量子光学习题
量子4练习题(含答案)
1. (本题 3分)(4211) 不确定关系式=≥⋅ΔΔx p x 表示在x 方向上(A) 粒子位置不能准确确定．(B) 粒子动量不能准确确定．(C) 粒子位置和动量都不能准确确定．(D) 粒子位置和动量不能同时准确确定． ［ ］2. (本题 3分)(4428) 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x ax 23cos 1)(π⋅=ψ, ( - a ≤x ≤a )那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为(A) 1/(2a )． (B) 1/a ．(C) a 2/1． (D) a /1 ． ［ ］3. (本题 3分)(4778) 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？［ ］x (A)x (B)x (C)x(D)4. (本题 3分)(5234) 关于不确定关系=≥ΔΔx p x ()2/(π=h =，有以下几种理解：(1)粒子的动量不可能确定． (2)粒子的坐标不可能确定． (3)粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定． (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子．其中正确的是：(A) (1)，(2). (B) (2)，(4).(C) (3)，(4). (D) (4)，(1). ［ ］5. (本题 3分)(5619) 波长λ =5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量Δλ =10-3Å，则利用不确定关系式h x p x ≥ΔΔ可得光子的x 坐标的不确定量至少为(A) 25 cm ． (B) 50 cm ．(C) 250 cm ． (D) 500 cm ． ［ ］6. (本题 3分)(8020) 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将(A) 增大D 2倍． (B) 增大2D 倍．(C) 增大D 倍． . (D) 不变． ［ ］7. (本题 5分)(4203) 设描述微观粒子运动的波函数为),(t r K Ψ，则*ΨΨ表示____________________________________________________________________；),(t r KΨ须满足的条件是______________________________________；其归一化条件是__________________________________________．8. (本题 3分)(4632) 如果电子被限制在边界x 与x +Δx 之间，Δx =0.5 Å，则电子动量x 分量的不确定量近似地为________________kg ·m ／s ． (不确定关系式Δx ·Δp ≥h ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s)9. (本题 3分)(5372) 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1 nm (1 nm = 10-9m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量Δp y =______________N ·s ．(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s)三 计算题 (共25分)10. (本题 5分)(4430) 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为)/sin(/2)(a x a x π=ψ (0 ≤x ≤a )求发现粒子的概率为最大的位置．11. (本题 5分)(4435) 同时测量能量为1 keV 作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1 nm (1 nm = 10−9 m)内，则动量的不确定值的百分比Δp / p 至少为何值？(电子质量m e =9.11×10-31 kg ，1 eV =1.60×10-19 J, 普朗克常量h =6.63×10-34J ·s)12. (本题 5分)(4442) 光子的波长为λ =3000 Å，如果确定此波长的精确度Δλ / λ =10-6，试求此光子位置的不确定量．13. (本题 5分)(4526) 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：)/sin(/2)(a x n a x n π=ψ (0 <x <a )若粒子处于n =1的状态，它在 0－a /4区间内的概率是多少？