第9讲：第三章第五节：静定结构的内力分析(二)(2013年新版)

二、静定刚架
静定平面刚架的常见型式有简支刚架、悬臂刚架（图3-39a、b）、三铰刚架（图3-39c）和多跨（或多层）刚架（图3-39d）等。

简支或悬臂刚架由单片刚接杆件与基础直接相连，它有三个支座反力。

三铰刚架由两片刚接杆件与基础之间通过三个铰两两铰接而成，有四个支座反力；三铰刚架的一个重要受力特性是在竖向荷载作用下会产生水平反力（即推力）。

多跨（或多层）静定刚架则与多跨静定梁类似，其各部分可以分为基本部分（如图3-39d中的ACB部分）和附属部分（如图3-39d中的DEF部分）。

1．简支和悬臂刚架的计算
简支和悬臂刚架（图3-39a、b）只有三个支座反力，内力分析时可先由整体刚架的三个平衡方程求出三个反力，再用截面法求出各杆件控制截面上的内力，最后根据内力图的形状特征作出内力图。

对于刚架的悬臂部分，也可先不求支座反力，而直接用截面法求出悬臂杆各控制截面上的内力。

【3-13】计算图3-40。

（a）所示刚架，并作内力图。

取刚架整体为隔离体，由平衡条件可得：
取AB杆为隔离体（图3-40b），由∑m A=0、∑X=0和∑Y=0可得：
再取BC杆为隔离体（图3-40。

），由平衡条件同理可得：
（3）作内力图
AB杆：为均布荷载区段，其弯矩图可利用分段叠加法作出。

先绘出A端和B端的弯矩竖标，并连成虚线，再在虚线基础上叠加将AB段作为简支梁时作用均布荷载的弯矩值（跨中为20×42/8=40kNm），由于荷载向右，故叠加的抛物线应凸向右方。

BC杆：跨中作用一集中荷载，其弯矩图也可采用分段叠加法作出。

先绘出两端的弯矩竖标并连以虚线，再在虚线基础上叠加将BC杆看作简支梁时跨中作用集中荷载的弯矩图（跨中为40×4/4=40kNm）。

刚架最后的弯矩图如图3-40（d）所示。

剪力图的绘制同样需逐杆进行。

根据已求得的杆端剪力，按照单跨静定梁作剪力图的方法可作出各杆的剪力图如图3-40（e）所示。

对于轴力图，由于各杆段所受的荷载均垂直于杆轴，故轴力沿整个杆段均保持不变，因此将各杆端轴力连成平直线即可得刚架的轴力图（图3一40f）。

（4）校核
取节点B为隔离体（图3一409），由：
可知该节点的杆端力矩满足平衡条件；再由
可知该结点同时又满足水平和竖向的投影平衡，故知计算无误。

2．三铰刚架的计算
三铰刚架（图3一39c）有四个支座反力。

计算反力时，除了利用整体结构建立三个平衡方程外，还需在中间铰处截开，取截面任一侧部分为隔离体，根据对中间铰的力矩平衡再建立一个方程，这样就能顺利求出所有的反力。

【例3-14】计算图3-41（a）所示三铰刚架，并作弯矩图。

（1）求支座反力
取整体为隔离体，由平衡条件，有：
结合整体平衡X A=X B有，X A=8kN（→）。

（2）求杆端弯矩，作弯矩图
由AD杆的∑m D=0可得：
M DA=8×5=40kNm（左侧受拉）
M DC=8×5=40kNm（上侧受拉）
由BE杆的∑m E=0同理可得，
M EB=8×5=40kNm（右侧受拉）
M EC=8×5=40kNm（上侧受拉）
杆端弯矩求得后，根据各杆段的弯矩图的形状特征可直接绘出弯矩图。

