考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
5 例1、已知命题p : x R, 使得 sin x ；命题q：x R, 2 C ________ 都有x 2 x 1 0, 下列结论中正确的是 __________D A.命题" p q" 是真命题 B.命题" p q" 是真命题 C.命题" p q" 是真命题 D.命题" p q" 是真命题
“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、
r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
3、全称命题与特称命题的改写
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x)
① 是真命题的为________.①p∨q;②p∧q.
5、已知命题P :" x [0,1]，a e x，命题q :" x R， x 2 4 x a 0" 若命题p q是真命题，则实数a的 C 取值范围是 __________ __ A.( 4,) B.[1,4] C.[e,4] D.( ,1]
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
2、短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通 常叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有
1.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q” 是假命题,那么( C ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点剖析：
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
命题方向：全称命题与存在性命题的否定. 考查形式一般为选择题、填空题，多为容易题．
规律总结：
1．一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．
2．两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，⌝p指的是命题的否定，只需否定结论．二是否定时，有关的否定词否定不当.
知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断
p q p∧q p∨q ⌝p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某。
2020高考数学 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．逻辑联结词——或、且、非与集合中的并集、交集、 补集有着密切的关系，要注意类比．
点评：(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定 集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题 是假命题，只要能举出集合 M 中一个 x＝x0，使得 p(x0)不 成立即可．要判定一个特称命题成立，只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则，这一 特称命题就是假命题
C．﹁p∧q
D．﹁p∧﹁q
解：因为一元二次方程 x2－x＋1＝0 的判别式 Δ＝(－1)2 －4×1×1<0，所以 x2－x＋1>0 恒成立，
所以 p 为真命题，﹁p 为假命题． 因为当 a＝－1，b＝－2 时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， 所以 q 为假命题，﹁q 为真命题． 根据真值表可知 p∧﹁q 为真命题，p∧q，﹁p∧q，﹁p ∧﹁q 为假命题．
含有逻辑联结词命题的真假判断 含一个量词的命题的真假判定与否定 逻辑联结词命题真假的应用
考点一·含有逻辑联结词命题的真假判断
【例 1】设 a，b，c 是非零向量．已知命题 p：若 a·b＝0，
b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若 a∥b，b∥c，则 a∥c.则下列命
题中真命题是
A．p∨q
B．p∧q
答案：C
5．命题“∀x∈[0,＋∞),x3＋x≥0”的否定是( ) A.∀x∈(－∞,0),x3＋x<0 B.∀x∈(－∞,0),x3＋x≥0 C.∃x0∈[0,＋∞),x03＋x0<0 D.∃x0∈[0,＋∞),x03＋x0≥0
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1) 命 题 中 的 ________
_________ 叫 做 逻 辑 联 结
判断真假 、 __________
判断为真 、判断为假
词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
真
真
p且q
若q，则p
1
－x
＋e ≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0 ＝ ，则下列判断正确的是
2
(
)
A．p∧q是真命题
B．(綈p)∧(綈q)是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
1
x
－x
x
解析：因为e ＋e ＝e ＋ ≥2成立，所以命题p是真命题；又由
e
1
2x0 ＝ ＝2 － 1 ，得x0 ＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以
______
真
假
______
綈q，则綈p
假
假
真
假
假
假
p或q
若______
p，则綈q
真
____
没有关系
____
必要
非p
假
相同
__
____
充分
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全
充分不必要
称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，
可先判断其否定的真假.
命题
3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定 "x ∈M ，p (x )典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数变式训练 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．Øp ：任意x ∈A,2x ∉B B ．Øp ：任意x ∉A,2x ∉BC ．Øp ：存在x ∉A,2x ∈BD ．Øp ：存在x ∈A,2x ∉B题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，sin x ＝52B ．存在x ∈R ，log 2x ＝1C ．任意x ∈R ，(12)x >0 D ．任意x ∈R ，x 2≥0 变式训练 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．Øp ∧ØqC ．Øp ∧qD ．p ∧Øq题型三 由命题真假求参数范围例3 命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 变式训练 已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．当堂练习1. 命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ,使得20x <B ．不存在x ∈R ,使得20x <C ．存在0x ∈R ,都有200x ≥D ．存在0x ∈R ,都有200x <2．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有()A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．￢p或q B．p且q C．￢p且￢q D．￢p或￢q4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“￢q”为假B．“p或q”为真，“￢q”为假C．“p且q”为假，“￢p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．课后作业一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．下列命题中正确的是()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0 B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>05．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2 7．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)8．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是()A．①④B．②③C．③④D．②④二、填空题9．命题“$x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．10．若命题“∃x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是_____________．11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为___________________．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．。
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
练习: 已知命题p : 不等式 x x 1 m的解集 为R, 命题q : 函数f ( x ) (5 2m ) 是减函数，
x
若p或q为真命题、p且q为假命题, 求m的范围
解：p为真 m 1
q为真 m 2
个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有
的”等.
