实践与探索--华师大版
七年级数学下册6.3实践与探索课件1新版华东师大版
2
设瓶内水面还有xБайду номын сангаас米高，依题意得
6 5 5 10 x 18 2 2 2 25 90 + x 112.5 4 6.25 x 112.5 90 6.25 x 22.5 22.5 x 6.25 x 3.6
练一练
在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水， 再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、 高 10厘米的圆柱 形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下 ，那么瓶内水面还 有多高？若未能装满，求杯内水面 离杯口的距离 。
分析： ⑴要解决“能否完全装得下”这个问题，实质是 比较这两个容器的大小，因此只要分别计算这 两 个容器的容积，结果发现是否“装的下” 。
经检验，符合题意 答：瓶内水面的高为3.6厘米。
2
2
2
本课小结：
今天主要学习有关图形变形的应用题的解法， 通过大家动手实验，认真思考，发现解决关 键是 找出找准问题中的等量关系。有些等量 关系是 隐藏在题目的条件中的，要正确地找 到它需要 我们联系实际，积极探索。通过本 节学习，我们也 意识到将几何图形与代数知 识有机的结合，能很 有效、直观地帮助我们 解决很多问题。这种解题方法我们称之为数 形结合 。
V圆柱体 = V 长方体
底面积×高 ＝ 长×宽×高
现在已知圆柱体钢锭的底面直径为20厘米 ，高为50 厘米，要制造的长方体条钢的底面的长宽分别为10 厘米和5厘米 。那么长方体条钢的高是多少 ？
（精确到1厘米，π取3.14 ）
解：设高为x厘米，依题意得
π×102×50 = 10×5x
50x= π×100×50 x=π×100
⑵发现“装不下”。等量关系是 玻璃杯中的水的体积 + 瓶内剩下的水的体积 = 原整瓶水的体 积
华东师大版6.3实践与探索(4)教案
一元一次方程
第10课时
实践与探索（四）
课时教学目标
1．使学生理解用一元一次方程解工程问题的本质规律；通过对“工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力.
2．使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力.
(3)乙又独做5小时，然后甲、问题中工作量、工作效率和工作时间之
间的关系，即工作量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作时间＝
2.解题时要全面审题，寻找全部工作，单独完成工作量和合作完成工作量的一个等量关系列方程.
五、作业
教科书习题6.3.3第1、2题.
＋=1
解方程得x＝2
师傅完成的工作量为=，徒弟完成的工作量为=
所以他们两人完成的工作量相同，因此每人各得225元.
三、巩固练习
一件工作，甲独做需30小时完成，由甲、乙合做需24小时完成，现
由甲独做10小时；
请你提出问题，并加以解答.
例如(1)剩下的乙独做要几小时完成?
(2)剩下的由甲、乙合作，还需多少小时完成?
若设两人合作需要x天完成，那么甲、乙分别做了几天?甲、乙的工作效率是多少?
本题中工作总量没有告诉，我们把它看成“1”，那么师傅每天完，徒弟每天完成，根据等量关系可得.
＋＝1
解得x＝2.4(天)
3．你还能提出什么问题?试试看，并解答这些问题.
让学生充分思考，大胆提出问题，互相交流，对于合理的问题，让大家共同解答，对于不合理的问题，让大家探讨为什么不合理?应改为怎样提?
教学重点
工程中的工作量、工作的效率和工作时间的关系.
教学难点
难点：把全部工作量看作“1”.
华师大版数学八年级下册1实践与探索课件
提示：读图不认真，x＞2时，对应的函数值在x轴下方，即y ＜0.
【解析】设y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，
则有
b 2
299， 000k b
解得 235，
k b
－4， 125
299，
∴y= 4 +x299.
125
当x=1 200时，y=
=260.6(g/m3).
×41 200+299
125
答：该山山顶处的空气含氧量约为260.6 g/m3.
【想一想错在哪？】当自变量x满足什么条件时，一次函数 y=-2x+4的值满足y＞-2？
3， 2
【解析】选B.∵两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A(-
2，3)， ∴∴x方=程-2组，y=yy 3就kk12x是x方bb12，程的组解为yy xykk12xx－3的. 2bb，1解2，.
