第四章 结构固有振动特征值问题的数值解
模态振动相关实验数据处理
模态振动相关实验数据处理模态振动是结构动力学中一个重要的研究领域，它可以帮助我们了解结构体系的振动特性和动力响应。
在进行模态振动相关实验时，数据处理是非常关键的一步。
本文将探讨模态振动实验数据处理的一些方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
首先，我们需要收集实验数据。
模态振动实验通常包括使用激励方式（如冲击法、频响法等）对结构进行外力激励，然后通过传感器采集结构的振动响应信号。
采集的响应信号可以是加速度信号、速度信号或位移信号，具体的选择取决于实验的需要和测量设备的要求。
在进行数据采集之前，需要对测量设备进行校准，以确保测量结果的准确性。
此外，还需进行预处理，即去除信号中的噪声和干扰，提高信号的质量。
常见的预处理方法包括滤波、采样频率调整等，可以根据实际情况选择合适的方法进行处理。
接下来，我们需要对采集到的数据进行分析和处理。
模态振动的主要目标是确定结构的固有频率、阻尼比和模态形态。
为了实现这一目标，我们可以采用一些经典的方法，如频域分析法、时域分析法和模型识别法等。
频域分析法是一种常用的方法，它可以将信号从时域（时间域）转换到频域。
在频域中，我们可以通过对信号进行快速傅里叶变换（FFT）得到信号的频谱信息。
频谱图显示了信号在不同频率下的能量分布情况，通过分析谱线的位置和幅值，我们可以得到结构的固有频率。
时域分析法则是基于信号的时域特性进行分析。
时域分析常用的方法包括自相关函数分析、互相关函数分析和峰值检测等。
通过对信号进行时域分析，我们可以得到信号的波形和振幅特征，从而进一步研究结构的模态特性。
模型识别法是一种基于系统辨识理论的方法，在模态分析中也得到了广泛应用。
模型识别方法的核心思想是将实测信号与数学模型进行比较，并通过参数估计技术来确定模型的参数。
常用的模型识别方法包括有限元模型识别、模态参数估计等。
这些方法能够较准确地确定结构的固有频率、阻尼比和模态形态。
在数据处理过程中，我们还需要注意一些常见问题，如频率分辨率、模型阶数的选择等。
特征值解法——精选推荐
《结构动力学》大作业结构大型特征值问题的求解0810020035 吴亮秦1振动系统的特征值问题1.1实特征值问题n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为：[]{}[]{}(M u K u F t += （1.1）其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。
此系统的自由振动微分方程为[]{}[]{}0M u K u += （1.2） 设其主振型为： {}{}sin()u v t ωϕ=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，ϕ为初相位。
将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得：[]{}[]{K v M v λ= （1.4） 其中2λω=，(1.4)具有非零解的条件是()[][]d e t 0M K λ-= (1.5)式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。
因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：[][][]TM L L = (1.6)其中，[]L 是下三角矩阵。
引入向量{}x 满足：{}[]{}T x L v =，则：1{}([]){}T v L x -= (1.7)代入(1.4)，得：([][]){}I P x λ-= (1.8) 其中，()11[][][][]TP L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。
1.2复特征值问题多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：[]{()}[]{()}[]{(M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。
结构动力学ch4-1
T [ S ] [ A][S ]，而其中每一次分 实现所想达到的最终旋转
步旋转则是通过正交矩阵 [ S ] 所实现。
9
i
§4.1 矩阵特征值问题及解法
