(课标通用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
(课标通用版)2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若 直 线 与 圆 组 成 的 方 程 组 有 解 ， 则 直 线 与 圆 相 交 或 相 切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系 为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要 不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程 是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
解析：选
B.因为圆心(0，0)到直线
y＝2
22，
而 0< 22<1，所以直线和圆相交，但不过圆心．
圆 Q：x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( )
d＝|r1－r2| (r1≠r2)
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
___一__组__实__数__解____ __无__解___
常用知识拓展 1．过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y ＝r2. 2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3．过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切 点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2. 4．直线与圆相交时，弦心距 d，半径 r，弦长的一半12l 满足关 系式 r2＝d2＋12l2.
d
＝
|cos θ－1－cos θ| sin2θ＋cos2θ
高考数学(理)一轮复习课件：第九章 解析几何 9-4 直线与圆、圆与圆的位置关系
(2) 过圆 (x －a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 上一点 P(x0 ，y0) 的圆的切线方程
为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3) 过圆 x2 ＋ y2 ＝ r2 外一点 M(x0 ， y0) 作圆的两条切线，则两切 点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切： 1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条. (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得 公共弦所在直线的方程.
(2)(2016· 江西吉安月考 )圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2
－2t＝0
(t∈R)的位置关系为 A.相离 C.相交
答案
解析
B.相切 D.以上都有可能
直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内. 直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交， 故选C.
答案 解析
B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心
D.相离
由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离
|2×1－2－5| d＝ ＝ 5< 6且 2×1＋(－2)－5≠0， 2 2 ＋1
所以直线与圆相交但不过圆心.
2.(2016· 全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋
y－1＝0的距离为1，则 a等于 答案 解析
5.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1
外切，则
ab的最大值为________. 由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两 圆半径之和， 即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab， 所以ab≤ 9 ，当且仅当a＝b时取等号，
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课件
微思考过一点的圆的切线有几条?
提示 应首先判断这点与圆的位置关系.若点在圆上则该点为切点,切线只
有一条;若点在圆外,切线应有两条;若点在圆内,则没有切线.
2.圆与圆的位置关系
设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),
圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
10
A.
2
26
C.
5
B.√10
)
2 26
D.
5
答案 B
解析 由题可知圆 C 的圆心为(1,2),半径为 r=√5,圆心到直线 l 的距离为
|3×1-2-6|
d=
2
2
3 +1
=
√10
2
,
|AB|=2√ 2 -2 =2 (√5)2 -
√10
2
2
= √10.故选 B.
3.已知圆C:x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程
在圆 C 内,则 a2+b2<r2,所以 d=
2
2 +2
则直线 l 与圆 C 相离,故选项 B 正确;
>|r|,
若点 A(a,b)在圆 C 外,则 a +b >r ,所以 d=
2
2
2
2
2 +2
<|r|,则直线 l 与圆 C 相交,故
选项 C 错误;
若点 A(a,b)在直线 l 上,则 a2+b2-r2=0,即 a2+b2=r2,
即 x2-2√3x×1+y2-2y×1+2×12=0,
√3+
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 文1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系.d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(6)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1.(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是________. ①相切； ②相交但直线不过圆心；③相交过圆心； ④相离. 答案 ②解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－3,1]解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.(2014·湖南改编)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________. 答案 9解析 圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ，从而C 1C 2＝32＋42＝5.由两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.4.(2015·山东改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________. 答案 －43或－34解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34. 5.(教材改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题型一 直线与圆的位置关系例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是______. (2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是________.(3)已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________.答案 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833(3)相切解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.(2)把圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－3k 24，所以16－3k24>0，解得－833<k <833.由题意知点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0， 即(k －2)(k ＋3)>0， 解得k >2或k <－3，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.(3)由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|－ab |a ＋b2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长.(1)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －2＋y ＋2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(4k －2)2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时AB 最小为27.题型二 圆与圆的位置关系例2 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________.(2)过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________________________________________________________________________. (3)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________.答案 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45(3)(－22，0)∪(0,22)解析 (1)两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2).过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小. ∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.(3)C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得：0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22)思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论.(1)圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的位置关系为________.答案 内切解析 ∵圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为：C 1(0,1)，半径r 1＝1， 圆C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的圆心为：C 2(3，0)，半径r 2＝3， ∴C 1C 2＝32＋1＝2，又r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝2，∴C 1C 2＝r 2－r 1＝2，∴圆C 1与C 2内切.(2)设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值.解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆.再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切. 当半圆和圆相外切时，由OO ′＝2＝2a ＋a ， 求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由OO ′＝2＝2a －a ， 求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2. 题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3 (2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则MN ＝________.答案 4 6解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以MN ＝|y 1－y 2|＝4 6. 命题点2 由直线与圆相交求参数问题例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以MN ＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 (1)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________； 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋－2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. ①与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； ②与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；③过切点A (4，－1).解 ①设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0； ②设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.(1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.(2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________. 答案 (1)2 2 (2)4解析 (1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则PC ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－22＝2 2.(2)将圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径长为 5. 由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得PQ ＝4.7.