5-1 简谐运动
简谐运动简谐运动的图象
简谐运动简谐运动的图象1、简谐运动简谐运动的图象2、简谐运动的能量特征受迫振动共振3、实验：用单摆测定重力加速度简谐运动简谐运动的图象：1、简谐运动：简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，是一种变加速运动。
2、弹簧振子（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。
（2）当与弹簧振子相接的小球体积较小时，可以认为小球是一个质点。
（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。
（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内。
3、单摆：悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，线长比物体的直径大得多。
单摆是实际摆的理想模型。
单摆摆动的振幅很小即偏角很小时，单摆做简谐运动。
4、描述简谐运动特征的物理量（1）位移、简谐运动的位移，以平衡位置为起点，方向背离平衡位置。
（2）回复力：回复力的作用效果是使振子回到平衡位置。
简谐运动中，，负号表示力的方向总是与位移的方向相反。
（3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间。
用T表示，单位秒（s）。
单摆周期弹簧振子的频率只与弹簧的劲度系数和振子质量有关。
（4）频率：单位时间内完成全振动的次数。
用f表示，单位赫兹（Hz）。
周期与频率的关系：（5）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。
5、简谐运动的公式描述：，A是简谐运动的振幅，ω是圆频率（或角频率），叫简谐运动在t时刻的相位，是初相位。
6、简谐运动的图象简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象（注意简谐运动的具体图象形状，取决于t=0时振动物体的位置和正方向的选取，可参看“例1”）。
简谐运动图象的应用如下：（1）可直观地读取振幅A、周期T、各时刻的位移x及各时刻的振动速度的方向和加速度的方向；（2）能判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
7、简谐运动的能量：如忽略摩擦力，只有弹力做功，那么振动系统的动能与势能互相转换，在任意时刻动能和势能的总和，即系统的机械能保持不变，机械能由振幅决定。
【课件】 简谐运动及其图像 简谐运动回复力及能量 课件教科版(2019)选择性必修第一册
0（填“>”、“<”或“=”）。
a b
8.一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置一记
录纸。当振子上下振动时，以速率 v 水平向左拉动 记录纸，记录笔在
纸上留下如图所示的图像。y1、y2、x0、 2x0 为纸上印迹的位置坐标。
求该弹簧振子振动的周期和振幅。
1−2
2
9.如图所示，物体 A 和 B 用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A 的
做简谐运动的物体受到总是指向平衡位置，且大小与位移成
正比的回复力的作用。
回复力数学表达式：F=-kx
（1）x是相对于平衡位置的位移、k是比例系数
（2）回复力大小与离开平衡位置的位移大小成正比，回复力方向与位移方向总是相反
（3）回复力F=-kx是判定振动物体是否做简谐运动的动力学判据
• 问题6：试证明竖直弹簧振子的运动是简谐运动？
• 当 Δφ 等于 π 的奇数倍时，两者运动的步调正好相反。同理，当 Δφ 等于 0 或 2π 的
整数倍时，两者同步振动，任意时刻的振动状态均相同。
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0，可以 知道做
简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
= (
+ )
所以，振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
• 假设重物所受的重力为 G，弹簧的劲度系数为 k，重物处于平衡位置时弹簧的伸