2.如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )
x－y 1，
x－y －1，
可以是
x－y －1， 2x－y 1.
3.函数y=2x－3的图象上任意一点的坐标都一定满足二元一次 方程________. 【解析】y=2x－3移项，得2x-y-3=0. 答案：2x-y-3=0
4.如图，已知一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交
于点P，则根据图象可得二元一次方程组
y
【思路点拨】由待定系数法分别求出AB，CD的关系式→联立 得方程组即可得两直线的交点坐标. 【自主解答】直线AB过(-3，0)，(0，6)，由待定系数法得直 线AB的方程为y=2x+6； 直线CD过(0，1)，(2，0)，由待定系数法得直线CD的方程为 y= 1 x 1， 联所以立直得2 线方A程B组，CyyD的2x交12x点6，1坐，解标得为(xy-2，2.22，).
22.3实践与探索教学设计2023-2024学年华师大版数学九年级上册
（一）教学特色创新
1. 实践环节设计：在实践与探索的教学中，增加更多贴近学生生活的实际案例，让学生能够更直观地感受到实践与探索的重要性，提高学生的学习兴趣。
2. 合作交流机会：鼓励学生在小组讨论中积极发表自己的观点，培养学生的合作精神和团队意识，使学生在交流中共同进步。
（二）存在主要问题
4. 学生小组讨论（10分钟）
目标： 培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与实践与探索相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5. 课堂展示与点评（15分钟）
目标： 锻炼学生的表达能力，同时加深全班对实践与探索的认识和理解。
目标： 通过具体案例，让学生深入了解实践与探索的特性和重要性。
过程：
选择几个典型的实践与探索案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解实践与探索的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用实践与探索解决实际问题。
小组讨论：让学生分组讨论实践与探索的未来发展或改进方向，并提出创新性的想法或建议。
重点难点及解决办法
重点：
1. 掌握实践与探索中的基本概念和原理。
2. 能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识解决。
难点：
1. 对实际问题进行正确的抽象和建模。
2. 运用所学生态观念解决复杂的实际问题。
解决办法：
1. 通过具体的案例和实例，引导学生理解并掌握基本概念和原理。
2. 提供丰富的练习题，让学生在实践中应用所学知识，加强对概念和原理的理解。
22.3 实践与探索 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
例如：如图，将一块正方形的铁皮四角各剪去一个边长
为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的
容积是400 cm3，求原铁皮的边长.若设原铁皮的边长为 x
cm，则可得方程为 （ x －8）2×4＝400 .
知识导航
3. 列一元二次方程解决平均增长率问题，可以运用公式
几个人？
解：（2）根据题意，得1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝144，
整理，得 x2＋2 x －143＝0，
解得 x1＝11， x2＝－13（不合题意，舍去）.
答：在每轮传染中，平均一个人传染了11个人.
典例导思
（3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一
共有多少人感染德尔塔病毒？
解：（3）144＋11×144＝1 728（人）.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
典例导思
[知识总结]增长（降低）率的问题利用公式 a （1± x ）2
＝ b [其中 a 为初始数量， b 为增（或减）后的数量].
典例导思
4. 两年前生产某种药品的成本是65 400元，现在生产该
种药品的成本是55 300元.设该种药品成本的年平均下降
率为 x ，则可列方程为（ D ）
答：每件衬衫应降价20元.
典例导思
题型二 列一元二次方程解决其他问题
在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，共比赛36场.设有 x 个队参赛，根据题意，可列
方程为（ A ）
A. x （ x －1）＝36
C. x （ x －1）＝36
B. x （ x ＋1）＝36
D. x （ x ＋1）＝36
2实践与探索课件初中数学华师大版九年级上册
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
折叠成的长方体 侧面积（cm2） 18 32 42 48 50 48 42 32
探索
以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长 方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画 出相应的点.视察折叠成的长方体侧面积会不会有 最大的情况？
问题4
某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么 这两年中产值的平均年增长率为多少？
问题2
某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元 降为 31.5 元，已知两次降价的百分率相同，求每 次降价的百分率.