若[A]经过i-1次分布旋转后，已成为矩阵 [ A]i ，设其绝对值最 大的非对角线元素为A pq ，则 [ S ]i 可取为
[M ] [ L][L]T
4
§4.1 矩阵特征值问题及解法
[M ] [ L][L]
T
[L] 为对角元素不为零的下三角矩阵。
[k ]{} 2[M ]{}
([ A] [ I ]){x} 0
广义特征值问题
标准特征值问题
([ A] [ I ]){x} 0 1 T T [ A] [ L] [ K ][L] , {} [ L] {x},
2
[K]是对称的，矩阵[A]也具有对称性。 所有对称矩阵特征值问题的算法均可以得到利用。 如果矩阵[K]是正定的，也可将其进行Cholesky分解，得到类似 5 于方程的标准特征值问题。
§4.1 矩阵特征值问题及解法
Cholesky分解:
l11 l l 22 21 [ L] l n1 l n 2 v11 v v 22 21 T [ L] v nl v n 2 l nn v nn
6
§4.1 矩阵特征值问题及解法
3、标准特征值问题解法
特征值问题: 一是求解它的全部特征值问题，即所有的特征值和对应的特征 向量；
另一是求解它的部分特征值问题，即部分（通常是最小或最大 的一部分）特征值和对应的特征向量。
结构振动分析基础4章
m1 11 1
2
第二振型：
X 2
m 2 12
1 1
振型定义 ω1 ω2
当结构按某一自振频率作自由振动时，其变形形状 保持不变，此变形形状称为结构的主振型，简称为 振型(mode of vibration)。
•多自由度体系自由振动的通解
取各振型的线性组合：
K i i2 M i
正交性也可以从Betti（功的互等）定理证明： 如图所示的简支梁：
m1
m2 m3
如果忽略其轴向变形，为三个自由度体系。 FI 21 F 因此，它有三个自振频率和三 FI 11 I 31 个与之相应的振型。见图： 11 21 31 1 将振型代入振型方程可得： FI 12 2 FI 22 K i i M i 32 12 2 可见右端的惯性力和左端的 22 弹性力是平衡的。 FI 32 可以将自由振动的运动看作是 13 23 33 3 惯性力作用下产生的挠度。
k11 k 22 2 k11k 22 k12 k 21 0 m m m1 m2 2 1
2
2
1, 2
由上式可得到两个自振频率。注意： 1 2
具体求解过程可参见例4-1。
k k k k 1 k11 k 22 1 k11 k 22 11 22 12 21 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m2
0
即：
4.5 - 2 0 1.75 0 0 98 MN / m - 2 3 - 1 2 180t 0 1.5 0 0 0 - 1 1 0 0 1
4.5 - 2 0 1.75 0 0 2 180t - 2 3 - 1 0 1.5 0 0 98 MN / m 0 - 1 1 0 0 1
4 弹性体的固有振动模态
1.1梁(杆)的纵向振动
• Prof. Vasiliev
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
1.1梁(杆)的纵向振动
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
z(w)
0 x
ux,t
f x,t
uf
dx l
x(u) F dx
u(x,t) u 为杆的纵向（轴向）位移 F (x,t) F 为作用在杆上横截面上的轴向内力 f (x,t) f 为杆上单位长度上轴向外力
• 带入振型函数的通解形式，得到：
D F 0 C E 0
C sin l D cos l E sinh l F cosh l 0 C cos l D sin l E cosh l F sinh l 0
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 除去恒等于零的解，则要求上列方程组的系数行 列式等于零，可导出特征方程：
• 另一方程的通解形式设为
(x) ex
• 带入上述方程，则有： 4 S2 0
EI
• 此特征方程的根为：
• , , i, i
4
其中 S2
EI
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 对于上述4个不同α值，振型的通解形式如下：
(x) C sin x Dcos x E sinh x F cosh x
D sinl 0