长量为 x1。则G = kx1
• 设重物向下偏离平衡位置的位移为 x 时，弹簧
的伸长量为 x2，则x = x2 - x1 取竖直向下为正方向。
• 则此时弹簧振子的回复力 F= G - kx2 = kx1 - kx2 = -kx
第九章 第一节 简谐运动 人教版必修
第九章第一节简谐运动从容说课本节内容讲述简谐运动的相关知识.它既与前面所学的运动学知识有联系,又与它们有区别.从形式上看都属于机械运动，但它较前面的直线运动、曲线运动要复杂得多，它所遵循运动规律需要从本节课中得出.在本节课中.我们以弹簧振子为模型来初步探讨简谐运动的周期性、受力、加速度及速度的变化情况，为学生以后的学习打下基础．根据本节内容的特点，对本节教学目标定位如下：1.知道什么是简谐运动。
简谐运动的受力特点．2.理解简谐运动的周期性，并能从实例中正确描述出一次全振动．3.知道简谐运动中回复力、加速度、速度随位移变化的规律．本节课的教学重点定位于：1.简谐运动的回复力的分析及特点．2.简谐运动中速度、加速度、位移的变化规律的分析与总结．本节课的教学难点定位于：对回复力的理解．结合本节的特点,对本节课的教学采用实验演示为主,分析讲解为辅的教学模式,通过实验，让学生自己从实验中分析出简谐运动的有关特点.教师只起引导的作用,充分体现学生的主导地位．对本节课教学程序设计如下：实验导人→实验观察→规律总结→知识应用→小结．教学目标一、知识目标1.知道什么是简谐运动，知道简谐运动的受力特点．2.理解简谐运动的周期性.并能从运动中正确描述出一次全振动．3.知道简谐运动中回复力、加速度、速度随位置变化的规律．二、能力目标1.通过对弹簧振子运动的观察、分析，培养学生的分析、理解能力．2.通过对弹簧振子的讲解。
培养学生建立理想化模型的能力．三、德育目标1.通过对简谐运动周期性的学习，引导学生理解对称的特点,树立“对称美”的美学观点．2.通过对回复力和惯性的比较，培养学生用“对立统一”的观点分析问题的能力．教学重点1.简谐运动中回复力的分析及特点．2.简谐运动中速度、加速度、位移变化规律的分析与总结．教学难点对回复力的理解．教学方法实验演示法，分析、归纳法，多媒体演示教学．教学用具投影片、弹簧振子、CAI课件．课时安排1课时教学过程一、新课导入自然界中物体的运动形形色色，下面我们就一起来观察这样一种运动．[演示弹簧振子的运动]今天我们就共同来学习这种运动．二、新课教学(一)机械振动基础知识学生观察弹簧振子的振动后回答下列问题：1.请同学们从生活中举出一些类似于弹簧振子运动的实例．2.这些运动有哪些共同的地方?3.这些物体为什么会做这样的运动?学生思考后得出结论：1.学生可能举出的实例有：①公园里儿童在蹦蹦床上的运动．②地震时地面的运动．③树枝在风中的摆动．2.这些运动所具有的共同点是：①这些运动都具有往复性。
5-1 简谐运动
dx v A sin(t ) dt a 与 x 方向相反 2 d2 x 2 d x 2 x 0 a 2 A cos(t ) 2 dt dt
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
x A cos(t )
T 2π
A
F =-kx 平衡位置 x =0
d x 2 x 2 dt
2
x A cos(t )
2
（在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
简谐运动的特征
a x
单摆 弹簧振子 k m （由振动系统本身性质决定）
g l
0 A cos
v
x
o
x
T
t
T 2
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
例1
如图所示系统（细
线的质量和伸长可忽略不计）,
细线静止地处于铅直位置，重
物位于O点时为平衡位置.
A
l
m
若把重物从平衡位置O 略
微移开后放手, 重物就在平衡
位置附近往复的运动．这一振
动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期．
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
机械振动： 物体围绕一固定位置往复运动.
运动形式： 直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等. 简谐运动： 最简单、最基本的振动. 合成 简谐运动 复杂振动 分解 谐振子：作简谐运动的物体.