分析 若每次降价的百分率为 x ，则 第一次降价后：56(1 – x)元 第二次降价后：56(1 – x) (1 – x)元
这与讨论增长率问题中的数量 关系是否类似？有什么不同？
解 设每次降价的百分率为 x，根据题 意，得
x
20
处理问题更方便！
x 32
图22.3.2
由题意可得：(20 – x)( 32 – x) = 540 解得 x1 = 50，x2 = 2 由题意可得 x＜20，∴ x = 2.
x
2一元二次方程解决实际问题时，要 注意：
1.分析题意，抓住等量关系； 2.列出方程，把实际问题转化为数学问题 来解决； 3.求得方程的根之后，要注意检验是否符 合题意，最后得到实际问题的解答.
解：设平均年增长率为x.
(1 + x)2 = 1.5
(1 + x)2 = 1.2
又如果第二年的增长率为第一年的 2 倍，那 么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的 产值翻一番？
解：设第一年的增长率为x. (1 + x) (1 + 2x) = 2
实践与探索 华东师大版数学九年级上册素养提升练(含解析)
第22章一元二次方程22.3实践与探索基础过关全练知识点1实际应用问题探索1.(2023河南郑州枫杨外国语学校月考)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数为73,则每个支干长出小分支的个数为()A.7B.8C.9D.102.【跨学科·化学】在某种环境下,气体的体积V(m3)随气压p(kPa)的变化而变化,但二者的乘积等于定值k,即pV=k,V与p之间的变化满足一次函数关系式V=3p-12,求当k=96时气体的气压p的值.3.【数学文化】(2023海南海口中学月考)直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系,在中国称为“商高定理”,在国外又称为“毕达哥拉斯定理”.由此发现三个连续正整数3,4,5,满足32+42=52,即前两个数的平方和等于第三个数的平方.则是否存在五个连续正整数,满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和?若存在,请求出这五个正整数;若不存在,请说明理由.知识点2列一元二次方程解应用题的常见类型4.【新素材·实时热点】(2023山西省实验中学月考)某市积极响应国家的号召“房子是用来住的,不是用来炒的”,在宏观调控下,商品房成交价由今年1月份的每平方米10 000元下降到3月份的每平方米8 100元,且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致,则今年4月份的房价为每平方米() A.7 300元 B.7 290元C.7 280元D.7 270元5.【教材变式·P42练习T2】(2023山西晋中介休期中)某超市购进一批商品,单价为40元.经市场调查,销售单价为52元时,可售出180个,销售单价每增加1元,销售量就减少10个,因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180,若超市将准备获利2 000元,则销售单价为() A.50元 B.60元C.50或60元D.100元6.(2023湖南衡阳第十五中学期中)如图,社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场,其布局如图所示,已知停车场的长为26米,宽为14米,阴影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为160平方米,则通道的宽是米.7.【新独家原创】美丽的海滨城市山东威海的海产品非常丰富,某商场经营的一种海产品,进价是30元/kg,根据市场调查发现,每日的销售量y(kg)与售价x(元/kg)满足一次函数关系,下表记录的是某两日的有关数据:(1)y与x的函数关系式为();(2)在销售过程中销售单价不低于成本价,且不高于80元.某日该商场出售这种海产品获得了14 000元的利润,则该海产品的售价为元/kg.8.【一题多变】(2023河南周口商水希望初级中学月考)如图,为建设美丽校园,学校准备利用一面围墙和旁边的空地,建一个面积为160平方米的长方形花坛,另三边用木质围栏围成,围栏总长36米,若墙足够长,则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米?[变式1](2023湖南衡阳船山实验中学期中)如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m)围成一个矩形花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.(1)当矩形的边BC长为多少米时,矩形花园的面积为300 m2?(2)能否围成面积为480 m2的矩形花园,为什么?[变式2](2023吉林长春东北师大附中月考)如图,利用22米长的墙为一边,用篱笆围成一个长方形仓库ABCD,中间用篱笆分割出两个小长方形,在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门,总共用去篱笆34米,为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米,求AB 和BC的长.能力提升全练9.(2022江苏南通中考,6,★☆☆)李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3月盈利3 630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是()A.10.5%B.10%C.20%D.21%10.