[提示： C x x x x +−=∫2sin )4/1(21d sin 2]14. (本题 5分)(4779) 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系．(不确定关系式h x p x ≥ΔΔ).15. (本题 5分)(4780)用经典力学的物理量(例如坐标、动量等)描述微观粒子的运动时，存在什么问题？原因何在？16. (本题 5分)(4781)粒子(a)、(b)的波函数分别如图所示，若用位置和动量描述它们的运动状态，两者中哪一粒子位置的不确定量较大？哪一粒子的动量的不确定量较大？为什么？x (a)x (b)一 选择题 (共18分)1. (本题 3分)(4211) (D)2. (本题 3分)(4428) (A)3. (本题 3分)(4778) (A)4. (本题 3分)(5234) (C)5. (本题 3分)(5619) (C)参考解：根据 p = h / λ则 22/λλΔΔ=h p x λλΔΔ≥/2x min x ΔλλΔ=/2=5000×10-10×5000×103= 2.5 m= 250 cm6. (本题 3分)(8020) (D)二 填空题 (共11分)7. (本题 5分)(4203) 粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度 2分 单值、有限、连续 1分 1d d d 2=∫∫∫z y x Ψ 2分8. (本题 3分)(4632) 1.33×10-23 3分9. (本题 3分)(5372) 1.06×10-24 （或 6.63×10-24或0.53×10-24 或 3.32×10-24） 3分参考解：根据 =≥ΔΔy p y ，或 h p y y ≥ΔΔ，或=21≥ΔΔy p y ，或h p y y 21≥ΔΔ，可得以上答案．三 计算题 (共25分)10. (本题 5分)(4430) 解：先求粒子的位置概率密度)/(sin )/2()(22a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π−= 2分当 1)/2cos(−=πa x 时， 2)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2∴ a x 21=． 3分解：1 keV 的电子，其动量为==2/1)2(K mE p 1.71×10-23 kg ·m ·s -1 2分据不确定关系式： =≥⋅ΔΔx p 得 2310106.0/−×==ΔΔx p = kg ·m ·s -1 2分∴ Δp / p =0.062＝6.2％ 1分[若不确定关系式写成 h x p ≥⋅ΔΔ 则 Δp / p =39％，或写成 2/=≥⋅ΔΔx p 则Δp / p =3.1％ ， 均可视为正确．]12. (本题 5分)(4442) 解：光子动量 λ/h p = 1分按题意，动量的不确定量为 )/)(/(/2λλλλλΔΔΔ=−=h h p 2分根据测不准关系式得： Δx ≥)/(2)2/(λλλΔΔπ=πh h p h )/(2λλλΔπ=故 Δx ≥0.048 m ＝48 mm 2分若用 )4/(π≥⋅ΔΔh p x x 或h p x x ≥⋅ΔΔ，或h p x x 21≥⋅ΔΔ，计算Δx 同样得2分．13. (本题 5分)(4526) 解： x ax a x P d sin 2d d 22π==ψ 3分粒子位于0 – a /4内的概率为：x a x a P a d sin 24/02∫π=)d(sin 24/02a x a x a a a πππ=∫ 4/021]2sin 41[2a a x a x πππ−=)]42sin(414[221a a a a π−ππ= =0.091 2分14. (本题 5分)(4779) 解：由x p x ΔΔ≥h 即 x Δ≥xp h Δ ① 1分据题意v m p x =Δ 以及德布罗意波公式v m h /=λ得x p h Δ=λ ② 2分比较①、②式得 x Δ≥λ 2分四 回答问题 (共10分)15. (本题 5分)(4780) 答：用经典力学的物理量例如坐标、动量等只能在一定程度内近似地描述微观粒子的运动，坐标x 和动量p x 存在不确定量Δx 和Δ p x ，它们之间必须满足不确定关系式 x p x ΔΔ≥h 3分这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故． 2分答：由图可知，(a)粒子位置的不确定量较大． 2分又据不确定关系式 x p x ΔΔ≥π2h 可知，由于(b)粒子位置的不确定量较小，故(b)粒子动量的不确定量较大. 3分。
量子光学实验习题
量子光学实验习题量子光学是研究光作为粒子（光子）的性质和行为的学科。
