11 动量矩定理

J O Wa sin

m gasin 0 JO
复摆微幅摆动时，有
sin
JO mga

讨论： 1. 此微分方程的解为：
m ga 0 JO
T 2π
0 sin(
mga t q ) JO
2.测出零部件的摆动周期后，可计算出它的转动惯量。 T2 a T2 J C m ga( 2 ) JO m ga J O J C ma2 g 4π 4π 2
a2 0 2 (a l sin q )
14
第四节 刚体定轴转动微分方程
绕定轴转动刚体对z轴的动量矩为：
N1
Lz J z
2
1
动量矩定理：
d Lz M z (F e ) dt
d M z (F e ) dt
刚体定轴转动微分方程：
Jz
或写成：
N2
J Z M z (F e )
1 1
J zC 2dmi y1 m d2 J zC m d2
4
1 1
均质细长杆长为l，质量为m。试求(1)杆件对于过质心C且与杆的轴线相
垂直的z轴的转动惯量 ； (2) 杆件对于过杆端A且与z轴平行的z1轴的转动惯量；
(3) 杆件对于z轴和z1轴的回转半径。
解：杆F1x M2 F 2y W2 W1 Fr' Ft' F2x
Ft
M 1 J11 42.5kN R1
18
均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰链支承，A端用细绳悬挂。 试求将细绳突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。 解：取杆为研究对象。 在该瞬时，角速度=0，角加速度0 （一）角加速度 1 2 l ml ( ) W 3 2 （二） 反力
也可用相对于瞬心A的动量矩定理求aC
m( C r 2 ) Mr aC r 2 m( C r 2 )
2

LC LC r J C
刚体的平面运动可用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理：
ma C F
质心运动定理向x,y轴投影。
e e
J C M C ( F )
mC Fxe x
刚体平面运动微分方程 ：
mC Fye y J C M C (F e )
注意：1、力矩中包含力偶矩；2、内力不影响质点系的动量矩。
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三、动量矩守恒 1、质点动量矩守恒 （1）F过点O，称为有心力， ΣMo(F)=0 Mo(mv)=常矢量 r、v组成的平面的方位不变。
（2）ΣMz(F)=0, F和轴z共面，Mz(mv)＝常量 2、质点系的动量矩守恒 （1）ΣMo(Fe)=0, Lz＝常矢量
第十一章 动量矩定理
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 动量矩的概念 转动惯量 动量矩定理 刚体定轴转动微分方程 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程 本章重点
1.转动惯量的计算 2.动量矩守衡 3.刚体定轴转动微分方程 4.刚体平面运动微分方程
1
第一节 动量矩的概念
动量矩: 物体机械运动强度的度量。 一、质点的动量矩 质量为m的质点，t时刻速度为v， 动量mv 对固定点O的动量矩为:
注意：点O为固定点，v为绝对速度。
9
二、质点系动量矩定理
设质点系由n个质点组成，取其中第i个质点来考察，将作用于该质点
上的力分为内力Fii和外力Fie :
根据质点的动量矩定理: d LO M O ( Fi i ) M O ( Fi e ) dt