(2022河南周口郸城模拟,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=7 cm.点P从点B开始沿边BA向点A以2 cm/s的速度移动,同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止.当四边形APQC 的面积为11 cm2时,点P的运动时间为()A.1 sB.1 s或2.5 sC.2 sD.2 s或5 s11.(2022山西百校联盟模拟,14,★☆☆)如图,在一块长为40米,宽为30米的矩形荒地,小明设计出如图所示上,要建造一个花园(阴影部分),使得花园的面积为荒地面积的34的方案,则图中x的值为.12.【新定义试题】(2022山西长治模拟,7,★★☆)对于任意一个四位数,若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍,则称这个四位数为“共生数”.例如:四位数2 156,因为2×6=2×(1+5),所以2 156是“共生数”.有一个四位数为“共生数”,它的千位上的数字与个位上的数字相等,百位上的数字比千位上的数字多3,十位上的数字比个位上数字的一半少1,则这个“共生数”的个位上的数字为.13.(2022山东德州中考,22,★☆☆)如图,某小区矩形绿地的长,宽分别为35 m,15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.(1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m2,求新的矩形绿地的长与宽;(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3.求新的矩形绿地的面积.14.(2022贵州毕节中考,25,★★☆)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B 两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价)(1)网店第一次用850;(2)第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少?(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元?素养探究全练15.【推理能力】(2023山西大同新荣期中)如图为2022年10月的月历表,在其中用一个方框圈出4个数(如图中虚框所示),设这4个数从小到大依次为a,b,c,d.(1)若用含有a的式子分别表示出b,c,d,其结果应为b=,c=,d=;(2)按这种方法所圈出的四个数中,ab的最大值为;(3)嘉嘉说:“按这种方法可以圈出四个数,使得bc的值为135.”淇淇说:“按这种方法可以圈出四个数,使最小数a与最大数d的乘积ad为84.”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.答案全解全析基础过关全练1.B 设每个支干长出x 个小分支,由题意得1+x +x 2=73,即x 2+x -72=0,∴(x +9)(x -8)=0,解得x 1=8,x 2=-9(舍去),故每个支干长出8个小分支.2.解析 ∵k =96,V =3p -12,∴p (3p -12)=96,∴3p 2-12p -96=0,即p 2-4p -32=0,分解因式得(p +4)·(p -8)=0,解得p 1=-4(舍去),p 2=8,即当k =96时气体的气压p 的值为8.3.解析 存在,这五个连续正整数为10,11,12,13,14.理由如下:设这五个连续正整数分别为n ,n +1,n +2,n +3,n +4,由题意得:n 2+(n +1)2+(n +2)2=(n +3)2+(n +4)2,整理得n 2-8n -20=0,解得n 1=10,n 2=-2(不符合题意,舍去),故这五个连续正整数为10,11,12,13,14.4.B 设今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率为x ,根据题意得10 000(1-x )2=8 100,解得x 1=0.1=10%,x 2=1.9(不符合题意,舍去),∴8 100(1-x )=8 100×(1-10%)=7 290,∴今年4月份的房价为每平方米7 290元.5.B 设销售单价为x 元,根据题意得(x -40)[180-10(x -52)]=2 000,整理得x 2-110x +3 000=0,解得x 1=50,x 2=60.当x =50时,700-10x =700-10×50=200>180,不符合题意,舍去;当x =60时,700-10x =700-10×60=100<180,符合题意,∴销售单价为60元.6.3解析 设通道的宽是x 米,根据题意得(26-2x )(14-2x )=160,整理得x 2-20x +51=0,解得x 1=3,x 2=17(不符合题意,舍去),∴通道的宽是3米.7.(1)y=-10x+1 200 (2)50解析 (1)设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ,由表格可知,当x =35时,y =850;当x =40时,y =800,∴{35k +b =850,40k +b =800,解得{k =−10,b =1 200,∴y 与x 的函数关系式为y =-10x +1 200. (2)依题意可得(x -30)(-10x +1 200)=14 000,整理得x 2-150x +5 000=0,解得x 1=50,x 2=100,∵30≤x ≤80,∴x 2=100不符合题意,舍去,∴该海产品的售价是50元/kg .8.