在量子光学领域，我们探索着光子的波粒二象性、光子之间的量子纠缠、光与物质之间的相互作用等重要问题。
为了深入理解量子光学的基本概念和实验技术，下面将提出几道习题，希望读者能够思考并解答。
习题一：波粒二象性1. 解释光的波粒二象性是什么意思？2. 请列举一些证明光的波粒二象性的实验证据。
习题二：光子统计1. 什么是玻色统计和费米统计？2. 请简要阐述为什么光子服从玻色统计。
习题三：量子纠缠1. 解释量子纠缠现象是什么。
2. 描述一个量子纠缠的实验过程。
习题四：相干与干涉1. 解释相干性在光学中的重要性。
2. 描述一个干涉实验并说明产生干涉条纹的原因。
习题五：光与物质相互作用1. 解释光与物质相互作用的基本原理。
2. 举例说明光与物质相互作用的应用。
解答一：波粒二象性1. 光的波粒二象性指的是光既可以表现出波动性，如干涉和衍射现象，又可以表现出粒子性，如光子的能量量子化。
2. 证明光的波粒二象性的实验证据包括双缝干涉实验、单缝衍射实验、康普顿散射实验等。
解答二：光子统计1. 玻色统计和费米统计描述了粒子的行为概率。
玻色统计适用于由整数自旋的粒子组成的系统，如光子；费米统计适用于由半整数自旋的粒子组成的系统，如电子。
2. 光子服从玻色统计是因为光子是无质量的粒子，不受泡利不相容原理的限制，可以占据同一个量子态。
解答三：量子纠缠1. 量子纠缠指的是在量子系统中，两个或多个粒子之间的状态相互依赖，无法用单个粒子的状态来描述。
2. 量子纠缠的实验过程可以包括将两个纠缠粒子分开，然后对其中一个进行测量，测量结果会瞬间传递到另一个粒子上，使其纠缠状态发生变化。
解答四：相干与干涉1. 相干性在光学中非常重要，它决定了干涉现象的出现。
相干性表示光波振动的一致性，包括相位和幅度的一致性。
2. 干涉实验可以通过将光分为两束，经过不同路径再次交叉，观察光的叠加效果来实现。
量子光学基础
习题2121-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长m λ，利用维恩定律便可求出T 。
已知太阳、北极星和天狼星的m λ分别为60.5010m -⨯，60.4310m -⨯和60.2910m -⨯，试计算它们的表面温度。
解：由维恩定律：m T b λ=，其中：310898.2-⨯=b ，那么：太阳：362.8981057960.510m bT K λ--⨯===⨯；北极星：362.8981067400.4310m bT K λ--⨯===⨯； 天狼星：362.8981099930.2910m b T K λ--⨯===⨯。
21-2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为K 3的黑体辐射，试计算：（1）此辐射的单色辐出度的峰值波长； （2）地球表面接收到此辐射的功率。
解：（1）由m T b λ=，有342.898109.66103m b m T λ--⨯===⨯；（2）由4M Tσ=，有：424P T R σπ=⨯地，那么：328494(637010) 5.67103 2.3410P W π-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯。
21-3．已知000K 2时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为259.0。
设灯泡的钨丝面积为2cm 10，其他能量损失不计，求维持灯丝温度所消耗的电功率。
解：∵4P T Sσ=⋅黑体，消耗的功率等于钨丝的幅出度，所以，44840.2591010 5.67102000235P S T W ησ--==⨯⨯⨯⨯⨯=。
21-4．天文学中常用热辐射定律估算恒星的半径。
现观测到某恒星热辐射的峰值波长为m λ；辐射到地面上单位面积的功率为W 。
已测得该恒星与地球间的距离为l ，若将恒星看作黑体，试求该恒星的半径。
（维恩常量b 和斯特藩常量σ均为己知）解：由m T bλ=恒星，4M T σ=，考虑到恒星辐射到地面上单位面积的功率⨯大球面=恒星表面辐出的功率， 有：22444W l R T ππσ⋅=⋅恒星恒星，∴R =恒星。
第二章习题答案量子光学（中科院研究生院）
(∆X1)n
=
n m=0
: (∆X1)m :
n!
1
m!(
n−m 2
)!
8
n−m 2
.
由于对于相干态，如果 m = 0，则 : ∆X1m : = 0，所以上式右边在相干态下不为零的 展开项仅为首项
(∆X1)n
=
n!
(
n 2
)!8n/2
=
1·2·3····n
1
·
2
·
3
·
·
·
·
n 2
·
8n/2
=
1·2·3····n
ν π
1/2
exp
−ν
q2 − 2qq0 cos νt + q02 cos2 νt
ν π
1/2
exp
− ν (q − q0 cos νt)2
.
习题 2.4.
习题 2.5.