高考中与圆交汇问题的求解一、与圆有关的最值问题典例 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为________.(2)(2014·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________.解析 (1)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴x ＝－1时有最大值49＝7.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6. 答案 (1)7 (2)6 二、直线与圆的综合问题典例 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________.(2)(2014·江西改编)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________.解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴AC 2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴AB 2＝40－4＝36. ∴AB ＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上. 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为OD . 又OD ＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)6 (2)54π温馨提醒 (1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.[方法与技巧]1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.3.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].[失误与防范]1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是______________.答案 2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为________. 答案 4±15解析 易知△ABC 是边长为2的等边三角形. 故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为 3. 即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15. 3.若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，则ab 的最大值为______________________________________________________________. 答案 2解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R ). 化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.4.过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______________. 答案 2x ＋y －3＝0 解析如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5.若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为________. 答案 12，－4解析 因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.6.(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________. 答案 32解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2， ∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.7.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.答案 [2,3]解析 曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P2∈[2,3].8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10.(2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆.由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又OM ＝OP ＝22，O到l 的距离为4105，所以PM ＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1 (a >0)与直线y ＝3x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为________. 答案52解析 因为△CPQ 的面积等于12sin∠PCQ ，所以当∠PCQ ＝90°时，△CPQ 的面积最大，此时圆心到直线y ＝3x 的距离为22，因此22＝|3a －a |10，解得a ＝52. 12.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________.答案 －33解析∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大. 此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33). 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是________. 答案 [5,55]解析 由题意可知满足PA ＝2AB 的点P 应在以C 1为圆心，半径为25的圆上及其内部(且在圆C 1的外部)，记该圆为C 3，若圆C 2上存在满足条件的点P ，则圆C 2与圆C 3有公共点，所以|r－25|≤＋2＋－2≤r ＋25，即|r －25|≤30≤r ＋25，解得5≤r ≤55.14.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程. (1)证明 直线l 恒过定点P (1,1). 由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内， 所以直线l 与圆C 总有两个交点.(2)解 圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1， 解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3.(3)解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)， 所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x 2＋y －2＝5⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2k ＋1， ②x 1x 2＝k 2－5k 2＋1， ③由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 方法二如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1.5t ， PD ＝0.5t .在Rt△CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0.5t )2， 在Rt△CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2，从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22， 解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 15.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a ).(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值. 解 (1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1). 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33. 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1).即x －3y －4＝0. 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0.(2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3. 又有AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22， 所以AC ＋BD ＝24－d 21＋24－d 22.则(AC ＋BD )2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×[5＋216－d 21＋d 22＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22).因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52， 所以(AC ＋BD )2≤4×(5＋2×52)＝40.所以AC ＋BD ≤210， 即AC ＋BD 的最大值为210.。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖P
2.由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，所以，所求弦长
为 2 2.
[答案] 2 2
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考点
题型突破
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考点一 直线与圆的位置关系——自练型
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(1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直
线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是(
)
A．相切
B．相交
C．相离
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[答案] (1)D (2)D
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解决直线与圆的综合问题的策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一 半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半 径，从而建立关系解决问题． (3)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过 M 点的圆的切 线方程为 x0x＋y0y＝r2.
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3．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x－ 3
y－4＝0 相切，则圆 O 的方程为(
)
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2
D．x2＋y2＝1
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[解析] 依题意，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x－ 3 4
y－4＝0 的距离，即 r＝ 1＋3＝2，得圆 O 的方程为 x2＋y2 ＝4.
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1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”
的必要不充分条件．(
)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相
交．(
)
(3)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方
(北京专用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
答案 , )
(1. )A
(2)k∈(-
3,
3)
解析 (1)解法一:由
mx y
x
2
(
y
1 1) 2
m
消0去, y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
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则Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0,
所以直线l与圆C相交.故选A.
解法(jiě fǎ)二:因为圆心(0,1)到直线l的距离|d=m | <1< ,故直线l与圆C相
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考点(kǎo diǎn)突破
考点一 直线与圆的位置(wèi zhi)关系
典例1 (1)直线(zhíxiàn)l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关A系是
( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
33
(2)圆x2+y2=1与直线(zhíxiàn)y=kx+2没有公共点的充要条件是 k∈(-
解法二:圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离(jùlí)d= ,直2线与圆没有公共点
的充要条件是d>1,即 >1,解得k∈(- , ).
k2 1
2 k2 1
33
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方法技巧 (1)判断直线与圆的位置关系(guān xì)时,若两方程已知或圆心到直线的距离 易 表达,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦 琐,则用代数法.(2)已知直线与圆的位置关系(guān xì)求参数的取值范围时, 可根 据数形结合思想利用直线与圆的位置关系(guān xì)的判断条件建立不等式 解决.
