隐圆在几何最值问题中的应用.pdf
初中数学精讲隐圆模型(线段最值和轨迹问题)
几何模型11——隐圆问题在初中数学中利用隐圆解决平面几何问题大致分为三类，第一类是定点加定长构造圆形，第二类是定弦定角，第三类是从动模型之轨迹为圆也就是常说的“瓜豆原理”，在初中数学当中构造定弦定角构造圆形在压轴题当中经常出现，定弦定角构造圆形圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。
定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（很多时候一般是找出张角的补角），（补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径例1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，求A′C的长的最小值变式1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为AB中点，点F为AD 边上从A到D运动的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，求点G运动的路径长（1）直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：例2.如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，求点F 所经过的路径长变式1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，动点E 从点A 出发向终点D 运动，同时动点F 从点D 出发向终点C 运动，点E ，F 的运动速度相同，当它们到达各自的终点时停止运动．运动过程中线段AF ，BE 相交于点P ，求线段DP 长的最小值变式2.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．P PA BOP变式3.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，点E 是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，求点F 的运动路径长变式4.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）（2）定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A点轨迹是一个圆．∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．例3.如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，E 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且CE ＝AF ，连接AE 、BF 交于点G ，求CG 最小值60°120°O P ABO120°120°P ABP PAB P30°O 60°BAP 90°45°ABO P变式2.如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，求线段PB长度的最小值变式3.边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．例4.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，求内心I所经过的路径长变式1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．变式2.如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；例5.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5D．13-B．29变式1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．241-4例6.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ ，故Q 点轨迹是个圆： 考虑∠PAQ=60°，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM=AO ，且可得半径MQ=PO ． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．例7.