Y1
=
1 2
Y2
=
1 2i
e−i
θ 2
a
+
ei
θ 2
a†
e−i
θ 2
a
−
ei
θ 2
a†
(∆Y1)2 = Y12 − Y1 2 由此可得
a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r
e−iθ a† cosh r − ae−iθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r
a† cosh r − ae−iθ sinh r a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r |0
第七章光的量子性习题及答案
1第七章 光的量子性１. 在深度远大于表面波波长的液体中，表面波的传播速度满足如下规律：v =224()2Fg l p p l r +式中g 为重力加速度，r 为液体密度，Ｆ为表面波的波长．试计算表面波的群速度．解：u = v - l vd dl = ｖ－l dv d l ＝224()2g l p p l r + －l 224(()2d g d r lp p l l +＝3422g F g F l p p lrl p p lr ++ ２. 测量二硫化碳的折射率实验数据为：当＝589 nm .n ¢ = 1.629:当"l =656nm 时，n ¢¢=1.620 试求波长589nm 的光在二氧化硫的相速度、群速度和群折射率。
解：由v = c n 得 v 1 =2997924581.629= 1.840×108 m ／s.v 2 =2997924581.620=1.8506×108 m ／s所以△v = v 2 – v 1 = 1.057×106 m ／s由一般瑞利公式由一般瑞利公式 u = v - l vl ¶¶=1.840×108 - 589 ×1.507×1.507×10106 ／(656 – 589) = 1.747 ×108 m ／sn = c ／v = 299792458 ／1.747×108 = 1.7163. 在测定光速的迈克尔逊旋转棱镜法中，设所用棱镜为正n 面棱柱体。
试导出：根据棱镜的转速、反射镜距离等数据计算光速公式。
解：设反射镜间距离为L 转速V 0 则n 面棱柱每转过面棱柱每转过 一个面，一个面，光往返一个来回。
所用时间光往返一个来回。
所用时间t = 1n ／V 0 = 01nV 所以所以c = 2L ／t = 021LnV = 2LnV 04.试用光的相速度v 和dvd l 来表示群速度u= d dk w，再用v 和dnd l 表示群速度u = d dk w解：(1) 由u = d dk w= v - l v l ¶¶ (2) 由 u = v - l vl¶¶<1 v = c ／n <2>→ dvd l =()cd n d l = －223,(1)c dnn d c dn v dn v dv v v v dn n d n d n d ll l l l l l<>=+=+=+把〈把〈33〉代入〈〉代入〈11〉得dv u =v -d5.计算在下列各种色散介质中的传播的各种不同性质的波的群速度：（1）v = 常量 （2）v = al , ( a 为常量) （3）v = a ／l （在水面上的表面张力波） （4）v = a ／l (5)222v c b l =+(电离层的电磁波，其中c 是真空中的光速，l 是介质中的波长) （6）222c v c a ww em =-(在充满色散介质的直波导管中的电磁波,式中c 为真空中的光速,a 是与波导管有关的常量,()e e w =是介质的介电常数,()m m w =是介质的磁导率)解:(1)l ld dvv u -= ，0,==dv v 常量 所以常量==v u (2)l ld dv v u -=, l l l d a dv a v 2,==，所以222v a a a u ==-=l l l l (3)l l l2/32,ad dv av -==，所以v av u 2322/3=+=l l(4)dv uv d l l =-=()2ad a ad l l l l l -=v 2= (5)dv u v d ll =-=2222222222()d c b c c b d c b l l l l l ++-=+v c 2= (6)kv dk d u ==w w,，)1(11w ww d dvv v d dk u -== 而)(),(,222w m m w e e em w w==-=ac c v2/3222)(])(2[a c d d v v d dv -+-=em w w em w em w w w所以])(21[1w em em w em d d v cu +=6.利用维恩公式求:辐射的最概然频率v m ,辐射的最大光谱密度()m l e 辐射出射度M0(T)与温度的关系. 解: 由维恩位移定律T T b b T m m m 1×Þ=Þ=l l l 由斯沁藩公式()()44T T M T T M ×Þ=s7.太阳光谱非常接近于480m nm l =的绝对黑体的光谱.试求在1 s 内太阳由于辐射而损失的质量,并估算太阳的质量减少1% (由于热辐射)所经历的时间(太阳的质量m 0为2.0×1030千克,太阳的半径r 是7.0×108m) 解：由维恩位移公式解：由维恩位移公式m m bT b T l l =Þ=:由斯沁藩公式由斯沁藩公式34484()92.897810() 5.6705110()48010b b M T m s s l ---´===´´´=7.35×107瓦()()()瓦总262872106357.4100.714.341053.74´=´´´´´==×=r T M S T M P b b p由方程由方程P 总t =m 0×1%×c 221800.01 3.8810m c t sP ´´Þ==´总所以在1s 内kg 1015.5109106357.41916262´=´´=×=D c s P m 总损 8.