2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系教案理(含解析)
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系（半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ错误!0Δ＝0Δ错误!0几何观点d错误!r d错误!r d＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2｜）相离外切相交内切内含图形［小题体验］1．（2019·徐州调研）已知圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相内切,则正数r的值为________．解析:圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的标准方程为（x＋3）2＋(y－4)2＝36,圆心为(－3，4)，半径为6,圆x2＋y2＝r2的圆心为(0,0)，半径为r，则圆心距d＝错误!＝5。
若两圆内切,则｜r－6|＝5，得r－6＝5或r－6＝－5，即r＝11或1.答案:1或112．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A,B两点，则AB＝________。
解析:由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋（y－2）2＝5，所以该圆的圆心坐标为（1，2)，半径r＝5，又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝错误!＝错误!，由错误! 2＝r2－d2，得AB2＝4错误!＝10，即AB＝错误!.答案：103．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0)，半径为错误!，所以错误!≤错误!，即|a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.答案：［－3，1］4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2mx＋m2－1＝0相外切,则实数m＝________。
解析：将圆x2＋y2－2mx＋m2－1＝0化成标准方程,得（x－m)2＋y2＝1，圆心为(m，0）,半径r1＝1,圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0），半径r2＝2。
由两圆相外切，得｜m|＝r1＋r2＝3,解得m＝±3。
答案：±31．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[小题纠偏］1．过点(2，3)与圆（x－1）2＋y2＝1相切的直线的方程为________．解析：①若切线的斜率存在时,设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝错误!，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2。
高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系Word
§ 9.4直线与圆、圆与圆的地点关系考纲显现 ?1.能依据给定直线、圆的方程判断直线与圆的地点关系；能依据给定两个圆的方程判断两圆的地点关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步认识用代数方法办理几何问题的思想．考点 1直线与圆的地点关系直线与圆的地点关系(1)三种地点关系： ________、 ________、 ________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：22＝r 2上一点0，y0002.①过圆 x＋ y P( x) 的圆的切线方程为x x＋ y y＝r②过圆 (x －a)2＋ (y－ )2＝2上一点(0，0)的圆的切线方程为(x0－)(－a) ＋(y－b r P x y a xb)( y－b)＝ r2.22＝r 2外一点0000③过圆 x＋ y M( x，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x＋ y y＝r 2.答案： (1)订交相切相离(2) ①订交相切相离②订交 2r 2－ d2相切相离(1)[教材习题改编 ] 圆(x －1) 2＋(y＋2) 2＝6与直线 2 ＋－ 5＝0的地点关系是 ()x yA．相切B．订交但直线可是圆心C．订交过圆心D．相离答案： B分析：由题意知，圆心 (1 ，－ 2) 到直线2x＋y－ 5＝ 0 的距离d＝|2 ×1－ 2－ 5|＝5< 6，22＋ 1且 2×1＋ ( － 2) －5≠0，所以直线与圆订交但可是圆心．(2)[教材习题改编 ] 圆x2＋y2－ 4x＝ 0 在点P(1 ，3) 处的切线方程为 ________．答案： x－3y＋2＝0分析：圆的方程为 ( x－ 2) 2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0) ，半径为2，点P在圆上．易知切线的斜率存在，设切线方程为y－3＝ k( x－1)，即 kx－ y－k＋3＝0，|2 k－k＋ 3|3∴k2＋1＝ 2，解得k＝3，3∴切线方程为 y－3＝3( x－1)，即 x－3y＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点 (2,3) 作圆x2＋y2＝ 4 的切线，则切线方程为________．答案： 5x－12y＋ 26＝0 或x－ 2＝ 0分析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x－2＝0.