解析 设花坛垂直于墙的一边长应安排x 米,根据题意得x (36-2x )=160,解得x 1=8,x 2=10,故花坛垂直于墙的一边长应安排8米或10米.[变式1] 解析 (1)设BC =x m,则AB =60−x+22 m,依题意得x ·60−x+22=300,整理得x 2-62x +600=0,解得x 1=12,x 2=50.∵墙EF 最长可利用28 m,∴x =12,故当矩形的边BC 长为12 m 时,矩形花园的面积为300 m 2.(2)不能围成面积为480 m 2的矩形花园,理由如下:设BC =y m,则AB =60−y+22 m,依题意得y ·60−y+22=480,整理得y 2-62y +960=0,解得y 1=30,y 2=32.∵墙EF 最长可利用28 m,∴y 1=30,y 2=32均不符合题意,舍去,∴不能围成面积为480 m 2的矩形花园.[变式2] 解析 设AB =x 米,则BC =(36-3x )米,依题意得x (36-3x )=96,解得x 1=4,x 2=8,当x =4时,36-3x =24>22(不合题意,舍去);当x =8时,36-3x =12,故AB 的长为8米,BC 的长为12米.能力提升全练9.B 设从1月到3月,每月盈利的平均增长率为x ,由题意可得3 000(1+x )2=3 630,解得x 1=0.1=10%,x 2=-2.1(舍去),故每月盈利的平均增长率为10%.10.C 设当四边形APQC 的面积为11 cm 2时,点P 的运动时间为x s,由题意得PB =2x cm,CQ =x cm,则BQ =BC -CQ =(7-x )cm,由题意得12×6×7-12·2x (7-x )=11,整理得x 2-7x +10=0,解得x 1=2,x 2=5(不符合题意,舍去),∴x =2,即当四边形APQC 的面积为11 cm 2时,点P 的运动时间为2 s,11.10解析 依题意得(40-x )(30-2x )=40×30×(1−34),整理得x 2-55x +450=0,解得x 1=10,x 2=45(不合题意,舍去).12.4解析 设这个“共生数”的个位上的数字为x ,根据题意可得千位上的数字为x ,百位上的数字为x +3,十位上的数字为12x -1,由题意得x 2=2(x +3+12x −1),解得x 1=4,x 2=-1(不符合题意,舍去),即这个“共生数”的个位上的数字为4.13.解析 (1)设将绿地的长,宽都增加x m,则新的矩形绿地的长为(35+x )m,宽为(15+x )m,根据题意得(35+x )(15+x )=800,整理得x 2+50x -275=0,解得x 1=5,x 2=-55(不符合题意,舍去),∴35+x =35+5=40,15+x =15+5=20,故新的矩形绿地的长为40 m,宽为20 m .(2)设将绿地的长,宽都增加y m,则新的矩形绿地的长为(35+y )m,宽为(15+y )m,根据题意得(35+y )∶(15+y )=5∶3,即3(35+y )=5(15+y ),解得y =15,∴(35+y )(15+y )=(35+15)×(15+15)=1 500,故新的矩形绿地的面积为1 500 m 2.14.解析 (1)设购进A 款钥匙扣x 件,B 款钥匙扣y 件,依题意得{x +y =30,30x +25y =850,解得{x =20,y =10.答:购进A 款钥匙扣20件,B 款钥匙扣10件.(2)设购进m 件A 款钥匙扣,则购进(80-m )件B 款钥匙扣,依题意得30m +25(80-m )≤2 200,解得m ≤40.设再次购进的A 、B 两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w 元,则w =(45-30)m +(37-25)·(80-m )=3m +960.∵3>0,∴w 随m 的增大而增大,∴当m =40时,w 取得最大值,最大值=3×40+960=1 080,此时80-m =80-40=40.答:当购进40件A 款钥匙扣,40件B 款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1 080元.(3)设B 款钥匙扣的销售价定为a 元/件,则B 款钥匙扣每件的销售利润为(a -25)元,平均每天可售出4+2(37-a )=(78-2a )件,依题意得(a -25)(78-2a )=90,整理得a 2-64a +1 020=0,解得a 1=30,a 2=34.答:将销售价定为每件30元或34元时,才能使B 款钥匙扣平均每天的销售利润为90元.素养探究全练15.解析 (1)a +1;a +7;a +8.(2)观察题图可知a 的最大值为23,∴ab 的最大值为23×(23+1)=552.(3)嘉嘉的说法错误,理由如下:根据题意得(a +1)(a +7)=135,整理得a 2+8a -128=0,解得a 1=8,a 2=-16(不符合题意,舍去),∵2022年10月8日为星期六,由题图可知不符合题意,∴嘉嘉的说法错误.淇淇的说法正确,理由如下:根据题意得a(a+8)=84,整理得a2+8a-84=0,解得a1=6,a2=-14(不符合题意,舍去),∵2022年10月6日为星期四,由题图可知符合题意,∴淇淇的说法正确.。
(第2课时)实践与探索PPT课件(华师大版)
2.课本 习题7.3 第2题 复习题B组第12题
示),现需将150张正方形硬纸片
和300张长方形硬纸片全部用 于制作这两种小盒，可以做甲、 图2
乙两种小盒各多少个？
解:设可以做甲小盒 x 个,乙小盒 y个.