地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量平均值为0.546J.如有有一黑体,它在辐射相同的能量时，温度应为多少？ 解：解：4()0.546109160bM=´=()s m W ×/由斯沁藩公式由斯沁藩公式11()444()891()()()200.145.670510b bM M T T T Ks s-=Þ===´9.若有一黑体的辐出度等于5.70W ／cm 2,试求该辐射最大光谱强度相对应的波长。
清华大学光学量子力学试题
折射率为 n 旳玻璃 , 这光线与 SoF 旳光程
差 = (n-1) l 。 2
透镜不引起附加光程差
δ = SbF- l + nl - SoF
2、将波长为600nm旳单色光垂直均匀照射在等间距旳平行 四缝上，在衍射角正弦 sin＝0.03处应出现旳第三级干 涉明条纹恰好缺级。由此可知这四缝中每条通光旳缝
得：x=0 或 x=L 或 x=L/2
取 x=L/2
L
L
3：
3
3
= Y2dx = A2 x2 (L x)2 dx
0
0
= A2 (1 L5 1 1 L5 1 1 L5 1 )
3 27 2 81 5 243
= A2 L5 ( 90 45 6 ) = 51 = 17
30 243 243 243 243 81
S1 = T14
lm2
=b T2
=
lm1T1
T2
=
3000 2500
lm1
S2
=
T24
=
( T1 )4 1.2
S2 = 1.24 S1
7、简要阐明光电效应试验中旳其中两个特点：
（1）___________红__限_____________________；
（用2爱）因__斯___坦__光__电瞬___效时__应_性_方__程___：_________h_______=_____12____m___。v__2___A_____就能得到很好旳解
Y2dx = A2 x2 (L x)2 dx = 1
0
0
L
( A2 x2L2 2LA2 x3 A2 x4 )dx = 1
量子光学题目
第一章一、电磁场量子化的基本思想答：找出描述经典场的一组完备的正则“坐标”和 “动量”，然后把它们视为相应的算符，满足正则坐标和正则动量的对易式，从而使其量子化。
先将势量子化，在将场量子化。
二、福克态答：定义：频率为ν的单模电磁场的本征态为|n>,相应的本征能量为E n,本征方程为11ˆˆˆˆ|()|()||22ˆˆˆn H n a a n N n E n N a a νν++>=+>=+>=>= 真空态，0ˆ|0|0H E >=>ˆ|00a >= 1ˆ()|002H ν->= 最低能量012E ν=粒子束态：态|n>可视为具有n 个量子或准粒子的集合的态。
11ˆˆ|()||()|22n H n N n E n n n νν>=+>=>=+> 福克态的性质：1、光子数趋于无限大时，量子理论——》经典理论。
2、光子数的测不准关系为∆n=0。
3、量子化的电磁场的位相与光子数不可能同时确定三、光子态解释零点能为什么不等于电磁场的涨落可以用其方差来表示,从中可以看出,即使对于真空态(n=0),电场的方差也不等于零，也就是说真空涨落不为零，从而解释了零点能不为零。
第二章、相干态和压缩态相干态：是位移算符作用在真空态上得来的，是谐振子基态的位移形式。
相干态是湮灭算符的本征态，具有和真空态一样的最小测不准关系。
相干度是1。
压缩态：考虑两个厄米算符A，B，如果，，如果满足，则系统所处的态叫压缩态。
第三章一、Schrodinger 薛定谔表象、heisenberg 海森堡表象、liouville相互作用表象三个方程分别为ˆ1ˆˆˆ[,]Ht iρρρ∂=+Λ∂三个表象之间的变换Schrodinger表象————Heisenberg表象Schrodinger 表象————相互作用表象二、近似二能级近似、电偶极近似、慢变振幅近似和旋转波近似以及绝热近似等二能级近似：如果原子中的两个能级与所加激光场共振或近共振，而其他能级都与场高度失谐，则可以近似地将原子看作二能级原子。
量子力学练习题挑战量子世界的奥秘
量子力学练习题挑战量子世界的奥秘量子力学是一门研究微观世界中粒子行为和相互作用的科学，揭示了自然界中一系列奇特现象，如量子叠加、量子纠缠等。
本文将提供一些量子力学的练习题，让我们一起挑战量子世界的奥秘。
练习题一：光的粒子性和波动性1. 某束光的波长为650纳米，计算该光子的能量。
2. 某束光通过一个狭缝时，出射光的强度发生明显变化，这表明光具有波动性。
请解释出现这一现象的原因。
练习题二：量子力学基本原理1. 描述薛定谔方程的含义和意义。
2. 什么是“不确定性原理”？请解释“位置-动量不确定性原理”。
练习题三：量子纠缠和纠错1. 请解释什么是“量子纠缠”？引用一个例子进行说明。
2. 量子计算中，纠错是一项重要任务。
请简要介绍量子纠错的原理和应用。
练习题四：双缝干涉实验1. 请简述双缝干涉实验的基本原理。
2. 当实验中使用一个粒子源时，观察到的干涉条纹模式消失。
请说明出现这一现象的原因。
练习题五：量子隧穿现象1. 解释量子隧穿现象的原理和意义。
2. 量子隧穿在实际应用中有何意义？请举例说明。