当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝ k( x－2)，即 kx － y＋3－2k＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3 － 2k|＝ 2，k2＋15解得 k＝12，5所以切线方程为y－3＝12( x－2)，即 5x－ 12y＋26＝ 0.综上可知，切线方程为5x－ 12y＋ 26＝ 0 或x－ 2＝0.[ 典题1](1)[2017·湖北七市联考] 将直线x＋ y－1＝绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°获得直线l，则直线l 与圆( x＋3)2＋y2＝4的地点关系是()A．订交 B ．相切C．相离 D ．订交或相切[ 答案]B[ 分析]依题意得，直线 l的方程是 y＝tan 150°(x－1)，即 x＋3y－1＝0，圆心(－3,0)到直线 l| －3－ 1|的距离 d＝＝2，所以该直线与圆相切．3＋ 1(2)[2017 ·陕西西安一模 ] 直线 ( a＋ 1) x＋( a－ 1) y＋ 2a＝ 0( a∈ R) 与圆x2＋y2－ 2x＋ 2y－ 7＝ 0的地点关系是 ()A．相切 B ．订交C．相离 D ．不确立[ 答案]B[ 分析]解法一： x2＋ y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为( x－ 1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 9，故圆心坐标为 (1 ，－ 1) ，半径r＝ 3，a＋－－＋ 2 ||2a＋ 2|圆心到直线的距离d＝a＋2＋a－2＝2a2＋2.224a2＋ 8a＋ 47a2－ 4a＋ 7再依据 r － d ＝9－2a2＋2＝a2＋1，而 7a2－ 4a＋ 7＝0 的鉴别式＝ 16－ 196＝－ 180＜0，故有 r 2＞ d2，即 d＜ r ，故直线与圆订交．解法二：由 ( a＋ 1) x＋( a－ 1) y＋2a＝ 0( a∈ R) ，整理得 x－ y＋ a( x＋ y＋2)＝0，x－ y＝0，x＝－1，则由解得x＋ y＋2＝0，y＝－1，即直线 ( a＋ 1) x＋ ( a－ 1) y＋ 2a＝ 0( a∈ R) 过定点 ( － 1，－ 1) ，又 ( － 1) 2＋ ( － 1) 2－2×( －1)＋2×( － 1) －7＝－ 5＜ 0，则点 ( － 1，－ 1) 在圆x2＋y2－ 2x＋ 2y－ 7＝0 的内部，故直线 ( a＋ 1) x＋ ( a－ 1) y＋ 2a＝ 0( a ∈R) 与圆x2＋y2－ 2x＋2y－ 7＝0 订交．(3)已知直线 l ： y＝ kx＋1，圆 C：( x－1)2＋( y＋1)2＝12.①求证：无论 k 为什么实数，直线l和圆 C 总有两个交点；②求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．解法一：① [ 证明 ]y ＝ kx ＋ 1，y由x －2＋y ＋消去 ，得2＝ 12( k 2 ＋1) x 2－ (2 －4k ) x － 7＝ 0，由于 ＝ (2 － 4k ) 2＋ 28( k 2＋ 1)>0 ，所以无论 k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．②[ 解] 设直线与圆交于( 1， 1)， ( 2 ， 2)两点，A x yB xy则直线 l 被圆 C 截得的弦长 | AB | ＝2121＋ k | x － x |8－ 4k ＋ 11k 24k ＋ 3＝21＋ k 2＝ 211－ 1＋k 2，4k ＋ 32令 t ＝ 1＋ k 2，则 tk － 4k ＋ ( t －3) ＝ 0，3 当 t ＝ 0 时， k ＝－ 4； 当 t ≠0时，由于 k ∈R ，所以 ＝ 16－ 4t ( t －3) ≥0，解得－ 1≤ t ≤4，且 t ≠0，故 t ＝ 4k ＋ 3|最小为 2 7.2的最大值为 4，此时 |1＋kAB则直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.解法二： ①[ 证明 ] 由于无论 k 为什么实数， 直线l总过点 P (0,1) ，而| PC |＝ 5<2 3＝ r ， 所以点 P (0,1) 在圆 C 的内部，即无论 k 为什么实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P . 所以无论k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．②[ 解]由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1) 的弦，只有与 PC ( C 为圆心 ) 垂直时才最短，而此时点 P (0,1) 为弦 AB 的中点，由勾股定理知， || ＝ 2 12－ 5＝ 2 7，AB即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.[ 画龙点睛 ]判断直线与圆的地点关系时，若双方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点 2 切线、弦长问题[ 教材习题改编 ] 过点P(1,0)的直线l被圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1截得的弦长为2，则直线 l 的斜率为________．答案：1或－1分析：点 P(1,0)在圆 O上，而圆O的半径为1，由图 ( 图略 ) 可知直线l 的斜率为 1 或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线 x＋3y－ 2＝ 0 与圆x2＋y2＝4 订交于A，B两点，则弦AB的长度等于 ________．答案： 23分析：由题意可知，圆心(0,0) 到直线x＋ 3 －2＝ 0 的距离为|0＋3×0－ 2| ＝1，312＋2则| | ＝ 2 22－12＝2 3.AB2．圆的切线方程问题：代数法或数形联合法．过点 P(－1,0)作圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1 的切线，则切线方程是 ________．