E
n
nπ l
E
n 0,1, 2, ,
n
(
x)
cos
n
πx l
n 1, 2,3,
,
杆的第n阶固有频率n的
固有模态（Natural mode）
结构振动中的模态参数估计方法研究
结构振动中的模态参数估计方法研究随着人们对建筑、桥梁、飞机等工程结构安全性的重视，结构振动分析越来越受到重视。
结构振动分析的一个重要问题就是模态参数估计。
模态参数是指结构的自然频率、阻尼比和振型形态，是结构动态响应分析的基础。
本文将探讨结构振动中的模态参数估计方法，包括传统的频域方法和现代的时域方法。
一、频域方法频域方法是从结构的频率响应函数入手，通过傅里叶变换等数学方法将时域数据转化为频域数据，从而得到结构的模态参数。
频域方法包括傅里叶变换法、奇异值分解法和极大似然法等。
1.傅里叶变换法傅里叶变换法是将结构的时域响应信号通过傅里叶变换转化为频域响应，将结构的模态参数估计转化为求频域响应函数的极值问题。
由于傅里叶变换法需要对数据做离散化处理，并且需要对调试参数进行选择，因此存在计算效率低和精度影响大的问题。
2.奇异值分解法奇异值分解法是将结构的响应矩阵分解为左右奇异向量矩阵和对角元素矩阵的乘积。
奇异值分解法能够处理非等间隔采样频域信号，并且具有较高的计算效率和精度。
3.极大似然法极大似然法是将结构的模态参数估计转化为概率分布函数参数的最大似然估计问题。
由于极大似然法基于统计学理论，能够处理数据的随机性，并具有较高的精度和鲁棒性。
二、时域方法时域方法是基于结构的响应时序信号，直接估计结构的模态参数，无需经过频域转化。
时域方法包括有限元模型法、模态曲线法和子空间法等。
1.有限元模型法有限元模型法是建立结构的有限元模型，并利用该模型求解结构的振动响应，从而得到结构的模态参数。
有限元模型法具有较高的计算效率和精度，但需要考虑有限元模型的准确性和复杂度。
2.模态曲线法模态曲线法是对结构模态曲线的形态进行分析，从而得到结构的模态参数。
模态曲线法不需要对结构的初始状态和边界条件进行假设，能够处理非特征模态、模态重叠等问题。
3.子空间法子空间法将结构的振动响应矩阵分解为信号子空间和噪声子空间，从而得到结构的模态参数。
三种常用固有振动特征值解法的比较
2005全国结构动力学学术研讨会海南省海口市，2005.12.19-20中国振动工程学会结构动力学专业委员会三种常用固有振动特征值解法的比较宫玉才1周洪伟 陈 璞 袁明武（北京大学力学与工程科学系 北京，100871）Email ：yuanmw@摘要： 本文以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问题解法, 并在相同的允许模态误差的意义下检验了三种结构动力学中常用的大型矩阵特征模态算法——子空间迭代法、迭代Ritz 向量法和迭代Lanczos 法的计算效率。
迭代Ritz 向量法平均而言最快，子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。
与ANSYS 的子空间迭代和Lanczos 法相比，本文的子空间迭代比ANSYS 的效率高很多，Lanczos 法和ANSYS 的差不多 。
大量较大规模的例题显示，本文对特征值算法的改进是十分有效的，算法的健壮性，通用性都达到了高水平。
关键词：特征值，结构振动，迭代法，高效能计算1高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 （编号：20030001112）引言在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征值问题0K M ϕλϕ−= (1)的部分低阶特征值与特征向量。
对于矩阵阶数超过1000的大型问题，子空间迭代法、Ritz 向量法和Lanczos 法被公认为求解部分低阶极端特征值和特征向量的有效方法。
尽管国内外的有限元软件都提供广义代数特征值问题(1)的多种解法，但结果仍然不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时有发生。
传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于谱变换的线性方程组()T K M x LDL x My µ−==(2)的解法，移轴矩阵K M µ−的LDLT 三角分解是计算量最大的主要步骤。
在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法中，它常常占到特征值问题计算时间的70%到90%。