如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE=2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．【解析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO=2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．答案为52-2 变式1.如图，已知在扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120º，C 是在上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，求点D 运动的路径长？OPA Q60°MQAPOO AB CD E F O A B C D EF M变式2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为____________．变式3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．。
中考数学专题隐圆中最值问题
几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强 （常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题 目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常 会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016连续三年陕西中考的压轴题的最后一问都牵 扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大 学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
A
P BD
P'
E
C
方法总结
名师说法
附：圆外一点到圆上的最小距离和最大距离 如图：点 P 为圆O 外一点，连接 PO 交圆O 于M 点，延长 PO 交圆O 于 N 点。 则线段 PM 长为点 P 到圆O 上一点的最小距离；线段 PN 长为点 P 到圆O 上一点的最大距离
P
O
N
M
名师数学
温馨提示：
在动点运动的过程中同学们要注意的是：虽然点在动（或不确定位置）， 但题目一定会有一些量是不变的，可能是某条线段的长度不变，也可能是 某个角度不变，也有可能某个线与线、线与角、角与角的关系不变，这样 才能化动态问题为定态问题。这个需要同学们对题目进行认真的分析和B = 900 ，AB = 6 ，BC = 8 ，D 为 AC 边一动点，过点 D 作DE ⊥DF
，分别交 AB 边、 BC 边于 E 、 F 两点，则 EF 的最小值是
。
A
E
D
B
F
C
思路）分析：
由于在四边形 EBFD 中 ，DE ⊥ DF ，∠B = 90o ，所以 E、B、F、D 四点共圆（对角互补的四边形 四个顶点共圆），且 EF 为圆的直径（如图 2）。所以，要求 EF 的最小值其实质就是求圆的直 径最小值。
例谈几类常见的“隐藏圆”问题
为
常数
，犃，犅
为定
点．利
用
求
动
点
５ ２
微专题突破
轨迹方程的一般方法，可得动点犘 的轨迹为圆．因此这也是一种形式的“隐藏圆”，不妨称之 为“数量积圆”．
三、阿波罗尼斯圆
例３ （２００８年江苏卷第１３题）在△犃犅犆 中，已知犃犅＝２，犃犆＝槡２犅犆，则△犃犅犆 面
积的最大值为 ．
●●分析 本题表面上看是一个解三角形的问题，因此利用余弦定理、面积公式，将
的取值范围为 ．
●●分析 类似于例３，建立平面直角坐标系后，用求轨迹方程的一般方法，可得（１）（２）中
（ ） （ ） 点犆 的轨迹均为圆，所以求面积最大值的方法与例３相同．（３）中，设 犆（狓０，狔０），则
｜狓０－狔０＋１｜
槡２
２＋
｜狓０＋狔０－１｜
槡２
２＝４，化简得
狓２０＋（狔０－１）２＝４，即点
槡 （ ） 的最大值．而由弦长公式可得动点犇 到圆心犆 的距离犇犆＝ 狉２－ 犃２犅 ２ ＝１，由圆的定义
可得动点犇 在以犆 为圆心，１为半径的圆上．所以问题最终转化为圆上的动点犇 到定点犗
的距离的最大值．由几何关系可得犇犗 最大值为犆犗＋１＝４，所以答案为８．
●●评注 本题可得出如下结论：若已知圆的一条弦长为定值（小于直径），则此弦的中点
知识可得犱 的最大值为半径２槡２，所以面积最大值为２槡２．
●●评注 由例３可得出，若动点犆 到两定点 犃，犅 的距离之比犆犆犅犃＝λ（其中λ 为正常
数），则动点犆 的轨迹为圆．这种“隐藏圆”最初是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此我们 称之为“阿波罗尼斯圆”．