3答案： y＝±3 ( x＋1)分析：作出图形 ( 图略 ) ，可知过点P( － 1,0)的圆的切线的倾斜角为 30°或 150°，所以切线方程为y ＝±3x＋1).(3[典题 2](1) 已知圆C过点 ( －1,0) ，且圆心在x轴的负半轴上，直线l ：y＝ x＋1被该圆所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[ 答案 ] x－y＋ 3＝ 0[ 分析]设圆心为 ( a, 0)( a＜ 0) ，则圆的半径r＝| a＋ 1| ，圆心 ( a,| a＋ 1|，0) 到y＝x＋ 1 的距离为2由截得的弦长为22，得 | a＋1|2| a＋ 1| 2＝＋ 2，解得a＝－ 3，2所以过圆心且与l平行的直线为y－0＝x＋3，即 x－ y＋3＝0.(2) 已知点P(2＋ 1,2 － 2) ，点M(3,1)，圆 C：( x－1)2＋( y－2)2＝4.①求过点 P的圆 C的切线方程；②求过点 M的圆 C的切线方程，并求出切线长．[ 解] 由题意，得圆心 (1,2)，半径r ＝2.C①∵ ( 2＋1－1) 2＋(2 － 2－2) 2＝4，∴点 P在圆 C上．又 k PC＝2－ 2－2＝－ 1，2－1－11∴切线的斜率k＝－＝ 1.k PC∴过点 P 的圆 C的切线方程是y－(2－2) ＝1×[x－ ( 2＋ 1)] ，即x－y＋1－ 2 2＝ 0.②∵ (3 － 1) 2＋(1 － 2) 2＝ 5>4，∴点 M在圆 C外面．当过点 M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即 x－3＝0.又点 C(1,2)到直线 x－3＝0的距离 d＝3－1＝2＝r ，即此时知足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝ k( x－3)，即 kx－ y＋1－3k＝0，| k －2＋ 1－3k|3则圆心 C到切线的距离 d＝k2＋1＝ r ＝2，解得 k＝.43∴切线方程为y－1＝4( x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆 C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵| |＝－2＋－2＝ 5，MC∴过点 M的圆 C的切线长为| MC|2－r2＝5－ 4＝1.[ 画龙点睛 ] 1. 圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为 y－ y0＝ k( x－ x0)，与圆的方程构成方程组，消元后获得一个一元二次方程，而后令鉴别式＝0从而求得k.(2)几何法：设切线方程为 y－ y0＝ k( x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，而后令 d＝ r ，从而求出k.[ 提示]00222上，则过点M的圆的切线方程为002若点 M( x ， y )在圆 x ＋ y ＝ r x x＋ y y＝r . 2．弦长的两种求法(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后获得一个一元二次方程．在鉴别式＞ 0 的前提下，利用根与系数的关系，依据弦长公式求弦长．(2) 几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝ 2 r 2－ d 2.[ 提示 ] 代数法计算量较大，我们一般采纳几何法.1.[2017 ·重庆调研 ] 过点 ( － 2,3) 的直线 l 与圆 x 2＋y 2＋ 2x － 4y ＝ 0 订交于 A ，B 两点，则| AB | 获得最小值时 l 的方程为 ()A ．x － y ＋ 5＝ 0B ． x ＋ y － 1＝ 0C ．x － y － 5＝ 0D ． 2x ＋ y ＋ 1＝0答案： A分析： 由题意，得圆的标准方程为( x ＋ 1) 2＋( y － 2) 2＝5，则圆心 C ( － 1,2) ．3－ 2过圆心与点 ( － 2,3) 的直线 l 1 的斜率为 k ＝＝－ 1.－ 2－－当直线 l 与 l 1 垂直时， | AB | 获得最小值，故直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y － 3＝ x －( － 2) ，即 x － y ＋5＝ 0.2．过原点 O 作圆 x 2＋ y 2－ 6x － 8y ＋ 20＝ 0 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段 PQ的长为 ________．答案： 4分析： 将圆的方程化为标准方程( x － 3) 2＋ ( y － 4) 2＝ 5，则圆心为 (3,4)，半径为 5.由题意可设切线方程为y ＝ kx ，则圆心 (3,4) 到直线 y ＝ kx 的距离等于半径，|3 k － 4| 1 11 即 k 2＋ 1 ＝ 5，解得 k ＝ 2或 k ＝ 2 ，1 11则切线方程为 y ＝ 2x 或 y ＝ 2 x .P ， Q 的坐标分别为 (4,2) 4， 22联立切线方程与圆的方程，解得两切点，55 ，由两点间的距离公式得 | PQ | ＝ 4.考点 3圆与圆的地点关系圆与圆的地点关系设圆地点关系222222O1：( x－a1)＋ ( y－b1) ＝r1( r1>0) ，圆O2：( x－a2)＋ ( y－b2) ＝r2( r2>0).方法几何法：圆心距d 与 r 1， r2代数法：两圆方程联立构成方的关系程组的解的状况外离________________________________外切________________________________订交________________________________内切________________________内含________________________答案： d>r＋r2无解d＝ r＋r2一组实数解| r－r|< d<r＋r2两组不一样的实数解11121d＝|r－r|(r≠r)一组实数解0≤ <|r－r|(r≠r)无解12121212(1)[ 教材习题改编] 圆O1： ( x＋2) 2＋y2＝ 4 与圆O2： ( x－2) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 9 的地点关系为________．