i=1，2，3，…，n
d LO M O ( Fi i ) M O ( Fi e ) 求和: dt d LO M O ( Fi e ) 交换求和及求导的次序: dt d Lx M x (F e ) dt d Ly 直角坐标轴投影式: M y (F e ) dt d Lz M z (F e ) dt
d
A
m π R2
取圆盘上一半径为r，宽度为dr的细圆环
m 2m d m A d A 2πrdr 2 rdr 2 πR R
J z r dm
2 0
R
R 0
2m 3 1 r d r mR 2 R2 2
回转半径
z
Jz R m 2
6
冲击摆摆杆长l，质量为m1，摆盘质量为m2，半径为R， 试求摆对于转轴的转动惯量。 解：设摆杆和摆盘对轴的转动惯量为J1、J2 O
不计各杆重量，求此时系统的角速度。
q
q
13
解:系统为研究对象。 系统对z轴的动量矩守恒
W W Lz1 2 a0 a 2 a 20 g g
q q
Lz 2 2 2
W (a l sin q ) 2 g
W
W
W 2 W a 0 2 (a l sin q ) 2 g g
R2
M2
II M1 I J1 J2
R1
17
R2
M2 II M1 I R1 J1 J2
解：轮Ⅰ、Ⅱ为研究对象。 定轴转动微分方程
J11 M1 Ft R1
J 2 ( 2 ) M 2 F 't R2
1 / 2 R2 / R1 i12 0.5
联立求解得： M2 M1 i12 1 300rad / s 2 J J1 22 i12
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齿轮传动系统，啮合处两齿轮的半径分别为R1=0.2m和R2=0.4m，
对轴I、II的转动惯量分别为J1=10kg.m2,J2=8kg.m2,轴I上作用有主动
力矩M1=20kN.m,轴II上有阻力矩M2=4kN.m,转向如图所示。设各处的 摩擦忽略不计，试求轴I的角加速度及两轮间的切向压力Ft 。
（2）ΣMz(Fe)=0, Lz＝常量
11
均质鼓轮重W，半径为R，通过绳子悬挂一重W1的物体。在鼓
轮上作用一力偶M，试求重物上升的加速度。
M v
解：系统为研究对象，动量矩定理
Lz J z
W
W1 vR g
M z (F e ) M W 1R
1W 2 W R 1 aR M WR 2 g g
3 7 37 2 2 mR mR mR 2 2 54 27
8
第三节 动量矩定理
一、质点动量矩定理 质点对固定点O的动量矩
LO r mv
对时间求一阶导数
根据质点的动量定理 得
d d dr d LO (r mv ) mv r (mv ) dt dt dt dt
l m / l
d m l d x
l 2 l 2
取微段dx ，其质量为
z1 A z C x dx B
Jz
l 2 l 2
x dm
2
l 2 l 2
x l d x
2
x2
m 1 d x ml2 l 12
2.对z1轴的转动惯量
l 1 1 1 J z1 J z m( ) 2 ml 2 ml 2 ml 2 2 12 4 3
l
3. 杆件对于z轴和z1轴的回转半径。
1 2 J z ml 2 m z 12
1 J z1 ml 2 3
Jz l m 2 3 J z1 l z1 m 3
z
5
半径为R，质量为m的均质薄圆盘，试求圆盘对于过中心O且与圆
盘平面相垂直的z轴的转动惯量。
解:圆盘的面密度为
n aC l 2 / 2 0

3g 2l
aC aC l / 2
n maC 0 FOx
l ma C m W FOy 2 FOx 0 l 1 FOy mg m mg 2 4
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第六节 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动。刚体 相对于质心的动量矩为：
3、刚体平面运动
vC
平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，平面图形 对垂直于运动平面的固定轴的动量矩：
C

Lz M z (mvC ) J C
3
z
第二节 转动惯量
一、转动惯量的定义 刚体对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点 mi 的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和。

J z mr
J z M z (F e )
注意： 1、刚体定轴转动微分方程是标量方程，只可解一个未知数。
2、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。 3、、、MZ(F)符号的规定应一致。 4、刚体定轴转动微分方程适用于单个绕定轴转动刚体。
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复摆的质量为m，质心为C，摆对悬点的转动惯量为JO。求复 摆微幅摆动的周期T。 解：取复摆为研究对象。 定轴转动微分方程
LO r mv
动量矩的量纲为：dim L=ML2T－1
国际单位制中，动量矩的单位为： kg· 2／s m
2
二、质点系的动量矩
质点系动量对固定点O的动量矩: 质点系对固定轴z的动量矩:
LO ΣLOi ΣM O (mi vi ) Σri mi vi
解得 F
aC Mr 2 m( C r 2 )

C W
A
aC
FN W mg
Mr 2 ( C r 2 )
F m aC
FN
F fFN 圆轮只滚不滑的条件为 2 r 2 C Mr M fm g m gf 即 2 2 r C r
2 m(C r 2 ) M
Lz Lzi M z (mi vi )
三、刚体的动量矩 1、刚体平动
LO Σri mi vi Σri mi vC rC mvC