四、平方和（差）圆
例４ （１）在△犃犅犆 中，已知 犃犅＝２，犆犃２＋犆犅２＝８，则△犃犅犆 面积的最大值为
定角定弦“隐形圆”破解中考压轴面积最值
2122019年10月（下）国内刊号 C N 61-1499/C 杨格瑞（西安行知中学 陕西西安 710003）定角定弦“隐形圆”破解中考压轴面积最值摘 要：在三角形中，如果一条边确定，这条边所对的角的度数也确定，这样的三角形有无数个，此时组成角的顶点有无数个，这些点的运动轨迹是圆上一段弧，因为同弧所对的圆周角相等这个定理，那三角形的这条边就是定边（圆中称之为弦），定边所对的角的度数确定，这个角就是定角，这就是“隐形圆”中重要的定角定弦模型。
定角定弦模型主要解决高最值，周长最值和面积最值问题。
关键词：定角定弦；隐形圆；最值；数学建模定角定弦问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是中考考查的重点。
所以近年来，陕西以至全国各地的中考题或者名校的模考题中经常会出现“隐形圆”中“定角定弦”求最值的问题。
如陕西省中考真题2016年和2019年，陕西省中考副题2016年和2017年压轴题。
此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强，大多数学生不容易想到，加上部分题目的计算量大，就很容易造成学生的丢分。
很多学生面对定角定弦求最值问题时往往无从下手，其实是他们没有掌握解决这一问题的方法和策略，也就是数学模型，基于此，在2018届和2019届初三复习课中，笔者对“隐形圆”中“定角定弦”模型进行潜心研究，旨在探索出解决这类问题的有效措施，并且应用于课堂当中，使得学生在模型中掌握知识和技能，提高解决问题的能力，在中考中得到了很好的应用，学生反映良好。
一、模型建立圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等。
但在一个三角形中，如果知道一条边和这条边所对的角，那么利用圆周角定理推论得出点C的运动轨迹是在双弧上。
所以就可以得出“隐形圆”存在的条件：定角定弦，产生“隐形圆”。
（如图1）二、“定角定弦”模型知识储备1.已知线段A B ，求作点P ，使得∠APB=90°，请作出点P的运动轨迹。
分析：直角所对的边是直径。
【最值问题】隐线与隐圆（中篇）
【最值问题】隐线与隐圆（中篇）在新课改的热潮下，几何图形变换日趋引起重视，它涵盖了平移、旋转、对称(轴对称和中心对称)及位似等四种常见变换.这些图形变换的引入，有利于提升学生的空间想象力，能较好地诠释新课改理念的精髓.接上篇，本文将继续以一类动态最值问题为例，深入探究图形变换在解题中的应用.七、隐圆类比类比“隐线”的研究，下面展开对“隐圆”的探究：题7：如图47，⊙P在第一象限，半径为3.动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB 为边向左上方作等边△ABC，则点C随着点A运动所形成的图形的面积为 .反思：“眼中有动点，心中找路径”，这里点C的运动路径依然被“雪藏”了，需要主动出击，借助图形变换的眼光，即所谓“瓜豆原理”，逼其现身，问题也就明朗了；值得一提的是，因为主动点A的路径是一个圆，导致从动点C的路径也是一个圆，“圆生圆”，所谓“种瓜得瓜、种豆得豆”，“瓜豆”之说，再形象不过了；另外，这里的辅助线OC，可谓“巧夺天工”，它将“三动点”等边三角形问题转化为“两动点”直角三角形问题，动点个数变少了，问题自然简单了；此题还可以有如下若干变式：变式1：如图49，⊙P在第一象限，半径为3.动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB 为斜边向左上方作等腰Rt△ABC，则点C随着点A运动所形成的图形的面积为 .变式2：如图51，⊙P在第一象限，半径为3.动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为底向左上方作等腰△ABC，其中∠ACB＝120°，则点C随着点A运动所形成的图形的面积为 .题9：如图61，PQ为半圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，且OQ＝QB＝4，动点A在半圆O上运动（含P、Q两点），以线段AB为直角边向上作等腰Rt△ABC，其中∠ABC＝90°.（1）如图62，当线段AB所在的直线与半圆O相切时，则△ABC 的面积为；（2）如图63，当AC所在的直线与半圆O相切时，连接OA，则AB＝；tan∠AOC＝；（3）如图64，当线段AB与半圆O有两个公共点A、M时，连接CM，若AO⊥PM于点N，求CM的长；（4）当点A在半圆O上运动时，连接CO，则CO的最大值为 .