北师大版数学九年级下册：二次函数的图像与性质

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北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件

3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二）二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系：二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大小，a>0，图象开口向上，a<0，图象开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准：答案正确加4分.

2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件初中数学北师大版九年级下册

(1,0).

2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为

(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向向上 .

2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称

轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向左

北师大版数学九年级下册课件二次函数的图像与性质第二课时

2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直
角
坐
标
系
,
左
面
的
一
条
抛 y 物 9 线 x2 9可x 10以 400 10
用
表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
老师提示: 结合二次函数的图像和性质，灵活运用顶点坐标公式.
2.2 二次函数的图像和性质
第二课时
➢ 用心做一做下面接着讨论y=ax²，y=a（x-h）²的二次函数的图像和性质.
画出二次函数y=2（x-1）²的图像.
①完成下表:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=2（x-1）2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
观察上表你能发现2（x-1）²与2x²的值有什么关系？
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
➢ 用心做一做
➢1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；
（2）y=2x2-12x+8.
2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：（1）y=2（x-3）²-5；（2）y=-0.5（x+1）² ;
（3）y=-3/4x²;
（4）y=2（x-2）²+5 ;
（5）y=-0.5（x+4）² +2;（6）y=--3/4（x-1）² .
➢ 我们已经认识了形如y=a（x-h）²+k的二次函数的图像和性质，你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图像和性质吗？

2.4二次函数课件3(数学北师大版九年级下册)

作业：
《目标检测》 P39
二次函数的图像及性质
y=ax2 (a≠0) 图象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向向上向下顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴当x<0时, 增当x<0时， y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。减当x>0时，当x>0时， y随着x的增大而减小。性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
y=-3(x-2) y=-3x2
y=-3(x-2)2-4
复习练习2：
1、二次函数y=2（x-3）2+1的图象，可以由ｙ＝２ｘ２的图象向右平移３个单位，再向上平移１个单位得到
２、二次函数y=－３（x+２）2-7的图象，可以由ｙ＝－３ｘ２的图象向左平移２个单位，再向下平移７个单位得到
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 y a (x h) 2 k 的性质: (1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h (3)顶点坐标是(h,k)
抛物线 2 y ax k(a 0) 开口方向对称轴
开口向上开口向上开口向上
开口向上直线X=1
2
y 2( x 1)
开口向上直线X=-1
(-1, 0)
1 2 y ( x 1) 1 图像的性质:开口向下,对称 2 轴是x=-1,顶点坐标是(-1,-1)
归纳总结: y a( x h) k

九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件

2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2

新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件

4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最大值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口向上，
对称轴是 y轴，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而减小，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最小值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性顶点增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点（最大值为k）
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状相同，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向上平移 k 个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向下平移 |k| 个单位得到。

北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)

y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y

y=− +2

1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4

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2.2 二次函数的图象与性质（第1课时）
教学目标
知识与技能
1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．
2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同．过程与方法
1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.
教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.
教学过程
（一）创设问题情境，引入新课
我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.
（二）新课讲解
1、作函数2x y =的图象
一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？
（1）列表：
（2）在直角坐标系中描点.
（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.
2、议一议
对于二次函数2x y =的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.
3、2x y =的图象的性质
二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而 . 因为图象有最低点，所以函数有，当x ＝0时，y 最小值＝ .
4、做一做
2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.（PPT 显示）
结论：（1）抛物线的开口方向是向下.
（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.
（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.
（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.
（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0. 5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.
观察函数2x y =与2x y -=的图象，比较它们的图象的异同点.
不同点：（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.
（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.
（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.
（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.
相同点：
（1）、图象都是抛物线.
（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.
（3）、图象都关于y 轴对称.
联系：它们的图象关于x 轴对称.
6、思考拓展.
从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的开口方向却正好相反.你认为二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？
我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？
结论：对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）
（三）布置作业。