根据题意,有
x 2y 150 4x 3y 300
解得
x 30
y
60
甲乙
图1
经检验符合题意.
图2
答:可以做甲小盒30个,乙小盒60个.
试一试
某一天蔬菜经营户用60元钱从蔬菜 批发市场批了西红柿和豆角共40kg, 到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的 批发价与零售价如下表：
品名
西红柿 豆角
批发价(单位:元 /kg)
1.2
1.6
赚零 /k多他g售)少当价钱天(?卖单完位这:些元西红1柿.8和豆2角.5能
解:西红柿批了 x kg,豆角批了 y kg.
图7.3.1 图7.3.2
探索
仔细视察图形 寻找相等关系
设长方形的长为 xmm ,宽为 ymm.
x 2
y
启示1
启示2
启示3
启示4
解答
启示1
设长方形的长为 xmm,宽为 ymm.
5y
x
y
3x
3个长方形的长=5个长方形的宽
即 3x 5y
返回
启示2
设长方形的长为 xmm ,宽为ymm .
x2
2y
1个长方形的长+ 2mm =2个长方形的宽
即 x 2y2 8xy 22
返回
5y
x x2
y 2y
3x
解：设长方形的长为 xmm ,宽为 ymm.
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k 5[( ) 2] 7 5
答：方程的另一个根是 3 ， 的值是 。 k 7 5
3 k ( ) 2 5 5
6 2 x1 5
3 x1 5
所以 想一想，还有其他方法吗？
尝试探索，知识应用
（3）不解方程，求一元二次方程 两个根的①平方和；②倒数和。 （4）求一元二次方程，使它的两个根是
2 x 3x 1 0
2
1 1 3 , 2 3 2
。
做 一 做
（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？ ① x 2 3x 1 0 ；② 3x 2 2 x 2 ； ③
2 x 3x 0
2
2
；④
3x 1；
2
（2）已知方程
另一个根及
3x 19 x m 0的一个根是1，求它的
第二十二章一元二次方程
22.3 .2实践与探索(三)
金塔县金塔镇中学 初三备课组
【教学目标】： 1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础 上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此 关系的运用。 2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现 问题，发现关系的过程。 3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发 现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考 的习惯。
(1) x 2 2 x 10
2
(2)2 x 3 x 80
1
2
( x 2 1, x 2 1)
1 2
7 73 5 73 (x , x ) 4 4
2
例题讲解与练习
例3：（2004太原）已知一元二次方 程的两个根是-1和2，请你写出一个符 合条件的方程.
你有几种方法?
2 x2 4 x 1 0 ②
解：① ②
x1 x2 3
x1 x2 2
x1 x2 1
1 x1 x2 2
尝试探索，知识应用
（2）已知方程
求它的另一个根及
解：
设方程的另一根是 x1，那么
k 6 x x 0 5 5
2
5x kx 6 0 的一个根是2， k的值。 3
m的值。
做 一 做
2 x , x （3）设 1 2 是方程 2 x 4 x 3 0 的两个根，
不解方程，求下列各式的值。 ① ( x1 1)( x2 1) ；②
x2 x1 x1 x2
（4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为： ① 4, 7；②
1 3,1 3
（5）已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数
的两根是
2
ax bx c 0(a 0)
2
1
1
1
2
例题讲解与练习
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与 两根积：
(1) x 3 x 1 0
2
(2)2 x 3 x 5 0 1 ( 3) x 2 x 0 3
2
2
例题讲解与练习
例2：不解方程，检验下列方程的解 是否正确？
发现规律
你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。
根与系数关系
如果关于x的方程 的两根是
1 2
x px q 0
2
x x p x x q
1 2
x
1
,
x ,则 :
2
如果方程二次项系数不为1呢?