反思：前三问都是抓住题目的特殊性来导边导角；最后一问在已有一个等腰直角三角形的基础上，再造一个等腰直角三角形，构成“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”，其必然存在一个“手拉手式”的全等三角形，再借助三角形的三边关系求出最值；“旋转法”与“瓜豆法”实则相通，基于图形变换的角度来分析，也可以立马知道：点C在一个圆上运动，找其圆心（即点D），定其半径（即CD），作出隐形圆⊙D，如图68所示，问题便可转化为点圆距离；值得一提的是，“瓜豆法”适合秒题，“旋转法”适合写题，前者指明解题方向，后者规范解题过程，两者相辅相成，相得益彰.八、隐圆手段纵观以上各题，共通之处都是“隐圆”，要有强烈地寻找动点的运动路径的意识，即“眼中有动点，心中找路径”，使“隐圆”显现，问题也就自然“水落石出”了.确定“圆弧型路径”的基本方法有：①定义法（即定点定距）；②定边对定角；③图形变换法（即“瓜豆原理”）.隐藏路径的手法多种多样，需要具体问题具体分析，请看下面一组题：（一）定义法（即定点定距）题10：（2016年福建福州）如图69，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．反思：纵观以上解法，法1是求对称点的通解通法，利用对称点的连线段被折痕垂直平分，构造“横平竖直辅助线”，“改斜归正”，化斜为直，需要“眼中有角，心中导比”，借助三角比，巧算边长，无需设元，直接口算；法2利用折叠不变性，瞄准直角，构造“一线三直角”，巧妙设元，表示边长，列出方程，这是垂直处理的一种通解通法；法3利用折叠出角平分线，结合平行出等腰，利用勾股定理，计算边长，再巧借“共高原理”转化面积；法4利用折叠出角平分线，基于确定性分析，构造“倍半角模型”，“由半造倍”；这四种方法都是处理与折叠有关问题的通用解法.反思：第（3）小问是本题的“压轴问”，解题的关键是动中有静，以静制动，寻找变化中的不变量；方法1利用折叠不变性，将动点N所在的轨迹圆（弧）显现，将最值问题转化成相切问题；方法2抓住面积不变性，巧借转化思想，将目标线段进行了系列转化；本题中圆弧型路径的判断方法是定义法，而隐藏路径的手法则是通过折叠的不变性.题11：如图76，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是边AD上的一点，且AE＝2，点P、Q分别是边BC、AB上的两动点，将△AEQ沿EQ翻折至△FEQ，连接PF、PD，则PF＋PD的最小值为 .反思：本题中依然存在隐形圆，隐藏手法仍是折叠不变性，显现方法则是圆的（集合）定义法，再类比常规的“将军饮马”模型，借助对称，将同侧型两线段之和最小转化为异侧型两线段之和最小，然后加上一条半径（EF），将问题转化为两定点之间三线段之和最小，结合“两点之间，线段最短”，即可顺利求解.反思：这里采取先对称，后平移，将同侧型分离的两线段之和最小转化为异侧型共端点的两线段之和最小，再结合一条半径（EF），利用“两点之间，线段最短”解决问题；当然也可以先平移，使分离的两线段转化为共端点的两线段，然后再对称；而线段RP提供了平移方向以及平移距离.反思：同变式1，这里依然利用对称策略，将同侧的两线段之和最小转化为异侧的两线段之和最小，再加上两条定长，结合“两点之间，线段最短”，顺利求解；变式1通过作对称点（D）实现转化，变式2则通过作对称圆⊙D （含点T）实现转化，这里体现出点对称与形对称之间局部与整体的关系.反思：变式3的解题关键仍是先对称，再平移，而且是整个圆的对称、平移；当然，也可以将此圆先平移，再对称；纵观题11及其三个变式，可以发现，此类问题的通解通法：通过图形的各种变换手段，将同侧型分离的多线段之和最小值问题转化为异侧型首尾相接的多线段之和最小值问题，然后利用基本原理“两点之间，线段最短”解决问题；整个过程，可形象地称为“拉直”过程，而“拉直”的手法不一，有平移、对称、旋转，甚至是组合变换或者更一般的变换等;请再看以下几个类题，以便深刻体会图形变换在几何最值问题中的妙用：反思：解决此类问题的关键有以下几点：①抓变化中的不变量（含不变关系），即AD＝CE，这两条相等线段可以重叠在一起；②原最值问题中的两条线段是相互分离的，即四个端点互不重合，属两定两动型，需要经过适当的图形变换（如平移、翻折、旋转等），将其中两个动点合二为一，首尾相接，其核心结构如图86所示；本题依托AD＝CE，构造△ADF≌△CEB，将分散线段拼接，再结合“两点之间，线段最短”，顺利求解；既然可以将CE拼接到AD位置，当然也可以将AD拼接到CE位置，如图87所示，构造出△CEF≌△ADC，再解△BCF，其中BF即为所求，相对而言，这样的构造方式更简单些.反思：继续依托相等线段，构造全等三角形，将分离的两线段首尾（均为动点）相接，拼成折线段，利用“折大于直”，顺利求解.