其中AD、BE和CE杆均为斜直线，DC杆的图形则采用分段叠加法作出（图3-41b）。

3.多跨（或多层）静定钢架的计算
多跨（或多层）静定钢架（图3-39d）的计算顺序是先附属部分，再基本部分。

求出各部分的力图作法与普通刚架没有两样。

【例3-15】试用简捷方法绘出图3-42（a）所示刚架的弯矩图。

用简捷方法作静定结构的内力图就是尽可能不计算支座反力，而直接根据内力图的形状特征作出内力图。

该结构的ABC部分为一悬臂的基本部分，而CDE部分为附属部分，因此宜先分析CDE部分，再分析ABC部分。

对于DE杆，E处支座反力对弯矩没有影响，故该杆弯矩图与悬臂梁的弯矩图相同，可直接作出，M DE=qh2/2（外侧受拉）。

由节点D的平衡知M DC=qh2/2（外侧受拉）。

对于BCD区段，因无荷载作用，故知弯矩图为一直线。

将C点和D点的弯矩连成直线，并延伸至B点，即得该区段的弯矩图。

由几何关系知，B节点弯矩M BC=M BA=qh2/2（内侧受拉）。

AB杆的弯矩图应为一直线，直线的斜率等于该杆的剪力V。

由整体结构的水平投影平衡易知V AB=-qh。

因剪力为负值，故弯矩图的倾斜方向为相对于杆轴逆时针转（锐角方向）。

据此可得
结构的最后弯矩图如图3一42（b）所示。

三、三铰拱
三铰拱（图3-44a）是一种静定的拱式结构，它由两片曲杆与基础间通过三个铰两两铰接而成，与三铰刚架的组成方式类似。

三铰拱在竖向荷载作用下会产生水平推力，与三铰刚架一样都属于推力结构。

为避免产生水平推力，有时在三铰拱的两个拱脚间设置拉杆来消除支座所承受的推力，这就是所谓的带拉杆的三铰拱（图3-44b）。

对于图3-45所示的结构，由于在竖向荷载作用下不产生水平反力，因此不属于拱结构，而只是一般的曲梁结构。

1．三铰拱的受力特点
三铰拱的支座反力的计算方法与三铰刚架完全一样。

在竖向荷载作用下，三铰拱的竖向反力和水平推力分别为：
式中V0A、V0B和M0C分别为相应简支梁的竖向反力及与铰C对应截面的弯矩（参见图3-46b）。

支座反力求得后，拱轴截面的内力可利用截面法进一步求出。

在竖向荷载作用下，拱上任一截面的内力为：
【例3-7】求图3-46（a）所示三铰拱截面K的内力。

已知拱轴线方程为：
（1）求支座反力
（2）一求拱截面的内力
先计算截面K的高度和倾角。

将拱轴线方程对x求导得到轴线的斜率方程为
于是截面K的高度和斜率分别为：
在截面K左侧切开，取AK为隔离体（图3-c），根据∑M K=0可求得截面K的弯矩为
根据切向和轴向的投影平衡，可得截面K左侧的剪力和轴力分别为：
采用同样方法可得截面K右侧的剪力和轴力分别为：
当然，截面K的内力也可直接套用与相应简支梁对比的公式（3-11）计算。

该三铰拱的弯矩、剪力和轴力图如图3-46（d）、（e）、（f）所示。

从上述三铰拱的反力和内力图的计算结果可以看到，三铰拱有其自身的受力特点：
（l）在竖向荷载作用下，拱有水平推力；
（2）由于推力的存在，拱截面上的弯矩比相应简支梁的弯矩要小，从而使拱结构主要承受压力，
能更好地发挥材料性能。

2．合理拱轴线
拱结构是以受压为主的结构。

在给定荷载作用下，如果能合理地设计拱轴线方程，可以使拱上各截面弯矩为零，只承受轴力。

这样的拱轴线称为拱的合理拱轴线。

在满跨均布荷载作用下，简支梁的弯矩方程为一抛物线方程，故此时三铰拱的合理轴线为一抛物线。

例：
1．梁所受荷载如图所示，对其弯矩图剪力图下面哪一种说法是正确的
A只有（I）是正确的
B只有（11）是正确的
C（I）、（II）均正确
D（I）、（II）均错误
答案：A
2．图示四对弯矩图和剪力图中，图（）是可能同时出现的。

答案：D
3．如图3-265所示的粱的正确弯矩图应是哪个图?
【答案】D
【说明】跨中剪力为零，为等弯矩段，故(C)错误；跨中有负弯矩存在，故(A)、(B)错误；（D）正确。

4．下图所示的四对弯矩图和剪力图中，哪一对是可能同时出现的?
【答案】A
【说明】(B)中的弯矩图对应的是均布荷载作用下的弯矩图，但剪力：图对应的是集中荷载作用下的剪力图，二者不一致；(C)中弯矩图对应的是集中荷栽，而剪力图对应的是均布荷载，二者也不一致；(D)中弯矩图对应的是纯力矩，而剪力图对应的是集中荷载，二者也不可能同时出现；(A)中弯矩图和剪力图对应的都是均布荷载，二者是一致的，可能同时出现。

5．如下图所示为梁受集中力P作用，正确的剪力图应是哪个图?
【答案】B
【说明】图3—260中的结构没有均布荷载作用，剪力图应为水平直线；集中荷载作用处剪力图
有突变。

6．如图3—267所示的梁的剪力图哪个正确?
【答案】C
【说明】图3—267中，梁受有均布荷载和集中荷栽，剪力图应该是倾斜的直线，(A)、(B)错误。

图示情况，支座处剪力最大。

7．如图3-268所示的梁的正确弯矩图应是哪个图?
【答案】C
【说明】利用分段叠加法绘制弯矩图，首先绘制出荷载q和P单独作用时的弯矩图，再叠加。