二
振幅
A xmax
三 周期、频率
A
x x t 图
《物理(上册)》教案第五章 第一节 弹簧振子的运动——简谐运动
⏹【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过或其他学习软件，完成课前任务请大家扫码观看“简谐运动”和“单摆的定义”视频，并预习简谐运动的有关知识。
简谐运动单摆的定义⏹【学生】完成课前任务⏹【学生】思考、举手回答传授新知（24 min）⏹【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解机械振动和简谐运动的相关知识⏹知识点描述机械振动的物理量❖【教师】讲解机械振动的物理量1．回复力人们把做机械振动的物体受到指向平衡位置的力，称为回复力。
回复力是以效果命名的力。
回复力可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它可能是几个力的合力，也可能是一个力或者是某个力的分力。
例如，在水平方向上振动的弹簧振子的回复力，是弹簧在伸长和压缩时产生的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力，是弹簧弹力和重力的合力。
2．平衡位置做机械振动的物体最终停下来的位置被称为平衡位置或中心位置。
平衡位置是回复力为零的位置，但不一定是合力为零的位置。
3．位移振动的位移是指由平衡位置指向振动物体所在位置的矢量线段。
机械振动中，振子的位移起点一定从平衡位置算起，位移的方向是平衡位置指向振子所在位置的方向，位移的大小是平衡位置到振子所在位置的距离。
❖【学生】聆听、理解⏹知识点机械振动的规律❖【教师】讲解机械振动的规律1．大小规律做机械振动的物体在平衡位置时，其位移、回复力和加速度最小（为零），速度最大；在最大位移处（两端）时，其位移、回复力和加速度最大，速度最小（为零）；在向两端运动时，位移、回复力和加速度变大，速度变小；在向平衡位置运动时，位移、回复力和加速度变小，速度变大。
2．方向规律做机械振动的物体，其回复力与加速度方向始终相同，并且总是指向平衡位置，位移的方向总是背离平衡位置。
❖【学生】聆听、理解、记录⏹知识点全振动❖【教师】提出全振动的概念振动物体从某一位置出发再次回到该位置，并保持与出发时刻完全相同的运动状态（速度、加速度）的过程，叫一次全振动。
物理学教程(第二版)[上册]第五章课后习题答案解析详解
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物理学教程第二版第五章课后习题答案第五章 机械振动5-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）题5-１图分析与解（B ）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A /2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（B ）．5-2 一简谐运动曲线如图（a ）所示，则运动周期是（ ）(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s（D ）2.00 s题5-２图分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A /2，且向x 轴正方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为-3/π2．振动曲线上给出质点从A /2 处运动到x =0处所需时间为1 s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差65232πππϕ=+=∆，则角频率1s rad 65Δ/Δ-⋅==πϕωt ，周期s 40.22==ωπT .故选（B ）． 5-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ）所示， x 1的相位比x 2的相位（ ）（A ）落后2π（B ）超前2π（C ）落后π（D ）超前π分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ）即可得到答案为（B ）．题5 -３图5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐运动合成后，振幅仍为A ，则这两个简谐运动的相位差为（ ）（A ）60 （B ）90 （C ）120 （D ）180分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120 时，合成后的简谐运动3的振幅仍为A .正确答案为（C ）．题5-4图5-5 若简谐运动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4ππ20cos 10.0t x ，式中x 的单位为m ，t 的单位为s.求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果．解 （1）将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ，角频率1s rad π20-⋅=ω，初相ϕ＝0.25π，则周期s 1.0/π2==ωT ，频率Hz /1T =v ．（２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-⨯=+=t x()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ⋅-=+-==t x v()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ⋅⨯-=+-==t x a5-6 一远洋货轮，质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S ．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F 与位移x 间的关系，如果满足kx F -=，则货轮作简谐运动．通过kx F -=即可求得振动周期k m ωT /π2/π2==． 证 货轮处于平衡状态时［图（a ）］，浮力大小为F ＝mg ．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O ，竖直向下为x 轴正向，如图（b ）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为∑'+=F P F其中F '为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为gSx mg gSx F F ρρ+=+='题5-6图则货轮所受合外力为kx gSx F P F -=-='-=∑ρ式中gS k ρ=是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．