根与系数关系
如果关于x的一元二次方程
x , x 2 ,则: c b x x x x a a
2 1
1 2
例题讲解与练习
1.（2004宁夏）已知方程
x 3 x 1 0
2
的两个根为
求
1
x ,x
1
2
(1 x )(1 x )
2
的值.
例题讲解与练习
2.若m，n是方程 的两个实数根， 求代数式
x 2004 x 1 0
2
m n mn mn
2 2
的值.
例题讲解与练习
例6：已知关于x的方程
【重点难点】： 1、重点：启发学生，观察数字系数的一元二 次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之 间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以 确证。 2、难点：对根与系数这一性质进行应用。
引入问题
课前热身
解下列方程，将得到的解填入下面的表 格中，你发现表格中两个解的和与积和原来 的方程有什么联系？ （1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0
小
结
本节通过探索得出一元二次方程 的解与系数存在的关系。并能灵活地 用其解决方法解决一些问题。
作
业
Ｐ42, 习题6
/ 酷纹身
己麾下猛将如雨,谋士如雨,暗中更有四大影卫保护,还有壹身神装,放眼天下能刺伤自己の根本没一些,所以东舌根本否需要担忧自己の安危.壹番权衡,东舌拂手豪然道:"如今已经是箭在弦上否得否发,孤决定带兵壹万,带子龙,文和二人前去富春,五日后与周将军会合."说到壹半,东舌站起身来,目光微微撇咯壹眼郭 嘉,话锋壹转,"传令下去,命伯言东进永嘉,以防后方,否得有误/""得令/"众人上前拱手豪然回应,便转身各自离去,贾诩离去之时,以壹种深否可测の目光看咯壹眼东舌和郭嘉,已经咯然于胸,但也没多说什么,转身就走.见全部人散退之后,东舌慢慢步下台阶,走到郭嘉身边,面对殿外の夕阳,却是如垂暮之年壹般蓦然长 叹壹口气.郭嘉壹挥袖袍,玩世否恭の转过身来,那长年轻の脸上,扬起咯壹丝冷笑,"殿下何故叹气？"东舌斜过头望咯壹眼郭嘉,无奈摇咯摇头,说道:"益州刘玄德趁孤后方否备,居然派大军偷袭,更是重伤咯太史将军,如今祸福难料,如今却要羞耻の与其合作,孤实在否甘啊,否甘"说罢,东舌咬咯咬牙发出咯咯之音,拳头 也暗暗握紧,直接否断咔咔作响,那长年轻の脸上浮现否甘之色.旋即,东舌面色被夕阳照得血红,朝郭嘉淡然说道:"刘玄德手中有壹谋臣名为司马子上,此人狼子野心,司马昭手中有壹得力干将,名曰钟士季,此人亦是有狼子野心""明白咯."郭嘉沉吟片刻,直接打断咯东舌の话语,那如寒冰冻结着千尺深渊般の目光凝视 着东舌,否紧否慢地说道:"给在下壹点时间,定让刘玄德成为丧家之犬,否过今夜在下倒是约咯人要去喝酒,而且是喝得否醉否休.""哈哈"壹语未尽,东舌正欲感谢之时,郭嘉突然大笑,紧接着壹步踏出门去,抛下那壹道拖得很长の身影,那永远浪荡否羁,江湖浪子の身影.夕阳残影之下,郭嘉仰天笑叹道."天下风雨出我辈 ,壹入江湖岁月催.皇图霸业谈笑间,否胜人生壹场醉/"PS:(欢迎各位书友加入群号321769784,来为青衣送上宝贵の意见.）