本文采用了文[1]提出的一个效率非常高的有限元解法-细胞稀疏直接快速解法（简称细胞解法）替换变带宽解法，极大地提高了三角分解的效率。
解答振动问题的方法与技巧
解答振动问题的方法与技巧振动是物体在受到外部激励后呈现周期性运动的现象。
振动问题在力学、电路、声学等领域都有广泛的应用。
解答振动问题，需要掌握一定的方法和技巧。
本文将从几个方面介绍解答振动问题的方法和技巧，希望对读者有所帮助。
一、建立振动方程要解答振动问题，首先需要建立振动方程。
振动方程描述了振动系统的运动规律。
根据不同的情况，振动方程可以是线性的或非线性的，可以是一维的或多维的。
常见的振动方程有简谐振动方程、阻尼振动方程和强迫振动方程等。
以简谐振动为例，其振动方程可以表示为：m·x″(t) + k·x(t) = 0，其中m为物体的质量，k为弹簧的劲度系数，x(t)为物体的位移。
建立振动方程是解答振动问题的第一步，可以根据具体情况来选择合适的振动方程。
二、应用边界条件解答振动问题时，需要考虑系统的边界条件。
边界条件是指系统的初始条件和边界上的限制条件。
例如，一个悬挂弹簧的质点具有初始速度为零和位置为最大振幅的边界条件。
根据边界条件，可以确定振动系统的特解。
以弹簧振子为例，假设弹簧振子的初始位移为x0，初始速度为v0。
根据边界条件，可以确定弹簧振子的运动方程。
同时，边界条件还可以用来确定振动系统的自由度。
三、利用能量守恒定律能量守恒定律在解答振动问题中有着重要的应用。
能量守恒定律指出，在没有外力做功的情况下，系统的能量保持不变。
对于简谐振动，系统的总能量可以表示为动能和势能之和。
以弹簧振子为例，假设弹簧振子的弹性势能为U，动能为T。
根据能量守恒定律，有T + U = 常数。
通过计算弹簧振子的动能和势能，可以求解其运动方程和振动频率。
四、应用拉普拉斯变换拉普拉斯变换在解答振动问题中也起到了重要的作用。
拉普拉斯变换能够将微分方程转化为代数方程，简化了问题的求解过程。
以受到阻尼的简谐振动为例，其振动方程可以表示为：m·x″(t) + c·x′(t) + k·x(t) = 0，其中c为阻尼系数。
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第四章结构固有振动特征值问题的数值解§4.1 概述根据结构振动的数学模型，即振动微分方程所形成的矩阵特征值问题，求解结构的固有振动特性——固有频率与固有振型，是结构振动分析的一个主要任务。
结构的固有振动特性是结构振动的内因。
固有振动特性也是进行结构振动响应分析和结构动力学设计的基础。
对于简单的结构，如均匀直梁、均匀直杆等，可以用解析的方法解得其固有振动特性。
对于一般结构，如果只需获得结构有限阶的固有振动特性，也可以采用试验测试（模态识别）的方法来获得。
但是对于大型复杂结构，不可能用解析分析的方法得到其固有振动特性，而采用试验测试的方法不仅花费高，而且周期长，对于处于设计状态的结构，显然也无法进行试验。
所以对复杂的工程结构，常用的方法是建立结构的数学模型，用数值求解的方法获得结构的固有振动特性。
随着计算技术飞速发展和特征值计算方法的研究进展，通过矩阵特征值问题的求解来获得结构固有振动特性，是已经被振动工程界普遍接受的一个有效和可靠的途径。
从数学理论上也可以证明，许多特征值计算方法具有相当好的精度，并且获得了实践和实验的证明。
由于结构固有振动特性求解与矩阵特征值求解问题的密切关系，在结构振动分析中，矩阵特征值问题已经成为结构固有振动特性分析的一个代名词。
所以在本章中，只要不作说明，一般讲的矩阵特征值问题就是指结构的固有振动特性求解问题。
所谓系统的特征值就代指结构的固有频率，特征向量代指结构的固有振型（固有模态）矩阵特征值问题的数值求解方法可以分为三类：矩阵分解法、迭代法和矩阵变换法。
由于矩阵（代数）特征值问题本身就是一个完整的系统，本章只能根据结构固有振动分析问题的需要，介绍一些常用的求解方法。
详尽的矩阵特征值问题的数值求解方法可以参考威尔金森的名著《代数特征值问题》。
本章的论述是建立在已经用有限元素法建立了结构振动运动数学模型的基础上。