(3)全称量词用符号“____”表示；存在量词用符号
“____”表示.
(4)全称命题与特称命题 ①_____________的命题叫全称命题. 含有全称量词 含有存在量词 ②_____________的命题叫特称命题.
3.命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是
（4）p：5≤5；q：27不是质数.
练 习 ： 如 果 命 题 “ Q” 与 命 题 “ 且Q” 都 是 P或 P 假命题，则 D ) ( A.命 题 “ 非 ” 与 “ 非 ” 的 真 假 不 同 P Q C .命 题P与 “ 非 ” 同 真 假 Q D.命 题 “ 非 且 非Q” 是 真 命 题 P
2
A.a∈R,f(x)在(0，+∞)上是增函数 B.a∈R,f(x)在(0，+∞)上是减函数 C.a∈R,f(x)是偶函数 D.a∈R,f(x)是奇函数 a 解析 f ' ( x ) 2 x 2 , 故只有当a≤0时，f(x)在 x (0，+∞)上是增函数，因此A、B不对，当a=0时， f(x)=x2是偶函数，因此C对，D不对.
求a的取值范围 .
2 解 : (1)x0 [1,1], a x0 x0 1成立，
2 a ( x0 x0 1)max .
3 x0 [1,1], x x0 1的值域： ,3] [ 4 2 ( 2)x [1,1], a x0 x0 1恒成立， a 3 2 a ( x0 x0 1)min .
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案 2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件． 5．下列命题中的假命题是________．(填序号) ①∃x ∈R ，lg x ＝1； ②∃x ∈R ，sin x ＝0； ③∀x ∈R ，x 3＞0； ④∀x ∈R ，2x ＞0. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则④为真命题．6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]解析 由已知条件，知p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．(2017·山东改编)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式． (2)判断其中命题p ，q 的真假．(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 典例 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x； ②∃x ∈(0,1)，log 12x ＞13log x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎫12x＞12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1＝121log 2＝131log 3＞131log 2成立，故②是真命题；对于③，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝12log x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断③是假命题；对于④，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎫0，13上的图象，可以判断④是真命题．命题点2 含有一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”． (2)(2017·苏州暑假测试)命题“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是________． 答案 ∀x ＞1，x 2＜2解析 根据存在性命题的否定规则得“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是“∀x ＞1，x 2＜2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x ，使p (x )成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是________．(填序号) ①∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ②∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；③∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)； ④∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点．答案 ②解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，①正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，②错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0，③正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，④正确．(2)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>0解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”． 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上单调递增， 故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故当p 为真时，m >45； 函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1， 若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得m <1， 故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的________条件． 答案 必要不充分解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题． 二、充要条件的判断典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的________条件． 答案 必要不充分解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件． 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意，知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )． 答案 ④解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假． 3．下列命题中为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x ； ②∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ③∀x ∈R,3x ＞0； ④∃x ∈R ，lg x ＝0. 答案 ②解析 对于①，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故①正确；对于②，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝2，故②错误；对于③，易知3x ＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确． 4．下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12； ④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号) ①p ∧q;②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q ); ④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q ); ②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q );④p ∧q .答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质可知，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立， 当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．7．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．(2017·江苏南通中学月考)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞) 解析 若命题p ：函数y ＝c x 为减函数为真命题，则0<c <1.当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 若命题q 为真命题，则1c <2，结合c >0可得c >12. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假．当p 真q 假时，0<c ≤12； 当p 假q 真时，c ≥1.故c 的取值范围是为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，0)解析 f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．14．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为a >1，所以g (x )在[2，＋∞)上单调递，即g (x )≥a 2.又当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。