反思：以上几道例题，都是通过全等变换，使分离的两条线段首尾（都为动点）相接，进而解决问题，而构造全等三角形的关键都是抓住题中的等线段（定对定，动对动）.反思：从相等线段走向定比（值）线段，从系数都为1走向系数不为1，从全等构造走向相似构造；更一般地，还可以变式为“已知DF＝kBE，求kAE＋AF的最小值”，其构造方法同上.反思：本题中G、H为两个动点，由GH⊥AE，可立得GH＝AE，这是正方形中“十字架”结构，从而寻找到变化中的不变量，即GH 的“方向”不变（始终与定直线AE垂直），且大小不变，这为平移提供了两大核心要素；接下来，只需沿着不变的方向平移确定的距离，使两个动点重合，再利用“两点之间，线段最短”，即可求解，可形象地巧记为“动动结合，静静相连”，动静结合，妙味无限.反思：这里运动的GH提供了不变的平移方向（与定直线AE垂直）及确定的平移距离，通过平移，“动动结合”，“静静相连”，即得最值.反思：这里运动的PQ提供了不变的平移方向（定直线AC）及确定的平移距离，通过平移，“动动结合”，“静静相连”，即得最值；另外，在计算最小值时，需善于导边导角，主动寻找题目的特殊性，以便简化运算；最后，再提供一道可利用图形变换求两线段之和最小值的趣题：反思：本题的解法极其有趣，相当于先将线段BE沿着ED的方向（与定直线BC垂直）平移至线段FD，使得动点E与动点D重合，将问题转化为BD＋DF最小；再利用对称变换，即将BD关于AC对称至B′D，使同侧的两线段之和最小值问题转化为异侧的两线段之和最小，最后利用“垂线段最短”解决问题；另外，在计算最小值时，需“眼中有定角，心中有定比”，巧施三角比，实现口算.反思：事实上，变式2中不仅有Rt△ACG∽Rt△CBH，还有Rt△ACG≌Rt△CBH（AAS），故AG＝CH＝，抓住题目的特殊性，特事特办，可简化计算；纵观本题及其两个变式，其共通之处都存在着同一个结构，如图120所示，即共端点的三条等线段，不妨形象地称为“相等三爪图”，它“逼”我们联想到“圆中半径处处相等”，即“见相等三爪图，思构辅助圆”；这里隐藏圆的手法是“相等三爪图”，呈现“隐圆”的方法依然属定义法.反思：类似的问题都有以上三种解法，前两种解法属于中点的应用，即“中点＋中点→中位线”，法1通过“作平行线→倍长”的方式，法2通过“取中点→截半”的方式；而法3则是基于图形变换的眼光来看点变换与形变换之间局部与整体的关系，这里仅涉及位似变换，“圆生圆”，即所谓“瓜豆原理”.题14：（1）如图125，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C,点D为AC的中点，点E为边A′B′的中点,连接DE，在旋转过程中，求线段DE的最大值和最小值.（2）如图126，若点E为边A′B′上一动点,其他条件不变，在旋转过程中，求线段DE的最大值和最小值.反思：第（1）问中点E的路径是一个圆，第（2）问动点E的路径是一个圆环，这样的类比，极其有趣；以上两道题目都是通过“旋转＋中点”来隐藏圆弧（或环）型路径的，而呈现的方法都可以理解为定义法.。
挖掘“隐圆”巧解向量最值问题
挖掘 隐圆 巧解向量最值问题陈存勤(江苏省启东中学ꎬ江苏启东２２６２００)摘㊀要:向量最值问题往往隐藏着圆的背景ꎬ设法让 隐圆 显现ꎬ便可轻松破解这一类向量最值问题.关键词:向量ꎻ最值问题ꎻ圆中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－０００２－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:陈存勤(１９８２.１－)ꎬ男ꎬ江苏省泰州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考试题或者模拟试题中ꎬ经常出现考查向量最值的问题ꎬ这类题目难度较大ꎬ常常找不到解题的切入点ꎬ或者运算量过大.那么ꎬ如何解决这一类问题呢?这类试题往往隐藏着圆的背景ꎬ如果我们能够通过分析已知条件ꎬ或者将其进行转化ꎬ把题目中隐藏的圆揭示出来ꎬ然后ꎬ在此基础上ꎬ利用圆中的特殊线或者特殊位置ꎬ就可以帮助我们解决这类试题[１].１建立坐标系找出 隐圆例１㊀(２０２２年天津卷)在әＡＢＣ中ꎬＣＡң＝ａꎬＣＢң＝ｂꎬＤ是ＡＣ中点ꎬＣＢң＝２ＢＥңꎬ试用ａꎬｂ表示ＤＥң为ꎬ若ＡＢңʅＤＥңꎬ则øＡＣＢ的最大值为.解析㊀根据题意ꎬ如图１所示建立坐标系.设Ｅ(０ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ０)ꎬＣ(３ꎬ０)ꎬＡ(ｘꎬｙ)ꎬ则ＤＥң＝(－ｘ＋３２ꎬ－ｙ２)ꎬＡＢң＝(１－ｘꎬ－ｙ)ꎬ图１㊀Ａ的轨迹为圆由ＤＥңʅＡＢң⇒(ｘ＋３２)(ｘ－１)＋ｙ２２＝０⇒(ｘ＋１)２＋ｙ２＝４.所以点Ａ的轨迹是以Ｍ(－１ꎬ０)为圆心ꎬ以ｒ＝２为半径的圆ꎬ当且仅当ＣＡ与☉Ｍ相切时øＡＣＢ最大ꎬ此时ｓｉｎøＡＣＢ＝ｒＣＭ＝２４＝１２ꎬøＡＣＢ＝π６.