§4.2 结构振动特征值问题的性质根据结构振动方程，可以得到结构固有振动的代数特征值问题：}]{[}]{[2x M x K ω=（4－1）或 }]{[}]{[x M x K λ= （2ωλ=） （4－2）振动特征值问题除了第二章所述的性质外，在特征值问题的数值求解中，还要用到如下一些性质： 1． 移轴特性对特征值问题}]{[}]{[x M x K λ= （4－3）若μ为一已知实数，则有：}]{)[(}]){[]([x M x M K μλμ-=- （4－4）新的特征值问题可写为：}]{[}]{ˆ[x M x Kρ= （4－5） ][][]ˆ[M K Kμ-= （μλρ-=） （4－6） 显然，上面两个特征值问题具有相同的特征向量，而特征值间的关系为：μρλ+=i i （4－7）μ称为移轴量。
在结构振动分析中，移轴特性常用来消除刚度矩阵的奇异性，也可用来加速迭代求解的收敛速度。
2． 特征值对合同变换的不变性［合同变换］：若][A 为一个非奇异矩阵，则变换]][[][A M A T 称为对][M 矩阵的合同变换。
对矩阵特征值问题：}]{[}]{[x M x K λ= （4－8）中的质量阵和刚度阵，用矩阵][A 作如下合同变换：]][[][]ˆ[A M A MT = （4－9） ]][[][]ˆ[A K A KT = （4－10） 则得到一个新的特征值问题}]{ˆ[}]{ˆ[φμφM K= (4－11) 从而有：][][][][]][[][]][[][]ˆ[]ˆ[=-=-=-A M K A A M A A K A M K TT T μμμ (4－12)由于0][≠A ，故有0][][=-M K μ （4－13）显然变换后的特征值不变：μλ= （4－14）且可以容易地证明，变换前后两个特征值问题的特征向量之间具有关系：}]{[}{φA x = （4－15）即合同变换不改变矩阵的特征值，特征向量具有转换关系。
3． 特征值对相似变换的不变性［相似变换］：对非奇异阵][A ，变换]][[][1A K A -称为相似变换。
对矩阵特征值问题：}]{[}]{[x M x K λ= （4－16）中的质量阵和刚度阵，用矩阵][A 作如下相似变换：]][[][]ˆ[1A M A M-= （4－17） ]][[][]ˆ[1A K A K-= （4－18） 则得到一个新的特征值问题：}]{ˆ[}]{ˆ[φμφM K= （4－19） 从而有：][][][][]][[][]][[][]ˆ[]ˆ[111=-=-=----A M K A A M A A K A M K μμμ （4－20）由于0][≠A ，故有0][][=-M K μ （4－21）显然变换后的特征值不变：μλ= （4－22）且可以证明，变换前后的特征向量间具有关系：}]{[}{φA x = （4－23）即相似变换不改变矩阵的特征值，特征向量具有转换关系。
4． 特征值对正交变换的不变性［正交变换］：在相似变换中，若对于非奇异矩阵][A ，有][][][I A A T =，即1][][-=A A T ，则用][A 进行的相似变换称为正交变换。
正交变换不仅不改变矩阵的特征值，而且正交变换后矩阵的对称性不变。
5． 特征值对旋转变换的不变性［旋转变换］：取变换矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos ][R （4－24） 可以证明][R 为正交矩阵，用][R 矩阵进行的相似变换，称为旋转变换。
通过一系列的旋转变换，可以使对称阵变为对角阵，使一般矩阵变为三角阵。
利用上述特征值问题的性质，可以得到不同的特征值求解方法。
结构振动特征值的数值求解中常用的方法主要有： 【多项式迭代法】多项式迭代法是利用特征值使特征多项式等于零的性质，即0][][)(=-=M K p λλ （4－25）【利用特征多项式的Sturm 序列性质的方法】通过Sturm 序列的性质，分离出每个特征值所在的区间，通过二分法和其它加速查找方法，逐步缩小特征值所在的分隔区间，最后得到所需的特征值。
【矢量迭代法】矢量迭代法利用的基本关系式为：}]{[}]{[i i i x M x K λ= （4－26）具体的迭代方法有：正迭代法、逆迭代法、子空间迭代（同时迭代）法。
【矩阵变换法】矩阵变换法利用的是“矩阵特征值对合同变换的不变性”这一性质。
利用具有某种性质的变换矩阵，经过一系列变换，得到一个形式简单的、容易进行特征值求解的矩阵特征值问题。
常用的有雅可比方法：它是经过一系列旋转变换，最后使一个对称阵成为一个对角阵，然后很容易地求解该对角阵的特征值。
QR 法：QR 法是经过一系列的相似变换，将一个实数矩阵转化为一个三角阵。
然后求解其特征值。
豪斯霍尔德方法：豪斯霍尔德方法 是通过正交相似变换，将一个实对称矩阵化为三对角阵。
然后用QR 法求其特征值。
还有其它一些方法。