由∑=t x m F 22d d /可得货轮运动的微分方程为0d d 22=+m gSx t x //ρ令m gS /ρω=2，可得其振动周期为gS ρm πωT /2/π2==5-7 如图（a ）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 、2k ．当物体在光滑斜面上振动时．（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率．题5-7图分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b ）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率υ．证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为1x 、2x ，则由物体受力平衡，有2211sin x k x k mg ==θ（1）按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸1x '和2x '，即21x x x '+'=．则物体受力为 ()()111222sin sin x x k mg x x k mg F '+-='+-=θθ（２） 将式（1）代入式（2）得1122x k x k F '-='-=（３） 由式（3）得11k F x /-='、22k F x /-='，而21x x x '+'=，则得到()[]kx x k k k k F -=+-=2121/式中()2121k k k k k +=/为常数，则物体作简谐运动，振动频率 ()m k k k k πm k ωv 2121/21/π21π2/+=== 讨论 （1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c ）（弹簧并联）或如图（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为()m k k v /π2121+=，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50ｓ．当t ＝0 时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x ＝-1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x 0和v ＝v 0来确定φ值．（2）旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0和速度v 0的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．题5-8图解 由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m ，1s π4/2-==T ω，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=t A x cos ，当0t =时有()ϕω+=t A x cos 0，sin 0ϕωA -=v ．当（1）A x =0时，1cos 1=ϕ，则01=ϕ；（2）00=x 时，0cos 2=ϕ，2π2±=ϕ，因00<v ，取2π2=ϕ；（3）m 100120-⨯=.x 时，50cos 3.=ϕ，3π3±=ϕ，由00<v ，取3π3=ϕ；（4）m 100120-⨯-=.x 时，50cos 4.-=ϕ，3ππ4±=ϕ，由00>v ，取3π44=ϕ． 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2π2=ϕ，3π3=ϕ，3π44=ϕ． 振幅A 、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1）()m t πcos4100.22-⨯=x（2）()()m /2πt π4cos 100.22+⨯=-x（3）()()m /3πt π4cos 100.22+⨯=-x（4）()()m0.22+10=-xcos⨯/3π44tπ5-9有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1）当t＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2ｍ处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2）当t＝０时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s-1的速度向上运动，求运动方程．分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即k mω=/，k可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相φ需要根据初始条件确定．题5-9图解物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F＝mg．而此时弹簧的伸长量Δl＝9.8 ×10-2m．则弹簧的劲度系数k＝F／Δl ＝mg／Δl．系统作简谐运动的角频率为1ωmk//g=s=l10-∆=（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向．由初始条件t ＝0 时，x10＝8.0 ×10-2m、v10＝0 可得振幅()m 10082210210-⨯=+=./ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相π1=ϕ［图（a ）］．则运动方程为()()m π10t cos 100.821+⨯=-x（2）t ＝０时，x 20＝0、v 20＝0.6 ｍ·s -1，同理可得()m 100622202202-⨯=+=./ωv x A ；2/π2=ϕ［图（b ）］．则运动方程为 ()()m π5.010t cos 100.622+⨯=-x5-10 某振动质点的x -t 曲线如图（a ）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需的时间．分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A 、ω和0ϕ，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．