点评㊀本题通过建立坐标系ꎬ发现点Ａ的轨迹是圆ꎬ而且圆心是在直线ＢＣ上ꎬ然后根据圆的几何性质即可得解ꎬ直观㊁形象.例２㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃ满足ａʅｂꎬ且｜ａ｜＝｜ｂ｜＝２ꎬ｜ｃ－ａ－ｂ｜＝１ꎬ则｜ｃ－ａ｜＋２｜ｃ－ｂ｜的最小值为(㊀㊀).Ａ.１５２㊀㊀Ｂ.１５㊀㊀Ｃ.１７２㊀㊀Ｄ.１７解析㊀选Ｄ.如图２所示建立直角坐标系ꎬ设ＯＡң＝ａ＝２ꎬ０()ꎬＯＢң＝ｂ＝０ꎬ２()ꎬＯＣң＝ｃ＝ｘꎬｙ()ꎬ则ｃ－ａ＝ｘ－２ꎬｙ()＝ＡＣңꎬｃ－ａ－ｂ＝ｘ－２ꎬｙ－２()ꎬｃ－ｂ＝ｘꎬｙ－２()＝ＢＣң.由｜ｃ－ａ－ｂ｜＝１得ｘ－２()２＋ｙ－２()２＝１ꎬ故Ｃ在以Ｄ２ꎬ２()为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬ取２Ｅ２ꎬ３２æèçöø÷ꎬ则Ｅ在ＡＤ上ꎬ则ＤＥＤＣ＝ＤＣＤＡ＝１２ꎬ又øＣＤＥ＝øＡＤＣꎬʑәＥＣＤʐәＣＤＡꎬʑＥＣＡＣ＝１２ꎬ即ＡＣ＝２ＥＣ.因为｜ｃ－ａ｜＋２｜ｃ－ｂ｜＝ＡＣ＋２ＢＣ＝２ＥＣ＋ＢＣ()ȡ２ＥＢ＝２２－０()２＋３２－２æèçöø÷２＝１７.图２㊀动点Ｃ在圆上点评㊀建立坐标系后ꎬ发现点Ｃ的轨迹方程是圆ꎬ利用三角形的相似及两点之间直线段最短ꎬ即可获解.２根据向量模长找出 隐圆例３㊀(２０１６年陕西省数学竞赛)已知ａꎬｂꎬｃ是同一平面内的三个单位向量ꎬ且ａʅｂꎬ则(ｃ－ａ) (ｃ－ｂ)的最大值是(㊀㊀).Ａ.１＋２㊀Ｂ.１－２㊀Ｃ.２－１㊀Ｄ.１解析㊀选Ａ.如图３所示ꎬ设ＡꎬＢꎬＣ为单位圆上的三点ꎬＯＡң＝ａꎬＯＢң＝ｂꎬＯＣң＝ｃꎬＭ为线段ＡＢ中点ꎬ则有ＯＡңʅＯＢң.所以(ｃ－ａ) (ｃ－ｂ)＝ＡＣң ＢＣң＝ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＭＢң２＝ＣＭң２－(２２)２ɤ(１＋２２)２－１２＝１＋２.图３㊀单位圆点评㊀遇到共起点向量的数量积的最值问题ꎬ可考虑使用极化恒等式来处理ꎬ如图３所示ꎬ有ＣＡң ＣＢң＝１４[(ＣＡң＋ＣＢң)２－(ＣＡң－ＣＢң)２]＝１４(４ＣＭң２－ＢＡң２)＝ＣＭң２－ＭＢң２.例４㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃ满足ａ－ｂ＝４ꎬａ－ｃ() ｂ－ｃ()＝－３ꎬ则ｃ ａ＋ｂ()的最小值为(㊀㊀).Ａ.１４㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.－１４㊀㊀Ｄ.－１２解析㊀选Ｄ.令ａ＝ＯＡңꎬｂ＝ＯＢңꎬｃ＝ＯＣңꎬ则ＢＡң＝４ꎬＣＡң ＣＢң＝－３.如图４所示ꎬ取ＡＢ中点Ｍꎬ则ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＡＭң２＝ＣＭң２－４＝－３ꎬ则ＣＭң＝１ꎬ所以点Ｃ的轨迹是以Ｍ为圆心ꎬ１为半径的圆ꎬ取ＣＭ中点Ｎꎬ则ｃ ａ＋ｂ()＝ＯＣң ２ＯＭң＝２(ＯＮң２－ＣＮң２)＝２ＯＮң２－１４æèçöø÷ȡ－１２.当且仅当ＯＮң＝０ꎬ即点Ｏ与点Ｎ重合时ꎬ取到最小值－１２.图４㊀Ｃ的轨迹为圆点评㊀由题意可知ＢＡң＝４ꎬ为定值ꎻ而ＣＡң ＣＢң＝－３属于共起点向量的数量积问题ꎬ考虑使用极化恒等式处理.取ＡＢ中点Ｍꎬ则ＣＡң ＣＢң＝ＣＭң２－ＡＭң２＝ＣＭң２－４＝－３ꎬ则ＣＭң＝１ꎬ即点Ｃ的轨迹是圆.３根据几何特征找出 隐圆例５㊀(２０２２年南京大学强基计划)已知向量ａꎬｂꎬｃ满足ａ＝３ꎬｂ＝２㊀２ꎬａ ｂ＝６ꎬ且(ａ＋ｃ)(ｂ＋２ｃ)＝０ꎬ则ｂ＋ｃ的最小值为.解析㊀设ＯＡң＝－ａꎬＯＢң＝－ｂꎬＯＣң＝ｃꎬＤ为ＯＢ３图５㊀以ＡＤ为直径的圆的中点ꎬ由题意得(ｃ－(－ａ)) (ｃ－(－ｂ２))＝０ꎬ即ＡＣң ＤＣң＝０.因此点Ｃ是在以ＡＤ为直径的圆上ꎬ如图５所示ꎬ所以ｂ＋ｃ＝ｂ－(－ｃ)的最小值即为ＣＢң的最小值.设Ｅ为ＡＤ的中点ꎬ由于点Ｂ是定点ꎬＣ是圆上的动点ꎬ所以当ＢꎬＣꎬＥ三点共线时ꎬＣＢң取得最小值.利用余弦定理ꎬ可求得ＡＤ＝５ꎬＤＥ＝５２ꎬＢＥ＝３２ꎬ所以ＣＢң取得最小值为３－５２ꎬ即ｂ＋ｃ的最小值为３－５２.点评㊀通过简单转化后ꎬ得到ＡＣң ＤＣң＝０ꎬ可知点Ｃ是在以ＡＤ为直径的圆上.遇到垂直关系ꎬ可考虑找出其 隐圆 (也称直径圆)ꎬ然后利用圆的几何性质即可.例６㊀(２０１８年浙江卷)已知ａꎬｂꎬｅ是平面向量ꎬｅ是单位向量.若非零向量ａ与ｅ的夹角为π３ꎬ向量ｂ满足ｂ２－４ｅ ｂ＋３＝０ꎬ则ａ－ｂ的最小值是(㊀㊀).Ａ.３－１㊀Ｂ.３＋１㊀㊀Ｃ.２㊀Ｄ.２－３解析㊀由ｂ２－４ｅ ｂ＋３＝０得ｂ２－４ｅ ｂ＋３ｅ２＝０⇒ｂ－ｅ() ｂ－３ｅ()＝０即ｂ－ｅ()ʅｂ－３ｅ().由此可找出 隐圆 ꎬ如图６所示.