练习题六：薛定谔的猫著名的薛定谔的猫思想实验是量子力学的经典问题之一。
请你思考以下问题：1. 薛定谔的猫思想实验的基本原理是什么？2. 这个思想实验用来探讨什么问题？它的主要目的是什么？通过这些练习题，我们可以进一步了解量子力学的奇妙世界。
希望大家能够通过思考和探索，更加深入地理解量子力学的原理和应用。
量子力学给我们带来了很多技术和科学的突破，它的发展也为人类揭示了自然界中更加深奥的奥秘。
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21-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长m λ，利用维恩定律便可求出T 。
已知太阳、北极星和天狼星的m λ分别为m 1050.06-⨯，m 1043.06-⨯和m 1029.06-⨯，试计算它们的表面温度.解： 维恩定律 b λT m = 其中 310898.2-⨯=b 太阳 K λb T m 5796105.010898.263=⨯⨯==-- 北极星 K λb T m 67401043.010898.263=⨯⨯==-- 天狼星 K λb T m 99931029.010898.263=⨯⨯==-- 21-2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为K 3的黑体辐射，试计算：（1）此辐射的单色辐出度的峰值波长；（2）地球表面接收到此辐射的功率。
解: （1）b λT m = m T b λm 431066.9310898.2--⨯=⨯== （2） 4328494(637010) 5.67103 2.3410P S T W σπ-==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯21-3．已知000K 2时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为259.0。
设灯泡的钨丝面积为2cm 10，其他能量损失不计，求维持灯丝温度所消耗的电功率。
解:消耗的功率等于幅出度W T σS P 23520001067.51010259.0259.04844=⨯⨯⨯⨯⨯==--21-4．天文学中常用热辐射定律估算恒星的半径。
现观测到某恒星热辐射的峰值波长为m λ；辐射到地面上单位面积的功率为W 。
已测得该恒星与地球间的距离为l ，若将恒星看作黑体，试求该恒星的半径。
（维恩常量b 和斯特藩常量σ均为己知）解: b λT m = 4T σM =24244l πW T σr π⋅=由上得 σW b λl r m22=21-5．分别求出红光（cm 1075-⨯=λ），X 射线（A 25.0=λ），γ射线（ A λ21024.1-⨯=）的光子的能量、动量和质量。
解:由公式 λhc E =2mc E = λh P = 红光：J λhc E 1978341084.21071031063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯== s m kg λh P ⋅⨯=⨯⨯==---287341047.91071063.6 kg c E m 36281921016.3)103(1084.2--⨯=⨯⨯== X 射线：J λhc E 151083410956.71025.01031063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯== s m kg λh P ⋅⨯=⨯⨯==---2310341065.21025.01063.6 kg c E m 32281521084.8)103(10956.7--⨯=⨯⨯== γ射线：J λhc E 1312834106.11024.11031063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯== s m kg λh P ⋅⨯=⨯⨯==---2212341035.51024.11063.6 kg c E m 30281321078.1)103(106.1--⨯=⨯⨯== 21-6．W 100钨丝灯在K 1800温度下工作。
假定可视其为黑体，试计算每秒钟内，在 A 5000到A 5001波长间隔内发射多少个光子？解：设钨丝灯的发射面积为S ，由斯特藩-玻耳兹曼定律可得辐射总功率S T σP ⋅=4 2441068.1m TσP S -⨯==单位时间内从黑体辐射出的在λΔ范围内的能量为 S λΔe λhc πS λΔT M P kT λhcλλΔ⋅⋅-=⋅⋅=-112)(52波长为nm 500的光子的能量为 λhc ε= 设每秒发射出N 个光子，则有 εN P λΔ=4132 5.7101hc kT P c S N e λλπλλε-∆∆===⨯- 21-7．波长为 A 1的X 光在石墨上发生康普顿散射，如在2πθ=处观察散射光。
试求：（1）散射光的波长'λ；（2）反冲电子的运动方向和动能。
解:(1) )2(sin 220θλλλλΔc =-'= 而 A c m h λc 024262.00== A θλλλc 024262.1)2(sin 220=+=' (2)由动量守恒定律，在y 轴方向上 φp θλh e sin sin 0-'= （1） 由余弦定理得 θλλh λh λh p ecos 2)()(022022'-+'= （2） 由（2）式可得 s m kg p e ⋅⨯=-241026.9699.02s i n 10024262.11026.91063.6sin sin 102434=⨯⨯⨯⨯='=---πθλp h φe ︒=35.44φeV λλhc c m mc E k 291)11(0202='-=-= 21-8．在氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中，仅观察到三条光谱线，试求这三条谱线的波长以及外来光的频率。