答案：订交分析：两圆圆心分别为O1(－2,0)， O2(2,1)，半径长分别为r 1＝2， r 2＝3.∵| 1 2|＝ [2－－2＋－2＝ 17，OO3－2< 17<3＋ 2，∴两圆订交．(2)[ 教材习题改编] 圆x2＋y2－ 4＝ 0 与圆x2＋y2－ 4x＋ 4y－ 12＝0 的公共弦长为 ________．答案：22分析：由x2＋ y2－4＝0，x2＋ y2－4x＋4y－12＝0，得 x－ y＋2＝0.又圆 x2＋ y2＝4的圆心到直线x－ y＋2＝0的距离为2＝ 2.2由勾股定理得弦长的一半为4－ 2＝ 2，所以所求弦长为 2 2.两圆相切：注意是内切仍是外切．若两圆 x2＋ y2＝1与( x－ a)2＋( y＋ a)2＝4( a>0)相切，则 a＝________.2 32答案：2或2分析：两圆的圆心距为2a，半径分别为r 1＝1， r 2＝2.2当两圆内切时，2a＝ 2－ 1＝1，得a＝2；3 2当两圆外切时，2a＝ 2＋ 1＝3，得a＝2 .[ 典题 3]已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为 ()6 3A. 2B.29C.4D． 23[ 答案]C[ 分析]由圆 C 与圆 C 相外切，可得12a＋ b2＋－ 2＋2＝ 2 ＋ 1 ＝ 3 ，即 ( a＋b) 2＝ 9 ，依据基本 ( 均值 ) 不等式可知，a＋b 29ab≤2＝4，当且仅当 a＝ b 时等号建立．应选 C.[题点发散 1]把本例中的“外切”变成“内切”，求ab 的最大值．解：由 C1与C2内切，得a＋ b2＋－2＋2＝1.2a＋ b 21即( a＋b)＝ 1，又ab≤2＝4，当且仅当a＝b 时等号建立，1故 ab 的最大值为.4[ 题点发散2]把本例条件“外切”变成“订交”，求公共弦所在的直线方程．解：由题意得，把圆C1，圆 C2的方程都化为一般方程．圆 C1：x2＋ y2－2ax＋4y＋ a2＝0，①圆 C2：x2＋ y2＋2bx＋4y＋ b2＋3＝0，②由②－①，得 (2 a＋ 2b) x＋ 3＋b2－a2＝ 0，即(2 a＋ 2b) x＋ 3＋b2－a2＝ 0 为所求公共弦所在直线方程．[ 题点发散3]将本例条件“外切”变成“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋ y－1＝ 0 与圆 ( x － a ) 2＋ ( y － b ) 2＝ 1 的地点关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故a ＋ b2＋ － 2＋2>3.∴ ( a ＋ b ) 2>9，即 a ＋ b >3 或 a ＋ b <－ 3.∴圆心 ( a ，b ) 到直线 x ＋ y － 1＝0 的距离 d ＝ |a ＋b － 1|>1，2∴直线 x ＋ y － 1＝ 0 与圆 ( x － a ) 2＋ ( y － b ) 2＝1 相离．[ 画龙点睛 ]1. 办理两圆地点关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采纳代数法．2．若两圆订交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差获得 .1. 圆 ( x ＋ 2) 2＋y 2＝ 4 与圆 ( x － 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 9 的地点关系为 ()A ．内切B ．订交C ．外切D ．相离答案： B分析： 两圆圆心分别为 ( － 2,0) 和 (2,1) ，半径分别为 2和 3，圆心距 d ＝ 42＋1＝ 17.∵3－ 2<d <3＋ 2，∴两圆订交．2．过两圆 x 2＋ y 2＋ 4x ＋ y ＝－ 1， x 2＋ y 2＋ 2x ＋ 2y ＋ 1＝ 0 的交点的圆中面积最小的圆的方程为 ________．＋326 24答案： x 5 ＋ y＋＝5522x ＋ y ＋ 4x ＋y ＝－ 1，①1 ①－②得2x － y ＝ 0，代入①得 x ＝－或－ 1，51 2，( －1，－ 2)． ∴两圆两个交点为－ 5，－ 512， ( － 1，－ 2) 为端点的线段为直径的圆时，面积最小．过两交点的圆中，以－5，－ 5 ∴该圆圆心为 －3，－6，5 5－1＋1 2＋ －2＋ 2 22 555半径为＝，2532624圆的方程为 x ＋ 5 ＋ y ＋5 ＝ 5.[ 方法技巧 ]1. 圆的弦长的常用求法l 222(1) 几何法：求圆的半径为r ，弦心距为 d ，弦长为 l ，则 2 ＝r － d ； (2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：＝＋ 21－2＝＋k 2x ＋x2| AB |1k | x－ 4x x ].x |1 21 22．两圆的地点关系与公切线的条数：①内含：0 条；②内切： 1 条；③订交： 2 条；④外切： 3 条；⑤外离： 4 条．3．当两圆订交时，两圆方程( x 2， y 2 项系数同样 ) 相减即可得公共弦所在直线的方程．[ 易错防备 ]1. 求过一点的圆的切线方程时，第一要判断此点能否在圆上，而后设出切线方程．注意：斜率不存在的情况．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程能否正确外，还要考虑斜率不存在的状况，以防漏解．真题操练集训1．[2016 ·新课标全国卷Ⅱ ] 圆x 2＋ y2－2 －8 y ＋ 13＝0 的圆心到直线ax ＋ －1＝ 0 的距xy离为 1，则 a ＝ ()43A ．－ 3B ．－ 4 C. 3D ． 2答案： A分析： 由已知可得，圆的标准方程为(x － 1) 2＋ ( － 4) 2＝ 4，故该圆的圆心为 (1,4) ，由点y| a ＋ 4－ 1|4到直线的距离公式得d ＝a 2＋ 1 ＝ 1，解得 a ＝－ 3，应选 A.2．