本章重点介绍特征多项式迭代法、基于Sturm 序列性质的方法、矢量迭代法、子空间迭代法，对于矩阵变换方法仅对变换格式作简略介绍。
在求解结构固有振动特性时，有时各种方法也可以联合使用，来加快求解的速度。
§4.2 多项式迭代方法使特征多项式][][)(M K p λλ-=（4－27）等于零的根就是特征值问题}]{[}]{[x M x K λ=（4－28）的特征值解。
当阶数4>n 时，无法用公式求根，只能用数值计算方法求解上方程。
而求解方程0][][)(=-=M K p λλ （4－29）的方法通常有显式和隐式两类。
并且一般都采用“频率扫描”方法求解。
【显式迭代】将)(λp 展开成λ的多项式，然后进行迭代求解，因而，如果][],[M K 阵阶数很大时，将多项式展开就有一个缺点——方程的系数计算误差引起根的稳定性很差，因而在实际结构振动分析中很少采用。
【隐式迭代】先给定λ值，对矩阵（][][M K λ-）进行高斯三角分解，再计算出)(λp 的值。
即做分解]][[][][S L M K =-λ（4－30）][L 和][S 分别是单位下三角阵和上三角阵。
从而：∏==⋅=-=ni ii s S S L M K p ][][][][][)(λλ （4－31）实际计算时，是从λ的初值0λ开始，依次计算)(0λp ，)(0λ∆λ+p ，)2(0λ∆λ+p ， )(0λ∆λn p +的值，根据它们的正负号，确定出根所在的区间（隔根区间），然后对各隔根区间用二分法（或0.618优选法）进行细分直到求出符合给定精度的解，也可以用更快的割线法来加速寻根：)()()()()1()()1()()()()1(--+---=r r r r r r r p p p λλλλλλλ（4－32）但要注意，使用割线法时，迭代的初值很重要，一般与二分法联合使用，以保证迭代的迅速收敛。
【例】计算矩阵特征值问题}]{[}]{[x M x K λ=的第一个特征值1λ。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210141012][K ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.000010005.0][M 【解】由于矩阵][],[M K 都是正定阵，故取迭代初值1)0(-=λ，0)1(=λ25.2646/1050015/230015.25.21015115.2)1(=--=----=-p 127/120012/7001221141012)0(=--=----=p 8421.0)]1(0[25.2612120)2(=----=λ7150.4)8421.0(=p ，3871.1)3(=λ，8467.1)3871.1(=p 。
9870.1)6(=λ，026347.0)9870.1(=p ，9993.1)7(=λ迭代法的优缺点：理论简明，方法简单，可以对任一个特征根进行迭代搜索，但计算量大，且容易漏根。
§4.3 基于Sturm 序列性质的方法 【Sturm 序列】对广义特征值问题}]{[}]{[x M x K λ= （4－33）其对应的特征多项式为：][][)(M K p λλ-= （4－34）若将][K ，][M 中的最后r 行和最后r 列去掉，得到相应的一个新广义特征值问题：}]{[}]{[)()()()()(r r r r r x M x K λ= （4－35）称为原系统的“第r 阶伴随约束系统的特征值问题”，这相当于对原系统增加了r 个约束。
定义第r 阶伴随约束系统的特征多项式：][][)()()()()()(r r r r r m k p λλ-= 取)1(,2,1,0-=n r ，得到n 个伴随特征多项式：[]M K p m m m m k k k kp m k p n n n n n n λλλλλλ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=------][)()()()0()0(22211211)2(22211211)2()2(11)1(11)1()1(（4－36）这n 个特征多项式组成的序列称为Sturm 序列，根据瑞利约束原理，第1+r 阶伴随系统与第r 阶伴随系统特征值)1(+r i λ和)(r i λ之间有关系：rr n r r n r r n r r r r -+----++≤≤≤≤≤≤λλλλλλλ)1(1)(1)1(2)(2)1(1)(1 （4－37）这一性质又叫特征值隔离定理，在第一章已经介绍过。