB ∶AC ＝3∶2. ∵AD ＝CE ， ∴CE ∶AE ＝3∶2. ∵AE ∶AC ＝2∶5， ∴DE ∶BC ＝2∶5. ∵BC ＝10， ∴DE ∶10＝2∶5， 解得DE ＝4. 【答案】 47．如图1222，已知B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，则AD ∶DF ＝________.图1222【解析】 如图，过D 作DG ∥AC 交FC 于G .则DG BC ＝ED EB ＝23，∴DG ＝23BC .又BC ＝13AC ，∴DG ＝29AC .∵DG ∥AC ，∴DF AF ＝DG AC ＝29，∴DF ＝29AF .从而AD ＝79AF ，∴AD ∶DF ＝7∶2.【答案】 7∶28．如图1223，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.图1223【解析】 ∵AD ∥EF ∴EO ＝FO ，而EO BC ＝AE AB ＝AD ＝12，，∴EF ＝15.为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P .如图1224，图1224【解】 过D 作DE ∥CO 交AC 于E ，因为D 为OA 中点， 所以AE ＝CE ＝12AC ，DE CO ＝12，因为点C 为OB 中点，所以BC ＝CO ，DE BC ＝12，所以PE PC ＝DE BC ＝12，所以PC ＝23CE ＝13AC ，所以AP PC ＝AC －PC PC ＝23AC13AC ＝2.10．如图1225，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，连接AD ，BC 交于点E ，EF ⊥BD 于F ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF. 【导学号：07370010】图1225【证明】 ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴AB ∥EF ∥CD ， ∴EF AB ＝DF BD ，EF CD ＝BFBD，∴EF AB ＋EF CD ＝DF BD ＋BF BD ＝DF ＋BF BD ＝BDBD ＝1，∴1AB ＋1CD ＝1EF.[能力提升]1．如图1226，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为()图1226A.12 B ．1 C.32D ．2【解析】 过点D 作DG ∥AB 交EC 于点G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13.而AE BE ＝13，即AE BE ＝DGBE，所以AE ＝DG ，从而有AF ＝FD ，EF ＝FG ＝CG，故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AF AF ＝12＋1＝32.【答案】 C2．如图1227，已知P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP CP ＝25，CQ QA ＝34，则AR RP＝( )图1227A ．3∶14B ．14∶3C ．17∶3D ．17∶14【解析】 过点P 作PM ∥AC ，交BQ 于M ，则AR RP ＝AQPM.∵PM ∥AC 且BP CP ＝25，∴QC PM ＝BC BP ＝72. ＝143，中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上EFCD 的面积比为__________．图1228【解析】 如图，延长AD ，BC 交于点O ，作OH ⊥AB 于点H .∴xx ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 1，S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1，∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 【答案】 7∶54．某同学的身高为1.6 m ，由路灯下向前步行4 m ，发现自己的影子长为2 m ，求这个路灯的高．【解】 如图所示，AB 表示同学的身高，PB 表示该同学的影长，CD 表示路灯的高，则AB ＝1.6 m ，PB ＝2 m ，BD ＝4 m.∵AB ∥CD ， ∴PB PD ＝AB CD， ∴CD ＝AB ×PDPB＝＋2＝4.8(m)，即路灯的高为4.8 m.。
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第二节 平行线分线段成比例定理
课堂导学
三点剖析
一、平行线分线段成比例定理及推论
【例1】如图1-2-2,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是( )
图1-2-2 A.AB AD =AC AE B.CF CE =FB EA C.BC DE =BD AD 解析：∵DE ∥BC, ∴AB AD =AC AE ,BC DE =AB
AD . ∴选项C 是错误的,A 是正确的. 又∵EF ∥AE,∴
CF CE =FB AE ,AB EF =CB CF . ∴选项B 、D 是正确的.
答案:C
二、巧妙借助辅助线――平行线解决比例问题 ?
【例2】如图1-2-4,已知△ABC 中,D 为AC 上一点,E 为CB 延长线上一点,EB=AD,ED 交AB 于
图1-2-4
=BG EB ,BG AD BC AC . 即EF ・BC=AC ・FD.
温馨提示
由等积式转化为比例式是一种基本方法,作平行线找中间比是本章解决问题的主要思想方法.
三、探索线段的关系
【例3】如图1-2-6,梯形ABCD 中,点E 、F 分别在AB 、CD 上,E F∥AD,
EB AE =n m .试探究EF 、AD 、BC 之间的关系,并证明.
图1-2-6
思路分析：首先从特例出发,如果EB AE =21
,取EB 中点G,过G 作GH∥BC,如图1-2-7.
图1-2-7
则有H 为FC 的中点,
EF 为梯形AGHD 的中位线,
GH 为梯形EBCF 的中位线.∴EF=21(AD+GH),GH=21
(EF+BC).
消去GH 得3EF=BC+2AD.
同理,如果EB AE =32
,得5EF=2BC+3AD.
解:如果n m
EB AE
=,可以猜想(m+n)EF=mBC+nAD.
下面给出证明:
连结BD,交EF 于G. .∴EG=n m n
+AD.
n m m
+BC.
图1-2-3
求DM 、EK 、FK 的长.
解析：∵l 1∥l 2∥l 3,
∴
DM
CM BM AM =. ∴DM=3
55.4⨯=⨯AM BM CM =7.5. 又EF
EK CD CM =, ∴EK=5.75.4165.4+⨯=⨯CD EF CM =6. ∴FK=16-6=10.
类题演练2
如图1-2-5,在△ABC 中,AB ＞AC,D 在AB 上,E 在AC 上且AD=AE,直线DE 和BC 的延长线交于点P.
求证:BP∶CP=BD∶CE.
图1-2-5
证明:过C 作CF∥AB,交DP 于F,则BP∶CP=BD∶CF,
∠EFC=∠ADE.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
∴∠AED=∠CFE.
∵∠AED=∠CEF,
∴∠CEF=∠CFE.
∴CE=CF.
∴BP∶CP=BD∶CE.
类题演练3
如图1-2-8,在△ABC 中,DE∥BC,BE、CD 交于O.AO 交DE 于F,AO 的延长线交BC 于G. 求证:(1)FE
DF GC BG =;(2)DF=FE.
图1-2-8
证明:(1)∵DE∥BC, ∴
GC
FE AG AF BG DF ==. ∴FE DF GC BG =. (2)∵DE∥BC, ∴BG DF =AB
AD ,
AB AD =BC DE ,BC DE =BO EO ,BO EO =BG FE
. ∴BG DF =BG FE
.
∴DF=FE.
变式提升3
如图1-2-9,已知△ABC 中,D 为BC 的中点,AE∥BC,ED 交AB 于P,交AC 延长线于Q. 求证:PD ・EQ=PE ・DQ.
图1-2-9
证明:∵AE∥BC, ∴AE CD
EQ DQ
AE DB
PE PD
==,.∵CD=DB, ∴EQ DQ
PE PD =.∴PD ・EQ=PE ・DQ.
温馨提示
①要重视比例式等线段的等量代换.
②要注意比例式的性质的应用.。