解 （1）质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t 0＝0 和t 1＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b ）所示．由图可见初相3/π0-=ϕ（或3/π50=ϕ），而由()3201//ππω+=-t t 得1s 24/π5-=ω，则运动方程为()m 3/π24π5cos 10.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x题5-10图（2）图（a ）中点P 的位置是质点从A ／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c ）所示．当初相取3/π0-=ϕ时，点P 的相位为()000=-+=p p t ωϕϕ（如果初相取成3/π50=ϕ，则点P 相应的相位应表示为()π200=-+=p p t ωϕϕ．（3）由旋转矢量图可得()3/π0=-p t ω，则s 61.=p t ．5-11 质量为10 g 的物体沿x 的轴作简谐运动，振幅A =10 cm ，周期T =4.0 s ，t =0 时物体的位移为，cm 0.50-=x 且物体朝x 轴负方向运动，求（1）t =1.0 s 时物体的位移；（2）t =1.0 s 时物体受的力；（3）t =0之后何时物体第一次到达x =5.0 cm 处；（4）第二次和第一次经过x =5.0 cm 处的时间间隔.分析根据题给条件可以先写出物体简谐运动方程)cos(ϕω+=t A x .其中振幅A ，角频率Tπ2=ω均已知，而初相ϕ可由题给初始条件利用旋转矢量法方便求出. 有了运动方程，t 时刻位移x 和t 时刻物体受力x m ma F 2ω-==也就可以求出. 对于（3）、（4）两问均可通过作旋转矢量图并根据公式t ∆=∆ωϕ很方便求解.解由题给条件画出t =0时该简谐运动的旋转矢量图如图（a ）所示，可知初相3π2=ϕ.而A =0.10 m ，1s 2ππ2-==T ω.则简谐运动方程为m )3π22πcos(10.0+=t x (1)t =1.0 s 时物体的位移m 1066.8m )3π22π0.1cos(10.02-⨯-=+⨯=x（2）t =1.0 s 时物体受力N1014.2N)1066.8()2π(101032232---⨯=⨯-⨯⨯⨯-=-=x m F ω （3）设t =0时刻后，物体第一次到达x =5.0 cm 处的时刻为t 1，画出t =0和t =t 1时刻的旋转矢量图，如图（b ）所示，由图可知，A 1与A 的相位差为π，由t ∆=∆ωϕ得s 2s 2/ππ1==∆=ωϕt （4）设t =0时刻后，物体第二次到达x =5.0 cm 处的时刻为t 2,画出t =t 1和t = t 2时刻的旋转矢量图，如图（c ）所示，由图可知，A 2与A 1的相位差为3π2，故有 s 34s 2/π3/π212==∆=-=∆ωϕt t t题 5-11 图5-12 图（a ）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm ，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程． 分析 根据v -t 图可知速度的最大值v max ，由v max ＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值a max ＝Aω2．在要求的简谐运动方程x ＝A cos （ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v 0＝v max /2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v 0＝－Aωsinφ就可求出φ． 解 （1）由ωA v =max 得1s 51-=.ω，则s 2.4/π2==ωT（2）222max s m 1054--⋅⨯==.ωA a（3）从分析中已知2/sin 0ωA ωA =-=v ，即21sin /-=ϕ6/π5,6/π--=ϕ因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取6/π5-=，其旋转矢量图如图（b ）所示．则运动方程为()cm 6π55.1cos 2⎪⎭⎫⎝⎛-=t x题5-12图5-13 有一单摆，长为1.0m ，最大摆角为5°，如图所示．（1）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3）摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？题5-13图分析 单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程()ϕωθθ+=t cos max ，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l ）决定，即l g /=ω．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分． 解 （1）单摆角频率及周期分别为s 01.2/π2;s 13.3/1====-ωT l g ω（2）由0=t 时o max 5==θθ可得振动初相0=ϕ，则以角量表示的简谐运动方程为t θ13.3cos 36π=（３）摆角为3°时，有()60cos max ./==+θθϕωt ，则这时质点的角速度为()()1max 2max max s2180800cos 1sin /d d --=-=+--=+-=..ωθϕωωθϕωωθθt t t线速度的大小为1s m 218.0/d d -⋅-==t l v θ讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取θθ≈sin ，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ较小时成立．*5-14 一飞轮质量为12kg ，内缘半径r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s ，试求其绕质心轴的转动惯量．题5-14图分析 飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为c /π2mgl J T =，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离c l ，其以刃口为转轴的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．