隐圆最值问题
初中数学精讲隐圆模型(线段最值和轨迹问题)
几何模型11——隐圆问题在初中数学中利用隐圆解决平面几何问题大致分为三类，第一类是定点加定长构造圆形，第二类是定弦定角，第三类是从动模型之轨迹为圆也就是常说的“瓜豆原理”，在初中数学当中构造定弦定角构造圆形在压轴题当中经常出现，定弦定角构造圆形圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。
定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（很多时候一般是找出张角的补角），（补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径例1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，求A′C的长的最小值变式1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为AB中点，点F为AD 边上从A到D运动的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，求点G运动的路径长（1）直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：例2.如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，求点F 所经过的路径长变式1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，动点E 从点A 出发向终点D 运动，同时动点F 从点D 出发向终点C 运动，点E ，F 的运动速度相同，当它们到达各自的终点时停止运动．运动过程中线段AF ，BE 相交于点P ，求线段DP 长的最小值变式2.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．P PA BOP变式3.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，点E 是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，求点F 的运动路径长变式4.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）（2）定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A点轨迹是一个圆．∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．例3.如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，E 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且CE ＝AF ，连接AE 、BF 交于点G ，求CG 最小值60°120°O P ABO120°120°P ABP PAB P30°O 60°BAP 90°45°ABO P变式2.如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，求线段PB长度的最小值变式3.边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．例4.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，求内心I所经过的路径长变式1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．变式2.如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；例5.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5D．13-B．29变式1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．241-4例6.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ ，故Q 点轨迹是个圆： 考虑∠PAQ=60°，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM=AO ，且可得半径MQ=PO ． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．例7.如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE=2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．【解析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO=2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．答案为52-2 变式1.如图，已知在扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120º，C 是在上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，求点D 运动的路径长？OPA Q60°MQAPOO AB CD E F O A B C D EF M变式2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为____________．变式3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．。
专题18 隐形圆及最值问题
AB是 O 的直径，
ACB 90．
ABC 45 ， AC 5 ，
ABC 45 ，
AB AC 5 5 2 ， sin 45 2 2
MN最大
52 2
．
故答案为： 5 2 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3, 4) ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A 、 B 在 x 轴上，且 OA OB ．点 P 为 C 上的动点， APB 90 ，则 AB 长度的最大值为 ．
1．如图，等边 ABC 的边长为 2， A 的半径为 1，D 是 BC 上的动点，DE 与 A 相切于 E ， DE 的最小值是 ( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【分析】连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，因为 DE 与 A 相切于 E ，所以 AE DE ， 可得 DE AD2 AE2 AD2 1 ，当 D 与 H 重合时， AD 最小，此时 DE 最小，求出 AH 的长，即可得出 DE 的最小值． 【解答】解：如图，连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，
若平面上 A、B、C、D 四个点满足 ABC ADC ， 则 A、B、C、D 四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．
D
C
H
O
A
B
四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 H， 若 AH CH BH DH ，则 A、B、C、D 四点共圆.
作 AM⊥BP 于 M．当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（
）
A． 2 π 2
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。
该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。
以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。
在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。
求这个圆的最大半径。
解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。
根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。
根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。
由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。
代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。
在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。
通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。
重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。
隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
利用隐圆求最值
利用隐圆求最值一、隐圆的类型：1.定弦定角∠A和BC是固定值，则ABC三点共圆确定圆心的方法：做AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心2.直径所对圆周角为90°3.OA=OB(A、B在以O为圆心，OA为半径的圆上)二、最小值与最大值当B、P、A三点共线时，BP即为最小值，BP=BA-圆的半径当P在D点时，BP有最大值，BP=BA+圆的半径三、常用的角度练习1．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，若∠BEC ＝45°，且AE ＝4、ED ＝2、则AB 的长为2、如图．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，现有一点P 在直线CD 的左侧，且tan ∠DPC ＝43，则线段PB 的最小值为3．如图．以正方形ABCD 的一边BC 为边向内作等腰ΔBCE，BE ＝BC ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，点P 是Rt ΔBEH 的内心，连接AP 若AB ＝2,则AP 的最小值为4.在ΔABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，点D 为平面上一个动点，∠ADB ＝45°则线段CD 长的最小值为5．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，点P 是BC 上的一动点，点Q 为正方形内部一动点，∠AQD ＝90°则PA ＋PQ 的最小值为 ＿6．如图、在R ＋ΔABC 中，∠ACB ＝P0°，BC ＝3，AB ＝5，点D 是BC 上一动点，连接AD ，在AD 上取一点E ，使∠DAC ＝∠DCE ，连接BE ，则BE 的最小为7 如图在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，目∠BEC ＝90°，点P 是边AB 边上的一动点，连接PD 、PE ，则PD ＋PE 的最小值为8如图在边长为6的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在边AB 、AD 、CD 上，EG 与BF 交于点I ，AE ＝2，BF ＝EG ，DG ＞AE 则DI 的最小值为9．