[2015 ·新课标全国卷Ⅱ ] 过三点 A (1,3) ，B (4,2) ，C (1 ，－ 7) 的圆交 y 轴于 M ，N 两点，则| MN |＝()A ．2 6B ． 8C ．4 6D ． 10答案： C分析： 设圆的方程为 x 2 ＋y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，D＋3E＋ F＋10＝0，则 4D＋ 2E＋F＋ 20＝ 0，D－7E＋ F＋50＝0，D＝－2，＝ 4，解得 EF＝－20.∴圆的方程为 x2＋ y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2 6，∴M(0，－2＋26) ，N(0 ，－ 2－ 2 6) 或M(0 ，－ 2－26) ，N(0 ，－ 2＋26) ，∴ | MN|＝4 6，应选 C.3．[2015 ·重庆卷 ] 已知直线l ：x＋ ay－1＝0( a∈R)是圆 C： x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4， a)作圆 C的一条切线，切点为B，则| AB|＝()A．2B．42C．6 D ．2 10答案： C分析：∵直线 x＋ ay－1＝0是圆 C： x2＋ y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心 C(2,1)在直线 x＋ ay－1＝0上，∴ 2 ＋a－ 1＝ 0，∴a＝－ 1，∴A(－4，－1)．∴| AC| 2＝ 36＋4＝ 40.又 r ＝2，∴| AB|2＝40－4＝36.∴| AB| ＝6.4．[2016 ·新课标全国卷Ⅲ ] 已知直线l：mx＋y＋ 3m－3＝ 0与圆 x2＋ y2＝12交于 A，B两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D两点．若| AB|＝23，则 | CD| ＝________.答案： 4分析：设圆心到直线l ： mx＋ y＋3m－3＝ 0 的距离为d，则弦长 | AB| ＝ 2 12－d2＝ 23，得 d＝，即 |3 m－ 3|＝，解得 m＝－3，则直线 l ：x－3y＋＝，数形联合可得|CD ＝323360|m＋1| AB|cos 30 °＝4.5．[2015 ·江苏卷 ] 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝ 0( m∈R) 相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案： ( x－1) 2＋y2＝ 2分析：直线 mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读圆与线性规划的综合应用2x－y＋2≥0，[ 典例]假如点P 在平面地区x－2y＋1≤0，上，点Q在曲线x2＋( y＋2)2＝1上，x＋ y－2≤0那么 | PQ|的最小值为 ________．[ 审题视角 ]求解此题应先画出点P 所在的平面地区，再画出点Q所在的圆，最后利用几何意义将问题转变成圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出| PQ| 的最小值．2x－y＋2≥0，[ 分析]由点 P 在平面地区x－2y＋1≤0，上，画出点 P所在的平面地区．x＋y－2≤0由点在圆x 2＋(y＋ 2) 2＝1上，画出点Q所在的圆，如下图．Q由题意，得 | PQ| 的最小值为圆心(0 ，－ 2) 到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径 1.又圆心 (0，－ 2) 到直线x－ 2y＋1＝ 0 的距离为|0 －－＋ 1|5，12＋ 22＝此时垂足 ( －1,0) 在知足条件的平面地区内，故| PQ| 的最小值为5－ 1.[ 答案] 5－1方法点睛此题考察线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考察考生综合应用知识解决问题的能力．此题的突出特色就是将圆与线性规划问题有机地联合起来，为我们显现了数学知知趣互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特别性，其实是对数形联合思想的提高，即利用线性或非线性函数的几何意义，经过作图来解决最值问题．提示达成课时追踪检测( 五十 )。
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3． 在直角坐标系 xOy 中， 以 O 为圆心的圆与直线 x－ 3 y－4＝0 相切，则圆 O 的方程为( A．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2 )
B．x2＋y2＝3 D．x2＋y2＝1
[解析]
依题意， 圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x－ 3 4 2 2 2 O x y ＝ ，得圆 的方程为 ＋ 1＋3
[答案]
(1)B
(2)C
(3) 2＋1
通常利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关 系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次 方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．
考点二
直线与圆的综合问题——共研型
角度 1：弦长问题 (1)(2017· 重庆巴蜀中学一诊)直线 l 过点(0,2)， 被圆 C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0 截得的弦长为 2 3，则直线 l 的方程是( ) 1 B．y＝－3x＋2 4 D．y＝3x＋2 或 y＝2
第九章
平面解析几何
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2.能用直线 和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处 理几何问题的思想.