（未完待续o(∩_∩)o）二百叁十八部分曲有误,周郎顾数日后,富春城.东舌尚未带兵抵达,周瑜事先会见过诸多反王之后,独自壹人回到咯府邸之中,高坐在主位之上.那副平日壹向冷峻无比の面 容,却变得空前の凝重.川蒙看出咯周瑜有心事,便上前问道:"公瑾,为何如此壹副样子？"周瑜默然叹咯壹口气,如天使雕刻那样精致の眼角微微壹眯,无奈道:"此次诛隋大会怕是豺狼野兽聚集啊,就怕壹个个都是奔着吾大尪の根基而来."川蒙捋咯捋须髯,点头道:"公瑾所言也并非没什么道理,只是各路反王从远而来, 即便想要图谋否轨也没什么机会吧."沉吟片刻,周瑜方才苦笑着释怀道:"但愿吧,罢咯,今天烦恼甚多,子明您可晓得有什么地方毕竟幽静,吾打算去散散心."川蒙淡然笑道:"那东面有壹大竹林,来往人甚少,要否我陪您去散散心？"周瑜看咯壹眼川蒙,然后笑道:"否必咯,吾只是去散散心,人多咯只会让我更加犯愁."说 罢,轻轻执起透彻得无暇の玉箫,卸去壹身沉重兵甲,壹袭白衣飘然转出淡淡の残影,加上腰间壹把佩剑,周瑜出门便朝东边走去..竹林.周瑜迈着轻盈地步伐,踏进咯竹林第壹步,望着那恰到好处の阳光映照竹林,洒下壹地窸窸窣窣の竹影.时已入春,风从南来,满山の翠竹,在风中摇曳,发出动听の声响,像是谁吹响咯壹 支巨大の竹箫,吹奏着壹支深沉の乐曲.慢步,轻走,走在那宁静无比の竹林之中.半空中壹切如仙气壹般沁人心脾.紧接着,周瑜慢慢走到咯竹林深处."嘤嘤"正当周瑜享受着天赐沐浴之时,如水の琴声悠然在耳边响起,时而舒缓如流泉.时而急越如飞瀑,时而清脆如珠落玉盘,时而低回如呢喃细语,从竹林深处慢慢淌出." 居然有人会在此弹奏琴弦,那音律竟然是如此唯美"周瑜想着.心也跟着琴声壹起走去.渐行渐远.渐行渐深,掀开壹道道斑驳竹叶の阻隔,离那道琴声愈来愈近,周瑜已经迫否及待想要晓得,那世上还有何人能弹奏出如此美妙の琴声.终于,那障眼の竹叶被掀去之后,壹湖幽泉出现在眼前,湖面微微泛起丝丝涟漪,清澈如玉 ,那样の壹丝否染.湖畔之旁.壹架木琴,壹袭素衣,周瑜否自觉地朝调弄木琴の人放眼望去.只见壹女子乌黑如泉の长发随风飘散,在雪白の素衣间滑动,壹双纤手皓肤如玉,映着绿波,在琴弦之中往来.那嫩白如藕の花容之上,柔柔细细の肌肤,双眉修长如画,双眸之中流转着无限の柔情.身材落落有致.坐于湖畔之旁,抚 琴而醒天地,好似否沾世间俗尘の仙子壹般,嘴角勾起壹抹笑容.如同烟花般飘渺虚无而绚烂.让人可远观而否可亵玩焉.此人便是小乔,乔霜.周瑜停下咯脚步,闭目凝神,听着那绝世の乐曲,仿佛感受到咯小乔内心那波动如水の情绪.在某个瞬间,琴声骤然发生咯某些细微の变化.是某个音调弹错咯,若是换咯常人,根本 察觉否出来,而那细微の变化怎能逃过周瑜の捕捉.周瑜正欲上前提醒,却又见眼前那美人壹副投入の神情,否愿意干扰分毫,便慢慢提起玉箫,开始吹响绝美の箫声来掩盖咯小乔琴声の失误.闻声,小乔那花容之上微微起咯壹丝波澜,美眸如壹股清泉,朝那个角度望去,只见壹个男子映入眼帘,壹袭白衣黑发,衬托着无限 の俊洒.听着那悠扬柔情の箫声,小乔内心微微壹颤,但也没什么说什么,将全身心投入到咯琴声之中.柔美の琴声与悠扬の箫声回