如图．在正方形ABCD 中，AB ＝6，P ．Q 分别为BC 、AB 边上的动点，且AQ ＝BP,AP 与DQ 交于点E ，则线段BE 的最小值为第1题 第2题 第3题10．如图在Rt ΔABCR，∠ACB=90°AC=5,BC=8，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点，（点E 和点B 不重合）沿DE 翻折ΔDBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的最小为11如图．正方形ABCD 的边长为10，G 是边CD 的中点,点E 是边AD 上-动点，连接BE ，将ΔABE 沿BE 翻折得到ΔFBE，连接GF ，当GF 最小时，AE 的长是12 如图：在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上并且CF ＝2,点E 为边BC 上的动点,将ΔCEF 沿直线EF 翻折点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是综合练习：1.如图．在正方形ABCO 中，AB=4，G 是BC 的中，点E 是正方形内的一个动点，且EG ＝2，连接DE ，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段DF 、连接CF ，则线段CF 长的最小值为2．如图点P 是正方形ABCD 边CD 上方的一点目∠APB ＝45°若CD ＝4，sin ∠PBC ＝4，则点与点C 之间的距离为3．如图．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝5，点E 在BC 上，且CE ＝4BE ，点M 为矩形内一动点,使得∠CME ＝45°连接AM ，则线段AM 的最小值为4．如图ΔABC中，∠ABC＝45°∠ACB＝30°,BC＝√3＋1，D是线段BC上一动点，连接AD，把ΔADC沿AD翻折得到ΔADE、F为AE的中点，则线段BF的最小值为5.如图，四边形ABCD中,AB∥CD，AD=5,AB=BC=BD=6.5,则∠ACD的正切值是6.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=2√5,E是边CD上一点，将ΔA DE沿直线AE折叠得到ΔA FE，BF的延长线交边CD与点G,则DG的最大值为。
利用隐圆求最大或最小值--完美资料
隐圆求最值例1（12年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．例2（13年武汉中考）如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE＝DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.例3、如图,△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝6,BC＝8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为.练习R t ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AB＝6,点D在AB边上,点E是BC边上1、如图,△一点(不与点B、C重合),且DA＝DE,则AD的取值范围是.2、如图,已知边长为2的正△ABC,两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动,点C在∠MON内部,则OC的长的最大值为.3、如图,∠xOy＝45°,一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在Ox、Oy上移动,其中AB＝10,那么点O到顶点A的距离最大值为,点O到AB的距离的最大值为.补充练习1、如图，在△R t ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.2、如图，在△R t ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是.3、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O的最大距离为（）5D、A、21B、5C、145524、若在半径为1的圆O上任取两点A、B，再以AB为边向圆外作正方形，则OC的最大值和最小值分别为_______、________.5、如图，两同心圆半径分别为3、3，点A、B分别为两同心圆上的动点，以AB 为边作正方形ABCD，则OD的最大值为________.6、如图△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的△BCP是等边三角形，则AP的最大值为（）A．3B．4C．5 D.67、如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是________.8、过边长为1的正方形的中心O引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB长的取值范围是________.8、如图，半径为1的圆0上有一定点M为圆O上的动点．在射线OM上有一动点B，A B=1，0B＞1．线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点．则线段CD长度的取值范围________．。
2024专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
典型例题
点圆最值---点心线
考点4-1
【例1】有一架靠在直角墙面的梯子(MN=4)正在下滑,D点出有一只猫紧紧
盯住位于梯子MN的正中间E处的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面,
梯子,猫和老鼠看成同一平面内的线或点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.
2 5-2
猫与老鼠的距离DE的最小值为_______.
∴BC=2BE≥ 1+cosα
∴BE=r·sinα≥
1+cosα
C
B
E
2
D
h ·sinα
∴S△ABCmin= 1+cosα
典例精讲
定角夹定高
考点4-4
【例3-1】如图,在△ABC中,∠BAC=60º,BC边上的高AD为3 ,则BC的最小
6
值为___.
解:作△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC,
∴∠ADC=135º为定角,AC为定边.
∴∠AGC=90º,
∵AB=6,∴ AC = 3
D
2
,∴AG=CG=3.
BG 3 5 , BDm in 3 5 3
A
O
B
强化训练
与“圆”有关的最值问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
隐圆最值问题
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
B
M
C
D
A E F
D
C
B
A
B
D C
F
A
“隐圆”最值问题
分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。
【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是
__________．
【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC
上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．
【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点，
M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始
终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．
【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A
旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ．
【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3A 、B 分别在平面
直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC
长的最大值为_________．
【练2】（2013·武汉中考·16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边
长为2，则线段DH长度的最小值是__________．
【例4】如图，∠XOY= 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在
OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．
【练】（2013-2014·二中、七一九上期中·16）已知线段AB = 4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为_________．【例5】已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当
∠ACB最大时，则点C的坐标为__________．
【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗
如图，设墙壁上的展品最高点P距底面米，最低点Q距底面
2米，观察者的眼睛E距底面米，当视角∠PEQ最大时，站
在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（）
A．1米 B．米 C．米 D．米
A
D
C
B
O
y
x
N
M
B
Q
C
P
A
【课外提升】
1．（2010·河南）如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6， 点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =
DE ，则AD 的取值范围是（ ）
A ．2 < AD < 3
B ．2 ≤ AD < 3
C ．2 ≤ A
D ≤ 3 D．1 ≤ AD < 2
2．（2012·济南）如图，矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，当A 、B 两点 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形ABCD 的形状不变，则
OD 的最大值为（ ）
A 25145 D ．5
2
3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC
= 30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得
到△MNC ，P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ，则旋转时
PQ 长度的最大值是（ ）
A ．26
B ．3t
C 6
D ．3t
4．已知点A 、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C 是x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标为__________．。