知 识
梳 理 诊 断
1． 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d， 圆的半 径为 r) 相离 相切 相交
Hale Waihona Puke (4)过圆 O： x2＋y2＝r2 上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( )
(5)过圆 O：x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线， 切点分别为 A，B，则 O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方 程是 x0x＋y0y＝r2.(
[答案] (1)×
[解析]
2
2 2 x ＋y －4＝0， 由 2 2 x ＋ y －4x＋4y－12＝0， 2
得 x－y＋2＝0.
2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2 2.由勾股定理得弦长的一半为 为 2 2.
[答案] 2 2
4－2＝ 2，所以，所求弦长
考 点
题 型 突 破
1 1 ×1×1＝2， 所以 k＝1 是△OAB 面积为2的充分条件； 而当△ 1 OAB 面积为2时，直线 l 有 l1 或 l2 两种可能，如图(2)，k＝1 或 k＝－1.综上，可知选 A.
[答案]
A
6．圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共 弦长为__________．
4 A．y＝3x＋2 C．y＝2
(2)(2016· 上海静安区一模)经过直线 2x－y＋3＝0 与圆 x2 ＋y2＋2x－4y＋1＝0 的两个交点，且面积最小的圆的方程是 __________．
y－4＝0 的距离，即 r＝ ＝4.
[答案] A
4． (2016· 重庆一中月考)直线 x＋y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y －2)2＝1 相交于 A，B 两点，则弦|AB|＝( 2 A. 2 C. 3 3 B. 2 D. 2 )
[解析] ∴|AB|＝
[答案]
2 ∵圆心(1,2)到直线 x＋y－2＝0 的距离 d＝ 2 ， ＝ 2.
图形
方程 量 化 观点 几何 观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2 半径 r1、r2，d＝|O1O2|) 相离 图 形 量的 关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝ |r1－r2| d< |r1－r2| 外切 相交 内切 内含
(2)由题意知， 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－m)2＝(m－1)2 ＋1，所以当 m＝1 时，圆的面积最小，此时圆心为(1,1)，半 |b| 径为 1.又因为直线 x－y＋b＝0 与圆相切，所以 d＝ ＝1， 2 得 b＝± 2. 2 (3)计算得圆心到直线 l 的距离为 ＝ 2>1， 由题意知直 2 线 l：x－y－2＝0 与圆相交，作直线 l1，l2 与 l 平行，且与直 线 l 的距离都为 1，故可以看出，圆的半径为 2＋1.
考点一
直线与圆的位置关系——自练型
(1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直 线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( A．相切 C．相离 B．相交 D．不确定 )
(2)(2016· 马鞍山检测)已知圆 x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝ 0， 当圆的面积最小时， 直线 y＝x＋b 与圆相切， 则 b＝( A．± 1 C．± 2 B．1 D. 2 )
)
(2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则 实数 a 的取值范围是( A．[－3，－1] C．[－3,1] ) B．[－1,3] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[解析]
由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，
|a－0＋1| ∴ 12＋－12≤ 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
1．判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交” 的必要不充分条件．( )
(2) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相 交．( )
(3)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方 程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
D
5．(2016· 银川检测)直线 l：y＝kx＋1 与圆 O：x2＋y2＝1 1 相交于 A，B 两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为2”的 ( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
[解析]
1 k＝1 时，图象如图(1)，此时△OAB 的面积 S＝2
(3)若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上仅有 3 个点到直线 x－y－2＝0 的距离为 1，则实数 r 的值为__________．
[解析]
(1)∵M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，
∴a2＋b2>1. ∵O(0,0)到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ ∴直线 ax＋by＝1 与圆 O 相交． 1 2 2<1， a ＋b