解 由复摆振动周期c /π2mgl J T =，可得22π4/m g r TJ =（这里r l C ≈）．则由平行轴定理得222220m kg 83.2π4⋅=-=-=mr mgrT mr J J 5-15 如图（a ）所示，质量为 1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s -1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg ，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m -1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．题5-15图分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v 0，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m 1＋m 2和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v 0和初位移x 0）求得．初相位仍可用旋转矢量法求． 解 振动系统的角频率为()121s 40-=+=m m k /ω由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v 0为12110s m 0.1-⋅=+=m m v m v又因初始位移x 0＝0，则振动系统的振幅为()m 105.2//202020-⨯==+=ωωx A v v图（b ）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位2/π0=ϕ，则简谐运动方程为()()m π0.540cos 105.22+⨯=-t x5-16 如图（a ）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m 1的空盘．现有一质量为m 2的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？题5-16图分析 原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m 1变为m 1 + m 2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于()2020/ωx A v +=，因此，确定初始速度v 0和初始位移x 0是求解振幅A 的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v 0，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移x 0时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移x 0，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．解 （1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为k m ωT /π2/π21== ()k m m ωT /π2/π221+='='可见T ′＞T ，即振动周期变大了．（2）如图（b ）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O ．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即g kmg k m m k g m l l x 2211210-=+-=-= 式中k g m l 11=为空盘静止时弹簧的伸长量，l 2＝g km m 21+为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度gh m m m m m m 22122120+=+=v v 式中gh 2=v 是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为()gm m khk g m x A )(21/2122020++='+=ωv 本题也可用机械能守恒定律求振幅A ．5-17 质量为0.10kg 的物体，以振幅1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s -1求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度2max ωA a =，由此可确定振动的周期T ．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E ＝kA 2/2．当动能与势能相等时，E k ＝E P ＝kA 2/4．因而可求解本题． 解 （1）由分析可得振动周期s 314.0/π2/π2max ===a A ωT（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即J 100221213max22k -⨯====.mAa mA E E ω （3）设振子在位移x 0处动能与势能相等，则有42220//kA kx =得m 100772230-⨯±=±=./A x（４）物体位移的大小为振幅的一半（即2x A =/）时的势能为4221212P /E A k kx E =⎪⎭⎫⎝⎛==则动能为43P K /E E E E =-=5-18 一劲度系数k =312 1m N -⋅的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量kg 3.00=m 的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为kg 2.0=m 的物体，两物体间的最大静摩擦系数5.0=μ.求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量.分析简谐运动系统的振动能量为2p k 21kA E E E =+=.因此只要求出两物体间无相对滑动条件下，该系统的最大振幅max A 即可求出系统振动的最大能量.因为两物体间无相对滑动，故可将它们视为一个整体，则根据简谐运动频率公式可得其振动角频率为mm k+=0ω.然后以物体m 为研究对象，它和m 0一起作简谐运动所需的回复力是由两物体间静摩擦力来提供的.而其运动中所需最大静摩擦力应对应其运动中具有最大加速度时，即max 2max A m ma mg ωμ==，由此可求出max A . 