解:由于观察到三条谱线,最高能级为5=n5→2 )5121(1221-=H R λ 71 4.3410m λ-=⨯4→2 )4121(1222-=H R λ m λ721086.4-⨯=3→2 )3121(1223-=H R λ 73 6.56310m λ-=⨯Hz h E E γ151934151015.3106.11063.6)6.13(544.0⨯=⨯⨯⨯---=-=-- 21-9．一个氢原子从1=n 的基态激发到4=n 的能态。
（1）计算原子所吸收的能量；（2）若原子回到基态，可能发射哪些不同能量的光子？（3）若氢原子原来静止，则从4=n 直接跃回到基态时，计算原子的反冲速率。
解：（1） eV E E E Δ75.12)6.13(166.134121=---=-= （2）eV E 6.131-= eV E 4.32-= eV E 5.13-= eV E 85.04-=4-1 eV E E E Δ75.1214=-=4-2 eV E E E Δ55.224=-=4-3 eV E E E Δ65.034=-=3-2 eV E E E Δ9.123=-=3-1 eV E E E Δ1.1213=-=2-1 eV E E E Δ2.1012=-=（3）15E E νh -= λc ν= s m c m E E λh m P u H H 07.41031067.1106.175.128271914=⨯⨯⨯⨯⨯=-===-- 21-10．砷化镓半导体激光器（GaAlAs ），发射nm 100.83⨯=λ红外光，功率为mW 0.5，计算光子的产生率.解：设每秒钟发射的光子数为nνnh P = 178349331001.21031063.610100.8105⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---hc λP νh P n思考题21-1．在光电效应实验中，用光强相同、频率分别为1ν和2ν的光做伏安特性曲线。
已知2ν＞1ν,那么它们的伏安特性曲线应该是图？答：图（C ）21-2．试比较光电效应与康普顿效应之间的异同。
答：光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。
光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的光系。
两者区别源于产生这两效应的能量范围大不相同，光电效应中光子的波长在光学范围，能量的数量级是几个eV ，金属中电子逸出功的数量级是1eV 。
在线性光学范围内的光电效应中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在X 射线波段，具有104eV 数量级的能量，相对来说电子逸出功和电子热运动的能量都可以忽略，原子的外层电子可看作是自由的、静止的。
所以康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞问题，系统的能量和动量都守恒。
21-3．用可见光照射能否使基态氢原子受到激发？为什么？答：使基态氢原子受到激发所需要的最小能量为eV E E E Δ2.10)6.13(46.1312=---=-= 而可见光的最大能量为 eV λhc γh E 1.3106.11040001031063.61910834=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---所以用可见光照射不能使基态氢原子受到激发21-4．氢原子的赖曼系是原子由激发态跃迁至基态而发射的谱线系，为使处于基态的氢原子发射此线系中最大波长的谱线，则向该原子提供的能量至少应为多少？答：氢原子的赖曼系是从受激态往激态发射光子，此线系中最大波长是从2=n 向基态发射的，故 eV E E E Δ2.10)6.13(46.1312=---=-= 21-5．用玻尔氢原子理论判断，氢原子巴尔末系（向第 1 激发态跃迁而发射的谱线系）中最小波长与最大波长之比为多少？ 答：)121(122nR λc -= ∞=n 时波长最小用1λ表示， 3=n 时波长最大用2λ表示95365421=⋅=c c R R λλ 21-6．根据氢原子理论推导类氢离子（核电荷数为Ze ，核外只剩最后一个电子）轨道半径，电子绕核运动的线速度及原子的能级和电子跃迁时所发射单色光的频率公式。
答：应用牛顿定律和库仑定律得： r v m r πεZe 22024= 根据量子化条件 πh nmvr L 2== ⋅⋅⋅=,3,2,1n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2202m Z e πh εn r n ⋅⋅⋅=,3,2,1n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=22042202818h εe mZ n r πεZe E n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22211~n kR Z γnk 1+=k n。