图６㊀Ｂ的轨迹为圆几何动态意义:ｂ的终点在半径为１的圆上运动ꎬａ的终点在射线ＯＰ上运动ꎬ直接找出临界(垂线段最短)ꎬ所以ａ－ｂ的最小值为点Ｆ到射线ＯＰ的距离减去１ꎬ即ａ－ｂｍｉｎ＝２ｓｉｎπ３－１＝３－１.点评㊀本题关键是根据ｅ是单位向量ꎬ把ｂ２－４ｅ ｂ＋３＝０得转化为ｂ２－４ｅ ｂ＋３ｅ２＝０ꎬ从而得到ｂ－ｅ()ʅｂ－３ｅ()ꎬ即可找出 隐圆 .例７㊀已知平面向量ａꎬｂꎬｃꎬ满足ａ＝ｂ＝２ꎬａꎬｂ的夹角为π３ꎬ且ｃ２－２ａ ｃ＋３＝０ꎬ则对一切实数ｘꎬｘａ＋ｂ－ｃ的最小值是[２].解析㊀设ＯＡң＝ａꎬＯＢң＝ｂꎬＯＣң＝ｃꎬｃ２－２ａ ｃ＋３＝０⇒ｃ２－２ａ ｃ＋４＝１＝ｃ－ａ()２⇒ｃ－ａ＝１ꎬ如图８所示ꎬ点Ｃ位于以Ａ为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬｘａ＋ｂ表示起点在点Ｏꎬ终点Ｍ在过点Ｂ且与直线ＯＡ平行的直线ｌ上.当ＭꎬＨ重合时ꎬｘａ＋ｂ－ｃ取最小值ＣＨ.由图７可知ＣＨȡＡＨ－ＣＡ＝２ｓｉｎπ３－ＣＡ＝３－１ꎬ故ｘａ＋ｂ－ｃ的最小值为３－１.图７㊀Ｃ轨迹为圆点评㊀根据ａ＝２ꎬ把ｃ２－２ａ ｃ＋３＝０转为为ｃ２－２ａ ｃ＋ａ２＝１ꎬ即(ｃ－ａ)２＝１ꎬｃ－ａ＝１ꎬ故点Ｃ位于以Ａ为圆心ꎬ半径为１的圆上ꎬ从而找出 隐圆 .解决这类向量最值问题的策略就是利用坐标法或者几何法得到动点的轨迹方程(即圆)ꎬ再根据圆的几何性质求出向量数量积的最值.参考文献:[１]孔繁晶.挖掘几何意义巧解平面向量数量积问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(２５):６－７.[２]傅树兵.例析高中数学与 圆 有关的最值问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):４４－４６.[责任编辑:李㊀璟]４。
巧用_隐圆_求一类几何最值问题_熊猛
42中学数学研究2015年第12期(下)巧用“隐圆”求一类几何最值问题广东省深圳市龙城初级中学(518172)熊猛几何中因动点产生的的最值近年广泛出现于中考中,成为中考的热点,也是学生解决问题中的难点,关于几何最值问题,教材的模型是通过几何图形的对称性等性质转化为“折线和”,利用“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”、“垂线段最短”等知识,从而解决最值问题.本文通过分析题目条件发现题目中的隐藏圆(简称“隐圆”),并利用一般的几何最值求解方法来解决最值问题.教材中圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆.根据定义,在解决几何最值问题中,只要能发现某一个动点在变化过程中到同一个定点的距离相等,就可以利用“隐圆”,以这个定点为圆心,定距离为半径作出这个隐藏的圆.再利用圆外一点与圆上一点距离的最值问题或一般几何最值求解模型解决.【例1】如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60◦,M是AD的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折到△A′MN,连结A′C,则A′C长度的最小值是.图1图2分析:将△AMN沿MN所在的直线翻折到△A′MN,点M是AD的中点,则AM=A′M,点N运动时,因此点A′的运动轨迹是以M为圆心,AM长为半径的半圆,所以当C、A′、M在同一直线上时,A′C的长度最小.如图,连结CM,延长MD,过点C作CE⊥AD于点E.由于菱形ABCD中,∠A=60◦,CD=2,则DE=12CD=1,CE=√3,在Rt△MCE中,CM=√ME2+CE2=√(√3)2+22=√7,所以长度的最小值为√7−1.点评:本题关键在于找出动态变化中的定点M及定长A′M,做出“隐圆”.【例2】如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.图3图4分析:根据正方形的性质可得AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,然后利用“SAS”证明△ABE和△DCF全等,从而∠1=∠2,再利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等,∠2=∠3,从而得到∠1=∠3,然后求出∠AHB=90◦,由此,可以得知,点H在以AB为直径的圆上,因此当E、F在运动过程中,点H的运动轨迹是以AB中点O为圆心,以OH(长度为12AB=1)的半圆.由圆外一点到圆最短距离的点,即为与圆心相连与圆相交的点可知,可知当O、D、H三点共线时,DH的长度最小.利用勾股定理列式求出OD=√5,从而线段DH长度的最小值是√5−1.点评:本题灵活运用”90◦的圆周角所对的弦是直径“的定理,确定定点和定长,再利用“由圆外一点到圆最短距离的点,即为与圆心相连与圆相交的点”求解.