解根据分析，振动的角频率mm k+=0ω 由max 2max A m ma mg ωμ==得kgm m g A μωμ)(02max +=则最大能量J1062.92)(])([212132220202max max -⨯=+=+==kg m m kg m m k kA E μμ5-19 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为()()m π75.010cos 05.01+=t x ；()()m π25.010cos 06.02+=t x ．求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动()()m 10cos 07033ϕ+=t x .，则3ϕ为多少时，x 1＋x 3的振幅最大？又3ϕ为多少时，x 2＋x 3的振幅最小？题5-19图分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅()12212221cos 2ϕϕ-++=A A A A A ，其大小与两个分振动的初相差12ϕϕ-相关．而合振动的初相位()()[]22112211cos cos sin sin arctan ϕϕϕϕϕA A A A ++=/解 （1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为2/πΔ12-=-=ϕϕϕ，故合振动振幅为()m 1087cos 2212212221-⨯=-++=.ϕϕA A A A A合振动初相位()()[]rad1.48arctan11cos cos sin sin arctan 22112211==++=ϕϕϕϕϕA A A A /（2）要使x 1＋x 3振幅最大，即两振动同相，则由π2Δk =ϕ得,...2,1,0,π75.0π2π213±±=+=+=k k k ϕϕ要使x 1＋x 3的振幅最小，即两振动反相，则由()π12Δ+=k ϕ得(),...2,1,0,π25.1π2π1223±±=+=++=k k k ϕϕ5-20 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a ）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x 1和x 2；（2）在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．分析 振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程．解 （1）由振动曲线可知，A ＝0.1 ｍ，T ＝2ｓ，则ω＝2π／T ＝πｓ-1．曲线1表示质点初始时刻在x ＝0 处且向x 轴正向运动，因此φ1＝－π／2；曲线2 表示质点初始时刻在x ＝A /2 处且向x 轴负向运动，因此φ2＝π／3．它们的旋转矢量图如图（b ）所示．则两振动的运动方程分别为()()m 2/ππcos 1.01-=t x 和()()m 3/ππcos 1.02+=t x（2）由图（b ）可知振动2超前振动1 的相位为5π／6． （3）()ϕω+'=+=t A x x x cos 21其中()m 0520cos 212212221.=-++='ϕϕA A A A A()12π0.268arctan cos cos sin sin arctan22112211-=-=++=ϕϕϕϕϕA A A A则合振动的运动方程为 ()()m π/12πcos 052.0-=t x题5-20 图5-21 将频率为348 Hz 的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz ．若在待测频率音叉的一端加上一小块物体，则拍频数将减少，求待测音叉的固有频率．分析 这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法．在频率υ1和拍频数Δυ＝|υ2－υ1|已知的情况下，待测频率υ2可取两个值，即υ2＝υ1 ±Δυ．式中Δυ前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的情况来决定．解 根据分析可知，待测频率的可能值为υ2＝υ1 ±Δυ＝（348 ±3） Hz因振动系统的固有频率mkπ21=v ，即质量m 增加时，频率υ减小．从题意知，当待测音叉质量增加时拍频减少，即｜υ2－υ1｜变小．因此，在满足υ2与Δυ均变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率为υ2＝υ1＋Δυ＝351 Hz*5-22 图示为测量液体阻尼系数的装置简图，将一质量为m 的物体挂在轻弹簧上，在空气中测得振动的频率为υ1，置于液体中测得的频率为υ2，求此系统的阻尼系数．题5-22图分析 在阻尼不太大的情况下，阻尼振动的角频率ω与无阻尼时系统的固有角频率ω0及阻尼系数δ有关系式220δωω-=．因此根据题中测得的υ1和υ2（即已知ω0、ω），就可求出δ．解 物体在空气和液体中的角频率为10π2v =ω和2π2v =ω，得阻尼系数为2221220π2v v -=-=ωωδ。
5-1 简谐运动
A
θ
l
m
o
θ <5
o
第五章 机械振动
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 第二版） （第二版）
解
θ < 5o 时 , sinθ ≈ θ
M = − mgl sin θ ≈ − mglθ d 2θ − mglθ = J 2 dt 2 dθ g g 2 = − θ 令ω = 2 dt l l d 2θ 2 = −ω θ 2 dt
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 第二版） （第二版）
十一五” 普通高等教育 “十一五” 国家级规划教 材 马文蔚 周雨青 编
物理学教程
( 第二版 ) 上册
电子教案
南京工业大学 主 编 参 编 编 肖婉如 蔡永明 徐美华 朱杰君 类淑国 韦 娜
第五章 机械振动
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
物理学教程 第二版） （第二版）
例1 如图所示系统（细线 如图所示系统（ 的质量和伸长可忽略不计）， 的质量和伸长可忽略不计）， 细线静止地处于铅直位置， 细线静止地处于铅直位置，重 点时为平衡位置. 物位于O 点时为平衡位置. 若把重物从平衡位置O 略 微移开后放手, 微移开后放手, 重物就在平衡 位置附近往复的运动． 位置附近往复的运动．这一振 单摆. 动系统叫做单摆 动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期． 度振动时的周期．
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