【例3】如图,△ABC、△DEF均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、FE的中点,直线AG、FC相交于点M,当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是()A.2−√3 B.√3+1C.√2 D.√3−1分析:如图.连接AD、DG、BO、OM,因△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,则AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,故∠ADG=∠CDF.所以∠DAG=∠DCF.则A、D、C、M四点共圆.因此点M的运动轨迹是以AC边中点O为圆心,以12AB长为半径的圆.所以当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,BM=BO−OM=√3−1.2015年第12期(下)中学数学研究43图5图6点评:本题是利用“四边形的对角互补或外角等于内对角,则四点共圆”找“隐圆”,再利用相关性质求解.本题可以用同样的思路求得BM的最大值,此时M点为直线BO与圆的另一交点,点B与点M位于圆心两侧,最大值为√3+1.【例4】如图点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动,点B随之在y轴的正半轴上运动运动过程中,则PO的最大距离是.图7图8分析:当点A运动过程中,斜边AB上的中线OC的长保持不变,因此AB的中点C的运动轨迹是一个圆,圆心是点O,半径是OC.由于无论△ABP如何运动,OC和PC的大小不变,当OC,PC在一直线上时,P距O最远.很容易得知OC=1,PC=√3,则PO的最大距离是√3+1.点评:合理利用“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半”构造“隐圆”,从而使问题得解.【例5】Rt△ABC中,AB=6,AC=8,O为AC的中点,过点O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为.图9图10图11分析:由于∠ABC=∠EDF=90◦,根据“若两个直角三角形共斜边,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边为圆的直径”可知,点E、B、F、D四点共圆,EF为直径,又根据BD为直角三角形斜边上的中线可知BD=12AC=5(根据勾股定理可得AC=10),是定长.根据“直径是圆中最长的弦”可知,当BD为直径时,圆的直径EF最小,此时,EF=BD=5,所以EF的最小值为5.动态背景下,求最值有一定难度,若能针对题目的本质特征,合理画出隐圆”,巧妙地运用圆的有关知识找到转化方向,往往可化难为易,化繁为简.。
2018中考专题复习 隐圆在几何最值问题中的应用 课件(共11张PPT) (1)
找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
若∠ACB为锐角， 则C点在两段优弧AB上
若∠ACB为直角， 则C点在半圆AB上
C
若∠ACB为钝角， 则C点在两段劣弧AB上
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运
探 究 隐 圆
在 几 何 最 值 问 题 中 的 作 用
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠AC能得到什么结论？ 问题二：求C点的运动路径长？ 问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
A
B
A
运动路径长：6π
Smax=9
∟
O
B
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
动路径长？并求CP的最小值？
A
O P’
P B D C E
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
C
C1
600 ∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外一点C，满足∠ACB=900 ,
问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
P
450
C1
I1 A
I2
O
B
A
1350
B
I2
C2
方法总结：AB为定线段，线段AB外一点C与A、B两端点形成的张角 固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）