四 相位
A
x
v v v v
T 2
x−t 图
v v
T
o
−A
《主题四 第一节 简谐运动》教学设计教学反思
《简谐运动》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解简谐运动的概念和特征。
2. 掌握简谐运动的运动学表示方法。
3. 学会用弹簧振子模型进行简谐运动的分析。
二、教学重难点1. 教学重点：简谐运动的概念和特征，弹簧振子模型的分析。
2. 教学难点：理解简谐运动的本质，能够根据实际情境判断是否为简谐运动。
三、教学准备1. 准备教学器材：弹簧振子模型、计时器、示波器、投影仪等。
2. 准备课程资料：简谐运动相关图片、视频、例题等。
3. 安排教学时间：本课时为单课时，约45分钟。
4. 设计课程流程：从概念引入→分析特征→运动学表示→弹簧振子模型分析，逐步展开教学内容。
四、教学过程：（一）引入1. 回顾高中物理中简谐运动的概念和特点。
2. 引入中职物理课程中的简谐运动，强调其在实际生产和生活中的应用。
（二）新课教学1. 讲解简谐运动的基本概念和原理。
（1）简谐运动的定义：物体在一定范围内，受到大小和方向随时间作正弦（或余弦）变化的力作用而产生的运动。
（2）简谐运动的特征：周期性、往复性、对称性。
2. 介绍简谐运动的数学表示方法——正弦函数和余弦函数。
（1）正弦函数的形式和特点。
（2）余弦函数的形式和特点。
3. 实例分析：通过弹簧振子模型，引导学生自己推导简谐运动的运动方程和位移-时间、速度-时间、加速度-时间曲线。
4. 讨论简谐运动的能量转化和守恒问题。
（1）简谐运动中能量的来源和转化方式。
（2）能量如何保持守恒。
5. 简谐运动的实际应用举例：弹簧、钟摆、振动筛等。
6. 布置思考题：简谐运动在实际应用中应该注意的问题和改进措施。
（三）课堂互动1. 组织小组讨论，让学生互相交流自己对简谐运动的理解和看法。
2. 邀请学生上台演示简谐运动，并对其运动过程进行讲解。
3. 针对学生的疑惑和问题进行解答和讨论。
（四）小结与作业1. 总结本节课的主要内容，强调简谐运动的重要性和应用价值。
2. 布置相关作业，包括理论题和实际应用题，以巩固学生对简谐运动的理解和应用。
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v0 A sin
v0 t an x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
第五章 机械振动
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
周期
T 2
1 频率 T 2π 2π 圆频率 2π T
第五章 机械振动
T
弹簧振子周期
注意
T 2π
m k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
简谐运动中， x和 v 间不存在一一对应的关系.
T
A cos(t π ) A 2
第五章 机械振动
o
t
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
二
振幅
A xmax
三 周期、频率
A
x x t 图
T
o
2π
t
A x A cos(t ) A cos[ (t T ) ]
x
x
x A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定
dx v A sin(t ) dt a 与 x 方向相反 2 2 d x 2 d x 2 x 0 a 2 A cos(t ) dt dt 2
第五章 机械振动
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
x A cos(t ) v A sin(t )
四 相位
A
x
oБайду номын сангаас
A
v
v
T 2
x t 图
v
T
t
t 1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性） 3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态. ( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
第五章 机械振动
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
o
x
T
t
T 2
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
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简谐运动的判断（满足其中一条即可）
1）物体受线性回复力作用 2）简谐运动的动力学描述 3）简谐运动的运动学描述
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
运动形式: 直线、平面和空间振动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等. 周期和非周期振动 简谐运动 最简单、最基本的振动. 合成 简谐运动 复杂振动 分解
第五章 机械振动
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
五
常数 A 和 的确定
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x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
x0 A cos
A x
2 0
v
2 0 2
物理学教程 （第二版）
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
2
o
A
A 2
a
a t图
F kx 平衡位置 x 0
d x 2 x 2 dt
2
x A cos(t )
（在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
简谐运动的特征
a x
2
弹簧振子 k m （由振动系统本身性质决定）
第五章 机械振动
谐振子: 作简谐运动的物体.
第五章 机械振动
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
一
简谐运动 弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
x
A
第五章 机械振动
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
F
m
o
F kx ma 令 2 k m 2 a x